第四次课：曲线运动、匀速圆周运动

2）特点：
（1）当F合=的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做
圆周运动.
（2） 当F合<的情况，即物体所受力小于所需向心力时，物体沿
曲线逐渐远离圆心做离心运动. 了解离心现象的特点，不要以为
离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动．
（3） 当F合＞的情况，即物体所受力大于所需向心力时，表现
为向心运动的趋势
（4）离心运动的应用和防止：
①洗衣机的脱水筒是利用离心运动把湿衣服甩干的。

把湿衣服放在脱
水筒里，筒转得慢时，水滴跟物体的附着力F足以提供所需向心
力F；当筒转得比较快时，附着力F不足以提供所需向心力F，于
是水滴做离心运动，穿过网孔，飞到筒外面。

②在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需向心力是由车轮与路面间的
静摩擦力提供的，如果转弯时速度过大，所需向心力F 大于最大
静摩擦力，汽车将做离心运动而造成交通事故。

3.圆周运动中的临界问题
回顾总结：
1）匀速圆周运动的动力学特征
(1)始终受合外力作用，且合外力提供向心力，其大小不变，始终指向
圆心，因合力始终与速度垂直，所以合力不做功．
(2)匀速圆周运动的动力学方程
根据题意，可以选择相关的运动学量如v，ω，T，f列出动力学方程；
量为m小球沿环内侧做完整的圆周运动(如过山车)，那么，小球在最低点的速度V0至少为多大?
①若在原题的基础上，使小球带正电荷g，在空间加一匀强电场，若所加电场方向竖直向下，如图所示，则小球在最高点不脱离圆轨道的最小速度应满足什么条件？
②如图所示，若所加电场方向水平向右，则小球在什么地方具有最小速度才能在圆轨道上做完整的圆周运动，其最小速度是多少？
2．双向约束问题
物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度
的变化，杆或管道对其弹力发生变
化．这里的弹力可以是支持力，也
可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．
因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉
力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产
生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在强力为零时即出现临界
㈡管道模型
质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：
(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为．
(2)当
时，对下管壁有压力，此时
，故。

(3)当
时，对上管壁有压力，此时。

实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．
〖例5〗 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半
3倍，求转动的角速度。

分析和解答：
以试管中小球为研究对象，受力分析如图所示：
由①、②两式可得：
2. 如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水
平面，另一端通过光滑小孔吊质量m＝0.3kg的物体，M的中点
与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。

现
使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静
止状态？（g取10m/s2）
分析和解答：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有
最小值时，M有向圆心运动的趋势，所以M受到的静摩擦力方向
沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离M分析受力，有
当ω具有最大值，M有离开圆心趋势，M受的最大静摩擦力
2N、指向圆心，隔离M受力分析有
课后
作
业：
若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为：
. B. C. D.
2. 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝
3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直
平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是
2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （ ）
A. 6.0N的拉力
B. 6.0N的压力
C. 24N的拉力
D. 24N的压力
3．如图所示，小球在光华圆环内滚动，且刚好通过最高
点，则求在最低点的速率为：（ ）
A. 4gr
B. 2
C. 2gr
D.
4.长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mv2/r
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg
D.小球过最高点时速度大小为
5．如图所示，长为L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点的速度,下列叙述中正确的是：（ ）
A.的极小值为
B. 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C.当由值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D.当由值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大
6. 半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物
体，如图所示,
今给小物体一个水平初速度，则小物体将（ ）
A.沿球面下滑至 M 点
B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做
斜下抛运动
Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
7．如图所示，质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时，能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A. B.
B. C. D.
8．如图，质量为0.5kg的杯子里盛有1kg的水，用绳子系住水杯
在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，水杯通过最高点的速度为4m/s，求：
(1)在最高点时，绳的拉力？
(2)在最高点时水对杯底的压力？
距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。

求：
⑴当转盘角速度ω1＝时，细绳的拉力T1。

⑵当转盘角速度ω2＝时，细绳的拉力T2。

速度ω，在一水平面内作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。

11..如图所示，一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环
的半径为 R（比细管的半径大得多）。

在管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）, A 球的质量为 m1, B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。

设 A 球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点。

若要此时两球作用于圆管的合外力为零，那么m1、m2、R 与v0的关系式是 。

12．如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿
过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大？
2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？
轨道，处于水平向右的匀强电场中，一 小球从高为h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内做圆周运动。

圆环半径为R，斜面倾角为θ，小球在经过B点前后小球的速度大小不变。

要使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少为多少？
v1v
a1 a
o v2 a2
v1v
a1 a
o a2 v2
图4-1-2 图4-1-3 A
L
O
m
A
r
o
ω
R
h
A
B
O
30°
45°
A
B
C
A
B
C。