第2讲 二次根式(2)(学生版)
第02讲_二次根式的运算(学生版)-2020-2021学年下学期人教版八年级下册专题复习
知识图谱二次根式的加减知识精讲一．二次根式的加减三点剖析一．考点：1．同类二次根式；2．二次根式的加减；3．混合运算．二．重难点：二次根式的混合运算，在计算的过程中注意结合学过的幂的运算和乘法公式简化计算过程．三．易错点：化成最简二次根式后被开方数仍不相同的二次根式不能加减合并，例如235+≠．同类二次根式例题1、 如果最简二次根式3b a b -和22b a -+是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是（ ） A.0a =，2b = B.2a =，0b = C.1a =-，1b = D.1a =，2b =-同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式（1）为同类二次根式（2）若最简二次根式 与可以合并，则二次根式的加减（1）先化成最简二次根式 （2）将同类二次根式合并，混合运算 先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先计算括号里面的32x y 32x yz 2b a 2a b274x y 38xy3245a b 235a b例题3、 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）212 3ab 23a b 2121a -1a +随练1、 122223273 ） A.①和② B.②和③C.①和④D.③和④随练2、 下列二次根式：（112（222；（323；（4273 ） A.（1）和（4）B.（2）和（3）C.（1）和（2）D.（3）和（4）随练3、 若最简二次根式125a ++34b a +是同类二次根式，则____a =，____b =二次根式的加减例题1、 下列计算正确的是（ ）A.4333=1 235 1132=28 22（11148275278+（2）11(30.54 1.5)(0.244)22-（3212(1215)38（4）333y xx y x y xyx y随练1、下列四个算式正确的是（）336 B.2332= ()()4949-⨯--- D.43331-=随练2、计算：（1481233（2(18827÷混合运算例题1、下列计算正确的是（）3251233326=84 2=例题2、 计算：（1）()23122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）12-例题3、 计算：(231⎛+ ⎝=__________； ((((22221111+=__________；=__________．随练1、 计算：（1）（2）2++随练2、计算：（1(11213323-（2）(284821223-随练3、计算：（1）(33513716248a a a a⎛-⎝（2）11318503252⎛⎝（3）2353223302+（4）2210251025-分母有理化知识精讲分母有理化在二次根式的运算中，把分母中的根号去掉的过程称为分母有理化分母有理化形式（1）a a b ab bbbb==()()()()()22121a ba ba ba ba ba ba ba b ---===-++--（）()()()()()2211a ba ba b a b a ba b a ba b +++===---+-例：77214(1)==2222⨯⨯；()()12323321232323--===--++⨯-三点剖析一．考点：分母有理化．二．重难点：1．分母中只含有单独的一个二次根式时，分子分母同时乘以这个二次根式，利用2aa =从而消掉分母中的根号；2．当分母为两个二次根式相加减时，分子分母同时乘以这两个二次根式相减加，利用平方差公式从而消掉分母中的根号。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
北师大版八年级上册数学2.7第2课时二次根式的运算教案2
2.7 二次根式第 2 课时二次根式的运算【上节知识回首】1．对于二次根式的观点，要注意以下几点：（ 1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。
如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前方乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，固然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前方与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，能够是某个确立的非负实数，也能够是某个代数式表示的数，但此中所含字母的取值一定使得该代数式的值为非负实数；（4）像“，”等固然能够进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质（ 1）；（ 2）；（3）；（ 4）积的算术平方根的性质：；（ 5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。
3．注意与的运用。
【新授】一、二次根式的乘法一、复习引入1．填空（1）4×9 =_______， 4 9 =______；（ 2）16 ×25 =_______， 16 25 =________．（ 3）100 ×36 =________， 10036 =_______．参照上边的结果，用“>、 <或＝”填空．4×9_____ 4 9，16×25_____16 25，100×36 ________100 36一般地，对二次根式的乘法例定为a ·b ＝ ab反过来 :ab = a · b例 1．计算．（ a ≥ 0， b ≥ 0）（ a ≥ 0， b ≥ 0）（ 1） 5 × 7（2） 1× 9（ 3） 9× 27（ 4）1 × 632例 2 化简（ 1）9 16 （2） 16 81（3）81 100（ 4）9x 2 y 2（ 5）54例 3．判断以下各式能否正确，不正确的请予以更正：（ 1）( 4) ( 9) 4 9 （ 2）412× 25 =4×12 × 25=412× 25=4 12=8 3252525二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法例定及逆向等式． 2．填空（ 1）（ 3）916 416=________ ，=________ ，9 16 416=_________ ； （ 2）=_________ ； （ 4）16363681=________ ，=________ ，1636 3681=________ ；=________ ．规律：9 ______ 9 ； 16 ______ 16； 4 _______ 4 ； 36 _______ 36 ．16 16 36 36 1616 81 81 一般地，对二次根式的除法例定：a =a（ a ≥ 0， b>0 ）， 反过来，a = a（ a ≥ 0， b>0 ）b bb b例 1． 计算：（ 1）例 2．化简：12 3 1 1 1 643（ 2）8（ 3）16（ 4）248（ 1）3 （ 2） 64b2（ 3）9x （ 4）5x649a 264 y 2169y 2例 3．已知9x9x，且 x 为偶数，求（ 1+x ）x2 5x 4 的值．x6x6x2 1三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
2.7二次根式(第2课时)课件(共16张PPT)
第2课时
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学习目标
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1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质化简二次根
式.
温故知新
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1.什么叫二次根式？
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
（2） 4a 2b3 4 • a b2 b
2ab b.
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想一想：
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
36 6.
非
负
数
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【跟踪训练】
•4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独
立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022
•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022
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4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=10 cm,
A
BC=20 cm.求AB的长.
【解析】因为AB2 AC2 BC2 , B
C
所以AB AC2 BC2
二次根式教案
练习1 完成教科书第3页的练习.
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.
设计有一定综合性的题目，考查学生的敏捷运用的实力，开阔学生的视野，训练学生的思维.
5．总结反思
老师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
二次根式的概念.
2．内容解析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学学问的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1探讨了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.
二次根式教案 篇3
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy
二、探究新知
假如把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义非常广泛，可以代表全部一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
问题1你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
《二次根式》第2课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算，培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理、表达能力。
二、教学重难点
重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
a a
(a≥0，b>0)
=
b b
思考长方形的面积是20，它的长是5，宽是多少？
教师追问：该怎么计算呢？
教师提示：这一节我们根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题吧.
a b=a b(a≥0
a
(a≥0，b>0)
=
b
加法、减法法则：
先化为最简二次根式.
35
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
数学2020年春季人教版教案 八年级-2 二次根式的化简求值
(1)4+的有理化因式是________.
(2)计算:.
(3)计算:.
(4)已知a=,b=,求的值.
答案：(1)4-.
(2)解：=+3-6×
=+3-6×
=2-+3-2
=2.
(3)解：原式=（）（）
例1、例2、例3对二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式值的比较的考察，适合学生独自解答或师生互动的教学方式.例4、例5、例6主要对与二次根式相关的变形、化简、计算等的考察，适合生生互动的教学方式.
根据学生情况，教师可自行选择是否讲解拓展延伸题目.
教学目标
知识技能
1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；
3.汇报讨论结果
生：通过对①、②分母有理化后进行消元可求解x与y值.
分母有理化①得
分母有理化②得
两式相加得，即x2=y2=2012.
代入上式可得x=y，进而可求3x2-2y2+3x-3y-2011的值.
三、巩固拓展
类似性问题
4.设a=-1，则3a3+12a2-6a-12=（）
A. 24 B. 25 C.D.
1.D
2.C
3.A
4.A
5.
6.解：原式=
==，
当x=+，y=-时，x-y=2，xy=1，
∴原式==.
手册答案
1.D
2.B
【解析】=+4××=1+4××.又∵=+1＞0，∴a>0，∴=a，
∴=1+4××=5，∴+=.
2第二讲 最简二次根式与同类二次根式学生版
第二讲最简二次根式与同类二次根式知识精讲知识点1 最简二次根式1、条件：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母；（3）分母中不含有根式；我们把同时满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.对于条件（1）我们还可以这样理解“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”如18，18=2×9,9能开出来，所以18不是最简二次根式。
对于条件（2）比较明确，如二次根式a a b 21,的被开方数a b 、a 21均含有分母，所以它们都不是最简二次根式.对于条件（3）就比较简单了，如二次根式52,分母里根式，所以，它不是最简二次根式。
【例题1】判断下列二次根式是否为最简二次根式？（1）31； （2）12+x ； （3）122++x x ；（4）71【例题2】把下列根式化成最简二次根式：（1）12； （2）b a 245； （3）2114； （4）xy x 2； （5）)0,0(82754<<b a b a c ； （6）)0,0(1122<>+b a ba ab .【例题3】化简：11)1(---a a .【例题4】化简：2122-+m m （其中1<m ）.知识点2 同类二次根式1、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.（1）判断几个二次根式是不是同类二次根式，应先将每个二次根式化成最简二次根式后，再看被开方数是否相同.（2）若已知几个最简二次根式是同类二次根式，那么，这几个根式的根指数都是2，它们的被开方数相等。
（3）把一个二次根式化成最简二次根式，要用到积、商的算术平方根的性质，如 ),0,0(≥≥⋅=b a b a ab )0,0(>≥=b a ba b a . 【例题5】从下列二次根式中指出哪些是同类二次根式：（1）b 515；（2）b 516；（3）2.05；（4）a 3223；（5）92229；（6）a 27323.知识点3 合并同类二次根式法则：将同类二次根式的系数相加减，被开方数（式）和根指数保持不变.说明：（1）加法运算律仍然适用于二次根式的运算；（2）不是同类二次根式的二次根式不能合并，如32+，应为最终结果；（3）化简时，注意可能出现的错误，举例如下：,322324,43169=+=+ 792972=，xy y x y x y x +=+2222等； （4）最终的结果必须最简，如结果212+中一个根式含有分母，则要继续化简.【例题6】合并下列各式中的同类二次根式：（1）22332332--++； （2）x m x n m x n --+)(.【例题7】解下列各题：（1）如果最简二次根式x 327+与x -2是同类二次根式，求x 的值； （2）已知最简二次根式12)1(3--n m m 和83)(2--m n m n 是同类二次根式，求n m ,的值； （3）如果q p +42与q p -23是同类二次根式，求qp +1的值.随堂练习1：把下列各根式化为最简二次根式： ()()（），（）（），19600224750325121003234a b a b a b c a b ≥≥≥≥2：判断下列各组根式是否是同类根式： （）；；（）当时，，，117531516238534202--<<+-m n n m m n n m m n1．在根式①ab ；②5x ；③xy x -2；④a b c 27中，最简二次根式是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④2．下列二次根式中与3是同类二次根式的是 （ ）A ．18B ．3.0C ．30D ．3003．若b ＜－1，则化1+b a 为最简二次根式得 （ ） A ．)1(11++b a b B ．－)1(11++b a b C ．－)1(1+b a aD ．)1(+b )1(+b a 4．下列四组二次根式中，可以化为同类二次根式的是 （ ） A ．a a 和a 21 B ．2x y 和2y y 1C ．23a 和a 8D ．222y xy x +-和2)(3y x -5．下列各式中计算正确的是 （ ）A ．3＋2＝5B ．3＋2＝32C ．m b －n b ＝（n m -）bD ．1162523250=-=- 6．下列说法中正确的是 （ ） A ．22b a -不是最简二次根式B ．12,75,34是同类二次根式 C ．32,121,181是同类二次根式 D ．a 51和212ab 是同类二次根式7．化简xx x 13---的值是 （ ） A ．－（1+x ）x B ．（1-x ）x -C ．（x -1）x -D ．08．计算12＋3311－315－4832得 （ ） A ．131 B ．0 C ．3316 D ．83 9．根式15，a 20，76，ab 41，35y ，22y x +中，最简二次根式有________. 10．化简：（1）10001＝________（2）2413＝________． 11．若py x mn -是最简二次根式，则m ＝________，n ＝________，p ＝________（其中m ，n ，p 不为0）12.已知a ，b ，c 为三角形的三边，化简 22)()(c b a c b a --+++2)(a c b --+2)(b a c --+＝________．13．（35-）2·（35+）2＝________．14．若（x －x 1）2＝m ，则x x 21+＝________． 15．当x ＝________时，102+x 有最小值是________，当x ＝________时，225x -有 最大值是________．16．当x ＝________，y ＝________时，最简二次根式y y x +和y x 23-是同类二次根式．17．化简：（1）322； （2）a 2211ba -.18．计算：4（m32mn n m n +）－3（n n m m n m 31+）19．已知6的整数部分为a ，小数部分为b ，求a ＋21+b ．20．设a ，b ，x ，y 为有理数，m ，n （n m ≠）是最简二次根式，且a m ＋b n ＝xm ＋y n ，求x ，y 的值．。
二次根式基本运算(根式的乘除)-学生版
二次根式基本运算、分母有理化板块一 二次根式的乘除最简二次根式： 0a≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则=0a≥，0b ≥）二次根式的除法法则=0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、ba 、b 都非负，否则不成立，≠一、最简二次根式【例1】中，最简二次根式有____________________.【例2】 下列根式 ）A ．2个B ．3个C ．4个 D ．5个【例3】下列各式正确的是（）A 10b aB ．1=C =D ．=中考要求例题精讲【例4】 化简下列各式（字母均取正数）：2)x ≥．【巩固】把下列各式化成最简二次根式（1 （2 （3)0x ≥【例5】 若0abc <，且a b c >>【例6】 化简：【例7】)20x y >>【例8】 )0a ≥)00x y ≥，≥【例9】 已知：m n =，求m 的取值范围ab【例10】已a b=，10二、二次根式的乘除分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．【例11】把下列各式分母有理化：2【例12】化=（）A BC D．不同于A C的答案【例13】计【例14】 计【例15【例16】 计)000a b c >>>，，【巩固】计算：232xy【例17】 计算：【例18】【例19】计)00a b>>，等于（）ABCD．【例20】计【例21】已知长方形的面积2S=，相邻两边分别是a b，，且a=，求b。
【例22】若0x≠的最大值.1.下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．．A.1个B.2个C.3个D.4个2.化简：)0y x>>；3.)5a≥4.把下列各式分母有理化：⑴课后作业⑵⑶÷5.6.。