万有引力与航天 天体运动中的三种模型
《万有引力定律与航天》的两种“随”和“绕”模型
《万有引力定律与航天》的两种“随”和“绕”模型笔者在物理教学工作中，对高中物理人教版必修2第六章《万有引力定律与航天》的教学进行了探究，对其本章的物理试题总结了两种“随”和“绕”模型，起到了良好的教学效果，下面就一起来和大家分享：模型一：突出“随”：放在行星表面的物体，随着星球一起转动，物体与行星有相同的角速度，但因为行星自转的角速度很小，需要的向心力很小且可以忽略（此时认为万有引力近似等于重力，万有引力极小部分来提供向心力）即：mg =引F .设中心天体的质量为M,半径为R ，物体质量为m,行星表面上重力加速度为0g ，万有引力常量G ，则有： 表面重力加速度：2002RGM g mg R Mm G =∴= 据表面高h 处重力加速度：()()22022)(h R R g h R GMg mg h R GMmh h +=+=∴=+ 模型二：突出“绕”：把环绕天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供（此时万有引力全部来提供向心力）.设中心天体的质量为M,环绕天体（人造卫星等）质量为m,轨道半径为r, 万有引力常量G , 环绕天体的线速度v ，角速度ω，周期T ，向心加速度n a ，则有n ma r T m r m r m rMm G ====2222)2(πων 由此可以得到：环绕天体（人造卫星等）的绕行线速度，角速度、周期，向心加速度与半径的关系如下： ①由r m r Mm G 22ν=得，rGM =ν②由r m r Mm G 22ω=得，3rGM =ω ③由r T m r Mm G 22)2(π=得，GMr T 32π= ④由n ma r Mm G =2得，2r GM a n = 由此得到以下结论：（1）环绕天体（人造卫星等）的线速度v ，角速度ω，周期T ，向心加速度n a 与环绕天体的质量m 无关，仅与中心天体的质量M 和环绕天体的轨道半径r 有关.（2）环绕天体（人造卫星等）的r 越大，则，线速度v 越小，角速度ω越小，向心加速度n a 越小，周期T 越大.例题1 ：某物体放在某个星球表面，如果该星球的质量是地球质量的一半，直径也是地球直径的一半，那么该物体在这星球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的 ( ) A.41倍 B.21 倍 C. 2倍 D. 4倍解析：本题紧抓模型一：“随”设中心天体的质量为M,半径为R ，物体质量为m,行星表面上重力加速度为0g ，万有引力常量G ，则：mg =引F .2002R GM g mg R Mm G =∴= 得倍地星2122122221221=⨯⨯==M R R M g g ，答案C 例题2：已知某艘宇宙飞船绕一个半径为R 的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.解析：本题紧抓模型二：“绕”设宇宙飞船的质量为m ，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动. 由R )2(R 22T m Mm G π=得：232GT R 4M π= 又因为3R 4V 3π= ，所以2GT 3V M πρ== 练习：1.根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系.下列判断正确的是( )A.若ν与R 成正比，则环是连续物B.若2ν与R 成正比，则环是卫星群C.若ν与R 成反比，则环是连续物D.若2ν与R 成反比，则环是卫星群提示：（本题关键要弄清是“随”还是“绕”,若是“随”由r ων=得出答案A ；若是“绕”，由22Mm v G m r r=得 ：r GM 2=ν得出答案D ） 2．地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度可忽略）所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则（ ）A ．F 1=F 2>F 3B ．a 1=a 2=g>a 3C ．v 1=v 2=v>v 3D ．ω1=ω3<ω2(提示：该题综合试题，难度较大，是一道典型的“随”模型和“绕”模型的万有引力试题，解题最关键还是要弄清谁是“随”，谁是“绕”模型，正确答案D)以上是笔者在教学中的一点心得体会，在教学中采用这两种模型的讲解方法，学生更容易理解和掌握，做题中善于归纳和总结，做到举一反三，取得了事半功倍的良好教学效果，供大家参考.。
万有引力与航天 天体运动中的三种模型
万有引力与航天天体运动中的三种模型一、“自转”天体模型模型特点：绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体。
在其表面上相对天体静止的物体，则以某一点为圆心，做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动。
分析此类问题要明确天体表面物体做圆周运动所需向心力是由万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力即为重力(由于自转所需向心力很小，通常认为重力近似等于万有引力)。
从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小，故所需向心力逐渐减小，重力逐渐增加。
在两极F万＝G，在赤道上F万＝G＋F向。
[典例1] 地球赤道上物体的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转角速度应为原来的多少倍？( )A.gaB.g＋aaC.g－aaD.ga二、“公转”天体模型模型特点：绕另一天体(称为中心天体)做匀速圆周运动的天体称为“公转”天体，其做圆周运动所需向心力由中心天体对其吸引力提供，如人造卫星绕地球运动，地球绕太阳运动等。
[典例2] 如图1所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：图1(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的密度；(3)该星球的第一宇宙速度v；(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。
三、双星模型模型特点：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力——作用力和反作用力。
(2)双星具有共同的角速度。
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上。
[典例3] 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
万有引力与航天应用模型赏析
万有引力与航天应用模型赏析作者：徐双明来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期2013年6月我国神舟十号载人飞船成功发射和回收，还计划发射嫦娥三号月球探测器和近20颗卫星，显示了我国在空间探索方面的强大实力.天体及卫星的运动问题是近几年高考的热点问题.从全国各地的高考试题看，天体运行问题的分析与求解是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，其关键是熟练掌握天体运动的三种基本模型.一、“中心天体-环绕天体”模型环绕模型的基本思路：①把中心天体和环绕天体看做质点；②天体的环绕运动近似看做匀速圆周运动；③中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力.由万有引力定律、牛顿第二定律和匀速圆周运动有以下几种形式的基本关系：GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是两球体球心间距，也是环绕天体的环绕半径.具体的求解中，可依据题中涉及的物理量灵活选取表达式.例1 [2013年天津卷]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a=，线速度v=.解析卫星绕月球运动的半径r=R+h，由万有引力定律和牛顿第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根据万有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.点评此题以“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为背景，只要抓住“中心天体-环绕天体”模型，熟练推导便可得到正确答案.是非常基本的题型.二、“自转”天体模型（1）绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体.在其表面上相对天体静止的物体随自转天体做匀速圆周运动，其角速度和自转天体角速度相同.自转天体对物体的万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力.下面以地球赤道上的物体为例推导它们的关系（地球质量、半径、表面的重力加速度分别表示为M、R、G）为GMmR2=mg+ma向，其中g=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，带入地球半径R=6.4×106m和地球自转周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比较可知，物体随地球转动的向心力远远小于重力，所以忽略向心力部分，认为地球表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，即mg=GMmR2.其它天体自转和地球自转遵循相同的规律.例2 （2013年四川卷）迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1-581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（）.A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B.如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的13365倍D.由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短解析从行星上发射卫星的第一宇宙速度即绕行星表面做匀速圆周运动的卫星的环绕速度，其环绕半径认为等于中心天体半径，由“中心天体-环绕天体”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，则v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，选项A错误；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，选项C错误；由“自转”天体模型知星球表面上物体的重力等于万有引力，即mg=GMmr2，可得g行g地=M行M 地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），选项B正确；由于行星运动的速度远小于光速，故不产生相对论效应，选项D错误.点评此题设置情景中同时涉及“中心天体-环绕天体”模型和“自转”天体模型，要明确两种模型中万有引力的作用，区分相关的物理量.（2）天体自转时，天体表面各物体随天体一起做匀速圆周运动，角速度等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力mω2R最大.对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N为天体表面对物体的支持力.如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，天体瓦解.天体刚好不瓦解的临界条件是N=0，此时有GMmR2=mω2R，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可计算出天体不瓦解的最小密度.三、双星问题天文学上，把两颗相距较近，以共同的角速度或周期绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动的天体称为双星.双星运行中，离其它星体较远，因此只考虑这两个星体间的万有引力.双星间的万有引力提供这两个星体匀速圆周运动的向心力，所以这两颗星做圆周运动的向心力大小相等，这两颗星绕连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期相等、角速度相等.这类问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解.图1例3 （2013年山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（）.A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD. nkT解析假如双星的质量为别为mA、mB，两者间距为L，，对mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；对mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；两者半径关系为rA+rB=L，三式联立可得两星半径rA=mBmA+mBL，进而可得双星转动的周期T=4π2L3G（mA+mB）.当双星的总质量变为原来的k倍，之间的距离变为原来的n倍时，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正确.点评双星问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解，万有引力提供向心力.但要注意该模型中万有引力中定律表达式中的r表示双星间距，为上式中的L，而向心力表达式中的r表示双星各自的旋转半径，为上式中的rA和rB，一定要注意区分.。
万有引力与航天模型
D．卫星由圆轨道1调整到同步轨道3上，只需要加速一次即可
九、“航天器对接”模型
航天器对接是指两个航天器(宇宙飞船、航天飞机、空间站等) 在太空轨道会合并连接成一个整体，它是实现太空装配、补 给、维修、航天员交换等过程的先决条件，空间交会对接技 术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接， 所谓交会是指两个航天器在轨道上按预定位置和时间相会， 而对接则是两个航天器相会后在结构上连成一个整体.
2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，6月14日进入使命轨 道——地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的“嫦娥四号”与地球站之间提供 通信链路。12月8日，我国成功发射“嫦娥四号”探测器，并于2019年1月3日成功 着陆于月球背面，通过中继卫星“鹊桥”传回了月背影像图，如图1所示，揭开了 古老月背的神秘面纱。如图2所示，假设“鹊桥”中继卫星在拉格朗日点L2时，与 月、地两个大天体保持相对静止。设地球的质量为月球的k倍，地月间距为L，拉格 朗日点L2与月球间距为d。地球、月球和“鹊桥”中继卫星均视为质点，忽略太阳
设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t两卫星与 地心连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则两卫星又相距最近，即：
t T1
t T2
nn
1,2,3.... 1t 2t
2n (n 1、2、3……)
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π的奇数倍，则 两卫星相距最远，即：
三、“同步卫星”模型
地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全 球通信和转播电视信号，同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天 体—环绕天体”模型，同步卫星具有四个一定:
万有引力与航天中的几何关系
万有引力与航天中的几何关系
万有引力与航天中的几何关系主要表现在以下几个方面：
1. 向心力关系：同步卫星与近地卫星都是通过万有引力提供向心力。
对于赤道上的物体，万有引力的部分分力提供向心力。
2. 向心加速度关系：由于向心加速度的大小与轨道半径成反比，所以向心加速度的关系是近地卫星>同步卫星>赤道上的物体。
3. 周期关系：近地卫星和赤道物体的周期都为24小时，所以周期的大小关系是同步卫星=赤道物体>近地卫星。
4. 线速度关系：由于线速度与轨道半径成反比，所以线速度的大小关系是近地卫星>同步卫星>赤道物体。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
完整版)万有引力与航天公式总结
完整版)万有引力与航天公式总结在天体运动中，可以采用匀速圆周运动模型、双星模型和“天体相遇”模型三种模型来描述。
其中，匀速圆周运动模型是指天体围绕中心天体做匀速圆周运动，双星模型是指两颗彼此距离较近的恒星相互之间的万有引力提供各自转动的向心力，而“天体相遇”模型则是指两天体相距最近的情况。
2.地心说和XXX说是两种关于宇宙结构的学说，地心说由古希腊科学家XXX提出，认为地球是宇宙的中心，而日心说则由波兰天文学家哥XXX提出，认为太阳是宇宙的中心。
3.开普勒定律是关于行星运动的三个定律之一。
第一定律指出，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上；第二定律指出，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积；第三定律则指出，所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方跟公转周期T的二次方的比值都相等。
4.牛顿万有引力定律是描述宇宙间物体相互作用的定律。
该定律指出，宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比。
该定律适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用，与它们所在空间的性质无关，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关。
引力常数G是表示两个质量均为1kg的物体，相距为1米时相互作用力的大小，其值为6.67×10^-11 N·m/kg。
5.解决天体运动问题的两种方法，一种是采用万有引力提供向心力的思路，即认为天体运动的向心力由万有引力提供；另一种是采用角动量守恒的思路，即认为天体在运动过程中角动量守恒，从而推导出天体运动的规律。
万有引力定律是描述质点间引力作用的基本定律，它表明任何两个质点之间都存在引力，且这个引力与它们的质量和距离有关。
在地球表面，万有引力近似等于重力，其大小为10^-11N，即F万=G(Mm/r^2)，其中G为万有引力常数，M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心的距离。
万有引力与航天重点知识、公式总结
万有引力与航天重点知识、公式总结万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。
3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。
二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三.两个定律1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。
第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。
表达式为：)4(223πGM K K TR == k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式:rF MmG 2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。
（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。
c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯ 四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：F F 向万= 即：222224n Mm v F G ma m mr mr r r T πω=====万2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：g m RMm G =2即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：9.8m/s 2②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GMg 9.8m/s2 ③关系:22')(h R gRg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。
万有引力与航天公式总结
万有引力与航天公式总结Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。
3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。
二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。
第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。
表达式为：)4(223πGM K K TR== k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比.⑵.数学表达式:rF MmG 2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。
（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。
c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：FF 向万= 即：222224n Mm v F G ma m mr mr r r Tπω=====万 2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g 9.8m/s 2③关系:22')(h R g Rg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。
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万有引力与航天天体运动中的三种模型
一、“自转”天体模型
模型特点：绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体。
在其表面上相对天体静止的物体，则以某一点为圆心，做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动。
分析此类问题要明确天体表面物体做圆周运动所需向心力是由万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力即为重力(由于自转所需向心力很小，通常认为重力近似等于万有引力)。
从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小，故所需向心力逐渐减小，重力逐渐增加。
在两极F万＝G，在赤道上F万＝G＋F向。
[典例1] 地球赤道上物体的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转角速度应为原来的多少倍？( )
A.g
a
B.
g＋a
a
C.
g－a
a
D.
g
a
二、“公转”天体模型
模型特点：绕另一天体(称为中心天体)做匀速圆周运动的天体称为“公转”天体，其做圆周运动所需向心力由中心天体对其吸引力提供，如人造卫星绕地球运动，地球绕太阳运动等。
[典例2] 如图1所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
图1
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度v；
(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。
三、双星模型
模型特点：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力——作用力和反作用力。
(2)双星具有共同的角速度。
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上。
[典例3] 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
[专题小测验]
1．我国于2010年10月1日成功发射了月球探测卫星“嫦娥二号”CE－2，CE－2在椭圆轨道近月点
Q 完成近月拍摄任务后，到达椭圆轨道的远月点P 变轨成圆形轨道，如图2所示。
忽略地球对CE －2的影响，则CE －2( )
图2
A ．在由椭圆轨道变成圆轨道过程中机械能不变
B ．在由椭圆轨道变成圆轨道过程中线速度增大
C ．在Q 点的线速度比沿圆轨道运动的线速度大
D ．在Q 点的加速度比沿圆轨道运动的加速度大
2．据媒体报道，天宫一号工作轨道为圆轨道，轨道高度约340 km ，运行周期127分钟。
若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )
A ．月球表面的重力加速度
B ．月球对卫星的吸引力
C ．卫星绕月运行的速度
D ．卫星绕月运行的加速度
3．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米。
已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km ，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为( )
A ．3.1 km/s
B ．3.9 km/s
C ．7.9 km/s
D ．11.2 km/s
4．在四川汶川的抗震救灾中，我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统，在抗震救灾中发挥了巨大作用。
北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能。
“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置(如图3所示)。
若卫星均按顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R 。
不计卫星间的相互作用力。
则以下判断中正确的是( )
图3
A ．这两颗卫星的加速度大小相等，均为Rg r
B ．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2
C ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间为πr 3R r g
D ．卫星1中质量为m 的物体的动能为12
mgr 5．(2012·石家庄二测)1930年美国天文学家汤博发现冥王星，当时错估了冥王星的质量，然而，经过近30年的进一步观测，发现它的直径只有2 300千米，比月球还小。
2006年8月24日在布拉格召开国际天文学联合会大会，来自各国天文界权威代表投票通过联合会决议，原九大行星中的冥王星将不再位于“行星”之列，而属于矮行星，并确定了行星的新定义。
假设冥王星绕太阳运行是一个圆形轨道，已知引
力常量为G ，则根据下述条件可得到其质量的是( )
A ．冥王星的卫星查龙(charon)绕其运转的线速度和轨道半径
B ．冥王星的卫星查龙(charon)绕其运转的周期和轨道半径
C ．冥王星绕太阳运转的周期和轨道半径
D ．冥王星绕太阳运转的线速度和轨道半径
6．两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是( )
A ．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比
B ．它们做圆周运动的线速度与其质量成反比
C ．它们所受向心力与其质量成反比
D ．它们做圆周运动的半径与其质量成正比
7．(2012·浙江高考)由光滑细管组成的轨道如图6所示，其中AB 段和BC 段是半径为R 的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。
一质量为m 的小球，从距离水平地面为H 的管口D 处静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上。
下列说法正确的是( )
图6
A ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为2RH －2R 2
B ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为22RH －4R 2
C ．小球能从细管A 端水平抛出的条件是H >2R
D ．小球能从细管A 端水平抛出的最小高度H min ＝52
R 8．(2012·江苏高考)2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家。
如图7所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
图7
A ．线速度大于地球的线速度
B ．向心加速度大于地球的向心加速度
C ．向心力仅由太阳的引力提供
D ．向心力仅由地球的引力提供
9．(2013·西城区期末)如图8所示，半径为R 的光滑圆轨道竖直固定放置，
小球m 在圆轨道内侧做圆周运动。
对于半径R 不同的圆轨道，小球m 通过轨道
最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力。
下列说法中正确的是( )
A ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大
B ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小
10． 1990年5月，中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为32 km 。
若该行星的密度和地球的密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？(已知地球半径R 1＝6 400 km ，地球的第一宇宙速度v 1≈8 km/s)
11．如图11所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。
物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍。
求：
图11
(1)当转盘的角速度ω1＝
μg 2r 时，细绳的拉力F 1； (2)当转盘的角速度ω2＝ 3μg 2r
时，细绳的拉力F 2。
12．(2013·济宁市重点中学期中检测)如图12所示，一个质量为0.6 kg 的小球以某一初速度从P 点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC 的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)。
已知圆弧的半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，小球到达A 点时的速度v ＝4 m/s 。
取g ＝10 m/s 2。
求：
图12
(1)小球做平抛运动的初速度v 0。
(2)P 点与A 点的竖直高度和水平距离。
(3)小球到达圆弧最高点C 时对轨道的压力。
16．(12分)天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞人马座A *的质量与太阳质量的倍数关系。
研究发现，有一星体S2绕人马座A *做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A *就处在该椭圆的一个焦点上。
观测得到S2星的运行周期为15.2年。
若将S2星的运行轨道视为半径r ＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A *的质量M A 是太阳质量M S 的多少倍(结果保留一位有效数字)。