自动控制理论—数学模型
令M s) 0，得转速对电枢电压的传递函数： c( K ( s ) u G ( s ) u 2 U ( s ) T T s T s 1 a am m 令U ) 0，得转速对负载力矩的传递函数： a(s K ( T s 1 ) ( s ) m a G ( s ) m 2 M ( s ) T T s T s 1 c am m 最后利用叠加原理得转速表示为： ( s ) G ( s ) U ( s ) G ( s ) M ( s ) u a m c
⑶速度控制系统方块图：
ug u e
-
运放Ⅰ
u1
运放Ⅱ
u2
功放
ua
M
电动机
c
uf
⑷各环节微分方程：
测速
u k ( u u ) k ( u u k u 运放Ⅰ： u 2 1 1 1 1 g f) 1 e ， 运放Ⅱ： 2
u2 功率放大：u a k 3
T T T k u k ( T M M ) 电动机环节： a mm n am a c c
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求--综合
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传递函数的基本概念
( n ) ( n 1 ) ( m ) ( m 1 ) a y ( t ) a y ( t ) a y ( t ) b x ( t ) b x ( t ) b x ( t ) n n 1 0 m m 1 0
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控制系统的微分方程
[例2-1]：写出RC串联电路的微分方程。 解：根据KVL定律
u Ri u i c
du c ic dt
du c i C ，代入①得： 由②： dt
du c u Rc u c i dt
①
②
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。 [解]：据基尔霍夫电路定理：
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相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]： 1、相似系统和相似量： 我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全 一样的。
d 2uo du o LC RC u o ui 2 dt dt
m x f x kx F
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
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线性系统微分方程的编写步骤
3.线性系统微分方程的编写步骤： ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
第二章 控制系统 的数学模型
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本章的主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 各种数学模型的相互转换
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概述
概述
[数学模型]： 我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相 互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
ui
L
R
i
C
uo
uo
ui
输入 输出
di 1 L Ri idt u i ① dt C 1 o idt ② C
u
du o 由②： i C ，代入①得： dt
d 2uo du o LC RC u o ui 2 dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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R I ( s ) U ( s ) 2 2 O
U ( s ) 1 1 Ts 0 G ( s ) U s ) 1 Ts i(
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RRC T 1 2 R1 R2
R1 R2 R2
R
2
ui
R1 i2
u
R i R i R i u 1 2 1 1 2 2 i
O
R i u 2 2 O
1 ( R ) I( s ) R I( s ) 0 1 1 12 Cs
R I ( s ) ( R R ) I ( s ) U ( s ) 1 1 1 2 2 i
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概述
古典控制理论中，采用的是单输入单输出 描述方法。主要是针对线性定常系统，对于 非线性系统和时变系统，解决问题的能力是 极其有限的。
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2.1 控制系统的时域数学模型 ——微分方程
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控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统 各元件工作过程中所遵循的物理定理 来进行。例如：电路中的基尔霍夫电 路定理，力学中的牛顿定理，热力学 中的热力学定理等。
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线性系统微分方程的编写例子[例2-4]
[例2-4]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug
ue-
-
+
u1
+
u
功率 2 放大器
M c
ua
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug ，扰动量是 M
c
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线性系统微分方程的编写例子[例2-4]
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传递函数的基本概念
[例2-5]求电枢控制式直流电动机的传递函数。 [解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为： 方程两边求拉氏变换为：
2 d m d d c T T T K u K ( T m ) a m2 m u a m a c dt dt dt
控制系统的微分方程
[例2-3] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。 [解]：图1和图2分别为系 F kx k 统原理结构图和质量块 F 受力分析图。图中，m m m 为质量，f为粘性阻尼系 x f 数，k为弹性系数。 m x fx
图1 图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： m x f x kx F 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
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非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应 的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在 经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程 应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大 的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可 在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到 等效的线性环节。 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y B y f (x 若取某一平衡状态为工作点，如下图中 ) y0 y0 A(x0, y0 ) 的 。A点附近有点 A y0 ( x x ,y y ) ，当x 很小时， 为B AB段可近似看做线性的。 0 x 0 x0 x x
频率特性，波特图
1传递函数2 结构图－信号流图
1、微分方程－输入量和状态变量都是连续的 2、差分方程－离散系统
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常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号 流图，频率特性以及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。
，反馈环节： uf
kf
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2.2 控制系统复域数学模型
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传递函数的基本概念
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。 利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程。
了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 --分析
2.2.1、传递函数的基本概念 传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量 的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。 复习拉氏变换 设系统或元件的微分方程为： 式中：x（t）—输入，y（t） —输出 a , b ( i 0 ~ n ,j 0 ~ m ) 为常系数 i j
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
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2 ( T T s T s 1 ) ( s ) K U ( s ) K ( T s 1 ) M ( s ) a m m u a m a c
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传递函数的基本概念
[例2-6] 求下图的传递函数：
C i1
1 i dt R i R i 0 1 1 1 1 2 C
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
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概述
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠 加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等 于两个作用函数单独作用的响应之和。 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。 [线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。 宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
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自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制原理(数学模型)
Tm m m K m ur
Tmm m K m ur
Tm J m R /( R fm ce cm K m cm /( R fm ce cm )
)
电机时间常数 电机传递系数
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u ur up 放大器： u K1u 电动机： Tmm m Kmu 减速器： 2 K3m 绳 轮： L K32 电 桥： up K4L
证明：左 e At f (t ) etsdt f (t ) e(s A)tdt
0
0
令 sA s
f (t ) estdt F (s) F(s A) 右 0
例7 例8
L
L
e at
e-3t
L
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证明：左
f t estdt
estdf t
e-st f
t
0
f t dest
0
0
0
0-f 0 s f testdt sF s f 0 右
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
线性定常系统微分方程的一般形式
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t )
an dt n an1 dt n1 ... a1 dt a0c(t )
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
自动控制理论 线性系统数学模型
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若的取A某(x一0, y平0 )衡。状A点态附为近工有作点点为，如下图中y0
y0
y0
B(x x, y y)，当 x很小时，AB段可
近似看做线性的。
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
y
则将函数在该点展开为泰勒级
G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s)
控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流图
2、并联运算法则
因为 所以
R(s)
G1(s)
X1(s) + C(s)
G1 (s)
X1 (s) R(s)
-
G2 (s)
X 2 (s)
G
2
(s)
X2 (s) R(s)
X1(s) X2 (s) C(s)
G(s) C(s) X1 (s) X 2 (s) X1 (s) X 2 (s)
[ui (s)
u(s)]
1 R1
I1(s)
I1(s) I (s) I2(s) I(s) 1 u(s)
C1s
ui (s)
1
-
R1
I1(s)
u(s) I(s)
-
I1(s)
I2 (s)
I (s)
1 C1s
u(s)
[u(s) uo (s)]
1 R2
I 2 (s)
I 2 (s)
1 C2s
uo (s)
图3.1 RLC无源网络
解：
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章数学模型
) （1）方程的系数 ai ( i 0 ,1 , n )、bj ( j 0,1, m为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
'
df x0 x kx ， 可得 y dx
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2）， 则在平衡点处可展成
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 f ( x10 , x20 ) 1 2 f ( x10 , x20 ) 2 [ ( x x ) 2 ( x x10 )(x x20 ) 1 10 2 2! x1x2 x1 2 f ( x10 , x20 ) 2 ( x x ) ] 2 20 2 x2
dt
d 2 (t )
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
自动控制数学模型
自动控制数学模型
2、1、1线性系统得微分方程模型
很多常见得元件或系统得输出量和输入量之间得关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程得阶数一般就是指方程中最 高导数项得阶数, 又称为系统得阶数。
如图机械系统,由牛顿定理得到以下关系:
d2y F Fk Ff m dt 2
dy Fk ky ; Ff f dt
设输入量为r(t) ;输出量为 c (t) ,定义传递函数为:
G(s) L[c(t)] C(s) L[r(t)] R(s)
一般线性定常系统由下面得n阶线性常微分方程描述:
a0c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
f (t) L1[F (s)]
1) 部分分式法
将F(s)展开成多个典型函数得象函数之代数和,查表。
例2、3 F(s)含单极点和重极点时得拉氏反变换。
解:
F(s)
1
c1 c2 c3 c4
s(s 3)(s 1)2 s s 3 (s 1)2 s 1
c1 [F (s)s]s0 1/ 3
s 1 F (s) s(s2 s 1)
解: s2 s 1 (s 0.5 j0.866)(s 0.5 j0.866)
F (s)
c1 s
c2s s2 s
c3 1
1 s
(s
s 0.5 0.5 0.5)2 0.8662
f (t) L1 F (s) 1 e0.5t cos 0.866t 0.578e0.5t sin 0.866t (t 0)
点形式和多项式形式之间得互换。即可将传递函数进行展开和
2、1、1线性系统得微分方程模型
很多常见得元件或系统得输出量和输入量之间得关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程得阶数一般就是指方程中最 高导数项得阶数, 又称为系统得阶数。
如图机械系统,由牛顿定理得到以下关系:
d2y F Fk Ff m dt 2
dy Fk ky ; Ff f dt
设输入量为r(t) ;输出量为 c (t) ,定义传递函数为:
G(s) L[c(t)] C(s) L[r(t)] R(s)
一般线性定常系统由下面得n阶线性常微分方程描述:
a0c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
f (t) L1[F (s)]
1) 部分分式法
将F(s)展开成多个典型函数得象函数之代数和,查表。
例2、3 F(s)含单极点和重极点时得拉氏反变换。
解:
F(s)
1
c1 c2 c3 c4
s(s 3)(s 1)2 s s 3 (s 1)2 s 1
c1 [F (s)s]s0 1/ 3
s 1 F (s) s(s2 s 1)
解: s2 s 1 (s 0.5 j0.866)(s 0.5 j0.866)
F (s)
c1 s
c2s s2 s
c3 1
1 s
(s
s 0.5 0.5 0.5)2 0.8662
f (t) L1 F (s) 1 e0.5t cos 0.866t 0.578e0.5t sin 0.866t (t 0)
点形式和多项式形式之间得互换。即可将传递函数进行展开和
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)