向量数量积的坐标表示
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向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 3，1)，b＝2，0，则
a⊗b＝ ( )
人 教 A 版 数 学
3 A. 2 2 C. 2
1 B. 2 3 D. 3
[答案] B
第二章
平面向量
a· b [解析] ∵cosθ＝ |a|· |b|
1 (－ 3，1)×2，0 1 2 2 (－ 3) ＋1 · 22＋02
人 教 A 版 数 学
，
1 x0＝3(2x－1) ∴ y0＝1(2y＋1) 3
x ＝2x＋1 0 或 y0＝2y－1
，
第二章
平面向量
代入圆方程中得(2x＋5)2 ＋(2y－2)2 ＝81或(2x＋3)2 ＋
(2y－2)2＝9. 即为所求的轨迹方程．
人 教 A 版 数 学
M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|， 动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．
人 教 A 版 数 学
第二章
平面向量
[错解] 设 N(x，y)，M(x0，y0)，∵N 在射线 AM 上， → → 且|AM|＝2|MN|，∴AM＝2MN， → → ∵AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)， 1 x ＋1＝2(x－x ) x0＝3(2x－1) 0 0 ∴ ，∴ y0－1＝2(y－y0) y0＝1(2y＋1) 3 ∵M(x0，y0)在⊙C 上， 1 1 2 ∴[ (2x－1)＋2] ＋[ (2y＋1)－1]2＝9， 3 3
第二章
平面向量
重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹
角． 难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．
人 教 A 版 数 学
第二章
平面向量
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第二章
a⊗b＝ ( )
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3 A. 2 2 C. 2
1 B. 2 3 D. 3
[答案] B
第二章
平面向量
a· b [解析] ∵cosθ＝ |a|· |b|
1 (－ 3，1)×2，0 1 2 2 (－ 3) ＋1 · 22＋02
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，
1 x0＝3(2x－1) ∴ y0＝1(2y＋1) 3
x ＝2x＋1 0 或 y0＝2y－1
，
第二章
平面向量
代入圆方程中得(2x＋5)2 ＋(2y－2)2 ＝81或(2x＋3)2 ＋
(2y－2)2＝9. 即为所求的轨迹方程．
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M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|， 动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．
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第二章
平面向量
[错解] 设 N(x，y)，M(x0，y0)，∵N 在射线 AM 上， → → 且|AM|＝2|MN|，∴AM＝2MN， → → ∵AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)， 1 x ＋1＝2(x－x ) x0＝3(2x－1) 0 0 ∴ ，∴ y0－1＝2(y－y0) y0＝1(2y＋1) 3 ∵M(x0，y0)在⊙C 上， 1 1 2 ∴[ (2x－1)＋2] ＋[ (2y＋1)－1]2＝9， 3 3
第二章
平面向量
重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹
角． 难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．
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第二章
平面向量
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第二章
向量数量积的坐标表示、模、夹角
向量数量积的几何意义
投影长度
数量积表示向量$vec{A}$在向量 $vec{B}$上的投影长度。
角度余弦值
数量积等于两向量夹角的余弦值乘以 两向量的模的乘积，即$cos theta = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}$。
向量数量积的计算公式
几何意义
向量模的计算公式在几何上表示了从原点到该向量的有向线段的长度。
向量模的性质
性质1
向量的模满足三角不等式，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$left| overset{longrightarrow}{a} +
向量数量积的坐标表示、模、夹角
$number {01}
目 录
• 向量的坐标表示 • 向量数量积的坐标表示 • 向量的模 • 向量夹角 • 向量数量积、模、夹角之间的关
系
01
向量的坐标表示
定义与性质
定义
向量可以用坐标表示为 $overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$，$overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$。
向量夹角与点积的关系
当两个向量的夹角为90°时，它们的数量积为0，即A·B = 0；当两个向 量的夹角为0°或180°时，它们的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B = ||A|| ||B||。
05
向量数量积、模、夹角之间 的关系
向量数量积与模的关系
1 2
3
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积乘以它们夹角的余 弦值。
数学百炼 向量的数量积——坐标法
3 a2
3a 2 a
3
55
2 4 4
a b 5 min 4
答案： 5 4
例 8：已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心， AB 2 ，直线 l 过点 M 交边 AB 于点 P ，交
边 AC 于点Q ，则 BQ CP 的最大值为
.
思路：本题由于 l 为过 M 的任一直线，所以
x
1 2
1 2
x
1 3
3y
3 2
y
3 6
E
1 3
,
3
6
AD 0,
3 2
,
BE
5 6
,
3
6
答案： AD BE 1 4
AD BE 1 4
例 2：（2012 江苏，9）如图，在矩形 ABCD 中， AB 2, BC 2 ， D
面上任一向量 a ，均有 a xi y j ，其坐标为 x, y ，从图上可观察到恰好是将向量 a 起
点与坐标原点重合时，终点的坐标 （3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设
A x1, y1 , B x2, y2 ，则 AB x2 x1, y2 y1 （可记为“终” “起”），所以只要确
P
:
y
kx
3 3
x
23
解得：
3 k 3
y
3 x 1
y
向量的数量积的坐标运算
在力学中，物体的动能与其速度 向量的模的平方成正比，可以通 过向量的数量积来计算。
在电磁学中的应用
计算电场强度
01
电场强度向量可以通过电荷分布密度向量与距离向量的数量积
来计算。
判断电场方向
02
电场强度的方向可以通过电场向量与距离向量的数量积来判断。来自计算磁感应强度03
磁感应强度向量可以通过电流密度向量与距离向量的数量积来
数量积的性质
分配律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量 数量积满足分配律。
零向量与任何向量 的数量积都是0。
交换律：a·b = b·a， 即向量数量积满足 交换律。
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其 中λ是标量，即向量 数量积满足结合律。
若向量a和b垂直， 则它们的数量积为0， 即a·b = 0。
VS
性质与应用
向量数量积具有交换律、分配律等性质， 在物理、工程、计算机图形学等领域有广 泛应用，如计算力、功、能量等物理量， 以及进行向量的投影、旋转等操作。
对未来研究的展望
深入研究高维向量数量积的性质和应用
随着数据维度的增加，高维向量的数量积运算将变得更加复杂，需要 进一步研究其性质和应用。
探索向量数量积在机器学习等领域的应用
在物理中，向量的数量积常用 来表示力、功等物理量。
04 向量的数量积坐标运算方 法
直接计算法
定义
直接计算法是指根据向量数量积的定义，通过计算两个向 量的模长和它们之间的夹角余弦值来求得数量积的方法。
公式
设两个向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则它们的数量积 a · b = |a| * |b| * cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模长，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。
空间向量数量积的坐标表示
Hale Waihona Puke 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
r 3)，b (1, 0 , 0) ;
(2)
ar
(1
,
例题：
A
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
1
,
r 1)，b
(1
,
0
,
1)
;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90o , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
r a
r b
(a
1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
;
ar
r b
(a 1b1,a2
2022年第部分 第二章 § 平面向量数量积的坐标表示
由 a·b<0，得 1＋2λ<0，故 λ<－12， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 所以 λ 的取值范围为－∞，－12. (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角， 所以 cos θ>0，且 cos θ≠1， 所以 a·b>0 且 a，b 不同向． 由 a·b>0，得 λ>－12，由 a 与 b 同向得 λ＝2. 所以 λ 的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1)(a＋b)2； (2)(a＋b)·(a－b)． 解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， (1)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1) ＝4×2＋(－3)×1＝5.
8．已知 a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当 k 为何值时， (1)ka－b 与 a＋b 共线； (2)ka－b 的模等于 10？
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)， ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由 x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
平面向量数量积及其坐标表示
为a与e的夹角，则
e a a e a cos
这 三 个 尤 其 重 要 哦 ！
a b ab 0
特别地，a a a a
2
2
判定垂直
ab a b 当a与b同向时a b a b 当a与b反向时，
或a aa a
2
cos
a b ab
（2） a·b＝a·c
反之， b＝c b＝ c
×
a·b＝a·c
真命题
（3）
(a b) c a (b c) ×
2、 若 | a | 1,| b | 2, c a b ， a与 b 且 ca ，则向量 的夹角为( 120° )
三、向量的数量积的性质：
设a, b都是非零向量， e是与b方向相同的单位向量，
x1 x2 y1 y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
探讨合作:非零向量 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 它们的 夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能 得到什么结论？
结论：
(1) cos
是a和b的夹角 , 范围是0
注意（1）两个向量的数量积是数量，
而 不是向量. （2）这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角有关。
规定: 0 a 0
（3）数量积的几何意义：
a b b a cos
B
b
O
a b a b cos
a
A
| b | cos
计算夹角
计算模
ab
ab
基础练习
1、已知a、b是非零的平面向量且满足(a – 2b) ⊥ a， (b – 2a) ⊥ b ,则a与b的夹 60 角是 (° ) 2、已知a 、b均为单位向量，它们的夹 角是60°，那么| a +3b |＝（ 13 ）
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
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AC (2 1,5 2) (3,3) 因为 AB• AC 1 (3) 13 0
让学生完成解答过 程
所以 AB AC 所以 ABC为直角三角形
课内练习 P111 练习 9.3.2 题 2
三、小结：
1、两向量的数量积有两种计算方法：a ·b =︱ a ︱·︱ b ︱cos ； 提问两个算式
a • b x1x2 y1 y2
可以结合问题 3，进行证明
2
设 a (x, y) ，则有 a
x2
y 2 ，即
a
x2 y2
教师简单证明
2、两个向量 a 与 b 的夹角 的求法
cos a • b
x1x2 y1 y2
a•b
x12 y12 •
x22
y
2 2
师：两个等号的依据 分别是什么？
例 1 已知 a (5,1) ， b (3,2) ，求 a • b ， a ， b ， a 与 b 的夹角 解： a • b 53 (1) 2 13
教后记
1/3
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）
师生活动
一、复习回顾： 问题 1： 向量数量积如何定义？ 问题 2：垂直向量的数量积是多少？
问题 3：设 x 轴、y 轴上的单位向量分别为 i 和 j ，则
① i • i 1 ；② j • j 1；③ i • j 0 ； ④ j • i 0 ．
例 2 已知点 A(1,2) 、 B(2,3) 、 C(2,5) ，求证： ABC为直角三角形 分析：要证明 ABC为直角三角形，就要证明三条边中有两条边互相垂
直, 则只需证明由三点所确定的向量中存在两个向量互相垂直．
证明： AB (2 1,3 2) (1,1)
师：思路是由点的坐 标得到向量坐标，进 而判断垂直
a 52 (1)2 26 b 32 22 13 cos a • b 13 2
a • b 26 13 2 因为 [0, ]，所以
4
课内练习 P111 练习 9.3.2 题 1
学生计算求值
2/3
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）
师生活动
补充练习
1．设点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则 AB • AC 等于(
)
A． 1 B．0 C．1 D．2源自师：由点的坐标求出 向量坐标
2．已知 a = (2，1)，b = ( 1，3)，若存在向量 c ，使得 a • c 4 ，b • c 9 ， 在学生讨论基础上，
试求向量 c 的坐标．
引导学生设未知数， 得出方程
3、向量垂直的充要条件的坐标表示
设 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) 是两个非零向量，那么 a b x1x2 y1 y2 0
重点：平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的充要条件的坐标表示 难点：由数量积的坐标形式求两个向量的夹角
9.3.2 向量数量积的坐标表示 1、向量数量积的坐标表示
例1 例2
设向量 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) 则 a • b x1x2 y1 y2
板书
2、向量 a 与 b 的夹角 的求法
设计
cos a • b
x1x2 y1 y2
a•b
x12 y12 • x22 y22
3、向量垂直的充要条件的坐标表示
设非零向量 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 )
a b x1x2 y1 y2 0
补充练习
学情 分析
学生计算能力偏弱，看到复杂的算式就易犯错，且不愿下功夫记背公式。 因此本节课的教学会有难度。
当已知两向量夹角时,一般用前一个公式；而当已知两向量的坐标时，
一般用后一个公式
2、用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角 3、向量垂直的充要条件的坐标表示
提问学生
四、课后作业 P111 习题 A 组 题 3、4
3/3
学生计算
向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变．向量的坐标表 示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的 坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？本节课我们就来讨论 这一问题．
二、新课讲授 1、向量数量积的坐标表示：
设向量 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) ，则 a • b x1x2 y1 y2
授课日期
2011 年月日 第周
授课时数 2 课型
新授
课题 9.3.2 向量数量积的坐标表示
教学 目标
知识目标：掌握向量数量积的坐标表示和运算，由数量积的坐标形式求两个 向量的夹角，掌握向量垂直的充要条件的坐标表示
能力目标：培养学生的计算能力和探索精神
情感目标：使学生进一步体会数形结合思想
教学 重点 难点