SXA225高考数学必修_例谈正难则反的“补集思想”
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第19讲 正难则反与反证法-解析版
第19讲正难则反与反证法正与逆通常指事物矛盾的双方，反映在数学解题中，主要体现于解题的思维进程中，一般的解决问题的过程，总是先从正面入手进行思考，即从条件出发顺向的思考，这是解题的一种基本的思想方法.大量的习题都是循着正向思维来解决的，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，但有时会遇到从正面入手不易解决，即正向思维受阻的情况.根据事物往往互为因果，具有双向性和可逆性的特征，此时应从问题的反面去思考，“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难就逆向推导，直接证明有困难就间接证明，正向求解有困难就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左，即从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，从而使问题获得解决“正难则反”的解题方法常能收到意料不到的功效，这种“逆”恰好弥补了“正”的不足。
正难则反的解题方法的运用主要包括两个方面：一是使用定义、定理、公式、法则时的逆向思维；二是运用思想方法时的逆向思维，它包括举反例、反证法、分析法、同一法、主客元的互换、分子有理化、补集思想等方法策略，因为运用逆向思维解题能打破常规，所以解法往往不落俗套.中国历史上流传至今的“草船借箭”与“司马光砸缸”的故事，其魅力概源于逆向思维.三国时代周瑜妒忌诸葛亮的才能，委托诸葛亮10日之内督造出10万支箭，这根本是办不到的，诸葛亮明知周瑜要害他但还是痛快地答应只需3天便可造出10万支箭，但诸葛亮压根就没有去造，而是“借”，并且不是从朋友，而是从敌人曹操那里去借，并且获得成功，这是诸葛亮处处留心观察天时、地利，精心筹划，随着实际情况而灵活运用的成果，这种开放性思考是周瑜辈所“望尘莫及”的.同样，司马光砸缸救人的故事也体现了逆向思维的功效.因为在一般人的思维中，有人落水，要救人必须让“人离开水”，而仅靠一起玩要的小伙伴，要做到把人营救出水缸是不可能的，司马光的机智在于面对紧急险情，果断地用石头把缸砸破，让“水离开人”，巧妙地运用“正难则反”的策略解决问题，在数学学习中应加强逆向思维的训练，注意以下几点：(1)数学命题中，定理不一定可逆，但定义总是可逆的，应当学会从正反两个方面运用定义，提升数学思维的灵活性的水平.(2)注意公式的逆用.逆用公式与顺用公式同等重要，有时将公式反用或适当改变公式形式再用，往往能收到化繁为简的效果.(3)对数学常规问题提法与推断进行逆向思考.(4)注意解题中的可逆性原则.正难则反分析体现得最完美的是反证法，证明一个数学命题，当直接证法难以实施时，则可考虑用反证法这一间接证法.但话说回来，何谓反证法?一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面人手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法.反证法是一种最常见的证明方法，成语“自相矛盾”中“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法。
高中数学人教版(新教材)必修1教学设计1：1.3 第2课时 补 集
1.3 第2课时补集教学目标1.理解补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.教学知识梳理知识点一 补 集 自然语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 集合语言∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }图形语言性质①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅； ②∁U U ＝∅，∁U ∅＝U 题型一 补集的运算例1 (1)已知全集U ＝{a ，b ，c }，集合A ＝{a }，则∁U A 等于( )A.{a ，b }B.{a ，c }C.{b ，c }D.{a ，b ，c } 『答案』C『解析』∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}b ，c .(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( )A.{x |0<x <2}B.{x |0≤x <2}C.{x |0<x ≤2}D.{x |0≤x ≤2}『答案』C『解析』∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.反思感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________.『答案』{3,4,5}(2)已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合A ＝{b ，c ，d }，B ＝{c ，e }，则(∁U A )∪B 等于( )A.{b ，c ，e }B.{c ，d ，e }C.{a ，c ，e }D.{a ，c ，d ，e }『答案』C『解析』∁U A ＝{a ，e }，(∁U A )∪B ＝{a ，c ，e }.(3)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 等于( )A.{x |x <1或x ≥3}B.{x |x ≤1或x >3}C.{x |x <1或x >3}D.{x |x ≤1或x ≥3}『答案』B『解析』U ＝R ，∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}.题型二 补集的应用例2 (1)设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}，则a 的值为________. 『答案』2或8『解析』由U ＝{1,3,5,7}，M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}知M ＝{1,3}.∴|a －5|＝3，∴a ＝8或2.(2)已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}.反思感悟 从Venn 图的角度讲，A 与∁U A 就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A )∩A ＝∅，(∁U A )∪A ＝U ，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2a ＋1}，若A ∩(∁R B )＝∅，则实数a 的取值范 围是_____________.『答案』{a |a <0}『解析』∁R B ＝{x |x ≤2a ＋1}.由A ∩(∁R B )＝∅，∴2a ＋1<1，∴a <0.(2)设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 『答案』－3『解析』∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}.∴0,3是x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3.题型三 集合的综合运算例3 (1)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝{}1，2，4，则(∁U P )∪Q 等于( )A.{}1B.{}3，5C.{}1，2，4，6D.{}1，2，3，4，5『答案』C『解析』∵∁U P ＝{}2，4，6，∴(∁U P )∪Q ＝{}1，2，4，6.(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________. 『答案』{a |a ≥2}『解析』∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ，∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练3 (1)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ≠N ，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A.MB.NC.ID.∅『答案』A『解析』如图所示，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M .(2)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}.①求a 的值及A ，B ；②设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；③设全集U ＝A ∪B ，写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解 ①因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，且2∈B ，代入可求得a ＝－5，所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}. ②由①可知U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，所以∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. ③由②可知(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 核心素养之数学运算根据补集的运算求参数典例 (1)设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝5，|3－2m |≠5， 由m 2－m －1＝5，得m 2－m －6＝0，∴m ＝－2或m ＝3.①当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合要求，舍去；②当m ＝3时，|3－2m |＝3，此时，U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}满足∁U A ＝{5}.综上所述m ＝3.(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，且A ⊆(∁U B )，求实数a 的取值范围.解 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，即a <2，此时∁U B ＝R ，所以A ⊆(∁U B ).若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1或x >2a －1}，又A ⊆(∁U B )，所以a ＋1>5或2a －1<－2，所以a >4或a <－12(舍去). 所以实数a 的取值范围为{a |a <2或a >4}.『素养评析』(1)由集合的补集求解参数的方法①有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.②无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.(2)理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.课堂小结1.全集与补集的互相依存关系(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(2)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A ，求A .达标检测1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}『答案』C2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}『答案』D3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}『答案』C4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.『答案』{0,2,3}5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是________. 『答案』∁U A∁U B『解析』∁U A＝{4,5,6，…}，∁U B＝{3,4,5,6，…}，∴∁U A∁U B.。
“正难则反”解题思想举例
‘ ◆
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－◆
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－．
－◆
・◆
－◆
一＋
证明
・ ．
连接 Ａ ，
‘
四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｆ Ｂ Ｄ，Ｅ Ｇ都 是 正 方 形 ．
Ｂ＝ Ｇ＝９ ． ０。
。
．
．
由题 意 知 Ａ Ａ 又 Ａ ＝ Ｈ Ｇ＝ Ｂ， Ｈ Ａ
‘ ． ．
０
Ｄ
Ｃ
Ｄ
ｊ
’
． ．
Ｒ ＡＡ Ｈ￣ Ｒ Ａ Ｈ（ Ｌ ， ｔ Ｇ ｔ Ｂ Ｈ ） Ａ
获得．
例 ２ 已知两 个 正数 的立 方 和是 最 小 的质数 ， 求
证 ： 两个数之和不大于 ２ 这 ．
分析
若设 两个正 数为 ａ ｂ则 ｎ ＋６ ２ 现在 就 、 ， ： ，
是要 在此 条件 下 ， 比较 。＋ｂ与 ２的大 小． 里结 论 已 这
知 ， ｏ＋ ≤２ 而要 加 以证 明 ， 反 证 法 更 适 宜 ． 即 ｂ ， 用
四 、 执 因导 果 反
式从左至右每一项逐级 升幂排列这一 特点 ， 为减 轻计算 负担 ， 取倒序排列方式加 以解决．
解 ： 式 ： 一 ～２ 原 ２ ２ 一２ 一２ 一２ 一２ 一２ ’一２
＋２
：
２ （ 。 ２—１ ）一２ 一２ 一２ 一２ 一２ 一２ 一２ ＋２
． 。＋ 。．
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解题忠想荤铡
… ．
堑焦焦 直拳周１三堑釜 ． 农 Ｉ史 蕊 茔… 董
“ 正难则反” 解题思想 方法 在数学篇题 中时常运用 ，
“正难则反”策略在数学解题中的应用举例
【摘要】解题策略是解答数学问题时，总体上采取的原则、方针或方案。
解题策略不同于具体的解题方法，它是指导方法的原则，是解题途径的概括性认识和宏观把握。
在数学解题时，人们思考的习惯大多是正面的、顺向的。
可是有些数学问题如果正面的、顺向进行，则难以解决，这时就应该转为反面的、逆向思考，这就是正难则反策略。
这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，有着四两拨千斤之巧妙。
本文通过例题对“正难则反”解题策略进行了分析，充分体现了“正难则反”策略在解题时的强大功效。
【关键词】解题策略；正难则反；逆向思维中图分类号：g62文献标识码a文章编号1006-0278（2015）10-168-04一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。
数学家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”。
无独有偶，为了修建一座动物园，决策者特意举行了专家论证会。
关于“怎样才能捉住老虎”这个问题，有专家建议找最勇敢的人并配置最先进的装备；有专家建议挖最隐蔽的陷阱并投放最美味的诱饵；还有的专家建议花重金到别的动物园购买老虎幼仔……但决策者对这些建议均感到不满意。
“我只需要用一个拓扑变换，把笼子内部变成外部，而把外部变成内部。
不管哪里有老虎，都可以用这种办法捉到。
”一位拓扑学家的话使决策者恍然大悟：即使没有办法把老虎关在动物园的笼子里，却完全可以把动物园建到有老虎的地区，让老虎在自然环境下生活，把参观者关进活动的“笼子”，使之在密封的汽车里游览。
要把老虎关进笼子里，的确不是件容易的事，但把游人关进“笼子”里却很简单。
这种思维方式称为“正难则反”。
有许多数学问题，从正面入手不容易找到解决途径，有时虽有线索，但困难重重。
如果改由反面入手，通过逆向的探索常常能出奇制胜。
正难则反——补集思想的一些简单运用
正难则反——补集思想的一些简单运用●基本内容在集合这一节中，我们知道了补集与全集的概念。
我们也了解到，某一个集合的补集必定是相对于某个特定的全集而言的。
而对于某一件事、某一道题，全集是特定的，在已知一个子集的条件下，我们也就有了两个选择，是选择从这个子集即正面入手，还是反过来另辟蹊径，从问题的对立面即反面入手呢？当然，大家都会说，那个简单就选择那个；对，就是这样，反难则易，正难则反。
这个小专题我们讲的就是反面容易、正面很难的情形。
正难则反——补集思想的一些简单运用。
●案例探究例1：已知集合2=-++=∈，若A R-≠∅，求实{4260,}A x x mx m x R数m的取值范围．解题分析：集合A是方程24260-++=①x mx m的实数解组成的集合，A R-≠∅意味着方程①的根有：(i)两负根；(ii)一负根、一零根；(iii)一负根、一正根三种情况．分别求解相当麻烦．上述三种情况虽可概括为方程①的较小的根<，但求解此不等式也并不简单，如果考虑A R -≠∅的反面：A R -=∅，则可先求方程①的两根均非负时m 的取值范围，然后运用补集思想求解A R -≠∅时m 的取值范围．解： 设全集23{168240}{1}2U m m m m m m =∆=--≥=≤-≥或方程24260x mx m -++=的二根12,x x 均非负时的等价条件是：2121231164(26)0,240,0260,3m m m x x m m x x m m ⎧≥≤-⎪⎧∆=-+≥⎪⎪+=≥≥⎨⎨⎪⎪=+≥≥-⎩⎪⎩或m 即 ∴32m ≥∴A R -=∅时，实数m 的取值范围是3{}2m m ≥ ∴A R -≠∅时，实数m 的取值范围是3{}2m m ≥关于U 的补集{1}m m ≤- ∴AR -≠∅时，实数m 的取值范围是{1}m m ≤- [点评]在讨论比较复杂的情况时，可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略．具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合U ，则U 的补集即为所求．一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用补集的思想方法。
巧用“正难则反”策略解决数学问题
巧⽤“正难则反”策略解决数学问题2019-09-16摘要：本⽂通过列举⼀系列例题，分别从证明问题，参数问题，排列组合问题，概率问题，展⽰了在正⾯⼊⼿解题繁琐、困难的情况下，考虑从问题的反⾯切⼊却迎刃⽽解；从“反⾯进攻”往往是攻克数学“堡垒”的有效⽅法。
关键词：策略解题；正难则反；反⾯进攻在解决数学问题的⽅法中，分析法、常量与变量的换位、补集法、反证法、同⼀法等⽅法、技巧都是对“正难则反”的解题策略的应⽤。
这些⽅法技、巧通常是从逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转⾓度等转化⽅法上⼊⼿的。
解题⼀般总是从正⾯⼊⼿，习惯正向思维；但有些数学问题如果从正⾯⼊⼿，求解繁琐、难度较⼤，不妨打破思维常规采⽤“正难则反”策略，即考虑问题的相反⽅⾯，结合补集思想，利⽤“对⽴事件”，往往能开拓解题思路、简化运算过程，下⾯举例说明。
1 证明问题例1：如果⼀个整数的平⽅是偶数，那么这个整数本⾝也是偶数，试证之。
分析：由“ 整数的平⽅是偶数”这个条件，很难直接证明“这个整数本⾝也是偶数”这个结论成⽴，因此考虑从反⾯⼊⼿⽤反证法证明。
证明：假设整数不是偶数，那么可写成n=2κ+1，κ∈Z 则这与已知条件⽭盾，则假设不成⽴，故整数n本⾝也是偶数。
例2：已知函数f（x）对其定义域内的任意两个实数a，b ，当a证明： f（x）=0⾄多有⼀个实数根。
解析：假设f（x）=0⾄少有两个实数根x1，x2，设，则f（x1）所以假设错误，故f（x）=0⾄多有⼀个实数根。
点评：1.1 反证法的步骤：（1）假设命题反⾯成⽴；（2）从假设出发，经过推理得出与题设⽭盾，或者与定义、公理、定理⽭盾；（3）得出假设命题不成⽴是错误的，即所求证命题成⽴。
1.2 ⽭盾的来源：（1）与原命题的条件⽭盾；（2）导出与假设相⽭盾的命题；（3）导出⼀个恒假命题。
1.3 适⽤环境：待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“⾄少”、“⾄多”、“唯⼀”等字眼时。
2 参数问题例3：已知集合P={x│4≤x≤5，x∈R} ，Q ={x│κ+1≤x≤2κ-1，x∈R}，求P∩Q≠Q时，实数κ的取值范围。
“对立统一”,“正难则反”——数学破题技法(六)
“对立统一”，“正难则反” ——数学破题技法（六）哲学上有个“矛盾”概念，所谓矛盾，即事物自身包含的既对立又统一的关系。
简言之，矛盾就是对立统一。
也就是说，矛盾双方，你中有我，我中有你，相互包含，相互贯通，在一定条件下，矛盾双方可以相互转化，这里“关键在于条件”，有了条件，矛盾双方有了转化的可能，数学上的“正难则反”就是一种“转化”。
既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去。
比如：与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立. ▲典例示范【例1】 求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为y 2=2px . 假定此抛物线有渐近线y =kx+b , ∵x =py22, 代入直线方程，化简得：ky 2-2py +2pb =0. ①可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y 0, 那么，y 0→∞,或y y•y '=→1,010令, 方程①化为：2pby ′2-2py ′+k =0. ②方程②应有唯一的零根, y ′=0代入②得：k =0.于是抛物线的渐近线应为y=b . 这是不可能的，因为任意一条与x 轴平行的直线y=b , 都和抛物线有唯一公共点(•b pb,22), 因而y=b 不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.【例2】 设A 、B 、C 是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC 不是正三角形.【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！【解答】 假定△ABC 为正三角形，且A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3)均为整点，不妨设x 2≠x 1, ∵k AB =1212x x y y --, ∴直线AB 的方程为：).(112121x x x x y y y y ---=-即x (y 2-y 1)-y (x 2-x 1)+x 2y 1-x 1y 2=0. 点C (x 3, y 3)到AB 的距离..)()()()(2122122112123123y y x x y x y x x x y y y x d -+--+---=但是|AB |=212212)()(y y x x -+- ∴S △ABC =d AB ∙||21= (x 3y 2-x 2y 3)+(x 2y 1-x 1y 2)+(x 1y 3-x 3y 1).即S △ABC 为有理数. 另一方面， S △ABC =].)()[(43||432122122y y x x AB -+-=①∵|AB |≠0, ∴S △ABC 为无理数. ② ①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例3】 设f (x )=x 2+a 1x +a 2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于.21【分析】 三数中至少有一个不小于21的情况有七种，而三数中“都小于21”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路. 【解答】 假定同时有：| f (1)|<21、| f (2)|<21、 | f (3)|<21, 那么：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-•③217a a 3219•②27a a 229•①21a a 2321a a 392121a a 242121a a 121212121212121 ①+③: -11<4a 1+2a 2<-9 ④ ②×2: -9<4a 1+2a 2<-7 ⑤ ④与⑤矛盾，从而结论成立.【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手。
运用正难则反的补集思想解题
运用正难则反的补集思想解题例1 已知A={x|x2+(k+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+= ，求k的取值范围。
解析：若从正面直接求k的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。
因为方程x2+(k+2)x+1=0的根不可能为零，且两根必定同号，故A∩R+≠的条件是⊿=(k+2)2-4≥0，x1+x2=-(k+2)>0，解得k≤-4。
所以，当A∩R+= 时，k的取值范围是k>-4。
例2.若关于方程a x2-4x+a+1=0至多有一个非负实数根，求实数a的取值范围。
解析：(1)先求问题的反面，再求其补集。
(i)a=0时,方程-4x+1=0,x=1/4,符合题意.(ii)a不=0时,判别式=16 -4a(a+1)>=0,得-1/2-根号17 /2<=a<=-1/ 2+根号17 /2即全集U={a|-1/2-根号17 /2<=a<=-1/2+根号17 /2,a不=0} 如果二个根都是非负根,则有:x1+x2=4/a>=0,得a>0x1x2=(a+1)/a>=0,得a>0或a=<-1即:a>0,设为A={a|a>0}故:至多有一个非负实数根,a的取值范围是:A在U中的补集={a|-1/2-根号17/2<=a<0}综合(i)(ii)得:-1/2-根号17/2<=a<=0“否命题”与“命题的否定形式”区别格式：原命题是“若p则q”否命题是“若非p，则非q”，命题的否定形式是“若p则非q”。
区别：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
注意：对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样，不是“不一定”，而是“一定不”例1. 原命题：（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）面积相等的三角形是全等三角形。
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正难则反的“补集思想”
在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用吗？本文将通过几个例题与大家一起探讨其作用。
例1．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3个，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
分析:画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系．
解:赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A;赞成事
件B 的学生全体为集合B. 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x,则对
A 、
B 都不赞成的学生人数为
3
x ＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30-x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33-x.依题意（30-x ）＋（33-x ）＋x ＋(3x ＋1)= 50，解得x=21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．
评注：在学习集合知识的过程中，经常利用的数形结合方法有Venn 图法、数轴法等，运用数形结合能直观、准确地理解全集、补集的含义以及进行求补集的运算。
如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面。
例2．若方程①x 2-2mx+m 2-m=0；②x 2-（4m+1）x+4m 2+m=0；③4x 2-（12m+4）x+9m 2+8m+12=0中至少有一个
有实根，求m 的范围。
分析：结论中“至少有一个方程有实根”的含义为：可能有一个方程有实根；可能有两个方程有实根；可能三个方程都有实根。
若直接求,须分三大类七种情况,其过程不仅繁杂,而且极易出错,故不宜采用.不妨考虑结论的反面：三个方程都无实根时的情况。
解析：设原问题的反面：三个方程都无实根的范围为A,则原问题的所求m 的范围即为C R A. 三个方程都无实根等价于
⎪⎩⎪⎨⎧<+-=++⨯-+=∆<+=+-+=∆<=--=∆01121612894441201444140444223222212）（）（
）（）（）（）（m m m m m m m m m m m m 解得41211-<<-m . 即A=(41,211--),∴C R A=),41[]211,(+∞-⋃--∞.∴使原结论成立的m 的范围应为21141-≤-≥m m 或. 评注：如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面.也就是正难则反的策略.具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则C u A 便为所求.
例3、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的
范围。
如图
由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或
24a 2+1
a
∴3-≤a 或23≤≤a .
即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}
332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。
例4、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a 。
设A=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例5、若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222π
π
π
+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中
至少有一个大于0.
分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。
证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,
又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立，
∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.
评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。
总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助。