高等代数(第三版)10.1线性函数
白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数
i 1
i 1
则 g( , ) x1 x2
y1
xn
B
y2
,
yn
是V上的一个双线性函数. 为满射.
§10.3 双线性函数
若双线性函数 f ( , ) g( , ), 但 ( f ) ( g).
设 f ( , ) A f (i , j ) ,
第十章 双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数 二、度量矩阵 三、非退化双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数
定义 设V 是数域 P上的n 维线性空间，映射 f :V V P 为 V上的二元函数. 即对 , V , 根据 f 唯一地对应于P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质:
易证 f g, kf 仍为V上双线性函数.
并且 ( f g)(i , j ) f (i , j ) g(i , j )
f g A B f (i , j ) g(i , j ) kf kA k f (i , j )
§10.3 双线性函数
而 A' X 0只有零解 A' 0. 即 A 0, 即 A 非退化.
推论： V , 由 f ( , ) 0 可推出 0,
则 f 非退化.
§10.3 双线性函数
例、设 A P mm , 定义 Pmn 上的一个二元函数 f ( X ,Y ) Tr( X ' AY )nn, X ,Y P mn (1) 证明 f 是 Pmn上得双线性函数； (2) 求 f ( X ,Y ) 在基 E11, , E1n , E21, , E2n , , Em1, , Emn 下的度量矩阵.
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品
第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。
高等代数习题答案
高等代数(北大版第三版)习题答案I I(总95页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY C Y AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1102211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ，于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
高等代数(第三版)10.3双线性函数
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７ 设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 当＝ 时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高代第十章双线性函数与辛空间
§10.1 线性函数
这是因为: ① p1( x) p2( x) pn( x) 线性无关. 事实上，若有
c1 p1( x) c2 p2( x) cn pn( x) 0. 用 ai 依次代入上式则得: ci 0, i 1, 2, , n. p1( x), p2( x), , pn( x) 线性无关.
§10.1 线性函数
1. 对偶基
设 1, 2 , , n为数域 P上线性空间V 的一组基，
作映射
fi ( j )
1, 0,
i i
j j
,
i, j 1,2,
,n
则 fi L(V , P) V *，且
① 对任意 x11 x2 2
xn n V ,
有， fi ( ) xi , i 1, 2, , n
f ( ) x2 f ( 2 ) x2 .
§10.1 线性函数
定理1 设V为数域 P上的一个n 维线性空间，
1, 2 , , n为V的一组基， a1,a2 , ,an 为 P中
任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使
f i ai， i 1,2, ,n.
§10.1 线性函数
证明：映射 f :V P，
pi
(
x)
( x a1) (ai a1 )
( x ai1 )( x ai1 ) (ai ai1 )(ai ai1 )
( x an ) , (ai an )
i 1,2, ,n
则
pi (a j )
1, 0,
ji ji
i 1,2, ,n
且 p1( x), p2( x), , pn( x) 为 P[ x]n的一组基.
§10.1 线性函数
例1.设1, 2 , 3 是线性空间 V 的一组基, f1, f2 , f3
高考数学线性函数知识点梳理
高考数学线性函数知识点梳理线性函数是高中数学中的重要内容，也是高考中经常涉及的一种题型。
掌握线性函数的基本概念和相关知识点，对于解题和分析问题具有很大的帮助。
本文将对高考数学中线性函数的知识点进行梳理，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、线性函数的定义和基本特征线性函数是指函数的定义域上的函数，其表示形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的基本特征有以下几点：1. 线性函数的图像是一条直线，且直线必定经过平面直角坐标系中的一个点。
2. k被称为线性函数的斜率，它表示直线的倾斜程度。
当k>0时，直线是上升的；当k<0时，直线是下降的；当k=0时，直线是水平的。
3. b被称为线性函数的截距，它表示直线与y轴的交点在y轴上的坐标值。
二、线性函数的图像和性质线性函数的图像是一条直线，它具有以下几个重要的性质：1. 平行或重合直线的斜率相等；垂直直线的斜率的乘积为-1。
2. 线性函数图像上的任意两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，斜率k可以通过计算(k = Δy / Δx)得到。
其中Δy = y₂ - y₁，Δx = x₂ - x₁。
3. 线性函数在某一点的值即为该点的纵坐标，也就是f(x)。
三、函数与线性函数的关系函数与线性函数之间存在一定的关系，特别是在函数的求值和函数之间的运算中：1. 当函数f(x)为线性函数时，对于任意给定的x，可以直接通过f(x) = kx + b来求得函数的值。
2. 两个线性函数相加（或相减）的结果仍然是一个线性函数，其斜率是两个函数斜率之和（或差），截距是两个函数截距之和（或差）。
3. 线性函数乘以一个常数后，得到的结果仍然是一个线性函数，其斜率是原函数斜率乘以常数，截距是原函数截距乘以常数。
四、线性函数在实际问题中的应用线性函数在实际问题中有着广泛的应用，特别是在描述和分析变化趋势、确定关系等方面：1. 质点的位移和速度问题：设质点在时间t的位移为s(t)，则s(t)是一个关于时间的线性函数，其斜率表示质点的速度。
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, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任 一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数 对偶空间 二、双线性函数 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节 线性函数
线性函数的定义 线性函数的性质 结论
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一 个线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、 如果 是1，2， ，S
的线性组合：
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
k11 k22
那么
f ( ) k1 f (1 ) k2 f (2 ) ksຫໍສະໝຸດ s , ks f (s )
式中， 是Ｖ中任意元素，ｋ是Ｐ中 任意数，则称f 为Ｖ上的一个线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
注：
线性函数与 线性空间同构、线性变 换、欧氏空间同构三者的区别与联系
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
相同点 线性函数 线性空间 同构 线性变换
不同点 f是V到P上的映射
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
an xn
小 结
线性函数的定义 线性函数的性质 线性函数的存在唯一性
作业：P420：1，2
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
an 0 时,得
f (X ) 0
称为零函数.
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
注: 线性空间 P n 上的任一个线性函数都可表示 为
f ( X ) a1x1 a2 x2 an xn
例2 设
１ ，２ ， 3
是数域P上线性空间
V的一组基，f是V上的一个线性函数，且
f ( ) f ( ) f ( ) f (k ) kf ( )
f是线性空间V到线 性空间W的双射 f是线性空间V的一 个变换 f是欧氏空间V到欧 氏空间W的双射， 且保内积
欧式空间 同构
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
二、线性函数的性质
1、设f是V上的线性函数，则
f (1 2 2 3 ) 4, f (1 3 ) 4, f (1 2 3 ) 2, 求f ( x11 x2 2 x3 3 )
f ( x11 x2 2 x3 3 ) 3x1 x3
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
则 Lt ( p( x)) 是 P[ x] 上的线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
三、线性函数的存在性、唯一性及 表达式
定理1 设V是P上一个n维线性空间，
1， 2， ， n
是V的一组基，则
a1 , a2, （1）对于P中任意n个数，
存在唯一的V上线性函数 f 使 f ( i ) ai (i 1, 2, , n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例1 设
a1, a2 , , an
是P中任意数
ｎ
X ( x1 , x2 ,
, xn )是Ｐ中的向量，
函数
f ( X ) f ( x1, x2 , , xn ) a1x1 a2 x2 an xn
是否做成一个线性函数?
注: 当 a1 a2