主成分分析 实例
主成分分析-实例
§8 实例 实例1计算得1x =71.25，2x =67.5分析1：基于协差阵∑ 求主成分。
369.6117.9117.9214.3S ⎛⎫= ⎪⎝⎭特征根与特征向量（Ｓ无偏，用SPSS ）Factor 1 Factor 2 11x x - 0.880 -0.47422x x -0.474 0.880 特征值 433.12 150.81 贡献率0.7417 0.2583注：样本协差阵为无偏估计11(11)1n n n S X I X n n''=--， 所以，第一、二主成分的表达式为1122120.88(71.25)0.47(67.5)0.47(71.25)0.88(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=--+-⎩ 第一主成分是英语与数学的加权和（反映了综合成绩），且英语的权数要大于数学的权数。
1y 越大，综合成绩越好。
（综合成分）第二主成分的两个系数异号（反映了两科成绩的均衡性）。
不妨将英语称为文科，数学称为理科。
2y 越大，说明偏科（文、理成绩不均衡），2y 越小，越接近于零，说明不偏科（文、理成绩均衡）。
（结构成分）问题：英语的权数为何大？如何解释？ 分析2：基于相关阵R 求主成分。
因为1x =71.25，2x =67.5所以相关阵11R ⎛=⎪⎪⎭解得R 的特征根为：1λ=1.419，2λ=0.581，对应的单位特征向量分别为：Factor 1 Factor 2 111x x s - 0.707 0.707 222x x s - 0.707 -0.707 特征根 1.419 0.581 贡献率0.7090.291所以，第一、二主成分的表达式为12112271.2567.50.7070.70717.9813.6971.2567.50.7070.70717.9813.69x x y x x y --⎧=+=+⎪⎪⎨--⎪=-=-⎪⎩1122120.039(71.25)0.052(67.5)0.039(71.25)0.052(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=---⎩ 1122120.0390.052 6.2730.0390.0520.671y x x y x x =+-⎧⎨=-+⎩ *2*11707.0707.0x x y += *2*12707.0707.0x x y -=基于相关阵的更说明了：第一主成分是英语与数学的加权总分。
主成分分析之PCA
95
M
90
85
80
75
70
65
60 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84
❖ 先假定数据只有二维，即只有两个 变量，它们由横坐标和纵坐标所代表； 因此每个观测值都有相应于这两个坐 标轴的两个坐标值；
❖ 如果这些数据形成一个椭圆形状的 点阵（这在变量的二维正态的假定下 是可能的）.
F简化了系统结构，抓住了主要矛盾。
整理课件
35
稍事休息
§3.4 PCA的性质
一、两个线性代数的结论
1、若A是p阶实对称阵，则一定可以找到正交阵U，使
1 0 0
U1AU
0
2
0
0
0
p
pp
其中 i,i1.2. p是A的特征根。
2、若上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量 为 u1,,up
例 设 x1,x2,x3的协方差矩阵为
1 2 0
2 5 0 0 0 2
解得特征根为
，，
15.8，32 2.00，30.17
0.383
U1
0 .924
0.000
0
U
2
0
1
0 .924
U
3
0
.383
0 .000
第 一 个 主 成 分 的 贡 献 率 为 5.83/ （ 5.83+2.00+0.17 ） =72.875%，尽管第一个主成分的贡献率并不小，但应该取 两个主成分。97.88%
❖ 注意，和二维情况类似，高维椭球的 主轴也是互相垂直的。这些互相正交 的新变量是原先变量的线性组合，叫 做主成分(principal component)。
主成分分析例题5.22
2014-6-16
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13
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由上面的讨论可知，无论是从原始变量协方差矩阵出发求解主成分，还 是从相关矩阵出发求解主成分，均没有涉及到总体分布的问题。也就是说， 与很多多元统计方法不同，主成分分析不要求数据来自于正态总体。实际上， 主成分分析就是对矩阵结构的分析，其中主要用到的技术是矩阵运算的技术 及矩阵对角化和矩阵的谱分解技术。我们知道，对多元随机变量而言，其协 方差矩阵或是其相关矩阵均是非负定的，这样，我们就可以按照求解主成分 的步骤求出其特征值、标准正交特征向量，进而求出主成分，达到缩减数据 维数的目的。同时，由主成分分析的几何意义可以看到，对来自多元正态总 体的数据，我们得到了合理的几何解释，即主成分就是按数据离散程度最大 的方向进行坐标轴旋转。
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但是，对原始数据进行标准化处理后倾向于各个指标的作 用在主成分的构成中相等。由上面的例子我们看到，对于取值 范围相差不大或是度量相同的指标进行标准化处理后，其主成 分分析的结果仍与由协方差阵出发求得的结果有较大区别。其 原因是由于对数据进行标准化的过程实际上也就是抹杀原始变 量离散程度差异的过程，标准化后的各变量方差相等均为1， 而实际上方差也是对数据信息的重要概括形式，也就是说，对 原始数据进行标准化后抹杀了一部分重要信息，因此才使得标 准化后各变量在对主成分构成中的作用趋于相等。由此看来， 对同度量或是取值范围在同量级的数据，还是直接从协方差矩 阵求解主成分为宜。
表5-2
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主成分分析案例聚类分析案例
主成分分析案例/聚类分析案例我国各地区行业结构分析摘要：近年来，我国各行各业得到了高速发展，许多新兴行业也伴随着人们的多样化需求而日益成熟。
文章利用主成分分析、聚类分析、典型相关分析和判别分析方法对我国各地区行业工资进行分析，探讨我国各区域之间行业结构的差异，从而为各地政府根据地区间的行业结构差异制定更加合理的引导性政策提供更加有效的决策依据。
关键词：行业结构主成分分析聚类分析典型相关分析判别分析1.相关经济指标及数据选取1.1相关经济指标本文以2013年我国各地区城镇私营单位就业人员平均工资为标准，选取了农、林、牧、渔业，制造业，电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业，住宿和餐饮业，信息传输、软件和信息技术服务业，金融业，房地产业，租赁和商务服务业，科学研究和技术服务业，水利、环境和公共设施管理业、居民服务、修理和其他服务行业，教育，卫生和社会工作，文化、体育和娱乐业作为标准，对我国各地区的行业结构进行分析。
1.2数据选取本文数据来自2014年中国统计年鉴，由于西藏人烟稀少，缺少数据，因此选取了30个省的部分数据。
表1-1 分地区按行业分城镇私营单位就业人员平均工资(2013年)地区农、林、制造业电力、热力、建筑业批发和零售交通运输、住宿和餐饮信息传输、北京32531 42809 41939 40942 40742 34213 34517 73626 天津41255 42765 34968 39704 40093 48095 38877 46580 河北24198 28983 27760 28852 25345 30108 24783 27827 山西21064 27348 27199 29185 25978 22411 20577 21177 内蒙古31246 33368 41316 35242 29201 40449 29899 33239 辽宁24194 29354 25658 33830 28330 31019 26197 30848 吉林18281 22915 19804 24389 25170 25836 22530 29716 黑龙江18992 24899 24063 27687 23335 22793 22768 26667 上海22722 30443 31231 32413 27420 36601 28119 58420 江苏32507 36188 36986 37051 34213 37625 32144 48032 浙江27932 33186 28185 39113 33766 38760 30096 46003安徽21159 31943 26903 35024 27437 38871 27810 21489 福建30234 35460 29918 39207 33192 40793 28951 46072 江西25854 26924 31275 32085 25652 29388 22678 30168 山东30394 34705 39881 35392 31817 35833 30311 37675 河南19869 23142 23711 27104 23086 24919 21798 22215 湖北17742 25696 26030 27611 23028 23379 23694 33526 湖南23363 27287 32001 29932 23271 25321 23264 35898 广东25709 35646 21670 37488 40866 41074 29401 61935 广西22762 29315 27879 30752 25026 28395 24300 26484 海南16593 27836 20408 33335 29126 37389 27086 29651 重庆27961 35398 34641 36539 32919 34703 27616 38615 四川25127 29652 30099 30850 29149 29386 26066 28671 贵州18034 27183 43575 26704 22260 23913 21155 35040 云南21580 24646 26405 27603 28732 28718 25552 25011 陕西22480 25582 25193 26140 24392 25359 23418 33454 甘肃19319 24212 24873 25256 26544 25435 18656 25994 青海18363 27676 33502 24730 27760 25290 24295 24681 宁夏24172 31638 32293 36178 28035 30101 28544 29269 新疆30308 32990 33911 41001 27373 37746 24646 312792.主成分分析2.1构造因子变量的前提主成分分析的目的是从众多原有变量中提炼少数具有代表性的因自变量。
主成分分析法实例
1、主成分法：用主成分法寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主成分，设有p 个变量，则可找出p 个主成分。
将所得的p 个主成分按由大到小的顺序排列，记为1Y ，2Y ，…，P Y ， 则主成分与原始变量之间存在如下关系：11111221221122221122....................p p p p pp p pp p Y X X X Y X X X Y X X Xγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 式中，ij γ为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从X 到Y 得转换关系是可逆的，很容易得出由Y 到X 得转换关系为：11112121212122221122....................p p p p pp p pp p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Yγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 对上面每一等式只保留钱m 个主成分而把后面的部分用i ε代替，则上式变为：1111212112121222221122....................m m m m p p p mp m p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγεγγγεγγγε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩上式在形式上已经与因子模型相一致，且i Y （i=1,2，…，m ）之间相互独立，且i Y 与i ε之间相互独立，为了把i Y 转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分i Y 变为方差为1的变量。
为完成此变换，必须将i Y 除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根/i i F Y =，12m ，则式子变为：1111122112211222221122....................m m m m p p p pm m p X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷A 矩阵和 初始公因子(未旋转)。
主成分分析法概念及例题
主成分分析法主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法[编辑]什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。
它是一个线性变换。
这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。
主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。
但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。
[编辑]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。
同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。
科普效果是很难具体量化的。
在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。
如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。
因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。
根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。
主成分分析例题
0.68791zf -0.006045 -0.0054031
6
R的特征值及贡献率见下表
特征值 6.1366
贡献率（%） 0.76708
1.0421
0.13027
0.43595
0.054494
0.22037
0.027547
0.15191
0.018988
0.0088274
0.0011034
0.0029624
71.672 29.029 49.278 49.146 75.404 103.02 6.8215 74.523
8.602 4.7846 3.629 3.6747 5.0022 6.8215 1.137 6.7217
101.62 44.023 39.41 38.718 59.723 74.523 6.7217 102.71
0.32113x*1 +0.29516x*2 +0.38912x*3 +0.38472x*4+0.37955x*5 +0.37087x*6 +0.31996x*7 +0.35546x*8 -0.4151x*1-0.59766x*2 +0.22974x*3 +0.27869x*4+0.31632x*5 +0.37151x*6 -0.27814x*7 -0.15684x*8
主成分分析例题
2021/7/28
zf
1
某市为了全面分析机械类14个企业的经济效益，选择了8个不同的利润指标， 14个企业关于这8个指标的统计数据如下表所示，试比较这 14个企业的经济效 益。
2021/7/28
zf
2
表1 14家企业的利润指标的统计数据
主成分分析法例子
x7 0.79 0.009 -0.93 -0.046 0.672 0.658 1 -0.03 0.89
x8 0.156 -0.078 -0.109 -0.031 0.098 0.222 -0.03 1
0.29
x9 0.744 0.094 -0.924 0.073 0.747 0.707 0.89 0.29
▲贡献率:
i
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
▲合计贡献率:
i
k
k 1
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
一般取合计贡献率达85—95%旳特征值 1, 2 ,, m
所相应旳第一、第二、…、第m（m≤p）个主成份。
④各主成份旳得分
l11 l12 l1p x1
Z
l21
l22
l2
p
x2
二主成份z2代表了人均资源量。
③第三主成份z3，与x8呈显出旳正有关程度 最高，其次是x6，而与x7呈负有关，所以能 够以为第三主成份在一定程度上代表了农业 经济构造。
显然，用三个主成份z1、z2、z3替代原来9个变量（x1， x2，…，x9），描述农业生态经济系统，能够使问题更进
一步简化、明了。
x4
0.0042
0.868
0.0037
75.346
x5
0.813
0.444
-0.0011
85.811
x6
0.819
0.179
0.125
71.843
x7
0.933
-0.133
-0.251
95.118
x8
0.197
-0.1
0.97
98.971
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§8 实例 实例1计算得1x =71.25，2x =67.5分析1：基于协差阵∑ 求主成分。
369.6117.9117.9214.3S ⎛⎫= ⎪⎝⎭特征根与特征向量（Ｓ无偏，用SPSS ）Factor 1 Factor 2 11x x - 0.880 -0.47422x x -0.474 0.880 特征值 433.12 150.81 贡献率0.7417 0.2583注：样本协差阵为无偏估计11(11)1n n n S X I X n n''=--， 所以，第一、二主成分的表达式为1122120.88(71.25)0.47(67.5)0.47(71.25)0.88(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=--+-⎩ 第一主成分是英语与数学的加权和（反映了综合成绩），且英语的权数要大于数学的权数。
1y 越大，综合成绩越好。
（综合成分）第二主成分的两个系数异号（反映了两科成绩的均衡性）。
不妨将英语称为文科，数学称为理科。
2y 越大，说明偏科（文、理成绩不均衡），2y 越小，越接近于零，说明不偏科（文、理成绩均衡）。
（结构成分）问题：英语的权数为何大？如何解释？ 分析2：基于相关阵R 求主成分。
因为1x =71.25，2x =67.5所以相关阵11R ⎛=⎪⎪⎭解得R 的特征根为：1λ=1.419，2λ=0.581，对应的单位特征向量分别为：Factor 1 Factor 2 111x x s - 0.707 0.707 222x x s - 0.707 -0.707 特征根 1.419 0.581 贡献率0.7090.291所以，第一、二主成分的表达式为12112271.2567.50.7070.70717.9813.6971.2567.50.7070.70717.9813.69x x y x x y --⎧=+=+⎪⎪⎨--⎪=-=-⎪⎩1122120.039(71.25)0.052(67.5)0.039(71.25)0.052(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=---⎩ 1122120.0390.052 6.2730.0390.0520.671y x x y x x =+-⎧⎨=-+⎩ *2*11707.0707.0x x y += *2*12707.0707.0x x y -=基于相关阵的更说明了：第一主成分是英语与数学的加权总分。
第二主成分是对两科成绩均衡性的度量。
此例说明：基于协差阵与基于相关阵的主成分分析的结果不一致。
结合此例的实际背景，经对比分析可知，基于协差阵的主成分分析更符合实际。
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6x 1：身高 0.469 -0.365 -0.092 -0.122 0.08 -0.786 x2：坐高 0.404 -0.397 -0.613 0.326 -0.027 0.443 x 3：胸围 0.394 0.397 0.279 0.656 -0.405 -0.125 x 4：臂长 0.408 -0.365 0.705 -0.108 0.235 0.371 x 5：肋围 0.337 0.569 -0.164 -0.019 0.731 0.034 x 6：腰围 0.427 0.308 -0.119-0.661 -0.49 0.179 特征值3.287 1.406 0.459 0.426 0.295 0.126 贡献率 0.6373 0.169 0.0719 0.0508 0.0351 0.0091 累计贡献率 0.6373 0.8063 0.87810.9289 0.964 1从第一主成分可看出，各原始变量的载荷均为正，且近似相等。
若1y 较大，则意味着各原始变量也较大，说明身材高大；若1y 较小，则意味着各原始变量也较小，说明身材矮小。
因此，第一主成分1y 可称为（身材）大小成分。
（规模成分）从第二主成分可看出，在“身高*1x 、坐高*2x 、臂长*4x ”等纵向指标上有中等的负载荷，在“胸围*3x 、肋围*5x 、腰围*6x ”等横向指标上有中等的正载荷。
因此，第二主成分2y 可称为体形成分。
（比例成分—纵、横比例）从第三主成分可看出，在“坐高*2x ”上有较大的负载荷，在“臂长*4x ”上有较大的正载荷，而其他变量上的载荷都较小。
故第三主成分基本上是反映的是“坐高*2x ”与“臂长*4x ”的比例。
因此，第三主成分3y 可称为上身比例成分。
（局部比例成分）第四主成分的贡献率较小，实际意义也不好解释，故取前两个或前三个主成分即可。
例、用“消费支出数据”，从样本相关矩阵出发进行主成分分析，食品服装用品医疗通讯文化居住杂项北京2959.19 730.79 749.41 513.34 467.87 1141.82 478.42 457.64 天津2459.77 495.47 697.33 302.87 284.19 735.97 570.84 305.08 河北1495.63 515.9 362.37 285.32 272.95 540.58 364.91 188.63 山西1406.33 477.77 290.15 208.57 201.5 414.72 281.84 212.1 内蒙古1303.97 524.29 254.83 192.17 249.81 463.09 287.87 192.96 辽宁1730.84 553.9 246.91 279.81 239.18 445.2 330.24 163.86 吉林1561.86 492.42 200.49 218.36 220.69 459.62 360.48 147.76 黑龙江1410.11 510.71 211.88 277.11 224.65 376.82 317.61 152.85 上海3712.31 550.74 893.37 346.93 527 1034.98 720.33 462.03 江苏2207.58 449.37 572.4 211.92 302.09 585.23 429.77 252.54 浙江2629.16 557.32 689.73 435.69 514.66 795.87 575.76 323.36 安徽1844.78 430.29 271.28 126.33 250.56 513.18 314 151.39 福建2709.46 428.11 334.12 160.77 405.14 461.67 535.13 232.29 江西1563.78 303.65 233.81 107.9 209.7 393.99 509.39 160.12 山东1675.75 613.32 550.71 219.79 272.59 599.43 371.62 211.84 河南1427.65 431.79 288.55 208.14 217 337.76 421.31 165.32 湖北1783.43 511.88 282.84 201.01 237.6 617.74 523.52 182.52 湖南1942.23 512.27 401.39 206.06 321.29 697.22 492.6 226.45 广东3055.17 353.23 564.56 356.27 811.88 873.06 1082.82 420.81 广西2033.87 300.82 338.65 157.78 329.06 621.74 587.02 218.27 海南2057.86 186.44 202.72 171.79 329.65 477.17 312.93 279.19 重庆2303.29 589.99 516.21 236.55 403.92 730.05 438.41 225.8 四川1974.28 507.76 344.79 203.21 240.24 575.1 430.36 223.46 贵州1673.82 437.75 461.61 153.32 254.66 445.59 346.11 191.48 云南2194.25 537.01 369.07 249.54 290.84 561.91 407.7 330.95 西藏2646.61 839.7 204.44 209.11 379.3 371.04 269.59 389.33 陕西1472.95 390.89 447.95 259.51 230.61 490.9 469.1 191.34 甘肃1525.57 472.98 328.9 219.86 206.65 449.69 249.66 228.19 青海1654.69 437.77 258.78 303 244.93 479.53 288.56 236.51 宁夏1375.46 480.89 273.84 317.32 251.08 424.75 228.73 195.93 新疆1608.82 536.05 432.46 235.82 250.28 541.3 344.85 214.4x5 0.828 0.086 0.585 0.531 1 x6 0.729 0.255 0.856 0.684 0.708 1x7 0.670 -0.201 0.569 0.314 0.800 0.647 1x8 0.877 0.349 0.667 0.628 0.776 0.745 0.525 10.9055 -0.0898 0.3147 -0.1334 -0.1170 -0.0158 -0.0199 0.2023 0.2981 0.8712 0.2515 -0.0968 0.2807 0.0052 0.0204 -0.0154 0.8470 0.0757 -0.3349 -0.3484 -0.0370 0.1956 -0.0550 -0.0282 0.7225 0.4008 -0.3622 0.4199 -0.0321 0.0324 0.0289 0.0833 0.8756 -0.2695 0.2116 0.2331 0.1135 0.0359 -0.2050 -0.0737 0.9163 0.0316 -0.2349 -0.1488 0.0019 -0.2819 -0.0263 -0.0440 0.7367 -0.5768 -0.0257 0.0169 0.3078 0.0321 0.1667 0.0066 0.89480.11160.26180.0684-0.28060.03010.1324-0.1284x 1 0.401 -0.077 -0.415 -0.209 -0.221 0.75 0.065 0.045x2 0.132 0.749 -0.332 -0.152 0.529 -0.057 -0.067 -0.015 x 3 0.375 0.065 0.442 -0.547 -0.07 -0.105 0.181 -0.559 x 4 0.32 0.345 0.478 0.659 -0.061 0.309 -0.095 -0.093 x 5 0.388 -0.232 -0.279 0.366 0.214 -0.273 0.673 -0.103 x 6 0.406 0.027 0.31 -0.233 0.004 -0.163 0.086 0.806 x 7 0.326 -0.496 0.034 0.026 0.58 0.025 -0.548 -0.092 x 8 0.396 0.096 -0.345 0.107 -0.529 -0.476 -0.435 -0.086 特征值 5.098 1.352 0.5750.406 0.281 0.073 0.093 0.122 贡献率 0.6373 0.169 0.07190.0508 0.0351 0.0091 0.0116 0.0153 累计贡献率 0.6373 0.8063 0.87810.9289 0.964 0.9731 0.9848 1从第一主成分可看出，各原始变量的载荷均为正，且近似相等（除了x 2以外），若1y 较大，则意味着各原始变量也较大；若i y 较小，则意味着各原始变量也较小。