主成分分析法matlab实现,实例演示
主成分分析matlab理论+实验
x1
若将该坐标系按逆时针方向旋转某个角度θ变成新坐标系，变 换公式为
Y1 X 1 cos X 2 sin Y2 X 1 sin X 2 cos
y2 x2
y1
x1
记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m<p）为新
变量指标
z1 a11 x1 a12 x2 L a1 p x p z2 a21 x1 a22 x2 L a2 p x p ............ z a x a x L a x m1 1 m2 2 mp p m
七. 主成分分析的应用
1. 综合评价 进行综合评价时，如何选择评价指标以及对这些指标进 行综合评价？一般做法是通过对各指标加权的办法。 由于主成分分析能从选定的指标体系中归纳出大部分信 息，根据主成分提供的信息进行综合评价，不失为一个可行 的选择。
利用主成分进行综合评价时，对主成分进行加权综合， 权数根据其方差贡献率确定 。
例5-3 用Matlab自带数据进行主成分分析，数据文件. hald文件包含影响温度的4个因素，保存在ingredients变量 中。代码见5.3.m
第一步：考虑变量之间相关性 load hald %载入Matlab 自带的数据文件 corrcoef(ingredients) % 自变量相关系数矩阵 ans = 1.0000 0.2286 -0.8241 -0.2454 0.2286 1.0000 -0.1392 -0.9730 -0.8241 -0.1392 1.0000 0.0295 -0.2454 -0.9730 0.0295 1.0000 第二步：主成分分析 [pc,score,latent,tsquare]=princomp(ingredients)
最新主成分分析及matlab实现
1．将原始数据标准化。这里不妨设上边矩阵已 标准化了。
2．建立变量的相关系数阵：
rij
n
(xki xi )(xkj xj )
k1
n
n
(xki xi )2 (xkj xj )2
k1
k1
3．求R的特征根 及相应的单位特征向量：
主成分分析及matlab实现
问题的提出：
在实际问题研究中，多变量问题是经常 会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题 的难度与复杂性，而且在许多实际问题中， 多个变量之间是具有一定的相关关系的。
因此，人们会很自然地想到，能否在相 关分析的基础上，用较少的新变量代替原来 较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽 可能多地保留原来变量所反映的信息？
1 1 .9 9 9 ,2 0 .9 9 8 ,3 0 .0 0 3
前2个主成分的累计贡献率在99%以上，故取2个主成分（ x
* i
表示xi的标准化变量）：
Z10.7063x* 10.0435x2 *0.7065x3 *,
Z20.0357x* 10.9990x2 *0.0258x3 *
由主成分回归得到的标准化回归方程为
第一步 将原始数据标准化。 第二步 建立指标之间的相关系数阵R如下
第三步 求R的特征值和特征向量。
从上表看，前3个特征值累计贡献率已达89．564％， 说明前3个主成分基本包含了全部指标具有的信息，我们 取前3个特征值，并计算出相应的特征向量：
因而前三个主成分为： 第一主成分：
第二主成分：
x1
149.3 161.2 171.5 175.5 180.8 190.7 202.1 212.4 226.1 231.9 239.0
matlab主成分分析案例
1•设随机向量X= (X i , X 2, X 3)T 的协方差与相关系数矩阵分别为1 4，R4 25分别从，R 出发，求X 的各主成分以及各主成分的贡献率并比较差异况。
解答： >> S=[1 4;4 25];>> [P C,vary,ex plain ed]=p cacov(S); 总体主成分分析：>> [P C,vary,ex plain ed]=p cacov(S) 主成分交换矩阵： PC =-0.1602 -0.9871 -0.9871 0.1602 主成分方差向量： vary = 25.6491 0.3509各主成分贡献率向量 explained = 98.6504 1.3496则由程序输出结果得出，X 的主成分为: Y 1=-0.1602X 1-0.9871X 2 Y 2=-0.9871X 1+0.1602X 2两个主成分的贡献率分别为：98.6504%, 1.3496%;贝U 若用第一个主成分代替原 来的变量，信息损失率仅为1.3496，是很小的。
2.根据安徽省2007年各地市经济指标数据，见表 5.2，求解： (1) 利用主成分分析对17个地市的经济发展进行分析，给出排名; (2) 此时能否只用第一主成分进行排名？为什么？1 0.8 0.8 11.0000 0.9877 0.9980 0.9510 0.9988 0.9820 0.4281 0.9999解答：(1)>> clear>> A=[491.70,380.31,158.39,121.54,22.74,439.65,344.44,17.43;21.12,30.55,6.40,12.40,3.31,21.17,17.71,2.03;1.71,2.35,0.57,0.68,0.13,1.48,1.36,-0.03;9.83,9.05,3.13,3.43,0.64,8.76,7.81,0.54;64.06,77.86,20.63,30.37,5.96,63.57,52.15,4.71;30.38,46.90,9.19,9.83,17.87,28.24,21.90,3.80;31.20,70.07,8.93,18.88,33.05,31.17,26.50,2.84;79.18,62.09,20.78,24.47,3.51,71.29,59.07,6.78;47.81,40.14,17.50,9.52,4.14,45.70,34.73,4.47;104.69,78.95,29.61,25.96,5.39,98.08,84.81,3.81;21.07,17.83,6.21,6.22,1.90,20.24,16.46,1.09;214.19,146.78,65.16,41.62,4.39,194.98,171.98,11.05;31.16,27.56,8.80,9.44,1.47,28.83,25.22,1.05;12.76,14.16,3.66,4.07,1.57,11.95,10.24,0.73;6.45,5.37,2.39,2.20,0.40,5.97,4.79,0.52;39.43,44.60,15.17,15.72,3.27,36.03,27.87,3.48;5.02,3.62,1.63,1.42,0.53,4.45,4.04,0.02];得到的相关系数矩阵为：>> R=corrcoef(A)R =0.9877 1.0000 0.9884 0.9947 0.5438 0.9885 0.9835 0.94850.9988 0.9884 1.0000 0.9824 0.4294 0.9984 0.9948 0.94620.9820 0.9947 0.9824 1.0000 0.5051 0.9829 0.9763 0.93910.4281 0.5438 0.4294 0.5051 1.0000 0.4311 0.4204 0.45570.9999 0.9885 0.9984 0.9829 0.4311 1.0000 0.9986 0.95300.9980 0.9835 0.9948 0.9763 0.4204 0.99861.0000 0.95690.9510 0.9485 0.9462 0.9391 0.4557 0.9530 0.9569 1.0000计算特征值与特征向量：>> [v,d]=eig(corrcoef(A))V 一-0.3723 0.1179 0.1411 -0.2543 -0.0459 0.5917 -0.5641 0.3041-0.3741 -0.0343 0.1606 0.2247 -0.1514 -0.6284 -0.1535 0.5841-0.3719 0.1152 0.1957 -0.1954 -0.6909 -0.1351 0.0383 -0.5244-0.3713 0.0096 0.2368 0.7875 0.2168 0.2385 0.0303 -0.2845-0.1949 -0.9689 -0.0004 -0.1242 0.0119 0.0628 0.0151 -0.0593-0.3725 0.1143 0.1222 -0.2302 0.0924 0.2259 0.7946 0.2988-0.3716 0.1272 0.0353 -0.3800 0.6591 -0.3521 -0.1557 -0.3428-0.3613 0.0596 -0.9185 0.1165 -0.0872 0.0302 0.0022 -0.0096d =7.11350 00 00 0 0.77700.08100 0.02370 0.00410 0 0 0 0.00000 0 0.0001各主成分贡献率:>> w=sum(d)/sum(sum(d))计算各个主成分得分:>> F=[A-ones(17,1)*mean(A)]*v(:,8)224.3503 -24.0409 -40.0941 -35.9075 4.7573 -12.6102 -2.85731.8038 -13.9012 13.4541 -29.3847 62.3383 -23.3175 -32.4285 -38.1309 -14.8637 -39.1675>> [F1,I1]=sort(F,'descend')F1按从大到小的顺序给个主成分得分排名: F1 = 224.35030.8892 0.0971 0.0000 0.00000.0101 0.0030 0.0005 0.00010.000662.338313.45414.75731.8038 -2.8573 12.6102 13.9012 14.8637 23.3175 24.0409 29.3847 32.4285 35.9075 38.1309 39.1675 -40.0941I1 给出各个名次的序号：I1 =1121058769161321114415173 >> [F2,I2]=sort(I1)F2 =34567891011121314151617I2 给出个城市排名，即所求排名：I2 =1111714476583122101315916（2）由于第一主成分的贡献率大于80%，其他各成分贡献率都太小，所以只能用第一主成分进行排名。
主成分分析方法及matlab运用解释
主成分分析方法在许多实际问题中,多个变量之间就是具有一定的相关关系的。
因此,我们就会很自然地想到,能否在各个变量之间相关关系研究的基础上,用较少的新变量代替原来较多的变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上,这种想法就是可以实现的,这里介绍的主成分分析方法就就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。
一、主成分分析的基本原理主成分分析就是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法,从数学角度来瞧,这就是一种降维处理技术。
假定有n 个地理样本,每个样本共有p 个变量描述,这样就构成了一个n×p 阶的地理数据矩阵:111212122212p p n n np x x x x x x X x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩L L L L L LL (1)如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？要解决这一问题,自然要在p 维空间中加以考察,这就是比较麻烦的。
为了克服这一困难,就需要进行降维处理,即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标,而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息,同时它们之间又就是彼此独立的。
那么,这些综合指标(即新变量)应如何选取呢？显然,其最简单的形式就就是取原来变量指标的线性组合,适当调整组合系数,使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。
如果记原来的变量指标为x 1,x 2,…,x p ,它们的综合指标——新变量指标为z 1,z 2,…,zm(m≤p)。
则11111221221122221122,,.........................................,p p p p m m m mp p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L (2)在(2)式中,系数l ij 由下列原则来决定:(1)z i 与z j (i≠j ;i,j=1,2,…,m)相互无关;(2)z 1就是x 1,x 2,…,x p 的一切线性组合中方差最大者;z 2就是与z 1不相关的x 1,x 2,…,x p 的所有线性组合中方差最大者;……;z m 就是与z 1,z 2,……z m-1都不相关的x 1,x 2,…,x p 的所有线性组合中方差最大者。
matlab主成分分析案例
1.设随机向量X=（X 1，X 2，X 3）T 的协方差与相关系数矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑25441，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=18.08.01R 分别从∑，R 出发，求X 的各主成分以及各主成分的贡献率并比较差异况。
解答：>> S=[1 4;4 25];>> [PC,vary,explained]=pcacov(S); 总体主成分分析：>> [PC,vary,explained]=pcacov(S) 主成分交换矩阵： PC =-0.1602 -0.9871 -0.9871 0.1602 主成分方差向量： vary = 25.6491 0.3509各主成分贡献率向量 explained = 98.6504 1.3496则由程序输出结果得出，X 的主成分为： Y 1=-0.1602X 1-0.9871X 2 Y 2=-0.9871X 1+0.1602X 2两个主成分的贡献率分别为：98.6504%，1.3496%；则若用第一个主成分代替原来的变量，信息损失率仅为1.3496，是很小的。
2.根据安徽省2007年各地市经济指标数据，见表5.2，求解： （1）利用主成分分析对17个地市的经济发展进行分析，给出排名； （2）此时能否只用第一主成分进行排名？为什么？解答：（1）>> clear>> A=[491.70,380.31,158.39,121.54,22.74,439.65,344.44,17.43;21.12,30.55,6.40,12.40,3.31,21.17,17.71,2.03;1.71,2.35,0.57,0.68,0.13,1.48,1.36,-0.03;9.83,9.05,3.13,3.43,0.64,8.76,7.81,0.54;64.06,77.86,20.63,30.37,5.96,63.57,52.15,4.71;30.38,46.90,9.19,9.83,17.87,28.24,21.90,3.80;31.20,70.07,8.93,18.88,33.05,31.17,26.50,2.84;79.18,62.09,20.78,24.47,3.51,71.29,59.07,6.78;47.81,40.14,17.50,9.52,4.14,45.70,34.73,4.47;104.69,78.95,29.61,25.96,5.39,98.08,84.81,3.81;21.07,17.83,6.21,6.22,1.90,20.24,16.46,1.09;214.19,146.78,65.16,41.62,4.39,194.98,171.98,11.05;31.16,27.56,8.80,9.44,1.47,28.83,25.22,1.05;12.76,14.16,3.66,4.07,1.57,11.95,10.24,0.73;6.45,5.37,2.39,2.20,0.40,5.97,4.79,0.52;39.43,44.60,15.17,15.72,3.27,36.03,27.87,3.48;5.02,3.62,1.63,1.42,0.53,4.45,4.04,0.02];得到的相关系数矩阵为：>> R=corrcoef(A)R =1.0000 0.9877 0.9988 0.9820 0.4281 0.9999 0.9980 0.95100.9877 1.0000 0.9884 0.9947 0.5438 0.98850.9835 0.94850.9988 0.9884 1.0000 0.9824 0.4294 0.99840.9948 0.94620.9820 0.9947 0.9824 1.0000 0.5051 0.98290.9763 0.93910.4281 0.5438 0.4294 0.5051 1.0000 0.43110.4204 0.45570.9999 0.9885 0.9984 0.9829 0.4311 1.00000.9986 0.95300.9980 0.9835 0.9948 0.9763 0.4204 0.99861.0000 0.95690.9510 0.9485 0.9462 0.9391 0.4557 0.95300.9569 1.0000计算特征值与特征向量：>> [v,d]=eig(corrcoef(A))v =-0.3723 0.1179 0.1411 -0.2543 -0.0459 0.5917-0.5641 0.3041-0.3741 -0.0343 0.1606 0.2247 -0.1514 -0.6284-0.1535 0.5841-0.3719 0.1152 0.1957 -0.1954 -0.6909 -0.13510.0383 -0.5244-0.3713 0.0096 0.2368 0.7875 0.2168 0.23850.0303 -0.2845-0.1949 -0.9689 -0.0004 -0.1242 0.0119 0.06280.0151 -0.0593-0.3725 0.1143 0.1222 -0.2302 0.0924 0.22590.7946 0.2988-0.3716 0.1272 0.0353 -0.3800 0.6591 -0.3521-0.1557 -0.3428-0.3613 0.0596 -0.9185 0.1165 -0.0872 0.03020.0022 -0.0096d =7.1135 0 0 0 0 0 0 00 0.7770 0 0 0 0 0 00 0 0.0810 0 0 0 0 00 0 0 0.0237 0 0 0 00 0 0 0 0.0041 00 00 0 0 0 0 0.0006 0 00 0 0 0 0 00.0000 00 0 0 0 0 0 0 0.0001各主成分贡献率：>> w=sum(d)/sum(sum(d))w =0.8892 0.0971 0.0101 0.0030 0.0005 0.00010.0000 0.0000计算各个主成分得分：>> F=[A-ones(17,1)*mean(A)]*v(:,8)F =224.3503-24.0409-40.0941-35.90754.7573-12.6102-2.85731.8038-13.901213.4541-29.384762.3383-23.3175-32.4285-38.1309-14.8637-39.1675>> [F1,I1]=sort(F,'descend')F1按从大到小的顺序给个主成分得分排名：F1 =224.350362.338313.45414.75731.8038-2.8573-12.6102-13.9012-14.8637-23.3175-24.0409-29.3847-32.4285-35.9075-38.1309-39.1675-40.0941I1给出各个名次的序号：I1 =1121058769161321114415173>> [F2,I2]=sort(I1)F2 =1234567891011121314151617I2给出个城市排名，即所求排名：I2 =1111714476583122101315916（2）由于第一主成分的贡献率大于80%，其他各成分贡献率都太小，所以只能用第一主成分进行排名。
主成分分析PCA(含有详细推导过程以和案例分析matlab版)
主成分分析法(PCA)在实际问题中.我们经常会遇到研究多个变量的问题.而且在多数情况下.多个变量之间常常存在一定的相关性。
由于变量个数较多再加上变量之间的相关性.势必增加了分析问题的复杂性。
如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量.既能够代表原始变量的绝大多数信息.又互不相关.并且在新的综合变量基础上.可以进一步的统计分析.这时就需要进行主成分分析。
I. 主成分分析法(PCA)模型（一）主成分分析的基本思想主成分分析是采取一种数学降维的方法.找出几个综合变量来代替原来众多的变量.使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量.而且彼此之间互不相关。
这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。
主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量.重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。
通常.数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合.作为新的综合变量.但是这种组合如果不加以限制.则可以有很多.应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F .自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息.这里“信息”用方差来测量.即希望)(1F Var 越大.表示1F 包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的.故称1F 为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息.再考虑选取2F 即第二个线性组合.为了有效地反映原来信息.1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中.用数学语言表达就是要求0),(21 F F Cov .称2F 为第二主成分.依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。
（二）主成分分析的数学模型 对于一个样本资料.观测p 个变量p x x x ,,21.n 个样品的数据资料阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211()p x x x ,,21=其中：p j x x x x nj j j j ,2,1,21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=主成分分析就是将p 个观测变量综合成为p 个新的变量（综合变量）.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=ppp p p p pp p p x a x a x a F x a x a x a F x a x a x a F 22112222121212121111 简写为：p jp j j j x x x F ααα+++= 2211p j ,,2,1 =要求模型满足以下条件：①j i F F ,互不相关（j i ≠.p j i ,,2,1, =） ②1F 的方差大于2F 的方差大于3F 的方差.依次类推 ③.,2,1122221p k a a a kp k k ==+++于是.称1F 为第一主成分.2F 为第二主成分.依此类推.有第p 个主成分。
主成分分析及matlab实现
事实上，这种想法是可以实现的，主成分 分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力 的工具。
主成分分析是把原来多个变量划为少数几 个综合指标的一种统计分析方法。
从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
例如，某人要做一件上衣要测量很多尺寸，如 身长、袖长、胸围、腰围、肩宽、肩厚等十几 项指标，但某服装厂要生产一批新型服装绝不 可能把尺寸的型号分得过多 ？而是从多种指标
1．将原始数据标准化。这里不妨设上边矩阵已 标准化了。方法
2．建立变量的相关系数阵：
rij
n
(xki xi )(xkj xj )
k1
n
n
(xki xi )2 (xkj xj )2
k1
k1
3．求R的特征根 及相应的单位特征向量：
4．写出主成分
计算主成分贡献率及累计贡献率
✓ 贡献率
i
p
① zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相 互无关；
② z1是x1，x2，…，xP的一切线性组合 中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…， xP的所有线性组合中方差最大者;…; zm是与 z1，z2，……，zm－1都不相关的x1，x2，…xP， 的所有线性组合中方差最大者。
则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原 变量指标x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第 m主成分。
k
k1
(i 1,2, , p)
✓累计贡献率
i
k
k 1
p
k
k 1
(i 1,2, , p)
一般取累计贡献率达85%~95%的特征值 1,2,,m
所对应的第1、第2、…、第m（m≤p）个主成分。
三、 实例演示
例 对全国30个省市自治区经济发展基 本情况的八项指标作主成分分析，原始 数据如下：
主成分分析法例子与matlab中的应用
主成分分析法例子与matlab 中的应运可联系我邮箱 ******************1.概述主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太 多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
1.1主成分分析计算步骤① 计算相关系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211 （1）在（3.5.3）式中，r ij （i ，j=1，2，…，p ）为原变量的xi 与xj 之间的相关系数，其计算公式为∑∑∑===----=nk nk j kji kink j kj i kiij x xx xx x x xr 11221)()())(( （2）因为R 是实对称矩阵（即r ij =r ji ），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。
② 计算特征值与特征向量首先解特征方程0=-R I λ，通常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值),,2,1(p i i =λ，并使其按大小顺序排列，即0,21≥≥≥≥pλλλ ；然后分别求出对应于特征值i λ的特征向量),,2,1(p i e i =。
这里要求i e =1，即112=∑=pj ij e ，其中ij e 表示向量i e 的第j 个分量。
③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分i z 的贡献率为),,2,1(1p i pk ki=∑=λλ累计贡献率为),,2,1(11p i pk kik k=∑∑==λλ一般取累计贡献率达85—95%的特征值m λλλ,,,21 所对应的第一、第二，…，第m （m ≤p ）个主成分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用Matlab 编程实现主成分分析1.概述Matlab 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活力的软件。
它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。
它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。
Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。
主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
1.1主成分分析计算步骤① 计算相关系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211（1）在（3.5.3）式中，r ij （i ，j=1，2，…，p ）为原变量的xi 与xj 之间的相关系数，其计算公式为∑∑∑===----=nk nk j kji kink j kj i kiij x xx xx x x xr 11221)()())(( （2）因为R 是实对称矩阵（即r ij =r ji ），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。
② 计算特征值与特征向量首先解特征方程0=-R I λ，通常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值),,2,1(p i i =λ，并使其按大小顺序排列，即0,21≥≥≥≥pλλλ ；然后分别求出对应于特征值i λ的特征向量),,2,1(p i e i =。
这里要求i e =1，即112=∑=pj ij e ，其中ij e 表示向量i e 的第j 个分量。
③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分i z 的贡献率为),,2,1(1p i pk ki=∑=λλ累计贡献率为),,2,1(11p i pk kik k=∑∑==λλ一般取累计贡献率达85—95%的特征值m λλλ,,,21 所对应的第一、第二，…，第m （m ≤p ）个主成分。
④ 计算主成分载荷 其计算公式为),,2,1,(),(p j i e x z p l ij i j i ij ===λ （3）得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m z z z z z z z z z Z 212222111211（4）2.程序结构及函数作用在软件Matlab 中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab 种自带程序实现。
下面主要主要介绍利用Matlab 的矩阵计算功能编程实现主成分分析。
2.1程序结构2.2函数作用Cwstd.m ——用总和标准化法标准化矩阵Cwfac.m ——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果3.源程序3.1 cwstd.m总和标准化法标准化矩阵%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵function std=cwstd(vector)cwsum=sum(vector,1); %对列求和[a,b]=size(vector); %矩阵大小,a为行数,b为列数for i=1:afor j=1:bstd(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j);endend3.2 cwfac.m计算相关系数矩阵%cwfac.mfunction result=cwfac(vector);fprintf('相关系数矩阵:\n')std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n')[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)newval=diag(val) ;[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引fprintf('特征根排序：\n')for z=1:length(y)newy(z)=y(length(y)+1-z);endfprintf('%g\n',newy)rate=y/sum(y);fprintf('\n贡献率：\n')newrate=newy/sum(newy)sumrate=0;newi=[];for k=length(y):-1:1sumrate=sumrate+rate(k);newi(length(y)+1-k)=i(k);if sumrate>0.85 break;endend %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));fprintf('主成分载荷：\n')for p=1:length(newi)for q=1:length(y)result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));endend %计算载荷disp(result)3.3 cwscore.m%cwscore.m,计算得分function score=cwscore(vector1,vector2);sco=vector1*vector2;csum=sum(sco,2);[newcsum,i]=sort(-1*csum);[newi,j]=sort(i);fprintf('计算得分：\n')score=[sco,csum,j]%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果3.4 cwprint.m%cwprint.mfunction print=cwprint(filename,a,b);%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数(样本数)，b为矩阵列数(变量指标数) fid=fopen(filename,'r')vector=fscanf(fid,'%g',[a b]);fprintf('标准化结果如下：\n')v1=cwstd(vector)result=cwfac(v1);cwscore(v1,result);4.程序测试4.1原始数据中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据见下表。
4.2运行结果>> cwprint('cwbook.txt',35,10)fid =6数据标准化结果如下：v1 =0.0581 0.0356 0.0435 0.0680 0.0557 0.1112 0.1194 0.1184 0.1083 0.1392 0.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0483 0.0499 0.0534 0.0544 0.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0151 0.0314 0.0252 0.0183 0.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0087 0.0174 0.0234 0.0158 0.0097 0.0263 0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0045 0.0062 0.0111 0.0075 0.0315 0.0375 0.0305 0.0198 0.0213 0.0376 0.0243 0.0398 0.0357 0.0278 0.0253 0.0295 0.0443 0.0286 0.0295 0.0468 0.0304 0.0334 0.0248 0.0233 0.0321 0.0242 0.0437 0.0203 0.0132 0.0233 0.0153 0.0212 0.0270 0.0213 0.0431 0.0276 0.0628 0.0142 0.0184 0.0184 0.0206 0.0285 0.0455 0.0316 0.0610 0.0440 0.0488 0.1853 0.0176 0.1086 0.1848 0.1148 0.0888 0.1352 0.0250 0.0318 0.0233 0.0444 0.0391 0.0273 0.0284 0.0251 0.0300 0.0327 0.0286 0.0212 0.0334 0.0408 0.0490 0.0285 0.0192 0.0328 0.0255 0.0285 0.0250 0.0152 0.0337 0.0361 0.0609 0.0251 0.0215 0.0232 0.0164 0.0199 0.0200 0.0190 0.0148 0.0085 0.0134 0.0037 0.0100 0.0072 0.0125 0.00890.0271 0.0163 0.0508 0.0223 0.0243 0.0175 0.0200 0.0222 0.0183 0.01640.0060 0.0290 0.0079 0.0195 0.0102 0.0063 0.0179 0.0093 0.0124 0.01590.0197 0.0237 0.0162 0.0078 0.0101 0.0078 0.0072 0.0117 0.0164 0.01160.0259 0.0243 0.0350 0.0214 0.0162 0.0287 0.0197 0.0182 0.0220 0.01820.0327 0.0220 0.0562 0.0391 0.0367 0.0416 0.0282 0.0220 0.0273 0.02320.0286 0.0204 0.0160 0.0180 0.0286 0.0165 0.0166 0.0227 0.0223 0.01680.0344 0.0349 0.0286 0.0255 0.0268 0.0377 0.0259 0.0254 0.0393 0.03170.0271 0.0185 0.0270 0.0105 0.0239 0.0140 0.0139 0.0153 0.0183 0.01440.0318 0.0370 0.0377 0.0793 0.0603 0.0582 0.0754 0.0901 0.0482 0.07350.0056 0.0472 0.0071 0.0692 0.0240 0.0104 0.0791 0.0421 0.0240 0.04560.0133 0.0242 0.0170 0.0039 0.0141 0.0080 0.0064 0.0097 0.0119 0.00900.0025 0.0497 0.0011 0.0024 0.0146 0.0057 0.0049 0.0072 0.0050 0.00480.1428 0.0123 0.0983 0.0292 0.1437 0.0613 0.0385 0.0402 0.0590 0.03870.0466 0.0199 0.0456 0.0200 0.1100 0.0479 0.0240 0.0331 0.0350 0.02900.0149 0.0271 0.0085 0.0076 0.0430 0.0101 0.0085 0.0079 0.0146 0.01010.0220 0.0230 0.0187 0.0123 0.0154 0.0294 0.0224 0.0182 0.0232 0.02030.0313 0.0244 0.0174 0.0125 0.0283 0.0238 0.0175 0.0259 0.0300 0.02130.0134 0.0324 0.0061 0.0100 0.0050 0.0116 0.0073 0.0117 0.0173 0.01330.0062 0.0311 0.0016 0.0024 0.0048 0.0036 0.0021 0.0038 0.0072 0.00530.0044 0.0340 0.0040 0.0022 0.0058 0.0029 0.0032 0.0036 0.0063 0.00430.0074 0.0491 0.0019 0.0063 0.0073 0.0221 0.0109 0.0105 0.0146 0.0125相关系数矩阵:std =1.0000 -0.3444 0.8425 0.3603 0.7390 0.6215 0.4039 0.4967 0.6761 0.4689 -0.3444 1.0000 -0.4750 0.3096 -0.3539 0.1971 0.3571 0.2600 0.1570 0.3090 0.8425 -0.4750 1.0000 0.3358 0.5891 0.5056 0.3236 0.4456 0.5575 0.3742 0.3603 0.3096 0.3358 1.0000 0.1507 0.7664 0.9412 0.8480 0.7320 0.8614 0.7390 -0.3539 0.5891 0.1507 1.0000 0.4294 0.1971 0.3182 0.3893 0.2595 0.6215 0.1971 0.5056 0.7664 0.4294 1.0000 0.8316 0.8966 0.9302 0.9027 0.4039 0.3571 0.3236 0.9412 0.1971 0.8316 1.0000 0.9233 0.8376 0.9527 0.4967 0.2600 0.4456 0.8480 0.3182 0.8966 0.9233 1.0000 0.9201 0.9731 0.6761 0.1570 0.5575 0.7320 0.3893 0.9302 0.8376 0.9201 1.0000 0.9396 0.4689 0.3090 0.3742 0.8614 0.2595 0.9027 0.9527 0.9731 0.9396 1.0000特征向量(vec)：vec =-0.1367 0.2282 -0.2628 0.1939 0.6371 -0.2163 0.3176 -0.1312 -0.4191 0.2758 -0.0329 -0.0217 0.0009 0.0446 -0.1447 -0.4437 0.4058 -0.55620.5487 0.0593-0.0522 -0.0280 0.2040 -0.0492 -0.5472 -0.4225 0.3440 0.3188 -0.4438 0.2401 0.0067 -0.4176 -0.2856 -0.2389 0.1926 -0.4915 -0.4189 0.2726 0.2065 0.3403 0.0404 0.1408 0.0896 0.0380 -0.1969 -0.0437 -0.4888 -0.6789 -0.4405 0.1861 -0.0343 0.2360 0.0640 -0.8294 0.0377 0.2662 0.1356 -0.1290 0.0278 0.3782 0.2981 0.4739 0.5685 0.2358 0.1465 -0.1502 -0.2631 0.1245 0.2152 0.3644 0.1567 0.3464 -0.6485 0.2489 -0.4043 0.2058 -0.0704 0.0462 0.1214 0.3812 0.4879 -0.5707 0.1217 0.1761 0.0987 0.3550 0.3280 -0.0139 0.0071 0.3832 -0.7894 -0.1628 0.1925 0.2510 -0.0422 0.2694 0.0396 0.0456 0.1668 0.3799特征值(val)val =0.0039 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0240 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.0307 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.0991 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0.1232 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0.2566 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0.3207 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.5300 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2.3514 00 0 0 0 0 0 0 0 0 6.2602特征根排序：6.260222.351380.5300470.3206990.2566390.1232410.09909150.03070880.02403550.00393387各主成分贡献率：newrate =0.6260 0.2351 0.0530 0.0321 0.0257 0.0123 0.0099 0.0031 0.0024 0.0004第一、二主成分的载荷：0.690 1 -0.64270.148 3 0.84140.600 7 -0.68050.851 5 0.31670.465 6 -0.67540.946 3 0.04260.911 7 0.32990.953 7 0.18620.958 9 0.01090.950 6 0.2558第一、二、三、四主成分的得分：score =0.718 5 0.049 9 0.768 4 2.00000.380 6 0.038 6 0.419 2 4.00000.184 8 -0.043 3 0.141 4 21.00000.118 6 0.031 1 0.149 7 20.00000.054 9 0.011 5 0.066 4 33.00000.228 8 0.007 0 0.235 8 7.000 00.2364 -0.0081 0.2283 10.00000.1778 -0.0167 0.1611 16.00000.2292 -0.0337 0.1955 14.00000.8382 0.1339 0.9721 1.00000.2276 0.0064 0.2340 8.00000.2279 -0.0222 0.2056 12.00000.1989 -0.0382 0.1607 18.00000.0789 -0.0061 0.0728 32.00000.1711 -0.0317 0.1394 23.00000.0926 0.0266 0.1192 25.00000.0900 -0.0000 0.0899 28.00000.1692 -0.0082 0.1610 17.00000.2441 -0.0318 0.2124 11.00000.1507 -0.0108 0.1399 22.00000.2316 0.0012 0.2328 9.00000.1294 -0.0211 0.1083 27.00000.4716 0.0328 0.5045 3.00000.2737 0.0834 0.3570 5.00000.0754 -0.0013 0.0741 31.00000.0448 0.0349 0.0797 30.00000.4759 -0.2028 0.2731 6.00000.2907 -0.0883 0.2024 13.00000.0944 -0.0118 0.0826 29.0000《计量地理学》（徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导0.1546 0.0035 0.1581 19.00000.1718 -0.0092 0.1626 15.00000.0865 0.0230 0.1095 26.00000.0349 0.0216 0.0566 35.00000.0343 0.0228 0.0572 34.00000.0889 0.0422 0.1310 24.000068。