纠错码的基本概念
纠错码原理与方法
纠错码原理与方法纠错码是一种通过特定算法和编码方式，可以在数据传输过程中检测和纠正错误的技术。
它广泛应用于通信、存储、数字电视和计算机存储介质等领域，在保证数据完整性和可靠性的同时，提高了数据传输的效率。
本文将重点介绍纠错码的原理和方法。
一、纠错码的原理在数据传输过程中，由于信号传输过程中会受到干扰和噪声的影响，从而导致数据出现错误。
为保证数据的完整性和可靠性，需要引入纠错码技术进行校验和纠正。
纠错码的原理主要是通过添加冗余信息，对原始数据进行编码，从而在数据传输过程中进行误差检测和纠正。
二、纠错码的方法目前，常用的纠错码方法主要包括海明码、码距、循环冗余检验码(CRC)和卷积码等。
不同的方法在实际应用中表现各异，根据具体需求和数据特征选择适合的纠错码方法。
1. 海明码海明码是最早被广泛应用的纠错码方法之一，它通过将原始数据进行重复编码，添加奇偶校验位，从而实现了数据的纠错和检测。
海明码的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行二进制编码。
(2) 确定每个校验位控制的数据位，根据数据位反转次数的奇偶性确定校验位的值。
(3) 计算每个数据位和相应的校验位的奇偶性并组成一个编码。
(4) 将编码中出现错误的位置进行纠正。
2. 码距码距是另一种常用的纠错码方法，它通过在编码中保持相邻状态之间的距离，从而在数据传输过程中实现检测和纠正。
码距的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行编码。
(2) 确定编码之间的距离，当两个编码之间的距离超过指定的阈值时，可以检测和纠正数据的错误。
3. CRCCRC是一种不可逆的编码方式，它通过采用多项式除法的方法，对数据进行编码和校验。
它的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 选择一个固定的生成多项式，对原始数据进行除法运算，得到余数。
(2) 将余数追加到原始数据之后，形成校验码。
(3) 在数据传输过程中，对校验码进行取模运算，如果余数为0，则数据没有错误，否则存在错误，需要进行纠正。
第1章 纠错码的基本概念
现代编码技术
刘原华 liuyuanhua@
1
第一章 纠错码的基本概念
• 课程性质：学位课 课程性质： • 课程课时：48（3学分） 课程课时： （ 学分 学分） • 考试形式：闭卷（平时成绩 考试形式：闭卷（平时成绩30%、试卷成 、 绩70%） ） • 参考书目： 参考书目：
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第一章 纠错码的基本概念 发送序列C: 1111100000 + 错误图样E： 0110110000 接收序列R： 1001010000 即R＝C+E， 或E=R-C。 若C序列长为n， 则信道中可能产生的错误图样E共有2n种。 C n E 2 若为突发信道，则在错误图样E中，第一个1与最后一个1之 间的长度称为突发长度，其图样称为突发图样。在该例中，突发 图样是(11011)， 突发长度为5。
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第一章 纠错码的基本概念 – 信道：信号由发送端传输到接收端的媒介。典型的传 输信道有明线、电缆、高频无线信道、微波通道和光 纤通道等；典型的存储媒介有磁芯、磁鼓、磁盘、磁 带等。 – 噪声源：对传输信道或存储媒介构成干扰的来源的总 称。干扰和噪声往往具有随机性，所以信道的特征也 可以用概率空间来描述；而噪声源的统计特性又是划 分信道的依据： • 加性干扰，它是由外界原因产生的随机干扰，它与 信道中传送的信号的统计特性无关，因而信道的输 出是输入和干扰的叠加 • 乘性干扰：信道的输出信号可看成输入信号和一个 时变参量相乘的结果
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第一章 纠错码的基本概念 除了上述三种主要方式以外， 还有所谓狭义信息反馈系统 (IRQ)。 这种方式是接收端把收到的消息原封不动地通过反馈信 道送回发送端，发送端比较发送的与反馈回来的消息，从而发 现错误，并且把传错的消息再次传送，最后达到使对方正确接 收消息的目的。 为了便于比较，我们把上述几种方式用图 1 - 10所示的框图 表示。图中，有斜线的方框表示在该端检出错误。
常用的纠错码
常用的纠错码纠错码（Error Correction Code）是一种用于检测和纠正数据传输过程中出现的错误的技术。
在数据传输、存储和处理中，由于噪声、干扰等原因，数据往往会发生错误。
纠错码通过在原始数据中添加冗余信息，使得接收方在接收到含有错误的数据时，能够通过冗余信息来检测和纠正这些错误，从而提高数据的可靠性和完整性。
常用的纠错码有海明码（Hamming Code）、RS码（Reed-Solomon Code）、BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Code）等。
下面将分别对这些纠错码进行介绍。
海明码是一种最早被广泛应用的纠错码。
它通过在原始数据中添加冗余位，使得接收方能够检测并纠正单个比特的错误。
海明码的基本思想是将原始数据划分成若干个数据块，并为每个数据块添加冗余位。
接收方在接收到数据时，通过对数据块和冗余位进行异或运算，可以检测出错误的位置，并进行纠正。
海明码的纠错能力较强，能够纠正多个比特的错误。
RS码是一种广泛应用于数字通信和存储系统中的纠错码。
RS码采用了一种更加复杂的编码方式，能够在数据中添加更多的冗余信息，从而使得接收方能够纠正更多的错误。
RS码的基本原理是将原始数据看作一个多项式，并通过计算多项式的值来生成冗余信息。
接收方在接收到数据时，通过计算多项式的值，并使用一定的算法来解码，从而可以检测和纠正错误。
BCH码是一种开发于二十世纪六十年代的纠错码。
BCH码是一种能够纠正多个错误的纠错码，同时也是一种具有较低复杂度的纠错码。
BCH码的基本原理是将原始数据看作一个多项式，并通过计算多项式的值来生成冗余信息。
接收方在接收到数据时，通过计算多项式的值，并使用一定的算法来解码，从而可以检测和纠正错误。
除了海明码、RS码和BCH码，还有很多其他的纠错码，如卷积码、Turbo码等。
这些纠错码在不同的应用场景中具有不同的优势。
卷积码是一种连续时间码，适用于通信系统中的高速数据传输。
纠错码
编码距离与纠错检测的关系
几个基本概念 码重:码组中“1”的个数成为码组的重量。 码距 :两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离。我们把 某种编码中各个码组之间距离最小值称为最小码距（d0）。一种编码 的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力。
1011101 与 1001001 之间的码距是 2。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误
比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误
000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两个码组
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一个错码。
译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否发生错误或纠正 错误，恢复原始信息序列。
纠错编码的分类
按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分组码与非分组码如 卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
1 1 n 1 0
v v ，若对任一 v a , a ,, a v 恒有 v a ,, a , a v ，则称 vn ,k 为循环码。
n,k n
0 1 n 1
n,k
n,k
在下表中给出了一种（7,3）循环码的全部码组
卷积码
把信源输出的信息序列，以个 k 0(k 0 通常小于 k)码元分为一段，通过 编码器输出长为 n 0(≥k 0 )一段的码段。 但是该码段的 n 0 k 0 个校验 元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的信息元有关，称m为 编码存贮。因此卷积码用(n 0， k 0， m)表示。
信息论与编码第八章1
T
H=[ Q I ] G=[ I P]
I I T Q P T 0 P
只有当PT=Q或P=QT时等式才成立。
例
(6,3)线性分组码，其生成矩阵是
1 1 1 0 1 0 G 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
定义8.2 对于2k个n长码字全体构成的分组码， 其码字中的k位称为信息位，n-k位称为校验位 或监督位。
线性分组码：监督元与信息元之间的关系可用 一组线性方程组来描述的(n, k)分组码。
编码效率：一个组中信息所占的比重。
k R n
– k：信息码元的数目 – n：编码组码元的总数目 – r：监督码元的数目
n = k+ r
定义8.3若（n，k）分组码中k个信息位同原始k 个信息位相同，且位于n长码字的前（或后）k位， 为校验位位于其后（或前），则称该分组码为系 统码，否则为非系统码。 定义8.4两个序列之间的汉明距离定义为两个序 列之间对应位不同的位数。 例如：α和β为码组X中的两个不同码字，X为一 个长度为N的二元码组，其中：
第8章 纠错编码
8.1纠错编码的基本概念 8.2纠错编码的分类 8.3线性分组码
8.4循环码
8.1 纠错编码的基本概念
• 信源编码提高数字信号有效性 将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩) • 信道编码提高数字通信可靠性 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的 传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往 往会产生误码。 目的在于提高通信（或存储）的可靠性，减 低误码率。
令 H=
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
信息论与编码纠错第7章
设长为n的二元码元序列集为：
c0，c1， ，cn-1 n k
序列个数：2n ≥2k
1．分组编码：
在长为n的二元序列集中 c0，c1， ，cn-1 选出与消息序列数2k相同数
目的码元序列，并使两者一一对应。
几个概念：
r c0
2．汉明距离的性质
① 自反性： a Vn (F2 )，d(a，a) 0
② 对称性： a，b Vn (F2 )，d (a，b ) d (b，a)
③ 三角不等式：a，b，c Vn (F2 ) d (a，b ) d (b，c ) d (a，c )
二．分组码的检、纠错能力与最小汉明距离之间的关系
①
收到接收字 r 后，通过计算
字 的c j 汉明距离最小，则
r与各码字 c之i 间的汉明距离，如 与r码字 最c像j ，译码器将 译r成
r。r与c某j 一码
② 极大似然译码基础：收到的字是从一个码字经错传尽可能少的位而来的 可能性较从一个码字经错传较多的位而来的可能性要大。故通过判断汉明 距离来译码，符合极大似然译码规则。
0
1 - pe
0
pe
pe
1
1 - pe
1
有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成群、成 串地出现，表现出错误之间有相关性，称为突发错误。下图就是这种信道的 一个模型。
1 - q1
S1
0
1 - p1
p1
p1 1
1 - p1
好好好
q1
q1 << q2
q2
S2
1 - q2
0
0
1 - p2
c1 f1 u0，u1， ，uk-1
纠错码 原理与方法
纠错码原理与方法纠错码是一种在数据传输和存储过程中用来检测和纠正错误的编码方式。
在数字通信系统中，由于噪声、干扰等因素的存在，数据很容易出现错误。
纠错码的设计就是为了能够在数据传输或存储中检测出错误并进行纠正，从而保证数据的可靠性和完整性。
本文将介绍纠错码的原理和常见的纠错方法。
一、纠错码的原理。
纠错码的原理是通过在数据中添加冗余信息，使得接收端可以利用这些冗余信息来检测和纠正错误。
最常见的纠错码原理是利用线性代数的方法来构造纠错码。
通过将数据按照一定规则进行编码，使得数据中包含了冗余信息，然后在接收端利用这些冗余信息进行错误检测和纠正。
二、常见的纠错方法。
1. 奇偶校验码。
奇偶校验码是最简单的一种纠错码。
它的原理是在数据中添加一个校验位，使得整个数据的位数中1的个数为偶数或奇数。
在接收端，通过检测数据中1的个数来确定数据是否出现错误。
如果数据中1的个数不符合规定，则说明数据出现错误。
2. 海明码。
海明码是一种能够检测和纠正多位错误的纠错码。
它的原理是通过在数据中添加多个校验位，并且这些校验位之间的关系是互相独立的。
在接收端，通过对这些校验位进行计算，可以检测出错误的位置，并进行纠正。
3. 重叠纠错码。
重叠纠错码是一种能够纠正连续多个错误的纠错码。
它的原理是将数据分成多个子块，然后对每个子块进行编码。
在接收端，通过对每个子块进行解码，可以检测出错误并进行纠正。
4. BCH码。
BCH码是一种广泛应用于数字通信系统中的纠错码。
它的原理是通过在数据中添加一定数量的校验位，使得可以检测和纠正特定数量的错误。
BCH码具有很好的纠错性能和编码效率，因此在很多通信系统中得到了广泛应用。
三、总结。
纠错码作为一种重要的数据传输和存储技术，在现代通信系统中得到了广泛的应用。
通过在数据中添加冗余信息，纠错码能够有效地检测和纠正错误，从而保证数据的可靠性和完整性。
在实际应用中，不同的纠错码方法有着不同的特点和适用范围，需要根据具体的应用场景来选择合适的纠错码方法。
纠错编码的基本原理与性能
纠错编码的基本原理与性能
1．分组码的基本原理
（1）分组码的定义
分组码是指将信息码分组，为每组信码附加若干监督码（即差错控制码）的编码方式。
（2）分组码的结构
分组码一般用符号（n，k）表示，其中n是码组的总位数，又称码组的长度（码长），k 是码组中信息码元的数目，n－k＝r为码组中的监督码元数目，又称监督位数目。
图11-1 分组码的结构
（3）分组码的参量
①码重
码重是指分组码中“1”的个数目。
②码距
码距是指两个码组中对应位上数字不同的位数，又称汉明距离。
③最小码距
最小码距是指编码中各个码组之间距离的最小值。
2．纠错编码的基本原理
最小码距d0的大小直接关系编码的检错和纠错能力：
（1）为检测e个错码，要求最小码距
（2）为纠正t个错码，要求最小码距
（3）为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距
码距与纠错和检错能力的关系如图11-2所示。
图11-2 码距与检错和纠错能力的关系
纠错编码的性能
1．误码率的改善
采用纠错编码，误码率得到很大改善，改善的程度和所用的编码有关。
2．信噪比的改善
对于给定的传输系统，为
式中，R B为码元速率。
3．带宽增大
监督码元加入，发送序列增长，冗余度增大，若保持信息码元速率不变，则传输速率增大，系统带宽增大。
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– 编码基础（3学时） – 代数基础（3学时） – 线性分组码（15学时） – 卷积码以及应用（15学时） – Turbo码以及应用（3学时） – LDPC编码（6学时）
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第一章 纠错码的基本概念
第一章 纠错码的基本概念
1.1 数字通信系统的组成及信道模型 1.2 差错控制系统和纠错码分类 1.3 最大似然译码和纠错码的基本概念 1.4 信道编码定理
图 1 - 1 数字通信系统模型
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第一章 纠错码的基本概念
– 信源：产生消息和消息序列的来源。消息可以是离散 的，也可以是连续的（数据、文字、语言、图像）， 通常信源的消息序列是随机发生的，因此要用随机变 量来描述。
– 信源编码器：将信源的输出进行适当的变换，转换成 为二进制(多进制)形式的信息序列，以提高信息传输的 有效性。
p(0 | 0) p(1| 0)L p(q 2 | 0) p(q 1| 0)
P
p(0 |1) p(1|1)L p(q 2 |1) p(q 1|1)
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第一章 纠错码的基本概念
图 1 – 5 二进制信道
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第一章 纠错码的基本概念
图 1 - 6 DMC信道
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第一章 纠错码的基本概念
在作删除判决情况下，信道可用图 1- 7所示的模型表示， 称为BEC，一般它也是对称信道。图中， pe为信道的转移概率， q为删除概率，在有删除处理情况下， 信道的转移概率pe一般 很小，可忽略，因此把图1-7所示的模型用图 1-8代替，称为二 进制纯删除信道。以后所说的BEC都是指这种信道。
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第一章 纠错码的基本概念
– 解调器：从载波中提取信号，变成二进制(或多进制)信 息序列，是调制的逆过程。
– 信道译码器：利用信道编码时所提供的多余度，检查 或纠正数字序列中的错误。
– 信源译码器：把经过信道译码器核对过的信息序列恢 复成原来的消息。
– 信宿：消息传送的对象 （人或机器 ）
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第一章 纠错码的基本概念
– 信道编码器：对信源编码器的输出进行变换，用增加 多余度的方法提高信道的抗干扰能力，以提高信息传 输的可靠性。
– 调制器：将信道编码器输出的数字序列变换为振幅、 频率或相位受到调制控制的形式，以适合在信道中进 行较长距离的传输。
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第一章 纠错码的基本概念
– 信道：信号由发送端传输到接收端的媒介。典型的传 输信道有明线、电缆、高频无线信道、微波通道和光 纤通道等；典型的存储媒介有磁芯、磁鼓、磁盘、磁 带等。
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第一章 纠错码的基本概念
§1.1 数字通信系统的组成及信道模型
一、 通信的目的是要把对方不知道的消息及时可靠地(有时还须 秘密地)传送给对方。 如何较合理地解决可靠性与速度这一对矛盾， 是正确设计 一个通信系统关键问题之一。 通信理论本身(包括纠错码)也正 是在解决这对矛盾中不断发展起来的。
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第一章 纠错码的基本概念
– 噪声源：对传输信道或存储媒介构成干扰的来源的总 称。干扰和噪声往往具有随机性，所以信道的特征也 可以用概率空间来描述；而噪声源的统计特性又是划 分信道的依据： • 加性干扰，它是由外界原因产生的随机干扰，它与 信道中传送的信号的统计特性无关，因而信道的输 出是输入和干扰的叠加 • 乘性干扰：信道的输出信号可看成输入信号和一个 时变参量相乘的结果
下三种判决方法：一是勉强作出是0还是1的判决，即所谓硬判
决；另一种是对该码元暂且不作判决，而输出一个未知或待定
的信号“x”，称其为删除符号；第三种方法是输出一种有关该
码元的信息，例如关于0和1的后验概率或似然函数，这种作法
称为软判决。
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第一章 纠错码的基本概念
图 1 – 3 11000发送的已调信号波形
第一章 纠错码的基本概念
• 课程性质：学位课 • 课程课时：48（3学分） • 考试形式：闭卷（平时成绩30%、试卷成
绩70%） • 参考书目：
– 纠错码---原理与应用 王新梅等 – 无线通信调制与编码 王军选等 – 其它编码类书籍
1
第一章 纠错码的基本概念
• 课程内容
– 什么是编码 – 为什么要编码 – 编码的应用
应当指出，当码元作删除处理时，它在序列中的位置是已 知的，仅不知其值是0还是1，故对这种BEC信道的纠错要比 BSC信道容易。
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第一章 纠错码的基本概念
图 1 - 7 二进制删除信道
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第一章 纠错码的基本概念
我们关心的是图中的信道编、译码器即纠错编、译 码器两个方框，为了研究方便，将上述模型再进一步简 化。
信源
信源 编码器
信道 编码器
调制器
等效离散信 源
信道编码器
信
噪声源
道
信宿 等效信宿
信源 译码器
信道 译码器
信道译码器
解调器
编码信道
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第一章 纠错码的基本概念
图 1 - 2 数字通信系统简化模型
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第一章 纠错码的基本概念 二、
现在以图1-2的模型来讨论二进制数字序列通过该系统时所 发生的情况。
设从信源送出字母A，它的二进制序列为11000， 以基带信 号传送， 经发射机调制后，送往信道的已调信号如图 1 - 3所示。 由于信道的干扰， 从信道输出端的信号产生了失真， 如图 1 - 4 所示。
对第三个码元来说，由于失真严重而难于判决。这时有以
描述。如果p01=p10=pe，则称这种信道为二进制对称信道，简称 BSC。否则，称为不对称信道。若p01或p10等于零，则称为Z信 道。通常BSC是一种无记忆信道，所以也称随机信道， 它说明 数据序列中出现的错误彼此无关。
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第一章 纠错码的基本概念
如果信道的输入是二进制符号，而输出是离散的q(q＝pm≥2) 进制符号，如图 1 - 6所示，且p(i｜0)＝p(q-1-i｜1)，i＝0， 1，…， q-1，则这种信道称为离散无记忆信道(DMC)，显然BSC是DMC 的一种特殊情况。 DMC的信号波形
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第一章 纠错码的基本概念
在二进制硬判决情况下，信道可用图 1 - 5所示的简单模型 表示。图中，p01和p10分别是0错成1和1错成0的概率， 称信道转 移概率。该信道的信道转移概率矩阵可用
P
p00
p01
1
p01
p01
p10 p11 p10 1 p10