第3讲数据的检错与纠错

停发等侯重发： 原理简单，发送过程是间歇式的，数据传输 效率不高，仍在计算机通信中应用。 返回重发： 传输效率比停发等候系统有很大改进，在很 多数据传输系统中得到应用。 选择重发： 传输效率最高，但要求较为复杂的控制，在 收、发两端都要求有数据缓存器，价格也最贵。
信源
编码器
正向 通道 前向纠错 正向 通道

对于一个给定的有扰信道，若该信 道容量为 C ，则只要信道中的信息传 输速率 R 小于 C ，就一定存在一种编 码方式，使编码后的误码率随着码长 n 的增加按指数下降到任意小的值。 或者说只要 R<C，就存在传输速率为 R的纠错码。
2.3.2 差错控制方式



前向纠错（FEC） 检错重发（ARQ） 混合纠错（HEC）
例题


已知6个码组为：0000000，0001011， 0010101，0011110，0100110，101101。 求其间的最小码距dmin和能检出和纠正的 错码数t。 dmin=3 纠错：要求最小码距d02t+1 则 t=1
结论



要提高纠错检错能力，必须增大最小码 距。 用码率R=k/n表征编码效率。最小码距越 大，编码效率越低。 编码理论要解决的问题就是找出许用码 的集合，既要纠错能力强，又要编码效 率高。
a0 an1 an2 an3
a1

奇校验码：监督码元a0
a0 an1 an2 an3
a1 1
垂直监督码和水平监督码
I 11 I 21 I p1 r1 I 12 I 22 I 1q I 2q
I 11 I 21 I p1 I 12 I 22 I 1q r1 I 2 q r2
NAK 4
传输 5 6 2
3
4
5
6
7
8
9 t
(b) 返回重发 发送端 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15
传输 接收端 1 2* 3
NAK 4
t 7 8 9 10 11 12 13 t
传输 5 6 2
(c) 选择重发
检错重发的三种工作方式
检错重发三种工作方式的比较
分组码
分组码：将信息码分组，为每组信息码附加若 干监督码的编码，可用符号（n，k）表示。 分组码结构： 设码长n，信息位k，监督位r，有n=k+r。 n位线性分组码元

c1
c2
c3
ck
· · · · · · · · ·
cn
· · · · · · · · ·
d1
d2
d3
dk
k位信息码元
r位监督码元
2.3.3 常用差错控制编码方法

奇偶校验码 恒比码 汉明码 循环码
奇偶校验码



奇偶校验码又称奇偶监督码，是最简单、最常用的 检错码。有奇数监督码和偶数监督码两种。 特点：奇偶校验编码只需在信息码后加一位校验位 （又称监督位），使得码组中“1”的个数为数或 偶数即可。奇偶监督码能够检测奇数个错码。 偶校验码：监督码元a0
K位要发送的信息码对应一个 k-1次多项式K （X），r位冗余位对应r-1次多项式R（X）,由 k位信息码后面加上r位冗余位组成的n=k+r位 码字则对应于一个n-1次多项式： T（X）=Xr· K（X）+ R（X）。

举例


信息位： 1011001 → K（X）= X6+ X4 + X3+ 1 冗余位： 1010 → R（X）= X3+ X 码字： 10110011010 → T（X）=X4· K（X）+ R（X） = X10+ X8 + X7+ X4+ X3+ X 以上多项式中的“+”都是模2加。
前向纠错（FEC）

收、发信之间只有一条单向通道（正向信道）。 实现纠错的唯一办法是传送纠错码。 可以在收端及时纠正差错，它要求的监督码多且 复杂，效率低，常用于误码较少的单向信道。
信源 正向 通道 前向纠错 用户
编码器
译码器
检错重发（ARQ）

发送端经编码后，发出能够检错的码；接收端收到后，在 通过反向信道反馈给发送端一个应答信号；发送端收到应 答信号后，进行分析，若是接收端认为有错，发送端就把 信源 用户 正向 存储在缓冲存储器中的原有码组复本读出，重新传输；如 编码器 译码器 通道 此重复，直至接收端接收到正确的信息为止。
例题

对于（n,k）汉明码，k=6，若要求能纠 正一位错误，则所需监督位r至少多少位？
要求2r k+r+1 可得 r=4

循环码(CRC码)


如果一个码组的每一次循环移位是另一 码组，这种码组叫做循环码。 循环码可以用线性方程确定。
循环码的生成

CRC码在发送端编码和接收端校验时，均可用 事先约定的生成多项式G(X)来得到。
检错方法


信道上发送的码字多项式T（X）=Xr· K （X）+ R（X），若传输过程无错，那 么，接收到的码字多项式能被G（X）整 除。 （即余式为零）。 除法是模2除法。
例题


在数据传输过程中，若收到发送方送来 的信息为10110011010，生成多项式为 G(X)=X4+ X3+ 1,接受方收到的数据是否 正确？ T（X）= X10+ X8+ X7+ + X4 + X3+ X T（X）/ G（X）= X6+ + X5 + X3+ X 可以整除，故接收正确

差错控制技术的核心是采用高效的纠错检 错编码方法。

差错控制编码的基本思想（Shannon第二定律）： 在数字信号序列中加入一些冗余码元，这些冗 余码元不含有通信信息，但与信号序列中的信息码 元有着某种制约关系，这种关系在一定程度上可以 帮助人们发现或纠正在信息序列中出现的错误也就 是误码，从而起到降低误码率的作用


举例（续2）



增加冗余度，只取两个作为许用码组： 000（晴） 111（雨） 可以检测两个以下的错误，并能纠正一位错误。 如收到011时，若只有一个错误，则判断错码在 第一位，纠正为111。 但若错误码数不超过两位，则存在两种可能， 000错两位和111错一位均可能变为011，因此只 能检错，而无法纠错。
（三）CRC16=X16+ X12+ X5+ 1
（四）CRC32=X32+ X26+ X23+ X22 + X16+ X10+ X8+ X7 + X5+ X4+ X2 + X + 1
2.3.4 差错控制的应用



差错控制技术的应用，要视具体情况而 定。 当出现少量错码在接收端能够纠正时， 可采用前向纠错法（FEC）纠正，当错 码较多超过纠正能力，但可以检测时， 就可以用反向纠错法。 通常应对整个系统全面考虑后才能决定 采用哪种技术。
恒比码

恒比码又称定比码。在恒比码中，每个码组 中“1” 的数目和“0”的数目保持恒定的比 例。故在收端只需检测接收码组中“1”的个 数是否正确。其纠错能力比奇偶监督码强。
汉明码



线性码是一种将信息位和监督位由一些线性代数 方程联系在一起的编码。 线性分组码：也称为（n，k）线性码，可用线性 方程组表述规律性的分组码。 汉明码是线性码的一种。 设总码长为n，信息位为k，监督位数为r=n-k ； 若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示 一位错码的n个可能的位置，则要求 ： 2r-1n 或 2r k+r+1
I p 2 I pq r2 rq
I p 2 I pq rp
垂直奇偶监督码
水平奇偶监督码
水平偶校验码表
按 列 发 送
二维奇偶监督码
按 列 发 送
二维奇偶监督码
能够检测出全部奇数个错码和大部分偶数个错码。但无法检 出在水平垂直方向上都成偶数的那些错码，例如构成矩形的 四个顶点位置上的错码就无法检出。

举例
例如：3位二进制数构成的码组集合为23=8种 不同的码组，即，000，001，010，011， 100，101，110，111，下面分三种情况来讨 论： • 若8组都作为有用的码组，如表示天气， 000（晴），001（云），010（阴），011 （雨），100（雪），101（霜），110 （雾），111（雹），那么其中任一码组出 错都会变成另一码组，接收端将无法识别哪 一组出错。
举例（续1）

若只取其中4个码组作为许用码组： 000（晴）、011（云）、101（阴）、110（雨） 当000中错一位，变为100、010或001，而这三种码组都 是禁用码组，故可判定出错。 当出现三个错误时000变为111，它也是禁用码组。 若发生两个错误，如000变为011，则无法判断对错。 只能识别错误，但无法纠错，因为在收到100时，000， 101和110都可能变为100。
译码器
用户
混合纠错
信源

将前向纠错和检错重发方式的结合。当在该码 的纠错能力范围内时，自动纠正；当错误过多， 反向 通道 超出其纠错能力时，反馈重发。
检错重发 正向 通道 反向 通道 混合纠错 图2.3-1差错控制的基本方式 用户
编码器
缓冲与 控制
译码器
缓冲与 控制
用户
信源
ARQ
FEC
FEC
ARQ
2.3.2 纠错检错码的基本原理