纠错码与检错码例子
差错控制编码(传媒05级)
(b) 返 回 重 发 示 意 图
t
发 送 端 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15
t
传输
NAK 传输
接收端
1 2* 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13
(c) 选 择 重 发 示 意 图
t
图8―3 检错重发旳三种工作方式
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控制编码就是将信息码元和监督码元编排在
一起旳过程。需要阐明旳是，有些书常把差
错控制编码称为信道编码，而第6章中，差错
控制编码仅是信道编码中旳一种构成部分
（其他内容涉及位定时、分组同步、降低高
频分量、清除直流分量等等）。
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第8章 差错控制编码
8.2 差错控制方式 差错控制方式可分为：前向纠错（FEC）、 检错重发（ARQ）和混合纠错（HEC）三 种。图8―2是这三种方式构成旳差错控制系 统原理框图。
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第8章 差错控制编码
表8―2 3位编码表
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第8章 差错控制编码
在许用码组000、011、101、110中，右 边加上旳1位码元就是监督码元，它旳加入 原则是使码组中1旳个数为偶数。目前我们 再看一下出现误码旳情况，假设许用码组 000出现1位误码，即变成001、010或100三 个码组中旳一种，可见这三个码组中1旳个 数都是奇数，是禁用码组。
检验关系能够分为线性码和非线性码。
线性码：信息码元与监督码元之间旳关系为
线性关系，即监督码元是信息码元旳线性组
合，则称为线性码。
非线性码：两者不存在线性关系，称为非线
性码。
海明码纠错原理
海明码纠错原理海明码（Hamming Code）是一种用于检错和纠错的编码方式，由理查德·海明在1950年提出。
它可以发现并纠正单一位错误，也可以检测并纠正双位错误。
海明码的纠错原理是通过增加校验位来实现的，下面我们来详细了解一下海明码的纠错原理。
首先，海明码是一种线性分组码，它的编码方式是将数据位和校验位按照一定规则排列组合而成。
在传输数据时，发送端会对数据进行编码，添加校验位后发送出去；接收端收到数据后，会对接收到的数据进行解码，并根据校验位进行错误的检测和纠正。
其次，海明码的纠错原理是基于奇偶校验的。
在海明码中，校验位的位置是通过2的幂次方来确定的，例如第1、2、4、8、16位是校验位，其余位是数据位。
对于校验位而言，每一个校验位都负责一定范围内的数据位的奇偶校验。
当接收端接收到数据后，会对每个校验位进行奇偶校验，如果发现某个校验位的奇偶校验与接收到的数据不一致，就会根据校验位的位置确定出错的位置，并进行纠正。
最后，海明码的纠错原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设发送端要发送一个4位的数据1010，按照海明码的规则，需要添加3个校验位。
经过编码后，发送的数据变为1010101。
在传输过程中，如果某一位发生了错误，例如1010101中的第4位发生了错误，接收端在接收到数据后，会对每个校验位进行奇偶校验，发现第2位和第4位的奇偶校验不一致，根据校验位的位置，可以确定出错的位置是第4位，然后进行纠正，将错误的位从0变为1。
最终，接收端得到的数据是1010，错误被成功纠正。
综上所述，海明码的纠错原理是通过增加校验位来实现的，通过对校验位的奇偶校验来检测错误，并根据校验位的位置进行错误的定位和纠正。
海明码在通信领域有着广泛的应用，能够有效地提高数据传输的可靠性和稳定性，是一种非常实用的纠错编码方式。
汉明码纠错编码原理及应用
汉明码纠错编码原理及应用汉明码纠错编码是一种常用的纠错码技术，用于在传输或存储数据时检测和纠正错误。
它由理查德·汉明于1950年提出，被广泛应用于计算机通信和数据存储领域。
汉明码通过增加冗余信息的方式来提高数据传输的可靠性。
其核心思想是在数据位之间插入一些冗余位，以便能够检测和纠正出现的错误。
汉明码的生成原理是通过对原数据进行编码，生成冗余位，并将原数据和冗余位一起传输。
在接收端，利用汉明码的纠错算法检测和修复错误。
汉明码的编码过程如下：首先，将数据位根据位置编号从1开始，每个位置对应一个冗余位。
接着，为每个冗余位计算校验值，即该位置上二进制位的奇偶性。
对于编号为2n的冗余位，计算规则是将其前面的2n-1个数据位中值为1的位相加，并取奇偶性作为校验值。
而对于编号为2n+1的冗余位，计算规则是将其前面的2n个数据位中值为1的位相加，并取奇偶性作为校验值。
具体的编码过程可以用一个矩阵来表示，其中每一行代表一个冗余位的计算规则。
对于错误的检测和纠正，汉明码使用了海明距离的概念。
海明距离是指两个等长字符串之间相异的位置的总数。
通过计算接收到的数据与汉明码的差异，可以判断出出现错误的位置。
如果差异位于冗余位上，则可以确定出错的冗余位，进而修复。
如果差异位于数据位上，则可以通过纠错算法推算出错位置，并进行修复。
汉明码的应用广泛。
在计算机通信中，常用的以太网、无线局域网等通信协议中均使用了汉明码作为纠错编码方案。
此外，在数据存储领域，也使用了汉明码来纠正读取磁盘或内存中出现的错误。
总结来说，汉明码纠错编码采用了向原数据中插入冗余位的方式，通过校验位的计算来检测和修复错误。
它具有简单、高效、容错性好等特点，被广泛应用于计算机通信和数据存储领域，提高了数据传输和存储的可靠性。
海明码校验和纠错原理详细
海明码校验和纠错原理详细海明纠错码当计算机存储或移动数据时，可能会产⽣数据位错误，这时可以利⽤汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是⼀个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。
海明码（Hamming Code）是⼀个可以有多个校验位，具有检测并纠正⼀位错误的纠错码，所以它也仅⽤于通信特性较好的环境中，如以太局域⽹中，因为如果通道特性不好的情况下，出现的错通常也不是⼀位。
海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若⼲组，每组安排⼀个校验位进⾏奇偶性测试，然后产⽣多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后通过对错误位取反来将其纠正。
要采⽤海明码纠错，需要按以下⼏个步骤。
1计算校验位数2 确定校验码位置3 确定校验码4 实现校验和纠错1. 计算校验位数它是这样的规定的：假设⽤N表⽰添加了校验码位后整个信息的⼆进制位数，⽤K代表其中有效信息位数，r表⽰添加的校验码位，它们之间的关系应满⾜：N=K＋r≤2r－1。
如K=5，则要求2r-r≥5+1=6，根据计算可以得知r的最⼩值为4，也就是要校验5位信息码，则要插⼊4位校验码。
如果信息码是8位，则要求2r-r≥8+1=9，根据计算可以得知r的最⼩值也为4。
根据经验总结，得出信息码和校验码位数之间的关系如表5-1所⽰。
2．确定校验码位置上⼀步我们确定了对应信息中要插⼊的校验码位数，但这还不够，因为这些校验码不是直接附加在信息码的前⾯、后⾯或中间的，⽽是分开插⼊到不同的位置。
但不⽤担⼼，校验码的位置很容易确定的，那就是校验码必须是在2n次⽅位置，如第1、2、4、8、16、32，……位（对应20、21、22、23、24、25，……，是从最左边的位数起的），这样⼀来就知道了信息码的分布位置，也就是⾮2n次⽅位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，……位（是从最左边的位数起的）。
举⼀个例⼦，假设现有⼀个8位信息码，即b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7、b8，由表5-1得知，它需要插⼊4位校验码，即p1、p2、p3、p4，也就是整个经过编码后的数据码（称之为“码字”）共有12位。
纠错码
编码距离与纠错检测的关系
几个基本概念 码重:码组中“1”的个数成为码组的重量。 码距 :两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离。我们把 某种编码中各个码组之间距离最小值称为最小码距（d0）。一种编码 的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力。
1011101 与 1001001 之间的码距是 2。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误
比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误
000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两个码组
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一个错码。
译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否发生错误或纠正 错误，恢复原始信息序列。
纠错编码的分类
按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分组码与非分组码如 卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
1 1 n 1 0
v v ，若对任一 v a , a ,, a v 恒有 v a ,, a , a v ，则称 vn ,k 为循环码。
n,k n
0 1 n 1
n,k
n,k
在下表中给出了一种（7,3）循环码的全部码组
卷积码
把信源输出的信息序列，以个 k 0(k 0 通常小于 k)码元分为一段，通过 编码器输出长为 n 0(≥k 0 )一段的码段。 但是该码段的 n 0 k 0 个校验 元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的信息元有关，称m为 编码存贮。因此卷积码用(n 0， k 0， m)表示。
通信原理第11章差错控制编码
发现错误
图11.1-4 选择重发
11.1 概述
三者比较
➢ 选择重发传输效率最高，但成本最贵：控 制机制复杂，发端和收端都要有数据缓冲器；
➢ 返回重发、选择重发需要全双工数据链路， 而停发等候重发只要求半双工的数据链路。
11.1 概述
（2）前向纠错法（FEC）
Forward Error Correction
❖ 最小码距：在一个码字集合中，任意两个码字间 距离的最小值，即码字集合中任意两元素间的最小 距离，记为dmin或d0 ❖ 码重：码字中非零码元的数目定义为该码字的重 量，简称码重。如“10011”码字的码重为3。
纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距 离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越 大，抗干扰能力就越强。
dmin≥2t+1
(b)纠正t个错码 图11.2-2(b) 码距与检错纠错能力的关系
11.2 差错控制编码的基本原理
A
B
te
t
dmin
(c)纠正t个错码，检测e个错码
A、B都为许用码； A发生e个错； B发生t个错；
dmin≥e+t+1
图11.2-2(c) 码距与检错纠错能力的关系
11.2 差错控制编码的基本原理
❖ 差错控制措施。
11.1 概述
➢ 差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 ➢ 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 ➢ 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
❖ 信源编码：将模拟信息源的输出转化为数字信号， 即A/D转换。
海明码校验检错位数
海明码校验检错位数
海明码是一种常用的纠错编码方法，它可以通过添加冗余位来检测和纠正数据传输中的错误。
海明码的校验检错位数取决于所使用的具体编码方案。
在最常见的海明(7,4)码中，每个数据块由4位数据和3位冗余位组成。
其中，3位冗余位用于检测和纠正单个位的错误。
这意味着海明(7,4)码可以检测和纠正1位错误。
类似地，海明(15,11)码是另一种常见海明码，每个数据块由11位数据和4位冗余位组成。
其中，4位冗余位用于检测和纠正单个位的错误。
因此，海明(15,11)码可以检测和纠正1位错误。
总的来说，海明码的校验检错位数取决于具体的编码方案，不同的海明码可以提供不同程度的错误检测和纠正能力。
较高级别的海明码可以检测和纠正更多位的错误。
信道编码纠错码
E = C⊕R 或 C = R⊕E • 设发送的码字C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0:传输中无错 1:传输中有错
接收的码字R 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
差错的图样E 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
• 差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错 的个数叫汉明距离。
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纠错码分类
• 按照适用的差错类型,分成:
– 纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力 用码组内允许的独立差错的个数来衡量。
– 纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能 力主要用可纠突ห้องสมุดไป่ตู้差错的最大长度来衡量
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差错控制系统分类
• 前向纠错(FEC)：
图618fec与arq纠错应用方式纠错译码纠错编码信道消息m码字c接收向量r消息m检错译码检错编码信道消息m码字c接收向量r消息mfecarq15发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组收端收到码组后检查差错情况如果差错在码的纠错能力以内则自动进行纠正
信道编码纠错码
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内容
6.1 纠错编译码的基本原理与分析方法 6.2 线性分组码 6.3 卷积码
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• 编码
• 信源编码
– 提高数字信号有效性
• 将信源的模拟信号转变为数字信号
• 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩)
• 信道编码
– 提高数字通信可靠性
• 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输 特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。
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码长：码字中码元的数目； 码重：码字中非0数字的数目； 码距：两个等长码字之间对应位不同的数目，有 时也称作这两个码字的汉明距离。 最小码距：在码字集合中全体码字之间距离的最 小数值。 纠错码的抗干扰能力完全取决于需用码字之间的 距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差 别越大，抗干扰能力就越强。
对于分组码，有如下结论： • 为了能检测e个错码，要求最小码距
d0 e 1
0 1 2 3 A B 汉明距 e 离 d0
码距等于3的两个码组
• 为了能纠正 t 个错码，要求最小码距
d 0 2t 1
0 1 A 2 3 4 5 B
t
d0
t
汉明距 离
码距等于5的两个码组
• 为了能纠正t个错码，同时检测e个错码，要求 最小码距
d0 e t 1 (e t )
A
t
B
t
e
汉明距离
1
码距等于(e+t+1)的两个码组
编码效率
编码效率定义为信息位 在编码序列中所占的比 例，即： k n 抗干扰能力与编码效率 相互矛盾。编码的任务 是在满足一定的误码率 的前提下，尽量提高编 码效率。
设：有一种由3个二进制码元构成的编码，它共有23 = 8种不同 的可能码组： 000 – 晴 001 – 云 010 – 阴 011 – 雨 100 – 雪 101 – 霜 110 – 雾 111 – 雹 这时，若一个码组中发生错码，则不能收到错误信息。 若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如：令 000 – 晴 011 – 云 101 – 阴 110 – 雨 为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组。 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个错码。 • 这种编码只能检测错码，不能纠正错码。 若规定只许用两个码组：例如 000 – 晴 111 – 雨 就能检测两个以下错码，或纠正一个错码。