纠错编码
纠错编码
在中,为提高信息传输可靠性,广泛使用了具有一定纠错能力的信道编码技术,如奇偶校验码、行列监督码、恒比码、汉明码、()等编码技术。
这些编码技术因其比较简单,其检错、纠错能力都不是很强,无法满足系统中高可靠传输的性能要求,必须采用高性能的强纠错编码技术。
下面介绍几种高性能强纠错编码技术：1里德- 索罗门码( - Solomon)里德-索罗门码,简称RS码,是一种重要的线性分组编码方式,对突发性错误有较强的纠错能力。
该编码技术是利用创造的伽罗华域(Galois Field)中的数学关系来把传送数据包的每个字节映射成伽罗华域中的一个元素(又称符号) ,每个数据包都按码生成多项式为若干个字节的监督校验字节,组成RS的误码保护包,接收端则按校验矩阵来校验接收到的误码保护包是否有错,有错时则在错误允许的范围内纠错。
RS纠错编码具有很强的纠正突发误码的能力。
为了纠正一个错误,要2个符号的检测码,一个用来确定位置,一个用来纠错。
一般来说纠t个错误需要2t个检验符,这时要计算2t个等式,确定t个位置和纠t个错。
能纠t个符号的RS码生成多项式为: g ( x) = ( x + a0 ) ( x + a1 ) ( x + a2) …( x + a2t - 1 ) 。
2(Convolution codes)卷积码是一种非分组编码,适用于前向纠错法。
在许多实际情况下,卷积码的性能常优于分组式编码。
卷积编码是将信息序列以k个码元分段,通过编码器输出长为n的一个码段。
卷积码的监督码元并不实行分组监督,每一个监督码元都要对前后的信息单元起监督作用,整个编解码过程也是一环扣一环,连锁地进行下去。
卷积编码后的n个码元不仅与本段的信息元有关,而且也与其前N - 1段信息有关,故也称连环码,编码过程中互相关联的码元个数为nN。
卷积编码的结构是:“信息码元、监督码元、信息码元、监督码元…”。
在解码过程中,首先将接收到的信息码与监督码分离,由接收到的信息码再生监督码,这个过程与编码器相同;再将此再生监督码与接收到的监督码比较,判断有无差错,并纠正这些差错。
第二节 纠错编码原理
第二节 纠错编码原理一、纠错编码的原理一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。
例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。
在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。
如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。
长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。
00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。
当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。
如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。
224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。
长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。
这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。
例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。
第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。
常见的纠错编码
常见的纠错编码介绍纠错编码是一种在数字通信和数据存储中常见的技术，用于检测和纠正发生在数据传输或存储过程中的错误。
常见的纠错编码方法包括海明码、汉明码、布尔码等。
这些编码方法通过添加冗余信息来实现错误检测和纠正的功能，提高数据传输和存储的可靠性。
海明码（Hamming Code）海明码是一种最早被提出的纠错编码方法。
它通过向数据中添加冗余位，使数据可以进行错误检测和纠正。
海明码的原理是利用奇偶校验位进行错误检测，并利用冗余位进行错误纠正。
海明码可以检测和纠正单个比特位的错误，并且具有较高的纠错能力。
海明码的编码过程如下： 1. 计算奇偶校验位的位置。
根据数据位的数量，确定奇偶校验位的位置。
2. 计算奇偶校验位的值。
根据奇偶校验位所对应的数据位，计算奇偶校验位的值。
3. 添加奇偶校验位。
将计算得到的奇偶校验位添加到数据中。
海明码的解码过程如下： 1. 检测错误位的位置。
利用奇偶校验位检测错误位的位置。
2. 纠正错误位的值。
根据错误位的位置，进行错误位的纠正。
海明码通过使用冗余位，可以检测和纠正单个比特位的错误，提高了数据传输的可靠性。
汉明码（Hamming Distance）汉明码是一种用于衡量两个等长字符串之间的距离的概念。
在纠错编码中，汉明码被用来计算错误比特位的数量，从而实现错误的检测和纠正。
汉明码的计算方法如下： 1. 将两个等长字符串进行比较，逐位比较。
2. 当两个字符串的对应位不同，汉明距离加一。
3. 汉明距离即为错误比特位的数量。
汉明码能够衡量两个字符串之间的差异程度，为纠错编码提供了基础。
布尔码（BCH Code）布尔码是一种纠错编码的方法，可以用来检测和纠正多个比特位的错误。
布尔码的原理是利用多项式算法进行错误检测和纠正。
它通过添加冗余位，生成校验码，并在接收端使用算法计算接收到的校验码，从而进行错误的检测和纠正。
布尔码主要包括以下几个步骤： 1. 确定多项式生成器的选择。
现代通信技术-纠错编码分类及控制方式
图2 检错重发(ARQ)
2. 差错控制方式
2）、检错重发的特点 检错重发（ARQ）的优点主要表现在：
（1）只需要少量的冗余码，就可以得到极低的输出误码率； （2）有一定的自适应能力； 某些不足主要表现在：
（1）需要反向信道，故不能用于单向传输系统，并且实现重发控制比较复杂；
（2）通信效率低，不适合严格实时传输系统。
差错控制方式1前向纠错fec前向纠错forwarderrorcorrection也叫前向纠错码是一种差错控制方式它是指信号在被送入传输信道之前预先按一定的算法进行编码处理加入带有信号本身特征的冗码在接收端按照相应算法对接收到的信号进行解码从而找出在传输过程中产生的错误码并将其纠正的技术
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2）特点
混合纠错方式在实时性和译码复杂性方面是前向纠错和检错重发方式的折衷，可达到较低 的误码率较适合于环路延迟大的高速数据传输系统。
谢谢
纠错编码分类及 控制方式
目 录
01 02
纠错编码分类 差错控制方式
1.纠错编码分类
在差错控制系统中，信道编码存在多种实现形式，同时信道编码也有多种分类方法。
1）按照信道编码的不同功能分：检错码和纠错码； 2）按照信息码元和监督码元之间检验关系分：线性码和非线性码； 3）三种信息码元和监督码元之间约束方式不同分：分组码和卷积码；
图1 前向纠错(FEC)
2. 差错控制方式
2）、前向纠错的特点 ① 可以自动实现纠错，不要求检错重发，因而延时小、实时性好。 ② 由于增加了一些额外的冗码，因此要付出一定的带宽代价。 ③ 相对于直接传输，前向纠错技术可以降低误码率，从而获得最高的效率，以很小的带宽代价获得 很大的误码率改善。
3）、检错重发的方法
差错控制编码的分类
差错控制编码的分类差错控制编码是一种通信中常用的技术，它通过添加特定的编码格式，来检测和纠正误码，使数据传输的可靠性得以提高。
在差错控制编码的使用中，通常会根据不同的应用需求和技术特点，将其分为不同类型，下面将围绕差错控制编码的分类进行详细阐述。
一、前向纠错编码前向纠错编码也称为FEC编码，它是最常用的差错控制编码之一。
该编码在传输数据前，会将原始数据转化为一定的编码序列，并添加冗余信息用于检测和纠正差错。
在传输过程中，可以根据接收端反馈的差错信息，对数据进行快速的差错纠正。
前向纠错编码常见的应用场景包括手机数据传输、卫星通信等。
二、循环冗余校验码循环冗余校验码也称作CRC码，它是一种针对数据传输差错控制高效的编码方式。
和前向纠错编码不同，CRC码是根据一定的多项式算法，对原始数据块进行编码，产生冗余校验码。
通过比对接收端根据校验码计算出来的生成码和发送端发送过来的校验码进行比较，判断是否存在差错。
CRC码常用于数据存储和传输领域，例如局域网通信、文件传输等。
三、哈希校验码哈希校验码是差错控制编码的一种，其运用了哈希函数的原理，将参考数据块按照一定的哈希算法转化为哈希值。
在传输过程中，接收端也将接收到的数据块用同样的哈希算法转化为哈希值，然后和发送端的哈希值进行比对判断差错情况。
哈希校验码广泛用于数字签名、数据完整性检查等场合。
四、海明编码海明编码是一种纠错码，也是前向纠错编码的具体形式之一。
该编码方式通过将原始数据划分成一定的字节块，并添加多组冗余信息。
冗余信息的添加方式是通过将每个字节表示为二进制数的形式，然后构成一个矩阵进行计算得出。
在传输过程中，接收端通过对接收到的数据块进行计算，根据校验码快速发现错误并进行纠正。
海明编码常用于CD、DVD等数字光盘以及RAM、Flash等内存存储领域。
以上是常见的几种差错控制编码，它们通过不同的方式来实现数据传输的高效和准确。
在实际应用中，需要根据具体情况和需求，选择合适的编码方式进行使用和优化。
差错控制编码(纠错码)
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奇数校验码：附加一位监督码，使码组中“1”的个数为奇数
设码字（vn-1, vn-2, …, v1, v0），v0为监督元，则有：
vn-1＋ vn-2＋…＋ v1＋ v0＝1
模2加
（8-1）
在接收端，按上式计算各码元，若结果为0认为有错； 否则，无错。如：11010 0
偶数校验码：附加一位监督码，使码组中“1”的个数为偶数，
引言 纠错编码的基本原理 线性分组码 循环码 小结
2
§8.1 引言
一、基本概念
在数字信号传输中，由于噪声的存在及信道特性 不理想，都可使信号波形失真，从而在接收端就不可 避免的产生错误判决。 引起误码原因: (1)信道特性不理想(乘性干扰): 引起码间串扰，通常 可采用均衡的办法纠正。 (2) 噪声影响(加性干扰) : 需借助各种差错控制编码 技术来克服。
5
三、误码的类型 随机误码
•错码出现是随机的、错码之间统计独立。 •由随机噪声引起 •存在随机误码的信道称为随机信道
突发误码
•错码成串集中出现，在很短的时间出现大量错码，而 过后又存在较大的无错码位，且差错之间是相关的 •例如：脉冲噪声，信道中衰落 •存在这种差错的信道称为突发信道
6
四、差错控制方法
特点：结构简单，易于实现，编码效率高，虽然不理想， 但干扰不严重时，且码长不长的情况下仍很有用。
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3、方阵码
也叫二维奇偶校验码（矩阵码、行列监督码），其 基本原理与简单的奇偶校验码相似。不同的是每个 码元都要受到行和列的两项监督 编码方法： 将所要传送的码序列编成一个方阵，方阵中每一行为 一个码组。每行的最后加上一个监督码元，进行奇偶 监督。在每列的最后也加上一个监督码，进行奇偶监 督
纠错编码的方法(一)
纠错编码的方法(一)纠错编码1. 概述纠错编码是一种通过在数据中添加冗余信息来检测和纠正错误的技术。
它在通信和存储系统中起到了至关重要的作用，能够提高数据的可靠性和完整性。
下面将介绍几种常见的纠错编码方法。
2. 奇偶校验码奇偶校验码是一种简单的纠错编码方法。
其基本原理是通过在数据末尾添加一个奇偶位，使得数据中1的个数为奇数或偶数。
接收端在收到数据后，重新计算奇偶位，并与接收到的奇偶位进行比较，如果不相等，则表示数据出现了错误。
3. 海明码海明码是一种更高级的纠错编码方法，通过在数据中添加多个冗余信息位来检测和纠正错误。
海明码可以检测和纠正单个错误，并且对于多个错误也有一定的纠正能力。
它的主要原理是通过校验位的方式来检测和纠正错误。
海明码的生成方法和校验方法较为复杂，但其纠错能力极高，广泛应用于存储系统和通信系统中。
RS码（Reed-Solomon码）是一种广泛应用于数字通信和存储系统中的纠错编码方法。
RS码能够纠正多个错误，并且对于多个错误的纠正能力非常强大。
RS码的原理是将数据划分为一定长度的块，然后为每个数据块添加一定数量的冗余信息。
接收端在接收到数据后，使用纠错算法来检测和纠正错误。
5. BCH码BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）是一种常用的纠错编码方法，其特点是纠错能力强，能够纠正多个错误。
BCH码的原理是将数据划分为一定长度的块，并为每个块添加一定数量的校验位。
接收端对收到的数据进行校验，如果检测到错误，则使用纠错算法进行错误的定位和纠正。
6. LDPC码LDPC码（Low Density Parity Check码）是一种近年来发展起来的一种纠错编码方法，被广泛应用于通信系统中。
LDPC码的特点是纠错能力强，编码和解码的计算复杂度相对较低。
LDPC码的原理是将数据编码为稀疏校验矩阵的形式，通过稀疏矩阵的特性来进行纠错。
纠错编码是一种在通信和存储系统中广泛应用的技术，能够提高数据的可靠性和完整性。
信息论与编码第八章纠错编码
•
内容提要
一、纠错码的基本概念 二、纠错编码的代数基础 三、线性分组码 四、循环码 五、卷积码
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内容提要
➢ 一、纠错码的基本概念 二、纠错编码的代数基础 三、线性分组码 四、循环码 五、卷积码
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1.信道纠错编码
•一、纠错码的基本概念
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•一、纠错码的基本概念
011
0111010
100
1001110
101
1010011
110
1101001
111
1110100
•三、线性分组码
•
3. 线性分组码编码
生成矩阵和校验矩阵关系
•三、线性分组码
• 例题
•已知生成矩阵为
•求其校验矩阵H，如果将H作为生成矩阵，则所生成的码字是什么？
•由于 •G=[Ik Pk*(n-k)]
•
•三、线性分组码
1.分组码相关定义 •校验位和信息位
对于2k个n长码字全体构成的分组码 ，其码字中的k位称为信息位，n-k位 称为校验位或监督位。
消息序列 000
码字 0000000
例如，当k=3，n=7时，可能的消息序 列数m=2k=8个，可能的长为n=7的预 选序列有27=128个。具体如表：
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•模p乘
令p为一个素数(例如p=2,3,5,7,11,…)
•二、纠错编码的代数基础
易验证模p乘法满足交换律和结合律，其单位元是1。G中任何元素i关 于模p乘法都有逆元。
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总结：
前向纠错 FEC 发端 纠错码 收端
检错重发 AR Q
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 判决信号 收端 收端
混合纠错 HEC
图 10-1 差错控制方式
第 10 章 差错控制编码
信道编码的核心问题
发现错误 纠正错误
第 10 章 差错控制编码
（1）几个概念
码长：码字中码元的个数，通常用n表示。
第 10 章 差错控制编码
本章内容在数字通信系统中所处的位置：
第 10 章 差错控制编码
.1 概 述
差错控制编码，又称信道编码、可靠性编
码、抗干扰编码或纠错码，它是提高数字信号
传输可靠性的有效方法之一。它产生于20世纪
50年代初，发展到70年代趋向成熟。本章将主
要分析信道编码的基本原理、介绍常用的检错 码、线性分组码及卷积码的构造原理及其应用。
码重：码字中非零码元的个数定义为该码字的重量， 简称码重。如“10011”码字的码重为3。
码距：两个等长码字之间对应码元不同的数目，通 常用d表示。两个码字对应位模2相加得到的新码组的重 n 量就是这两个码字之间的距离。
d Ai Bi
i 1
第 10 章 差错控制编码
编码效率：信息码元数与码长之比，通常用 k 表 n 示，其中k为信息码元的数目，n为码长。
第 10 章 差错控制编码
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第 10 章 差错控制编码
10.2 常用的几种简单分组码
第 10 章 差错控制编码 差错控制编码的分类
线性码：
信息码与监督码之间的关系为线性关系；
非线性码：信息码与监督码之间的关系为非线性关系。
分组码：监督码只与本组信息码有系；
卷积码：监督码与本组和前面码组中的信息码有关。
系统码：
编码后码组中信息码保持原图样顺序不变；
非系统码：编码后码组中原信息码原图样发生变化。
第 10 章 差错控制编码
误码的主要形式
随机错误：误码的位置随机（误码间无关联），随机误码 主要由白噪声引起。
突发错误：误码成串出现，主要由强脉冲及雷电等突发的
强干扰引起。
混合错误：以上两种误码及产生原因的组合。
第 10 章 差错控制编码
10.1.2 差错控制类型
1、检错重发 （ARQ Automatic Repeat Request ）:在发送端采用 具有检错功能的编码，接收端发现出错后自动请求重发. 有以下三种方式： 停止---等待ARQ
第 10 章 差错控制编码
10.1 概 述
一、信源编码和信道编码
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分 为信源编码和信道编码。
信源编码是为了提高数字通信的有效性以及 使模拟信号数字化而采取的编码技术。 信道编码是为了降低误码率，提高数字通信 的可靠性而采取的编码。
第 10 章 差错控制编码
数字信号在传输过程中受到干扰的影响，使 信号波形变坏，发生误码，可以采用一些方 法解决。
输中的错误 特点：无需反馈信道，无需重传，延时小； 传输序列中冗余量较大。 运用在移动通信系统、军事系统通信中。 3、混合纠错方式 HEC(Hybrid ErrorCorrection) 混合纠错方式记作是FEC和ARQ方式的结合。 出错较少时FEC起作用；出错较多时ARQ起作用
第 10 章 差错控制编码
第 10 章 差错控制编码
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或 “10”，收端判决为有错（因“01”“10”为禁 用码组），但无法确定错码位置，不能纠正，该 编码具有检出一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第 10 章 差错控制编码 具有回拉功能的连续ARQ
具有选择性重发功能的连续ARQ
特点：设备较简单；传输序列中冗余量较小； 需要有反向信道支持；出错后重传造成延时较大。
第 10 章 差错控制编码 2、前向纠错方式 （FEC Forward Error Correction)
发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传
奇偶监督码
二维奇偶监督码（略，见附录）
恒比码
第 10 章 差错控制编码
10.2.1 奇偶监督码 奇偶监督码：在信息码元后附加一位监督位，使 得码组中奇偶监督码“1”的个数为偶数或奇数。
对k位码元 校验位 a1a2a3 ...ak ak 1 a1 a2 a3 ... ak ak 1 a1 a2 a3 ... ak 1
差错出现原因 外界噪声
传输中码间串扰 解决方法
合理地设计基带信号，选择调制、解调方式 ，采用均衡技术，提高发送功率等因素，使误比 特率降低。 差错控制编码。
第 10 章 差错控制编码
差错控制的基本原理 在信息码上附加一定位数的监督码元，使其与信息位按某 种规则相互关联；
若数据在传输过程中发生差错，关联关系被破坏，从而可 检出和/或纠正错误。
最小码距：在一个码字集合中，任意两个码字间距离 的最小值，即码字集合中任意两元素间的最小距离， 记为dmin或d0 纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距 离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越 大，抗干扰能力就越强。
第 10 章 差错控制编码
举例说明：假如要传送A、B两个消息
编码一： 消息A----“0”；消息B----“1” 最小码距1 若传输中产生错码（“0”错成“1”或“1” 错成“0”）收端无法发现，该编码无检错 纠错能力。
第 10 章 差错控制编码
编码三： 消息A----“000”；消息B----“111” 最小码距3 传输中产生一位即使两位错码，都将变成禁用 码组，收端判决传输有错。该编码具有检出两 位错码的能力。 在产生一位错码情况下，收端可根据“大数” 法则进行正确判决，能够纠正这一位错码。例 如收到110，认为是111。 这表明增加两位冗余码元后码具有检出两位错 码及纠正一位错码的能力。