RS纠错编码原理
rs码原理
rs码原理RS码（Reed-Solomon code）是一种在信息传输中用于纠正错误的错误检测和纠正编码方式。
它由Irving S. Reed和Gustave Solomon于1960年提出，并被广泛应用于数据存储、通信和数字传输领域。
RS码的基本原理是通过添加冗余信息来实现错误检测和纠正。
具体而言，RS码将原始数据进行分组处理，并在每个数据块中添加一定数量的冗余校验位。
这些冗余校验位可用于检测并纠正传输中出现的错误，从而提高数据传输的可靠性。
RS码的编码过程主要包括两个步骤：生成多项式和编码。
首先，根据指定的参数，生成一个特定的多项式，称为生成多项式。
生成多项式的次数决定了RS码的纠错能力，即可以纠正的最大错误数量。
然后，将原始数据与生成多项式进行运算，得到编码后的数据。
在解码过程中，RS码通过检测错误位置和纠正错误数据来实现纠错。
解码过程主要包括两个步骤：错误定位和纠正。
首先，使用一定的算法和数学方法，通过接收到的编码数据确定错误的位置。
然后，根据错误的位置和接收到的编码数据，计算并纠正错误的数据。
RS码的优点是能够同时检测和纠正多个错误，并且具有较高的纠错能力。
它广泛应用于数字通信、存储介质、光盘、磁盘等领域。
在数字通信中，RS码可以提高信道的可靠性，减少数据传输中的错误率。
在存储介质中，RS码可以保护数据免受物理介质损坏或读取错误的影响。
RS码的应用还可以扩展到更复杂的情况。
例如，在多媒体传输和视频编码中，RS码可以与其他编码方式结合使用，提高数据的可靠性和传输效率。
此外，RS码还广泛应用于数字水印和数据加密等领域，用于保护数据的安全性和完整性。
总的来说，RS码是一种常用的错误检测和纠正编码方式，可以提高数据传输和存储的可靠性。
通过添加冗余校验位，RS码可以检测并纠正传输中的错误，从而保证数据的完整性和准确性。
在实际应用中，RS码的参数选择和算法设计非常重要，可以根据具体的需求和应用场景进行调整和优化，以达到最佳的纠错效果。
rs 码 原理
rs 码原理在计算机科学中，RS码（Reed-Solomon Code）是一种用于纠错的编码技术。
它由Irving S. Reed和Gustave Solomon于1960年首次引入。
RS码广泛应用于数据存储、传输和通信领域，特别是在CD、DVD以及数字电视等领域。
RS码的原理基于有限域中的线性代数。
有限域通常是一个由素数p的元素构成的集合。
RS码通过在有限域上定义加法和乘法操作来编码和解码数据。
在编码过程中，要发送的数据被分成一系列数据块，并对每个数据块进行处理以生成冗余校验码。
冗余校验码中包含了足够的冗余信息，以便在接收端能够检测到并纠正错误。
RS码的纠错能力由两个参数t和n决定，其中t表示最大可纠正错误的数量，n表示码字的长度。
RS码可以纠正的最大错误数量为t=(n-k)/2，其中k是原始数据块的长度。
例如，如果码字长度n为255，可以纠正的最大错误数量为t=127，即RS码可以在接收到的数据中检测和纠正最多127个错误。
在接收端，RS码使用多项式插值和求值的方法来恢复原始数据。
接收到的码字被视为多项式的系数，并使用插值方法重构出原始数据块的多项式。
然后，通过将这个多项式的根带入到多项式进行求值，可以确定错误的位置以及错误的数量。
接着，使用插值方法生成修复多项式，将其与原始多项式相减，以恢复出原始数据。
总的来说，RS码通过添加冗余校验码来提高数据传输的可靠性和纠错能力。
它的原理基于有限域中的线性代数，并且使用多项式插值和求值的方法来纠正错误并恢复原始数据。
RS码被广泛应用于各种数据通信和存储系统中，以确保数据的完整性和可靠性。
RS编码原理及其在移动多媒体广播中的应用.
VIDEO ENGINEERINGNo.S1Vol.342010(Sum No.3411RS 码概述RS 码是以组为单位进行校正的分组校正码,适用于多进制,具有较强的纠正突发误码的能力。
在(n ,k RS 码中,输入信号被分为每组k 个符号,每个符号m bit ,每组km bit 。
纠正t 个符号错误的RS 码的参数如表1所示。
数字电视数据流的信道编码中,采用了(204,188,t =8的RS 码,即一个数据包的长度为204byte ,其中信息位188byte ,监督位16byte ,纠错能力为8byte ,即这种RS 码总共能纠正204byte 中发生的8byte 有误码的差错字节,不论每个字节中发生1位误码还是8位全误码。
2伽罗华域伽罗华域是由2m个符号及相应的加法、乘法运算组成的域,记为GF (2m ,在这个域中,任何运算的结果仍是这个域中的元素。
本原多项式指能除尽x w+1且w =2m-1的m 次既约多项式,对不同的m ,都对应一个本原多项式,从本原多项式就可以得到GF (2m域的所有元素。
GF (23域的加法和乘法运算分别如表2、表3所示,GF (23域元素对应的二进制表示如表4所示。
其中a 是GF (2m 域的本原元素,也是本原多项式的根,伽罗华域的计算方法是以本原多项式的根为前提的模二加和模二乘运算。
RS 码的所有元素均定义在GF (2m 域,其运算方式遵循伽罗华域内的运算法则。
文章编号:1002-8692(2010S1-0015-03RS 编码原理及其在移动多媒体广播中的应用杨凤霞1,王亚男2(1.中国传媒大学信息工程学院,北京100024;2.国家广电总局广播科学研究院信息技术研究所,北京100053【摘要】结合RS 码编码框图,通过公式详细地解释了RS 码的编码、纠错原理,同时介绍了移动多媒体广播(CMMB 技术中RS编码原理在其信道编码上的应用。
【关键词】伽罗华域;RS 码;编码原理;纠错原理;CMMB 【中图分类号】TN911.22【文献标识码】APrinciples of RS Coding and Its Applications in CMMBYANG Feng-xia 1,WANG Ya-nan 2(1.School of Information Engineering,Communication University of China,Beijing 100024,China ;rmation Technology Research Institute,Academy of Broadcasting Science,Beijing 100053,China【Abstract 】In this paper,principles of RS coding and error correcting are explained in detail through formulas combined with thediagram.Application of RS in channel coding of CMMB technology is also introduced.【Key words 】Galois fields;RS code;coding principle;error correcting principle;CMMB·实用设计·参数符号数/个比特数/bit码长≤2m -1≤(2m -1m信息段k km 监督段n-k =2t (n-k m 最小码距2t +1(2t +1m表1纠正t 个符号错误的RS 码的参数1a a 2a 3a 4a 5a 610a 3a 6a a 5a 4a 2a a 30a 41a 2a 6a 5a 2a 6a 40a 5a a 31a 3a 1a 50a 6a 2a 4a 4a 5a 2a a 601a 3a 5a 4a 6a 3a 210a a 6a 2a 51a 4a 3a 0表2GF (23域内的加法计算1a a 2a 3a 4a 5a 611a a 2a 3a 4a 5a 6a a a 2a 3a 4a 5a 61a 2a 2a 3a 4a 5a 61a a 3a 3a 4a 5a 61a a 2a 4a 4a 5a 61a a 2a 3a 5a 5a 61a a 2a 3a 4a 6a 61aa 2a 3a 4a 5表3GF (23域内的乘法计算GF (23元素二进制表示a 0100a 1010a 2001a 3110a 4011a 5111a 6101表4GF (23域元素的二进制表示152010年第34卷第S1期(总第341期3RS 码编码原理设信息组为A 1,A 2,…,当生成多项式的根为a 时,RS 码可表示为A 1+A 2+…+A n +Q 0+Q 1=0aA 1+a 2A 2+…+a nA n +a n+1Q 0+a n+2Q 1=(1编码的关键是产生监督码元,下面结合RS (7,5码的编码框图(如图1,通过运算具体阐述一下RS 码的监督符号的生成过程。
RS纠错编码原理及其实现方法
RS 纠错编码原理 ―及其实现方法
陈文礼
January 08 于郑州
If you have any suggestion or criticism . please email to ciciendi@
参数 n 为码长一般 n = 2m −1，k 为信息码元个数。 例如 m=4, 码长 n＝15，信息码元长度为 9 GF(24)的本原多项式可以根据指令 >>rsgenpoly(15,9) 得到： ans = GF(2^4) array. Primitive polynomial = D^4+D+1 (19 decimal)
即
7
g 0h0 = −1 g 0h1 + g1h0 = 0
Zhengzhou Oriole Xinda Electronic Information Co.,Ltd.
g 0 hi + g1hi−1 + + g h n−k i−(n−k ) = 0
g 0 hn−1 + g1hn−2 + g n−k hk = 1
例如 c ＝（1，1，0，0，0） r ＝（1，0，0，0，1） e ＝（1＋1，1＋0，0＋0，0＋0，0＋1）＝（0，1，0，0，1）
从而可以看出从左端起第 2 位和第 5 位是错误的。
2、校验矩阵概念 码长为 n,信息数为 k，监督数为 r。
这样的一组码形式为： c = m1, m2 ,...mk , p1, p2 ,... pr
1
0
...
0)
h1k 1
h2k 0
RS编译码
一．RS 码RS 码是有限域GF （p^m ）上，码长为n=p^m-1的本原BCH 码，它是多进制的BCH 码。
RS 码不但可以纠正随机错误、突发错误以及二者的组合，而且可以用来构造其它码类。
在计算机中数据是以二进制的形式存在，所以p 通常取值为2。
RS 码的参数：符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码的定义如下： 符号大小m ．表示符号比特数为m 位。
码块总长度为n 个符号，其中信息长度k 个符号，校验位长度K=n —k 个符号。
RS 码的纠错能力是出码块中的冗余数据校验码的长度K 决定的。
在码块中的错误位置事先并不知道的情况下，RS(n ，k)码可以纠正t=K ／2个错误符号。
显然t 值越大，RS 码的纠错能力越强，但与之相对应的是更复杂的算法，更长的运算时间，更低效的数据传输率。
RS 码既可以纠随机错又可以纠突发错。
但RS 码中采用符号这一特性使得它特别适用于产生突发错的场合。
因为不论一个符号中错了多少位，在RS 解码过程中。
它只会被认为是产生了一个符号错。
一个可以纠t 个符号的RS 码，它至少可以纠一个(t-1)m+1个连续比特组成的突发错，而当随机错恰好都不在同一个符号中时只能纠正t 个比特的随机错。
二．RS 码编码对于GF(2^m)来说，若域中非零元素a 的级是2^m-1，则将a 称为本原域元素。
设符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码,它的最小距离d=2t+1，则由本原域元素a 的2t 个连续根 ,0αm ，α120-+t m 作为g(x)的根来构造生成多项式g(x)=(x+αm 0)(x+α10+m ))(012αm t x +-+通常情况下取通常取m 0 = 0或m 0 = 1只要将信息码多项式m(x)=m m x m x k k 0111+++-- 乘以x k n -次，然后以g(x)为模，求出余式q(x)便可以得到系统码。
q （x ）= m(x) x k n -modg(x)=q q x q x k n k n 0111+++---- C(x)= m(x) x k n -+ q （x ）例 构造能纠正2个错误，码长为15符号的RS 码n=15，t=2可得m=4，k=11，d=5．因此RS 码为(15，11)码，生成多项式为g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4) =αααα103263134++++x x x x假设待发送的信息码组为m(x)=x x m x x ααα963102)(++=则编码后的码组多项式为C(x)= m(x) x k n -+ m(x) x k n -modg(x)=ααααα133359103142+++++x x x x x编码的实现：1）首先构造有限域，RS 码的性质和运算法则均定义在Galois 域上，Galois 域是能进行加减乘除运算的有限个元素的封闭集合，它的加减运算符合结合律、交换律和分配律。
rs技术原理
rs技术原理RS技术是一种纠错编码技术，RS是Reed-Solomon的缩写，由Irving S. Reed和Gustave Solomon于1960年代初发明。
它可以在数据传输过程中检测和纠正错误，广泛应用于数字通信、光盘、磁盘等领域。
一、概述RS技术是一种块编码技术，它将数据分成若干个块进行编码。
每个块包含k个数据符号和n-k个校验符号，总共有n个符号。
当接收方接收到这些符号时，可以使用校验符号来检测和纠正错误。
二、编码过程1.数据分块首先将要传输的数据按照固定的长度分成若干个块，每个块包含k个数据符号。
2.生成多项式然后生成一个n次多项式：g(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-an+k)其中a1,a2,...,an+k是不同的元素。
这里需要满足n+k<=GF(q)，其中q为一个素数幂次。
3.计算校验符号将生成的多项式g(x)除以x-a1,x-a2,...,x-an得到余数：r(x) = g(x) mod (x-a1)(x-a2)...(x-an)这里r(x)是一个(n-k-1)次多项式，它的系数就是n-k个校验符号。
4.计算编码符号将数据符号和校验符号组合起来，得到n个编码符号：c(x) = (m1,m2,...,mk,r1,r2,...,rn-k)其中m1,m2,...,mk是k个数据符号，r1,r2,...,rn-k是n-k个校验符号。
三、解码过程1.接收数据接收方接收到n个编码符号。
2.计算伴随式首先计算伴随式：A(x) = det(M(x))其中M(x)是一个(n-k)×(n-k)的矩阵，每个元素都是一个多项式。
M(x)的第i行第j列的元素为x^(i+j-2)，其中i,j=1,2,...,n-k。
3.计算误差定位多项式然后计算误差定位多项式：Λ(x) = x^(n-1)B(1/x)其中B(x)=A(αx)/A'(αx)，α为一个非零元素。
Λ(x)的根就是错误位置。
RS码简单介绍
RS码简单介绍一内容提要1 RS码的发展及用途. 2 编码原理. 3 背景知识. 4 举例说明 5 解码方法简介. 二关键词GFn伽罗瓦域. LSFR: 线性反馈移位寄存器. Generate polynomial:生成多项式. Primitive polynomial:本原多项式. 本原元a. 三内容. 一i.RS码是Reed-Solomon里德-所罗门码的简称属于前向纠错FEC方式.可归于BCH 码是非二进制的BCH码.当然也是循环码、线性分组码.它特别适合纠突发误码。
使用RS码的目的是通过增加冗余码来提高信道传输的可靠性显然码的利用率下降了。
而在信源编码中是尽可能去掉一些无用的信息以提高码的利用率。
所以从这方面讲信道编码使传输的可靠性与码的利用率成为相对的矛盾统一体。
II.RS码主要用在以下方面①无线通讯. ②移动通讯. ③存储系统CD及DVD等。
④光通讯. ⑤深空通讯二RSnk码也写成RSnk2t是非二进制码.它是由k个m-bits的输入数据流加上由k个m-bits的输入数据流生成的2t个m-bits的校验数据流而产生的n个m-bits数据流。
具有以下的特性①0 k n 2m 2.通常n2m-1. ②2tn-k.t表示纠错的最大能力。
③最小码距d02t1 在分组码中最小码距d0检错纠错的关系a.检e个错d0e1 b.纠正t个错d02t1. 如在数字电视数据流的信道编码中采用了204188.由上我们知道n204k188.2tn-k16.即信息位是188个字节校验位是16个字节。
共204个字节。
它的纠错能力是8个字节。
也就是说不论一个字节中发生一位误码或者全部八位误码它都可以纠错。
当然如果错误超过t8就不能纠错了。
这时只能发现错误最大能发现2t16个错误. 三RSnk码是一种多进制线性分组码.构成RSnk码是常用以下的方式Cx rxIxRx Rx rxIxmodGx GxX1Xa??x1rar2t. 其中a 是本原元。
基于FPGA的RS编码器的设计与实现.
基于FPGA的RS编码器的设计与实现1 RS编码原理RS编码是一种线性的块编码，其表示形式为RS(N，K)。
当编码器接收到一个数据信息序列，该数据信息序列被分割成若干长度为K的信息块，并通过运算将每个数据信息块编码成长度为N的编码数据块。
在RS码中的码元符号不是二进制而是多进制符号，其中2m进制使用更为广泛。
能纠正t个错的RS 码具有，如表1参数所示。
上述参数，t表明最多可以纠正t个随机错误符号。
由于RS码是对多进制符号纠错，RS码可用于纠正突发错误，比如能纠两个八进制符号错误的RS(7，3)码，每个符号可用3 bit二进制符号表示。
八进制的RS(7，3)码相当于二进制的(21，9)码，因此纠两个符号就相当于纠连续6 bit二进制符号的突发错误，然而二进制的(2l，9)码却没有纠6 bit突发错误的能力，它能纠任何2个随机错误以及长度≤4的突发错误。
通用的RS编码的运算步骤：(1)确定RS编码器的生成多项式g(x)，这里选用了最为常用的生成多项式，如式(1)所示。
式中a定义为m阶初等多项式p(x)的根它可生成全部GF域的元素。
(有关GF域的内容可参阅相关书籍)。
以RS(15，9)为例，RS(15，9)的生成多项式，如式(2)(2)通过对取模运算产生校验信息多项式p(x)如式(3)式中m(x)表示RS编码码字中的数据信息，它是K一1阶的线性多项式。
(3)通过加法运算生成最终的编码后的多项式c(x)如式(4)RS码的编码主要是围绕码的生成多项式g(x)进行的，一旦生成多项式确定了，则码就完全确定了。
2 RS编码的设计实现在一些特定应用域中，RS码的设计与实现是比较困难的。
RS码是在有限域上进行的代数运算，不同于常用的二进制系统，实现相对复杂一些，其复杂度主要决定于有限域的大小、码字的长度、采用的编码算法等，编码器的实现方式主要有以下几种：(1)微处理器实现的RS编码。
通用的微处理器采用查表(Table—lookup)方法可以实现RS编码，首先需要产生有限域运算中的系数，存于内存中，就可以通过查表的方法实现编码了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
RS 基本概念
GF(2m )域
域在RS 编码理论中起着至关重要的作用。
简单点说域m GF(2)有m
2(设m
2= q )个符号
且具有以下性质：
域中的每个元素都可以用a 0，a 1，a 2，a m-1
的和来表示。
除0、1外其余所有元素由本原多项式
P (x )生成。
本原多项式的特性是得到的余式等于0。
在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行 在GF 域上的加、减、乘、除运算定义如下（GF(4
2)为例）：
1、 加、减运算均定义为元素的二进制表示方式进行异或运算。
如：a 8
+a 10
，先查表，
将其化为二进制表示方式得0101+0111，经过异或运算得0010，再查表得a 1，即：a 8+a 10= a 1。
减运算与加运算相同，即：a 8-a 10= a 1。
2、 乘运算定义为元素的指数相加后进行模15运算后所得的新元素，但若有一个元素
为0，则相乘结果为0。
如：a 7*a 13，(7+13)mod 15=5，即a 7*a 13= a 5。
3、 除运算定义为元素的指数相减后进行模15运算后所得的新元素(指数为正数)。
若
被除数为0，则结果为0。
如：a 5/a 9，(5-9)mod 15=11，即a 5/a 9= a 11。
下面以一个较简单例子说明域的构造。
GF (42) 的所有元素
例：m=4,本原多项式 4p(x)=x +x+1求GF (4
2) 的所有元素：
因为α为p (x )的根得到4 ++1αα=0 或4
=+1αα (根据运算规则)
符号(n，k)RS
GF(2)域中，符号(n，k)RS的含义如下：
在介绍之前需要说明一些符号。
在4
m表示符号的大小，如m = 8表示符号由8位二进制数组成
n表示码块长度，
k表示码块中的信息长度
K=n－k = 2t表示校验码的符号数
t表示能够纠正的错误数目
RS的编码算法
GF(2)域上的RS(15,11)码，码长n=15字符，码元长k=11本项目RS纠错算法选择在4
字符，码距d=5，纠错能力t=2字符，每字符为4bits，即一个码组合7.5字节。
每11个有效字节加4个纠错字节。
每一帧报文分成若干组，以11个字节为一组，对这11个字节作纠错，生成4字节里德-所罗门码纠错码，和前11个字节一起共15个字节构成纠错后的一组报文。
一帧报文以每11个字节分组后，若最后一组字节数不满11个字节，剩余字节填77H，凑满11个字节再进行纠错。
对一个信息码符多项式，RS校验码生成多项式的一般形式为
(13－2)
式中，m0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1，而(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。
x+a x+a x+a x+a
对于R（15，11）对应生成多项式为g(x)=413362310
信息码符多项式为
1
()k i
i i M x m x -==∑(13－3)
并假设RS 校验码的4个符号为Q 3 Q 2\Q 1和Q 0，
的剩余多项式为
1
32132100
()n k i i i R x Q x Q x Q x Q x Q --==
=+++∑
这个多项式的阶次比
的阶次少一阶。
如果K 0 = 1，t = 1，由式(13－2)导出的RS 校验码生成多项式就为
=
234
()()()()x a x a x a x a ----(13－4) 根据多项式的运算，由式(13－3)和式(13－4)可以得到 M(x)+R(x)= 234()()()()x a x a x a x a ----Q (x )
当用234
x = a x = a x = a x = a 代入上式时，得到下面的方程组，
141343211090321028268642
10903210423912963
10903210565216128410
903210......0 0
......0 0
m a m a m a Q a Q a Q a Q m a m a m a Q a Q a Q a Q m a m a m a Q a Q a Q a Q m a m a m a Q a Q a Q a Q ⎧+++++++=⎪+++++++=⎪⎨+++++++=⎪⎪+++++++=⎩ 令141341090......m a m a m a +++=n0
282681090......m a m a m a +++=n1 4239121090......m a m a m a +++=n2 5652161090......m a m a m a +++=n3
解得：3Q =1331a (n3-n2)+a (n2-n1)+a (n1-n0)
2Q =9313a (n3-n2)+a (n2-n1)+a (n1-n0)
1Q = 1121a (n3-n2)+a (n2-n1)+a (n1-n0) 0Q =415a (n3-n2)+a (n2-n1)+a (n1-n0)+n0
RS 码的纠错算法
RS 码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)，(2)计算错误位置，(3)计算错误值。
现以例13.3为例介绍RS 码的纠错算法。
1、 求出校正子：
对于一组接收到的数据：
接收到的数据：68 31 00 31 00 68 4b 05 35 01 00 b7 2a 55 dc 分两小组：08 06 01 03 00 00 01 03 00 00 08 07 0b 0a 02 (I-1)
06 0b 04 05 00 05 03 01 00 00 00 05 05 0c 0d (I-2) 对应r14……r0
代入上式求出s1,s2,s3,s4(sj);
2、 判断若S j (j=1,2,3,4) 均为0，则无错；否则执行下面的步骤以求出错值及位置。
3、 求出错位多项式d(x)=dz 2x 2
+dz 0x+dz 1=0的根，即为错值位置，其中：
若dz 2=0，则只有一个根x 1=s 3/s 2 。
否则用代入法求出x 1，x 2，即把x 的所有15个可能值代入错位多项式，若结果为0，则即是一个根。
4、 求出错值ew 1,ew 2。
4
2
3103
4
2313
2
212s s s s dz s s s s dz s s s s dz =
=
=
，，j
i i
i j a
x x
r s ==∑=-14
14
若dz 2=0，ew=s 12
/s 2，否则
5、 纠错时在对应的x=a y
，r(14-y)处，加上对应错值即可完成纠错。
如根为
x 1=a 3，x 2=a 8，ew 1=a 4，ew 2=a 7，则在r(14-3)=r(11)上加ew 1即a 4
，在r(14-8)= r(6)
上加ew 2即a 7
后所得的数据就是纠错后的数据。
2
2
212
1122
1
212
211x x x s x s ew x x x s x s ew ++=
++=。