常用的检错码.
通信技术中的错误检测和纠正方法
通信技术中的错误检测和纠正方法在现代高速通信领域中，信息的准确传输至关重要。
然而，在数据传输过程中，由于噪声、干扰和其他因素的存在，数据中可能会出现错误。
为了保证数据的完整性和可靠性，在通信技术中使用了错误检测和纠正方法。
本文将介绍一些常用的错误检测和纠正方法，包括奇偶校验、循环冗余校验（CRC）和海明码。
首先，奇偶校验是一种简单但有效的错误检测方法。
在奇偶校验中，每个数据字节的最后一位被用来表示该字节中1的个数是奇数还是偶数。
例如，如果一个数据字节中有奇数个1，则该字节的最后一位为1，否则为0。
在接收端，接收到的数据将被重新计算奇偶校验位，并与发送端发送的奇偶校验位进行比较。
如果两者不一致，则说明数据在传输过程中发生了错误。
然而，奇偶校验只能检测错误，而无法纠正错误。
为了解决这个问题，循环冗余校验（CRC）被广泛应用于通信技术中。
CRC使用多项式除法来生成一个校验码，该校验码与发送的数据一起传输。
在接收端，接收到的数据经过同样的多项式除法，并将生成的校验码与发送端发送的校验码进行比较。
如果两者一致，则数据传输没有错误。
如果校验码不一致，则说明数据在传输过程中发生了错误。
CRC 能够检测和纠正多个位的错误，而且具有较低的错误率。
除了CRC，海明码是另一种常用的错误检测和纠正方法。
海明码是一种有冗余位的错误检测和纠正编码技术。
在发送端，数据通过添加冗余位来构建海明码。
这些冗余位表示了数据位中的硬错误，并用于纠正错误。
在接收端，接收到的数据经过海明码检验，如果有错误被检测到，接收端将使用海明码中的冗余位来识别和纠正错误。
海明码可以纠正单个位的错误，并能检测和纠正多个位的错误。
总结来说，在通信技术中，错误检测和纠正方法起到了保证数据传输可靠性的重要作用。
奇偶校验是一种简单但有限的错误检测方法，可以检测错误但无法纠正错误。
循环冗余校验（CRC）通过生成校验码来检测和纠正多个位的错误，具有较低的错误率。
而海明码则是一种冗余编码技术，能够纠正单个位的错误，并能检测和纠正多个位的错误。
计算机网络基础(第2版)教案：3.5差错控制(机械工业出版社)范兴福 李宇明 编
2．循环冗余码
奇偶校验作为一种检验码虽然简单，但是漏检率太高。在计算机网络和数据通信中用的最广泛的检错码,是一种漏检率低得多也便于实现的循环冗余码CRC (Cyclic Redundancy .Code),CRC码又称为多项式码。
数据通信中数据的传输通常需要经过很多个中间转接设备，这些设备通常采用电路交换、报文交换和分组交换技术进行数据交换。
数据在信道上传输会受到内因和外因的影响，传输差错不可避免。所以采用了相应的差错控制机制。常用的差错控制方式有：自动请求重发、有向纠错和混合纠错三种方式，常用的检纠错码有奇偶检验码、循环冗余码、海明码、等重码以及方阵检验码等。
小结
本章主要介绍了数据通信的相关基础知识及基本概念，重点介绍了数据传输、数据交换以及差错控制等方面的知识。同时由于数据传输一定需要传输媒体，所以本章中也对常用的传输媒体做了介绍。
信息是数据的内在含义或解释，数据是信息的载体，而信号是数据的编码。通信系统的基本技术指标有：比特率、波特率、误码率、吞吐量和信道的传播延迟。通信系统的基本作用是在发送方和接收方之间传递和交换信息。根据通信系统是利用模拟信号还是数字信号来传递信息，可以分为模拟通信系统和数字通信系统。现在使用比较广泛的是数字通信系统。
2．前向纠错方式
在前向纠错（Forward Error Correct，FEC）方式中，接收端不但能发现差错，而且能确定二进制出错的位置，从而就可以加以纠正。采用这种方法时就必须用纠错码，但它可以不需要反向信道来传递请求重发的信息。
3．混合纠错方式
混合纠错（Hybrid Error Correct，HEC）方式综合了上述两种纠错方式。接收端对所收到的数据进行检测，若发现错误，就对少量的能纠正的错误进行纠正，而对于超过纠错能力的差错通过ARQ方式予以纠正。该方法在一定程序上弥补了反馈重发和前向纠错的缺点。
常用的纠错码
常用的纠错码纠错码（Error Correction Code）是一种用于检测和纠正数据传输过程中出现的错误的技术。
在数据传输、存储和处理中，由于噪声、干扰等原因，数据往往会发生错误。
纠错码通过在原始数据中添加冗余信息，使得接收方在接收到含有错误的数据时，能够通过冗余信息来检测和纠正这些错误，从而提高数据的可靠性和完整性。
常用的纠错码有海明码（Hamming Code）、RS码（Reed-Solomon Code）、BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Code）等。
下面将分别对这些纠错码进行介绍。
海明码是一种最早被广泛应用的纠错码。
它通过在原始数据中添加冗余位，使得接收方能够检测并纠正单个比特的错误。
海明码的基本思想是将原始数据划分成若干个数据块，并为每个数据块添加冗余位。
接收方在接收到数据时，通过对数据块和冗余位进行异或运算，可以检测出错误的位置，并进行纠正。
海明码的纠错能力较强，能够纠正多个比特的错误。
RS码是一种广泛应用于数字通信和存储系统中的纠错码。
RS码采用了一种更加复杂的编码方式，能够在数据中添加更多的冗余信息，从而使得接收方能够纠正更多的错误。
RS码的基本原理是将原始数据看作一个多项式，并通过计算多项式的值来生成冗余信息。
接收方在接收到数据时，通过计算多项式的值，并使用一定的算法来解码，从而可以检测和纠正错误。
BCH码是一种开发于二十世纪六十年代的纠错码。
BCH码是一种能够纠正多个错误的纠错码，同时也是一种具有较低复杂度的纠错码。
BCH码的基本原理是将原始数据看作一个多项式，并通过计算多项式的值来生成冗余信息。
接收方在接收到数据时，通过计算多项式的值，并使用一定的算法来解码，从而可以检测和纠正错误。
除了海明码、RS码和BCH码，还有很多其他的纠错码，如卷积码、Turbo码等。
这些纠错码在不同的应用场景中具有不同的优势。
卷积码是一种连续时间码，适用于通信系统中的高速数据传输。
常用的检错码 - 奇偶校验码
3.2差错控制3.2.2常用的检错码- 奇偶校验码奇偶校验码是一种简单的检错码，奇偶校验码分为奇校验码和偶校验码，两者原理相同。
它通过增加冗余位来使得码字中“1”的个数保持奇数或偶数。
•无论是奇校验码还是偶校验码，其监督位只有一位；•假设信息为为I1, I2, …, I n，对于偶校验码，校验位R可以表示为：R =I1 ⊕I2⊕Λ⊕In•假设信息为为I1, I2, …, I n，对于奇校验码，校验位R可以表示为：R =I1 ⊕I2⊕Λ⊕In⊕1•无论是奇校验码还是偶校验码，都只能检测出奇数个错码，而不能检测偶数个错码。
44讨论： 从检错能力、编码效率和代价等方面来评价垂直奇偶校验、水平奇偶校验和水平垂直奇偶校验3.2 差错控制3.2.2 常用的检错码 - 奇偶校验码 奇偶校验在实际使用时又可分为垂直奇偶校验、水平奇偶校验和水平垂直奇偶校验等几种。
53.2.2常用的检错码–定比码所谓定比码，即每个码字中“1”的个数与“0”的个数之比保持恒定，故又名等比码或恒比码。
•当码字长一定，每个码字所含“1”的数目都相同，“0”的数目也都相同。
•由于若n位码字中“1”的个数恒定为m，还可称为“n中取m”码定比码（n中取m）的编码效率为：log C mR = 2 nn定比码能检测出全部奇数位错以及部分偶数位错。
实际上，除了码字中“1”变成“0”和“0”变成“1”成对出现的差错外，所有其它差错都能被检测出来64代码“1011011”对应的多项式为x 6 + x 4 + x 3 +1多项式“x 5 + x 4 + x 2 + x”所对应的代码为“110110” 3.2.2 常用的检错码 – 循环冗余检验 循环冗余码（Cyclic Redundancy Code ，简称CRC ）是无线通信中用得最广泛的检错码，又被称为多项式码。
二进制序列多项式：任何一个由m 个二进制位组成的代码序列都可以和一个只含有0和1两个系数的m-1阶多项式建立一一对应的关系。
计算机网络 检错码与纠错码
计算机网络检错码与纠错码在通信系统中广泛应用的差错控制技术是差错控制编码技术。
而差错控制编码包括检错码和纠错码两种，其中检错码是为传输的数据信号增加冗余码，以便发现数据信号中的错码，但不能纠正错码；纠错码是为传输的数据信号增加冗余码，以便发现数据信号中的错码，并自动纠正这些错码。
下面介绍几种检错码和纠错码的校验方法。
1．奇偶校验码奇偶校验码是一种最简单的无纠错能力的检错码，其编码规则是先将数据代码分组，例如，将ASCⅡ码中的一个字符或若干个字符分为一组。
在各组数据后面附加一位校验位，使该数据连校验位在内的码元中1的个数恒为偶数则为偶校验，恒为奇数则为奇校验。
奇偶校验无纠错能力，它只能检测出码元中的任意奇数个错误，若有偶数个错误必定漏检。
由于奇偶校验码容易实现，所以当信道干扰较弱，并且数据码长较短时，使用奇偶校验码效果很好，在计算机网络的数据传输中经常使用该检错码。
根据数据代码的分组方法，奇偶校验码可以分为水平奇偶校验、垂直奇偶校验和垂直水平奇偶校验。
●水平奇偶校验如表3-1所示，在水平奇偶校验中，把数据先以适当的长度划分成小组，并把码元按表中所示的顺序一列一列地排列起来，然后对水平方向的码元进行奇偶校验，得到一列校验位，附加在其他各列之后，最后按行的顺序进行传输。
水平奇偶校验能查出水平方向上奇数个错误和不大于数据代码长度的突发错误，无纠错能力，但产生校验码及校验逻辑相对复杂。
表3-1 水平奇偶校验●垂直奇偶校验如表3-2所示，在垂直奇偶校验中，把数据先以适当的长度划分成小组，并把码元按表中所示的顺序一列一列地排列起来，然后对垂直方向的码元进行奇偶校验，得到一行校验位，附加在其他各行之后，然后按列的顺序进行传输。
垂直奇偶校验能够查出列上的奇数个错误，只能查处50%的突发错误，无纠错能力，但产生校验码及校验逻辑相对简单。
表3-2 垂直奇偶校验●垂直水平奇偶校验垂直水平奇偶校验是在水平奇偶校验和垂直奇偶校验的基础上，把两者结合起来对码元进行校验，如表3-3所示。
常用校验码
常用校验码（奇偶校验码、海明校验码、CRC校验码）计算机系统运行时,各个部之间要进行数据交换. 为确保数据在传送过程正确无误,常使用检验码. 我们常使用的检验码有三种. 分别是奇偶校验码、海明校验码和循环冗余校验码(CRC)。
奇偶校验码奇偶校验码最简单,但只能检测出奇数位出错. 如果发生偶数位错误就无法检测. 但经研究是奇数位发生错误的概率大很多. 而且奇偶校验码无法检测出哪位出错.所以属于无法矫正错误的校验码。
奇偶校验码是奇校验码和偶校验码的统称. 它们都是通过在要校验的编码上加一位校验位组成. 如果是奇校验加上校验位后,编码中1的个数为奇数个。
如果是偶校验加上校验位后,编码中1的个数为偶数个。
例:原编码奇校验偶校验0000 0000 1 0000 00010 0010 0 0010 11100 1100 1 1100 01010 1010 1 1010 0如果发生奇数个位传输出错,那么编码中1的个数就会发生变化. 从而校验出错误，要求从新传输数据。
目前应用的奇偶校验码有3种.水平奇偶校验码对每一个数据的编码添加校验位,使信息位与校验位处于同一行.垂直奇偶校验码把数据分成若干组,一组数据排成一行,再加一行校验码. 针对每一行列采用奇校验或偶校验例: 有32位数据10100101 00110110 11001100 10101011垂直奇校验垂直偶校验数据10100101 1010010100110110 0011011011001100 1100110010101011 10101011校验00001011 11110100水平垂直奇偶校验码就是同时用水平校验和垂直校验例:奇校验奇水平偶校验偶水平数据 10100101 1 10100101 000110110 1 00110110 011001100 1 11001100 010101011 0 10101011 1校验 00001011 0 11110100 1海明校验码海明码也是利用奇偶性来校验数据的. 它是一种多重奇偶校验检错系统,它通过在数据位之间插入k 个校验位,来扩大码距,从而实现检错和纠错.设原来数据有n位,要加入k位校验码.怎么确定k的大小呢? k个校验位可以有pow(2,k) (代表2的k次方) 个编码,其中有一个代表是否出错. 剩下pow(2,k)-1个编码则用来表示到底是哪一位出错. 因为n个数据位和k个校验位都可能出错，所以k满足pow(2,k)-1 >= n+k。
检错与纠错
一、常用检错码(1) 寄偶校验码寄偶校验码是一种最简单的校验码，其编码规则：先将所要要传送的数据码元分组，并在每组的数据后面附加一位冗余位即校验位，使该组包括冗余位在内的数据码元中“1”的个数保持为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。
在接收端按照同样的规则检查，如发现不符，说明有错误发生；只有“1”的个数仍然符合原定的规律时，认为传输正确。
实际数据传输中所采用的寄偶校验码分为垂直奇偶校验、水平奇偶校验和水平垂直奇偶校验三种。
垂直奇偶校验是一字符为单位的校验方法。
例如，传输数据信息为“1010001”，采用偶校验时，附加位为“1”，则发送信息变为“10100011”；采用奇校验时，附加位为“0”，发送信息变为“10100010”；(2) 循环冗余校验码（CRC）循环冗余校验码CRC（Cyclic Redundancy Code）采用一种多项式的编码方法。
把要发送的数据位串看成是系数只能为“1”或为“0”的多项式。
一个k位的数据块可以看成Xk-1到X0的k项多项式的系数序列。
例如，“110001”有6位，表示多项式是“X5 + X4+ 1”。
多项式的运算是模2运算。
采用CRC码时，发方和收方必须事先约定一个生成多项式G（X），并且G（X）的最高位和最低必须是1。
要计算m位数据块的M（X）的校验和，生成多项式必须比该多项式短。
其基本思想是：将校验和附加在该数据块的末尾，使这个带校验和的多项式能被G（X）除尽。
当接收方收到带校验和的数据块时，用G（X）去除它，如果有余数，则传输有错误。
二、纠错码纠错码与检错码相比其功能更强，它不但能检错还能纠错。
海明码就是一种能够纠正一位错误的检错码。
海明码是海明(H.W.Hamming)于1950年提出的一种码制。
在发送数据之前将数据按照海明码制形成海明码，然后发送海明码，到达对方后根据接收到的海明码进行解释分析、判错、纠错。
(1) 海明码的形成①海明码的组合规则海明码是由数据与校验位组合而成的。
常用的检错码
[例] 右表中的编码是偶数监督码。 设信道的误码率为10-4，错码的出 现是独立的。试计算其不能检测 的误码率。 将给定条件代入式
Pu C p (1 p)
j 1 n 2j 2j n/2 n2 j
信息 位 晴 云 阴 雨 00 01 10 11
监督 位 0 1 1 0
计算得出
4 4 4 Pu C 2 j p 2 j (1 p ) 42 j C 2 p 2 (1 p ) 2 C 4 p 4 (1 p ) 0 j 1 2
6 p 2 (1 p ) 2 p 4 6 p 2 12 p 3 6 p 4 p 4 6 p 2 6 10 8
由计算结果可见，此编码可以将误码率从10-4降低到10-8量级。 效果非常明显。
二维奇偶监督码正部分错码
奇偶监督码
奇偶监督码 － 分为奇数监督码和偶数监督码两类。
偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数：
在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率等于k/(k+1)。
an1 an2 a0 0
式中，a0为监督位，其他位为信息位。
奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：
a 1 1 n
2 a n 1
a1 2 n
2 a n2
1 a1 2 a1
a1 0
2 a0
m a n 1
m a n2
m a1
m a0
c n 1
c n2
c1
c0
恒比码
恒比码又称等重码，该码的码字中含有“1” 的个数相等，含有“0”的个数也相等，且 该码的码字中1和0的位数保持恒定的比例。 目前我国电传通信中普遍采用3：2码，国 际上通用的ARQ电报通信系统中，采用3： 4码即7中取3码。
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1 n
1
a 1n 2
•••
a11
a
1 0
a
2 n 1
a
2 n2
•••
a12
a
2 0
••••••
a
m n 1
a
m n2
•••
a1m
a
m 0
cn1 c n2 • • • c1
c0
恒比码
恒比码又称等重码，该码的码字中含有“1” 的个数相等，含有“0”的个数也相等，且 该码的码字中1和0的位数保持恒定的比例。
6 p2 (1 p)2 p4 6 p2 12 p3 6 p4 p 4 6 p 2 6 108
由计算结果可见，此编码可以将误码率从10-4降低到10-8量级。
效果非常明显。
二维奇偶监督码
有可能检测偶数个错码 适合检测突发错码 能够纠正部分错码
a
目前我国电传通信中普遍采用3：2码，国 际上通用的ARQ电报通信系统中，采用3： 4码即7中取3码。
群计数码
该码中，信息码元经分组之后，计算每个 信息码组中“1”的数目，然后将这个数目 用二进制数表示，并作为监督码元附加在 信息码元的后面一起传输。
该码的检错能力很强，除了“0”和“1”互 变的错误之外，其他的错误都可以被检测 出来。
设信道的误码率为10-4，错码的出
现是独立的。试计算其不能检测
的误码率。
将给定条件代入式
n/2
P1
p)n2 j
j 1
计算得出
信息 监督
位
位
晴 00
0
云 01
1
阴 10
1
雨 11
0
2
Pu C24j p 2 j (1 p)42 j C24 p 2 (1 p)2 C44 p 4 (1 p)0 j 1
奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码，所以在一
个码组中有错码而不能检测的概率等于:
n/2
Pu C2nj p 2 j (1 p)n2 j j 1
－ 当n为偶数时
(n1) / 2
Pu
C
n 2
j
p2
j
(1
p)n2
j
j 1
－ 当n为奇数时
[例] 右表中的编码是偶数监督码。
奇偶监督码
奇偶监督码 － 分为奇数监督码和偶数监督码两类。 在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率等于k/(k+1)。 偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数：
an1 an2 a0 0
式中，a0为监督位，其他位为信息位。 奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：
an1 an2 a0 1
检错能力 － 能够检测奇数个错码。 设：码组长度为n， 码组中各个错码的发生是独立的和等概率的，则在一个
码组中出现 j 个错码的概率为
P(
j,
n)
C
n j
p
j
(1
p)n
j
式中，
C
n j
n! j!(n
j)!
— 为在n个码元中有j个错码的组合数。