重庆市七校联考2014_2015学年高一数学下学期期中试题理

重庆市七校联考2014-2015学年高一数学下学期期中试题理
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
．=3x-1 ．=
．=x+2 ．=
5．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）
16．△ABC 的三边,,a b c 和面积S 满足:22()S a b c =--,且△ABC 的外接圆的周长为
17π，则面积S 的最大值等于 .
三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分） 17．（本小题满分10分）
已知{}n a 是首项为2，公差为-2的等差数列， （1）求通项n a ；
（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S .
18．（本小题满分12分）
解关于x 的不等式
2
0 (0)1
ax a x ->>- 19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且B b a C A c a sin )()sin )(sin (-=+-． （1）求角C 的大小；
（2）若5=a ，7=c ，求ABC ∆的面积． 20．（本小题满分12分）
重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k
3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用
为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n
a 的首项⋯===++3,2,1,,1
234
311n a a n n n a a
（1）证明：数列1
{
1}n
a -是等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数,,m s t 成等差数列，且1,1,1---t s m a a a 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的,,m s t ，如果不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分）
已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4
2sin(2tan )(2π
αα+
⋅+=x x x f ，数列{}
n a 的首项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. （1）求函数)(x f 的表达式；
（2）求证：n n a a >+1
； （3）求证：
),2(21111111*
21N n n a a a n
∈≥<++++++< .
2014—2015学年度第二学期半期七校联考
高一数学(理科)参考答案
一、选择题：
1-5CBABD 6-10BACCB
11-12AD
17．答案：（1）24n a n =-+ （4分）
（2）2
31
32n n S n n -=-+ （6分）
18．答案：2a >，解集为2
{|1}x x x a
<>或 （4分）
2a =，解集为{|,1}x x R x ∈≠且 （8分）
2a <<，解集为2
{|1}x x x <>或 （12分）
20．解：(1)根据题意得100＝3×1＋5，所以k ＝800，
故f (x )＝800
3x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8. （6分）
(2)因为f (x )＝800
3x ＋5
＋2(3x ＋5)－5≥80－5，
当且仅当800
3x ＋5
＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75.
所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．（12分）
21．解：（1）
1211
211333n n n n
a a a a ++==+⋅， …………2分 ∴
11111(1)3n n a a +-=-，又13
4
a =，∴11113a -=， ∴数列1{1}n a -是以为13首项，1
3
为公比的等比数列． …………6分
（2）由（1）知1111111333
n n
n a -+-=⋅=，即1131133
n n n n a +
=+=，
∴331n n n a =+．……8分
假设存在互不相等的正整数,,m s t 满足条件，
则有2
2(1)(1)(1)s
m t m t s a a a +=⎧⎨-=--⎩,所以2
333(1)(1)(1)313131s m t s m t -=--+++ 化简得2(31)(31)(31)s m t +=++，
即23231331s s m t m t s ++⨯+=+++， …………10分
因为2s m t =+，所以得3323m t s
+=⨯.
但是3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立， 这与,,m s t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数,,m s t 满足题给的条
件。

…………12分 22．解：⑴1)
12(1)
12(2tan 1tan 22tan 2
2=---=-=
ααα 又∵α为锐角 ∴4
2π
α=
∴1)4
2sin(=+
π
α x x x f +=2)( （3分） ⑵ n n n a a a +=+2
1 ∵2
1
1=
a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02
>n a ∴n n a a >+1 （6分）
⑶
n
n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=
+11
1)1(111
2
1 ，∴11111+-=+n n n a a a . ∴1322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1
111211++-=-=n n a a a ∵4321)21(22=+=a , 14
3
)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12
∴131>≥+a a n ，∴21211<-<+n a ，∴2111111121<++++++<n
a a a （12
分）。