最新高一数学上期中试题及答案
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2024-2025学年酒泉市高一数学上学期期中考试卷及答案解析
2024—2025学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合3{|5}A x x =<，{3,1,0,2,3}B =--，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3} C. {1,0,2}- D. {3,1,0}--【答案】D 【解析】【分析】求出集合{A x x =，再利用交集运算即可求解.【详解】由题意可得集合{A x x =，因为12<<，且{3,1,0,2,3}B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，故D 正确.故选：D.2. 下列命题中正确的是（ ）A. 若0a b >>，则22a b > B. 若a b <，则22ac bc <C. 若a b <，则11a b> D. 若a b >，则ac bc>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ；举反例判断BCD.【详解】对于选项A ：若0a b >>，由不等式性质可得22a b >，故A 正确；的对于选项BD ：例如0c =，可得220ac bc ==，0ac bc ==，故BD 错误；对于选项C ：利用1,1a b =-=，可得111,1a b =-=，即11a b<，故C 错误；故选：A.3. 已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B. 1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C. 1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D. 1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D4. 已知函数()235,1,28,1,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则()()2f f 的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】因为f (x )=3x +5,x ≤1,−2x 2+8,x >1,所以()222280f =-⨯+=，所以()()()203055ff f ==⨯+=.故选：B5. 下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()1f x x=B. ()exf x =C. ()2f x x = D. ()1f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性，即可得出结论.【详解】函数()1f x x=是奇函数，在区间()0,∞+上单调递减，故A 不符合题意；函数()e xf x =是非奇非偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故B 不符合题意；函数()2f x x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故C 不符合题意；函数()1f x x x=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且满足()()1f x x f x x -=-+=-，又函数y x =和1y x =-均在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()1f x x x =-在区间()0,∞+上单调递增，即函数()1f x x x=-既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增，符合题意.故选：D.6. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（ ）A. 2 B. 4C. 2-D. 4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A7. 已知2345a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【详解】易知3362555422933c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭定义域上单调递减，36145<<，所以23b c >>，易知()230y xx =>单调递增，432543>>，则223334422533a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上a b c >>.故选：A8. 函数()1,4,11x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩的值域为（ ）A. [)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B. 5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)3,4,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D. 3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得1x ≤时函数()f x 的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，再由基本不等式可求得当1x >时，函数()f x 的值域为[)5,+∞，即可得出结论.【详解】根据题意当1x ≤时，()f x x =t =，可得[)0,t ∈+∞，所以21x t =-，因此可得()2215124f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭；由二次函数性质可得当12t =，即34x =时，()1f x x x =≤取得最大值54，此时()1f x x x =+≤的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；当1x >时，()44111511f x x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；此时()4,11f x x x x =+≥-的最小值为5，因此()4,11f x x x x =+≥-的值域为[)5,+∞；综上可得，函数()f x 的值域为[)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数()f x 的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件B. 命题“21,1x x ∀<<”的否定是“1x ∃≥，21x ≥”C. 若a b >，则22a b c c >D. 若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最小值为9【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分和必要条件，全称量词命题的否定、不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】选项A ，若1a >，则11a <；若11a<，则a 有可能是负数，此时1a >不成立，故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，正确，符合题意；选项B ，命题“1x ∀<，21x <”的否定是“21,1x x ∃<≥”，错误，不符合题意；选项C ，若a b >，则22a b c c>，正确，符合题意；选项D ，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，16b =时，取等号，故11a b+的最小值为9，正确，符合题意.故选：ACD10. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞B. ()0f x =有3个根C. ()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃D. 当0x <时，()22f x x x=-+【答案】ABC 【解析】【分析】先求得0x <时()f x 的解析式判断选项D ；求得()f x 的单调递增区间判断选项A ；求得()0f x =的根的个数判断选项B ；求得()0xf x <的解集判断选项C.【详解】由()f x 是定义在R 上的奇函数知，对任意x ∈R ，()()f x f x -=-.当0x <时，0x ->，又当0x ≥时，()22f x x x =-，所以()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，故D 错误.由上可知()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩又抛物线22y x x =-的对称轴为直线1x =，开口向上，抛物线22yx x =--的对称轴为直线1x =-，开口向下，结合二次函数的性质知()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞，故A 正确.由()0f x =可得2020x x x ≥⎧⎨-=⎩或220x x x <⎧⎨--=⎩解之得，0x =或2x =或2x =-，故B 正确.由()0xf x <，可得2020x x x <⎧⎨-->⎩或220x x x >⎧⎨-<⎩解得20x -<<或02x <<，故C 正确.故选：ABC11. 已知函数2,0()2,0x x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则下列判断错误的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的图像与直线1y =有两个交点C. ()f x 的值域是[0,)+∞D. ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数【答案】AB 【解析】【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A 不正确；函数图象与直线1y =有一个交点，故B 错误；函数的值域为[0,)+∞，且在区间(,0)-∞上是减函数，即C 、D 正确；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 能说明“关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立”为假命题的实数a 的一个取值为_________.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】将关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立问题转化为0∆<，从而得到a 的取值范围，命题为假命题时a 的取值范围是真命题时的补集，即可得a 的取值.【详解】若不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则()2420a a ∆=--⨯<，解得08a <<，所以该命题为假命题时实数a 的取值范围是08a a ≤≥或，.所以实数a 一个取值为0.故答案为：0（答案不唯一，只要满足“0a ≤或8a ≥”即可）.13. 已知函数()21,02,6,2,x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩则不等式()12f x x >的解集为______.【答案】()1,4【解析】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象，即可求得不等式()12f x x >的解集.【详解】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为(1,4).故答案为：(1,4)14. 已知正数,x y 满足328x y -=，则3x y+的最小值为______.【答案】9【解析】【分析】先根据指数运算求出33x y =+，代入3x y+中，再利用基本不等式可得最小值.【详解】33282x y y -==，可得33x y =+，又0,0x y >>，所以3333239x y y y +=++≥⨯+=，的当且仅当1y y=，即1y =时取得最小值.故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.（1）若4a =，求A B ，()U A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）A ∪B ={x |−9≤x ≤5},(){}U 25A B x x ⋂=<≤ð; （2）13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算.（2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可.【小问1详解】因为4a =，所以{}92B x x =-≤≤.因为{}15A x x =≤≤，所以{}95A B x x ⋃=-≤≤.因为R U =，所以{9U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}25U A B x x ⋂=<≤ð.【小问2详解】因为B A ⊆.①当B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a -->-，解得13a <；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则121,25,122,a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤-⎩解得a ∈∅综上所述，实数a 的取值范围是13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.16. 已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f xf x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．.【答案】（1）证明见解析 （2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f xf x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.17. 已知函数()21x bf x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，【所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.18. 已知函数()122x f x =+.（1）求()0f 与()2f ，()1f -与()3f 的值；（2）由（1）中求得的结果，猜想f(x)与()2f x -的关系并证明你的猜想；（3）求()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值.【答案】（1））()103f =，()126f =，()215f -=，()1310f = （2）()()122f x f x +-=，证明见解析 （3）40434【解析】【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；（2）根据（1）的结果猜想()()122f x f x +-=，计算()()2f x f x +-的值即可证明；（3）根据（2）的结果可得1(2020)(2022)2f f -+=，根据规律计算即可求解.【小问1详解】解：因为()122x f x =+，故11(0)123f ==+，211(2)226f ==+，112(1)225f --==+，311(3)2210f ==+.【小问2详解】解：猜想：()()122f x f x +-=，证明：∵对于任意的x R ∈，都有2221122(2)2222222(22)22x x x x x x f x --====++⨯++∴221()(2)2(22)2x x f x f x ++-==+.故()()122f x f x +-=.【小问3详解】解：由（2）得()()122f x f x +-=，故(2020)(22022)f f -=-，1(2020)(2022)2f f -+=，1(2019)(2021)2f f -+=，所以()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++()()()()()()()2020202220192021(1)(3)021f f f f f f f f f =-++-+⋅⋅⋅+-++++1140432021244=⨯+=.19. 已知()f x 满足 ()()()(),f x f y f x y x y +=+∈R ，且0x >时，()0f x < .（1）判断()f x 的单调性并证明；（2）证明：()()f x f x -=-；（3）若()12f =-，解不等式()2260f x x -->．【答案】（1）减函数，证明见解析（2）证明见解析 （3）{|1x x <-或}3x >．【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索()f x -与()f x 之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可.【小问1详解】()f x 是R 上的减函数，证明如下：对任意12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以()210f x x -<；又()()()1212f x f x x f x +-=即()()()21210f x f x f x x -=-<，所以()()21f x f x <.所以()f x 是R 上的减函数.【小问2详解】由()()()f x f y f x y +=+，令y x =-，得()()()0f x f x f +-=；再令0x =可得()()()000f f f +=⇒()00f =；()()0f x f x ∴-+=即()()f x f x -=-.【小问3详解】()()()()122114f f f f =-⇒=+=-，()()()3216f f f =+=-，()2260f x x ∴-->，即()()()2233f x x f f ->-=-，又()f x 是R 上的减函数，所以223x x -<-⇒2230x x -->，解得：1x <-或3x >，所以不等式的解集为{|1x x <-或}3x >.。
2023-2024学年天津一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b25．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√27．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−1128．定义在R上的奇函数f（x），满足f（12+x）＝f（12−x），在区间[−12，0]上递增，则（）A．f（0.3）＜f(√2)＜f(2)B．f（2）＜f（0.3）＜f（√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．1110．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x 的不等式x 2﹣ax ﹣6a ＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25]∪[1，+∞） B ．[﹣25，﹣24）∪（0，1] C ．[﹣25，0）∪（1，24） D ．[﹣25，1]二、填空题：（每小题4分，共24分） 11．已知函数f(x)=√2+x 1√16−x 的定义域为 ．12．已知命题p ：x ＞m ，q ：2+x ﹣x 2＜0，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 ．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ ．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 ． 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝2． （1）求b a +4b的最小值；（2）求4a 2+8ab +b 2的最大值． 19．（12分）已知函数f(x)=x 2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}解：因为U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}＝U＝{1，2，3，4}，所以（∁U P）∪Q＝{4}∪{2，4}＝{2，4}．故选：B．2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：a＝b＜0时，a+b2=√ab不成立，“a＝b”不是“a+b2=√ab”的充分条件；a+b2=√ab时，有a≥0且b≥0，a+b−2√ab=0，即(√a−√b)2=0，得a＝b，故“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要条件；所以“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要不充分条件．故选：B．3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0．故选：A．4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2解：对于A，当a＝﹣b时，如a＝2，b＝﹣2时a2＝b2成立，故A错误；对于B，当a＝1，b＝2，显然a2≠b2，但a＜b，故B错误；对于C，当a＝2，b＝﹣3时，显然a＞b，但a2＜b2，故C错误；对于D，a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，故D正确．故选：D．5．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz解：当x＝2，y＝0，z＝﹣1时，不等式xy＞yz，x|y|＞z|y|，xz≥yz均不成立，故选项A、B、D错误；因为x＞y＞z，且x+y+z＝1，所以x＞0，所以xy＞xz，故选项C正确．故选：C．6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√2解：由f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，取x=1x，则f（1x）+2f（x）=5x+4x，联立解得f（x）＝x+2x，x∈（0，+∞）．∴f（x）＝x+2x≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时等号成立．∴f（x）的最小值为2√2．故选：D．7．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−112解：根据题意，函数f(x)=2ax2+bx+c，由函数的图象，其定义域为{x|x≠2且x≠4}，在区间（2，4）上，f（x）＞0，且当x＝3时，f（x）取得最小值1，在区间（﹣∞，2）和（4，+∞）上，f（x）＜0，设g（x）＝ax2+bx+c，则g（x）＝0的两个零点为2和4，必有a＜0，且当x＝3时，g（x）取得最大值2，则有{−ba =2+4=6c a =2×4=89a +3b +c =2，解可得{a =−2b =12c =−16，则f （x ）=2−2x 2+12x−16=−1x 2−6x+8， 则f （5）=−13．故选：A ．8．定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），在区间[−12，0]上递增，则（ ）A ．f （0.3）＜f(√2)＜f(2)B ．f （2）＜f （0.3）＜f （√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）解：定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），可得f （x ）的图象关于直线x =12对称，由f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）＝f （x +1）， 可得f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 即f （x ）的周期为2，奇函数f （x ）在区间[−12，0]上递增，可得f （x ）在（0，12）递增，由f （x ）的图象关于直线x =12对称，可得f （x ）在（12，1）递减，即有f （12）＞f （0）＝0，f （−12）＜0，f （0.3）＞0，即有f （2）＝f （0）＝0，f （√2）＝f （1−√2）＜0， 可得f （√2）＜f （2）＜f （0.3）， 故选：D ．9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．11解：根据不等式xy ≤x 2+y 22可得√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2≤4a 2+b 2+a 2+4b 22=52(a 2+b 2)，当且仅当4a 2+b 2＝a 2+4b 2，即a 2＝b 2时等号成立， 所以，√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b 2≤52，所以m =52．所以，不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，5）．根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，1和5是方程x2﹣ax+b＝0的两个解，由根与系数的关系知{1+5=a1×5=b，解得{a=6b=5，所以a+b＝11．故选：D．10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，25]∪[1，+∞）B．[﹣25，﹣24）∪（0，1]C．[﹣25，0）∪（1，24）D．[﹣25，1]解：∵关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，∴Δ＝a2+24a＞0，解得a＞0或a＜﹣24．由x2﹣ax﹣6a＝0解得．x1=a−√△2，x2=a+√△2∵x1＜x2，∴不等式解集为（x1，x2），∵解集的区间长度不超过5个单位长x2﹣x1≤5，解得﹣25≤a≤1，∵a＞0或a＜﹣24，∴﹣25≤a＜﹣24或0＜a≤1．故选：B．二、填空题：（每小题4分，共24分）11．已知函数f(x)=√2+x√16−x2的定义域为[﹣2，4）．解：由题意得函数f(x)=√2+x1√16−x2要有意义，需满足{2+x≥016−x2＞0，解得﹣2≤x＜4，即函数f(x)=√2+x1√16−x2的定义域为[﹣2，4）．故答案为：[﹣2，4）．12．已知命题p：x＞m，q：2+x﹣x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是[2，+∞）．解：不等式2+x﹣x2＜0，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＜﹣1或x＞2．设A＝{x|x＞m}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}，由命题p是命题q的充分不必要条件，可知A⫋B，所以有m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 13 ．解：某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱， 设两项运动都喜欢的人数为x ，作出维恩图，可得：25﹣x +x +20﹣x +16＝48，解得x ＝13， 则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为13． 故答案为：13．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ √2 ．解：当a +2≤0，即a ≤﹣2时，则由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a ＝a +5，无解； 当a ﹣3≤0，且a +2＞0，即﹣2＜a ≤3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a =√a +2，所以a ＞0， 整理可得，a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝﹣1（舍去）或a ＝2； 当a ﹣3＞0，即a ＞3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，√a −3=√a +2，无解． 综上所述，a ＝2． 所以，f(a)=f(2)=√2． 故答案为：√2．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 [0，76] ．解：函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则{2a −3＜0a+42≥24−2(a +4)+5≥2(2a −3)，解得0≤a ≤76，即实数a 的取值范围为[0，76]．故答案为：[0，76]．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 −13．解：因为 f （﹣x ）＝f （x ），x ∈R ，所以函数f （x ）为偶函数， 又当x ⩾0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1是减函数，所以不等式 f （1﹣x ）⩽f （x +m ），等价于不等式 f （|1﹣x |）⩽f （|x +m |）， 即|1﹣x |⩾|x +m |，平方化简得 2（m +1）x ⩽1﹣m 2， 当m +1＝0时，x ∈R ，符合题意，所以m ＝﹣1； 当m +1＞0，即 m ＞﹣1时 ，x ⩽1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以 m +1⩽1−m 2，解得 m ⩽−13，所以−1＜m ⩽−13； 当m +1＜0，即m ＜﹣1 时，x ⩾1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以m ⩾1−m 2，解得m ⩾13，这与m ＜﹣1矛盾，舍去． 综上，−1⩽m ⩽−13，因此实数 m 的最大值是 −13．三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}＝{0，2}，由A ∩B ＝{2}可得2∈B ， 则22+2（m ﹣1）﹣m 2+1＝0， 化简可得m 2﹣2m ﹣3＝0， 解得m ＝﹣1或m ＝3，当m ＝﹣1时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2﹣2x ＝0，则B ＝{0，2}，此时A ∩B ＝{0，2}，不满足题意； 当m ＝3时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2+2x ﹣8＝0，则B ＝{4，2}，此时A ∩B ＝{2}，满足题意； 所以m ＝3．（2）由A ∩B ＝B 可得，B ⊆A ，当B ＝∅时，Δ＝（m ﹣1）2+4（m 2﹣1）＜0， 化简可得5m 2﹣2m ﹣3＜0，解得−35＜m ＜1；当B为单元素集合时，Δ＝（m﹣1）2+4（m2﹣1）＝0，解得m=−35或m＝1，当m=−35时，x2+(m−1)x−m2+1=0⇒x2−85x+1625=0，解得x=45，即B={45}，不满足B⊆A；当m＝1时，x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2＝0，解得x＝0，即B＝{0}，满足B⊆A；当B为双元素集合时，则其两个元素分别是0，2，由韦达定理得{Δ=(m−1)2+4(m2−1)＞0−(m−1)=0+2−m2+1=0×2，解得m＝﹣1，此时x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2﹣2x＝0，即B＝{0，2}，满足B⊆A，综上所述，m∈(−35，1]∪{1}．18．（12分）已知a＞0，b＞0，2a+b＝2．（1）求ba +4b的最小值；（2）求4a2+8ab+b2的最大值．解：（1）a＞0，b＞0，2a+b＝2，所以ba+4b=ba+2(2a+b)b=ba+4ab+2≥2√ba⋅4ab+2=6，当且仅当ba=4ab且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，故ba+4b的最小值为6．（2）由2a+b=2≥2√2ab，得ab≤12，当且仅当2a＝b且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，4a2+8ab+b2=(2a+b)2+4ab=4+4ab≤4+4×12=6，故4a2+8ab+b2的最大值为6．19．（12分）已知函数f(x)=x2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f(x)=x2+2x，则f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−(x22+2x2)=(x12−x22)+(2x1−2x2)=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)，由1＜x1＜x2，得x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，x1x2＞1，2x1x2＜2，x1+x2−2x1x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增．（3）不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m，即（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m，依题意有（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m对一切x∈[1，6]恒成立，（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1﹣1＝（x﹣2）2﹣1，由1≤x≤6，得﹣1≤x﹣2≤4，0≤（x﹣2）2≤16，﹣1≤（x﹣2）2﹣1≤15，则有﹣1≥m，实数m的取值范围（﹣∞，﹣1]．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．解：（1）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．则f(x)+f(2a−x)=x+1−aa−x+2a−x+1−aa−2a+x=x+1−aa−x+a−x+1x−a=x+1−a−a+x−1a−x=−2．（2）f(x)=1−(a−x)a−x=−1+1a−x，由a+12≤x≤a+1，有−a−1≤−x≤−a−1 2，得−1≤a−x≤−1 2，则有−2≤1a−x≤−1，可得−3≤−1+1a−x≤−2，所以f（x）值域为[﹣3，﹣2]．（3）由题意，函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，所以g（x）＝x2+|x+1﹣a|（x≠a），①当x≥a﹣1且x≠a时，g(x)=x2+x+1−a=(x+12)2+34−a，如果a−1≥−12，即a≥12时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2；如果a−1＜−12，即a＜12且a≠−12时，g(x)min=g(−12)=34−a；如果a=−12时，g（x）无最小值．②当x＜a﹣1时，g(x)=x2−x−1+a=(x−12)2+a−54；如果a−1＞12，即a＞32时，g(x)min=g(12)=a−54；如果a−1≤12，即a≤32时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2，当a＞32时，(a−1)2−(a−54)=(a−32)2＞0，当a＜12时，(a−1)2−(34−a)=(a−12)2＞0，综上所述，当a＜12且a≠−12时，g（x）的最小值是34−a；当12≤a≤32时，g（x）的最小值是（a﹣1）2；当a＞32时，g（x）的最小值是a−54；当a=−12时，g（x）无最小值．。
2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]
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在
上单调递增，
f x f 1 1
min
，C 正确；
D
选项，令
2x2
3x
0
，解得
x
3 2
或
0（舍去），
f x
故
的图象与 x 轴只有 1 个交点，D 错误．
故选：ABC
11.
已知关于 x 的不等式
ax²
2bx
3c
0
x
的解集为
|
3
x
1 ，则下列结论正确的是（
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由 a b 得不到 ac2 bc2 ，如 c 0 ，故充分性不成立，
反之，由 ac2 bc2 可以得到 a b ，故必要性成立，
则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件.
若 m 2 ，则 f (x) x2 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数，不符合题意，舍去；
若m
1 ，则
f
(x)
1 x
，函数
f
(x) 在 (0, ) 上为减函数，符合题意；
所以实数 m 的值是 1.
故选：B.
4. 已知 a, b, c 是实数，则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的（ ）
，
2
x
5
0
【答案】C
【解析】
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题
p： x R
3x2
，使得
2
x
5
0
2023-2024学年度上学期高一数学期中考试[含答案]
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又 f (x) 是奇函数，所以 0 x 2 时， f (x) 0 ， x 2 时， f (x) 0 ，且 f (0) f (2) 0 ，
不等式
xf
x
0
x
f
0
x
0
或
x
f
0 (x)
0
或
x
0
，所以 0
x
2 或 2
x
0
，
综上 2 x 2 ．
故选：D．a 23 ， b 45 ， c 253 ，则
【解析】
【分析】根据交集含义即可得到答案.
A B 1, 0,1
【详解】根据交集含义即可得到
，
故选：B.
2. 命题： x R, x | x | 0 的否定为（ ）
A. x R, x | x | 0
B. x R, x | x | 0
C. x R, x | x | 0
D. x R, x | x | 0
【详解】因为
f
2x
1
x2
1 t
，令
2x
1,
x
t
1 2
，
f
(t)
t
1 2 2
1
，即
f
(x)
x 12 2
1
，
所以 f (3) 2 .
故选：B
6.
若定义在 R 的奇函数
f
x
，若
x
0
时
f
x
x 2
xf
，则满足
x 0 的 x 的取值范围是（
）
, 20, 2
A. 【答案】D 【解析】
, 2 2, , 20, 2
对于 C，
y∣y∣ x2 1, x R
高一数学上学期期中考试试卷含答案(共5套,新课标版)
高一第一学期数学期中考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2M =，{}3,4N =，则()UM N =（ ）A.{}5B.{}1,2C.{}3,4D.{}1,2,3,42.函数y = ） A.[)1,+∞B.[]0,2C.()0,+∞D.[)0,+∞3.点()sin913,cos913A ︒︒位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.若实数a ，b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）A.18B.6C.D.5.已知0a b >>，则“0m >”是“m m a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．函数()22log 4y x =-的单调增区间是（ ） A.()0,+∞B.()2,+∞C.(),0-∞D.(),2-∞-7.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某班教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数100.05()-=+∈ty eR λλ描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据ln20.7,ln3 1.1≈≈）A ．7分钟B ．9分钟C ．11分钟D ．14分钟 8.设0.3log 0.2a =，3log 2b =，0.30.6c =，则（ ） A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >>二、多项选择题（共4小题，各题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）.9．下列说法正确的是( )A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角B ．如果α，β是第一象限的角，且αβ<则sin sin αβ<C ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为23πD ．若圆心角为23π的扇形的弦长为83π10.若角α的终边上有一点()(),20P a a a ≠，则2sin cos αα-的值可以是（ ）A ．BC ．D 11.下列结论正确的是（ ）A.“0x ∃<，2310x x -+≥”的否定是“0x ∀<，2310x x -+<”B.函数()f x 在(],0-∞单调递增，在()0,+∞单调递增，则()f x 在R 上是增函数C.函数()f x 是R 上的增函数，若()()()()1212f x f x f x f x +≥-+-成立，则120x x +≥D.函数()f x 定义域为R ，且对,a b R ∀∈，()()()f a b f a f b +=+恒成立，则()f x 为奇函数12.函数()()()2,142,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩恰有2个零点的充分条件是（ ）A.(]1,2B.()3,+∞C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()222x x f x x a -=⋅-是奇函数，则a =________________.14.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点4π4πsin ,cos 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=_________．15.若cos cos 7x π=，则x 的取值组成的集合为_____________________..16.设函数()()213,1,2, 1.xax a x a x f x x ⎧-++<=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，且OA OB ⊥. （1）求()()sin cos 23cos sin 2ππαβππβα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值；（2）若点A 的横坐标为35，求2sin cos αβ的值.18．（本小题满分12分）已知集合{}23=<->或A x x x ，{}123,=-≤≤+∈B x m x m m R ． （1）若2=m ，求A B 和()R A B ；（2）若=∅A B ，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数()2=-mf x x x ，且112⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ． （1）求m 的值；（2）判定()f x 的奇偶性，并给予证明；（3）判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并给予证明．20．（本小题满分12分）已知2()3=+-f x x x a ．（1）若()0<f x 的解集为{}4-<<x x b ，求实数a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式()2>+f x ax a ．21．（本小题满分12分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放(14,)≤≤∈a a a R 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的函数关系式近似为()=⋅y a f x ，其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021xx f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8．C 【解析】依题意可知0=t 时，0.2=y ，即0.050.2,0.15+==λλ，所以100.050.15=+t y e ，由100.050.150.1=+≤t y e ，得1013≤t e ，两边取以e 为底的对数得1ln ln3 1.1,11103-≤=-≈-≥t t ，所以至少需要11分钟，故选：C ． 二、多项选择题（共4小题，每小题均有两个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1 14.15． {|2,}7k k Z πααπ=±∈16.[1,)+∞四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）∵2πβα=+，∴sin sin cos 2πβαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∴()()sin cos sin sin sin cos 213cos cos sin cos cos sin 2ππαβαβααπαβααπβα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. .........................5分（2）∵点A 的横坐标为35，∴3cos 5α=，4sin 5α， 4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，∴44322sin cos 25525αβ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. ........................ 10分18．【解析】（1）若2=m ，则{}17=≤≤B x x ，......................... 1分 所以{}21=<-≥或AB x x x ， ......................... 3分因为{}23=-≤≤RA x x ，所以(){}13=≤≤R AB x x ． ......................... 6分（2）因为=∅A B ，当=∅B 时，123->+m m ，解得4<-m ，满足≠∅AB ； ......................... 8分当≠∅B 时，12312233-≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩m m m m ，解得10-≤≤m ， ......................... 11分综上所述：实数m 的取值范围是4<-m 或10-≤≤m ． ......................... 12分19．（1）因为11112112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭m mf ，所以1=-m ； ......................... 3分（2）由（1）可得1()2=-f x x x，因为()f x 的定义域为{}0≠x x ， 又111()222()⎛⎫⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x f x x x x ，所以()f x 是奇函数； ......................... 7分 （3）函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，理由如下： 任取120>>x x ， 则()()()()()1212121212121212122111222-+⎛⎫--=---=-+= ⎪⎝⎭x x x x x xf x f x x x x x x x x x x x ....................10分 因为120>>x x ，所以12120,0->>x x x x ，所以()()12>f x f x ，所以()f x 在(0,)+∞上为单调增函数． ......................... 12分 20．【详解】（1）因为()0>f x 的解集为{}4-<<x x b ，所以4=-x 为方程()0=f x 的根，所以2(4)3(4)0-+⨯--=a ，解得4=a ． ......................... 3分 所以由2()340=+-<f x x x ，解得{}41-<<x x ，所以1=b ． ......................... 6分 （2）()2>+f x ax a 等价于2(3)30+-->x a x a ，整理得：(3)()0+->x x a ． ...................... 7分当3>-a 时，解不等式得3<-x 或>x a ； 当3=-a 时，解得3≠-x ；当3<-a 时，解得<x a 或3>-x ； ......................... 11分综上，当3>-a 时，不等式的解集为(,3)(,)-∞-+∞a ；当3=-a 时，不等式的解集为{}3≠-x x ； 当3<-a 时，不等式的解集为(,)(3,)-∞-+∞a ． 12分21．【解析】（1）因为4=a ，所以644,048202,410⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩x y x x x ． ......................... 1分则当04x ≤≤时，由64448-≥-x，解得0≥x ，所以此时04x ≤≤． ......................... 4分 当410<≤x 时，由2024-≥x ，解得8≤x ，所以此时48<≤x ． ......................... 5分 综上，得08≤≤x ，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟． ........................ 6分（2）假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则： 当610≤≤x时，11616251(14)4428(6)14⎡⎤⎛⎫=⨯-+-=-+--≥-- ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦a y x a x a a x x ....... 8分当且仅当14-=x 时等号取到．（因为14≤≤a ，所以[6,10]∈x 能取到） 所以y有最小值4--a．令44--≥a ，解得244-≤≤a ， ......................... 10分所以a的最小值为24 1.42-≈<．即要使得接下来的4分钟内持续有效去污，6分钟后至少需要再投放1.4个单位的洗衣液．所以，若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，能使接下来的4分钟内持续有效去污． ......................... 12分22. （1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，∴(2)4411(3)9614g a a b g a a b =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩． ......................... 3分（2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-， [2,4]x ∈时，2log [1,2]x ∈，令2log t x =，则()20f t kt -≥在[1,2]上有解，......................... 4分1()2220f t kt t kt t -=+--≥，∵[1,2]t ∈，∴22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭， [1,2]t ∈，则11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为14， ......................... 6分 ∴124k ≤，即18k ≤． ∴k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． ......................... 7分（3）原方程化为221(32)21(21)0x x k k --+-++=，令21xt =-，则(0,)t ∈+∞，2(32)(21)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，作出函数21xt =-的图象，如图 ......................... 9分原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记2()(32)(21)0h t t k t k =-+++=， ......................... 10分则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩，解得0k >，或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解． 综上k 的取值范围是(0,)+∞． ......................... 12分高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
湖北省四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .{}0,2,3,5,7∅{}02210xx -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x=3y x =2y x =3y x=-22acbc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m+<+a b >11a b<a b >x y >ax by>22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥(,3-∞(],6-∞(,3-∞+(],7-∞8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A .B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
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最新高一数学上期中试题及答案一、选择题1．若集合{}|1,A xx x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1274．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃6．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 7．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A．9,3 4⎛⎫⎪⎝⎭B．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．()1,3D．()2,310．已知0.80.820.7,log0.8, 1.1a b c===，则,,a b c的大小关系是（）A．a b c<<B．b a c<<C．a c b<<D．b c a<<11．已知集合{|20}A x x=-<，{|}B x x a=<，若A B A=，则实数a的取值范围是( )A．(,2]-∞-B．[2,)+∞C．(,2]-∞D．[2,)-+∞12．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知函数241,0()3,0xx x xf xx⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x=的零点的个数是________.14．若1∈{}2,a a, 则a的值是__________15．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x xx⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.16．如果关于x的方程x2+（m-1）x-m=0有两个大于12的正根，则实数m的取值范围为____________.17．若4log3a=，则22a a-+=．18．已知()f x是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x>，()f x的图象如图所示，那么()f x的值域是______．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 22．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.23．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。
(1)求实数a 的值； (2)若不等式()240xxg k -⋅≥ 当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围。
24．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．25．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．26．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D3．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．4．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．6．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.12．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±，当0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-+=--的图像，即可求解.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±，1220,4223,-<-+<-<--<-当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与2y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．15．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩ 则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.16．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12）【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.17．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=222a -+== 考点：对数的计算18．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）()142364f x x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()1242364f x x x =-+，30130x ≤≤，令t x =，则30,130t ⎡∈⎣，转化为求函数2,30,611424033y t t t ⎡∈⎣=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()114261602423644f x x x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()142364f x x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元， 所以总收益()14236664f x x x =-+=． ()()1242364f x x x =-+，30130x ≤≤ 令t x =30,130t ⎡∈⎣．2,30,611424033y t t t ⎡∈⎣=-++ 当82t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性. 【详解】 (1)()4f x x x=-的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数. (2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,121240,10x x x x ∴-+， ()1212410x x x x ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭， ()()12f x f x <. ∴ ()f x 在()0,+∞上是增函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）1a =；（2）1-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，. 【解析】 【分析】(1)分类讨论二次函数的轴和区间的关系，分别讨论函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）由已知得()22221?40xx x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立⇔2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)1,x ∈+∞上恒成立，令12x t =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式2121,0,2k t t t ⎛⎤⇔≤-+∈ ⎥⎝⎦恒成立，根据二次函数的性质求最值即可.【详解】（1）()()221g x x a a =-+- 当1a <时，()g x 在[]1,3上单调递增()()min 1220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾。