数学分析报告3期末练习题三参考问题详解

10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案 1. 试求极限.42lim)0,0(),(xy xy y x +-→解(,)(0,0)(,)limlimx y x y →→=(,)1lim 4x y →== . 2. 试求极限 .)()cos(1lim222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→解 由222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)22sin1cos()2lim lim ()4()2x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→+-++=•++1002=⨯= . 3. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(yx y x y x +→解 由于(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim ()sin sin lim (sin sin sin sin )x y x y x y x y x y x y x y →→+=+ ,又 2y x =,所以(,)(0,0)11limsin sin 0x y x x y →=，(,)(0,0)11lim sin sin 0x y y x y →= ,所以(,)(0,0)11lim ()sin sin 0x y x y x y →+= .4. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→解 当点),(y x 沿直线x y =趋于原点时，232424000lim lim 0x x y x xy x x y x x →→=→==++.当点),(y x 沿抛物线线2y x =趋于原点时，22424440001lim lim 2y y x y xy y x y y y →→=→==++ .因为二者不等，所以极限不存在.5. 试求极限.11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x解 由22(,)(,)(0,0)limlimx y x y →→==(,)(0,0)lim 1)2x y →= .6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,yu x u ∂∂∂∂ 解 令,,xy w y x v =+=则u f v f w f f y x v x w x v w ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ u f v f w f f xy v y w y vw ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,xe y = 求.dxdz解 由'21()1()dz y xy dx xy =++2221(1)()1()1x x xx x e x e xe xe x e +=+=++. 8. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程。

解 由于4,2x yz x z y==,在)3,1,1(M 处 ,4)3,1,1(=x z 2)3,1,1(=y z ，所以, 切平面方程为4(1)2(1)3x y z -+-=-.即 4230x y z +--=法线方程为113421x y z ---==-. 9. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.解 由001,2,(1,2)5x y f ==--=(,)46,(1,2)0x x f x y x y f =---= (,)23,(1,2)0y y f x y x y f =----=(,)4,(1,2)4xx xx f x y f =-= (,)1,(1,2)1xy xy f x y f =--=-(,)2,(1,2)2yy yy f x y f =--=-.得22(,)52(1)(1)(2)(2)f x y x x y y =+---+-+.10. 求函数)2(),(22y y x e y x f x++=的极值. 解 由于222222(2)(22)0x x x x f e x y y e e x y y =+++=+++=22(1)0x y f e y =+=解得驻点)1,1(--，222222(22),(22),2x x xx x xy xyy f e x y y e f e y f e =++++=+=22(1,1)0,(1,1)0,(1,1)2xx xy yy A f e B f C f e -=--=>=--==--=220,0AC B A -=>>所以 )1,1(--是极小值点, 极小值为 .2)1,1(2--=--e f 11. 叙述隐函数的定义.答: 设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯ 对于方程0),(=y x F , 若存在集合X I ⊂与Y J ⊂，使得对于任何I x ∈，恒有唯一确定的J y ∈，使得(,)x y 满足方程0),(=y x F ,则称由方程0),(=y x F 确定了一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数。

一般可记为)(x f y = .,J y I x ∈∈ 且成立恒等式(,())0,.F x f x x I ≡∈12. 叙述隐函数存在唯一性定理的容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为点的某一区域2R D ⊂上连续;（ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,则在点0P 的某邻域D P U ⊂)(0，方程()y x F ,=0唯一地确定了一个定义在某区间),(00αα+-x x 的函数（隐函数）)(x f y =，使得1º ()00y x f =,),(00αα+-∈x x x 时)())(,(0P U x f x ∈且()0)(,≡x f x F ；2° ()x f 在),(00αα+-x x 连续. 13. 叙述隐函数可微性定理的容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为点的某一区域2R D ⊂上连续; （ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,又设在D 还存在连续的偏导数),(y x F x ，则由方程0),(=y x F 所确定的隐函数在)(x f y =在其定义域),(00αα+-x x 有连续导函数，且.),(),()('y x F y x F x f y x -=14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答: 设)(x f y =在0x 的某邻域有连续的导函数'()f x ，且00)(y x f =; 考虑方程.0)(),(=-=x f y y x F由于0),(00=y x F , 1=y F , 000(,)'(),x F x y f x =-所以只要0'()0f x ≠，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程(,)()0F x y y f x =-=能确定出在0y 的某邻域)(0y U 的连续可微隐函数)(y g x =，并称它为函数)(x f y =的反函数.反函数的导数是11'().'()'()y xF g y F f x f x =-=-=-15. 解: 显然axy y x y x F 3),(33-+=及y x F F ,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得()()03,2≠-=ax y y x F y 的点()y x ,附近，方程0333=-+axy y x 都能确定隐函数)(x f y =；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于x 的导数（其中y 是x 的函数）并以3除之，得22''0x y y ay axy +--=,或()()22'0.xay y ax y -+-= （1）于是22'.ay x y y ax-=- ().02≠-ax y （2）再对（1）式求导，得：22'(2')'()''0,x ay yy a y y ax y -+-+-= 即22''()2'2'2.y y ax ay yy x -=-- （3）把（2）式代入（3）式的右边，得33322222(3)2'2'2.()a xy xy x y axy ay yy x y ax --+---=-再利用方程就得到3232''.()a xyy y ax =-- 16. 解: 由于z y x z F F F F F F ,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(≠-==处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(y x f z =，且可求得它得偏导数如下：,31223xyz x yz F F x z z x -+=-=∂∂ .313223xyzy xz F F y z z y -+=-=∂∂ 17. 解: (1)令222(,,)3F x y z x y z xyz =++-, 则有23,23,23 x y z F x yz F y xz F z xy =-=-=-.由于0()0,,, x y z F P F F F =均连续,且00()()10y z F P F P ==-≠,故在点0(1,1,1)P 附近由上述方程能确定隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =. (2)当0y F ≠时, 由定理知2323x x y F x yzy F y xz-=-=--;同理, 当0z F ≠时, 由定理知2323x x z F x yz z F z xy-=-=--. 于是求得23312323(,(,),)22(23),23 x x x f x y z x z f f y y z xyz y xyz x yz y z y xz=+=+-=--2322132223(,,(,))33(23).23 x x x f x y z x y f f z y z xy z z xy z x yz y z z xy=+=+-=--并且有(1,(1,1),1)1x f y =-, (1,1,(1,1))2x f z =-.18. 解: 首先，,0)()(00==p G P F 即0P 满足初始条件. 再求出F ，G 的所有一阶偏导数,2,2,1,2v F u F F x F v u y x ==-=-= .1,1,,=-=-=-=v u y x G G x G y G容易验算，在点0P 处的所有六个雅可比行列式中只有.01144),(),(0=--==∂∂P vx v x P G G F F v x G F因此，只有,x v 难以肯定能否作为以,y u 为自变量的隐函数. 除此之外，在0P 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得),(),,(v u y y v u x x ==的偏导数，只需对方程组分别关于v u ,求偏导数，得到⎩⎨⎧=---=--,01,022u u u u xy yx y xx u （1）⎩⎨⎧=--=--.01,022v v v v yx xy y xx v （2） 由（1）解出.222,21222yx yux y y x xu x uu -+-=-+=由（2）解出222122,.22v v xv x yvx y x y x y--==--- 19. 解: 设2222(,,,)1F x y u v u v x y =+++-,(,,,)G x y u v u v xy =-+.(1) ,F G 关于v u ,的雅可比行列式是22(,)2()11(,)u v F G u v u v ∂==-+-∂, 当u v ≠-时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域, 由方程组可以唯一确定,u v 是,x y 的可微函数;(2) ,F G 关于,x u 的雅可比行列式是22(,)2()1(,)x u F G x uy y x u ∂==-∂, 当x uy ≠时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域, 由方程组可以唯一确定,x u 是,y v 的可微函数.20. 解: 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=. 它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：,6=∂∂x F ,8=∂∂y F ,10=∂∂z F,6=∂∂x G ,8=∂∂y G ,10-=∂∂zG 和160),(),(-=∂∂z y G F ， (,)120(,)F G z x ∂=∂， 0),(),(=∂∂y x G F .所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：512041603-=-=--z y x ， 即3(3)4(4)0,5.x y z -+-=⎧⎨=⎩ 法平面方程为0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ， 即034=-y x .21. 解: 令(,,)3zF x y z e z xy =-+-, 则(,,),(,,),(,,)1 z x y z F x y z y F x y z x F x y z e ===-,故01,2,0 xyzM M M F F F ===, 因此曲面在点0(2,1,0)M 处的法向量为(1,2,0)n =r,所求切平面方程为1(2)2(1)0x y ⋅-+⋅-=,即240x y +-=.法线方程为21,120,x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩即230,0,x y z --=⎧⎨=⎩22. 解: 这个问题实质上就是要求函数222),,(z y x z y x f ++=（空间点(,,)x y z 到原点(0,0,0)的距离函数的平方）在条件022=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令()()22222(,,,,)1L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-.对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=.01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为,33117,3353±-=±-=μλ 与 .32,231μ=±-==z y x （1） （1）就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集{}1,),,(22=++=+z y x z y x z y x 上连续，从而必存在最大值与最小值），故由2f ⎝ 所求得的两个值359μ，正是该椭圆到原点的最长距离359+与最短距离359-. 23. 叙述含参量x 的正常积分定义.答: 用积分形式所定义的这两个函数[].,,),()(⎰∈=dcb a x dy y x f x I （1）与 [].,,),()()()(⎰∈=x d x c b a x dy y x f x F , （2）通称为定义在[]b a ,上含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.（1）式的意义如下：设),(y x f 是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上的二元函数。