数学分析3期末试题
数学分析3测试题
一、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 1． 由 | sin nx | ≤ n n
∞
及 M 判别法可知级数 ∑
sin nx 在x ∈ n =1 n n ．
∞
内一致收敛．
2． 幂级数 ∑
3n ( x + 1) n 的收敛域为 n =1 n 1 x −x (e − e ) 在x=0的泰勒展开式 2 ．收敛域为
∞
x 的收敛域为 2 n n =1 (1 + x ) x 2 n+1 的收敛范围为 2n + 1
∞
.
2. 幂级数 ∑ (−1)n
n =1
.
1 1 y 2 − x2 3. f , = , 则 f ( x, y ) = 2 xy x y
.
4
4. 设 x 2 + 2 y 2 + xy − z − 9 = 0 , 则 sin nx
( x , y )→ ( 0 , 0 )
.
， lim lim f ( x, y ) =
y → 0 x →0
，
lim
f ( x, y ) =
。 ，使 f(x,y)在全平面上
8． f ( x, y ) = 连续。 二、
x4 + y3 在(0,0)点定义 f 的值为 x2 + y2
计算及应用题（每小题 9 分，共 45 分）
2． 讨论函数 f ( x, y ) =
1
xy 2 , x 2 + y 2 ≠ 0; 2 4 3． 设 f ( x, y ) = x + y 试讨论函数f(x,y)在原点的连续性和一阶 0, 2 2 x +y =0 偏导数． 4． 用极限定义证明 lim xy − 1 = 3. y +1
《数学分析III》期末考试卷
红河学院XXXX-XXXX 学年秋季学期期末考试卷1考试科目： 数学分析III 考试日期：一、填空题（每小题3分，共24分）1、重极限22(,)limx y →=___________________2、设(,,)x yzu x y z e +=，则全微分du =_______________________3、设(sin ,)xz f x y y e =+，则zx∂=∂___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则22()Lx y ds +=⎰________.5、曲面222239x y z ++=和2223z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6、已知12⎛⎫Γ=⎪⎝⎭，则32⎛⎫Γ-= ⎪⎝⎭_____________. 7、改变累次积分的顺序，2120(,)x dxf x y dy =⎰⎰______________________.8、第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰ ______________，其中S 为球面2221x yz ++=，取外侧.二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（ ）（A ）22{(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ）（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在00(,)x y 处重极限必定不存在. （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在00(,)x y 处重极限必定存在.（C ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数都存在，则该函数在00(,)x y 处可微. （D ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则该函数在00(,)x y 处必定连续. 3、方程3230xyz x y z ++-=在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（ ）(A) (,)x x y z =(B)(,)y y x z =(C) (,)z z x y =(D) 以上选项都不对.4、设arctan 2z uv t =+，其中2tu e =，ln v t =，则1t dzdt=等于（ ）（A ）225e + （B ）225e - （C ）225e （D ）252e5、设平面曲线L ：()y f x =在[,]a b 上具有一阶连续偏导数，且点A 与B 的坐标分别为(,())a f a 与(,())b f b ，又设(,)P x y 和(,)Q x y 为L 上的连续函数，则沿L 从B 到A 的第二型曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰等于 （ ）（A ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（B ）[](,())(,())()abP x f x Q x f x f x dx '+⎰（C ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（D ）[](,())()(,())abP x f x f x Q x f x dx '+⎰6、变换T ：x u uv =-，y uv =所对应的函数行列式(,)J u v 为（ ）(A)2u (B)2v(C) u (D) v 7、对于任意光滑封闭曲线L 中，以下第二型曲线积分中为零的是（ ） （A ）(sin )y Lx y dx xe dy -+⎰（B ）2()2Lx y dx xydy --⎰（C ）sin()cos()Lxy dx x y dy ++⎰（D ）22L xdy ydxx y -+⎰8、下列积分区域D 中，既是x 型又是y 型的是（ ）(A)D 是由直线0x =，y x =和1y x =-所围成的闭区域. (B)D 是由直线y x =和曲线y =.(C)D 是由直线1x =，2x =和4y x =-所围成的闭区域. (D)D 是由直线y x =，0y =和曲线y =.三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求2z x y ∂∂∂3、设方程组22x u yu y v xu⎧-=⎨-=⎩确定了隐函数组(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，求v x ∂∂和vy ∂∂4、利用含参量积分计算1ln x x dx xβα-⎰，其中0αβ<<. 5、计算22Lx ydx xy dy -⎰，其中L 是以R 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B .6、利用极坐标变换计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由圆222x y x += (0)y ≥与x 轴所围成的平面区域.四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积.2、某工厂打算建造一个容积为25003m 长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/2m ，仓库底面造价为300元/2m ，仓库四周造价为100元/2m ，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.。
数学分析3-期末考试真题
3 数学分析试卷
11sin sin 01(),
0 0x y xy y x f x xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
当、已知当()()
000000lim (,),lim lim (,)lim lim (,),x y x x y y f x y f x y f x y →→→→→→判断及是否存在，并说明理由。
2222
2,()1z z z x y x y h z x y ∂++=∂∂、已知=()是由确定的。
试求的值。
222
22231 x y z a b c
++=、求椭球体上任一点的切平面于坐标轴所围四面体体积的最大值。
22
22223/222 0()4(,)(,) 0 0x y x y x y f x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
当、已知，判断的连续性及可微性。
当22265,0
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩、已知曲线方程为求在点(1,-2,1)处的切线方程和法平面方程。
23D 36,D x dxdy y xy
+⎰⎰、求二重积分已知为如图的区域。
7I ().1x y z dxdydz x y z Ω=++Ω++=⎰⎰⎰、计算三重积分其中为平面，
与三个坐标平面围城的空间区域。
2228I cos .1
xdydz ydzdx dxdy x y z ∑++∑++=⎰⎰、求曲面积分=其中为所谓区域的外侧。
L
9I sin . L Pdx x ydy =+⎰、求曲线积分已知如图所示。
S 22I (). S 2xy yz zx dS z x y ax ++=+=⎰⎰10、求曲面积分=已知为柱面所截的曲面。
数学分析(A3)期末考试试题解答与评分标准
6
第六题，10 分
试利用 F ourier 积分公式证明： ∫
0 +∞
π sinx sinπusinux 2 du = 0 1 − u2
|x| ≥ π |x| > π
答案： 令 f (x) 表示要证明的等式右边的函数； (uπ ) 利用 F ourier 积分公式，利用奇偶性可得 a(u) = 0，b(u) = sin 1−u2 ，验证傅里叶积分收敛 到自身的条件，即可得到要证的等式。 注记： 积化和差步骤得 2 分，傅里叶级数指明收敛条件得 1 分，如果只指明了奇函数，直接带入就 得到结果的，得 4 分；
（3）判断无穷乘积
(1 +
（4）研究函数项级数
n=1 +∞ ∑
x2 e−nx 在 [0, +∞) 上的一致收敛性。
∫ 1n=1 lnx （5）判断广义积分 0 √1 dx 的收敛性。 −x2 答案： （1）当 0 ≤ x < e 时，级数收敛；当 x ≥ e 时，级数发散； ∫ +∞ lnx （2）利用 Leibniz 判别法，并注意到积分 2 x dx 发散，可知原级数条件收敛； + ∞ ∑ 1 （3）注意到这是正项级数，结合 收敛，可知原级数收敛； n2 n=1 （4）求导可得到该函数项级数的一个优级数
1 n2 ，结合
+∞ ∑ 1 收敛，利用 W eierstrass 判别 2 n n=1
法可知，原函数项级数一致收敛； ∫1 1 （5）利用 L′ hospital 法则说明 1 不是被积函数的瑕点，在 0 处证明被积函数和 0 √ dx 同 x 敛散即可；或者利用换元，x = sint，原积分可以显式算出，其值为 − π ln 2 ； 2 注记： （1）利用 Cauthy /D′ Alembert 等判别法或 Stirling 公式/Hardamard 收敛半径公式/等均可， 若半径错误，得零分；未讨论断点值，扣 1 分；未讨论大于等于 e，扣 1 分； （2）答案是绝对收敛的，得零分；使用 Leibniz 判别法时，两个条件未指明，各扣一分；结 论正确但是证明错误，得两分；不证明绝对值对应的级数发散，扣 3 分； （3）答案是发散，得零分；只指明通项趋向于零的，得两分； （4）利用优级数，并且求导说明了找到的级数确实是优级数的得满分；只指明结论的，得三 分；未说明级数收敛，仅说明通项一致趋向于零的，零分；直接求和并放缩的，结论正确满分， 有过程错误，扣三分； （5）答案是发散的，得零分；仅答案正确，两分；分别考虑 0 和 1 出两个点，满分；
数学分析III复习试题
级数部分（12-15章）一、叙述题1、设函数项级数∑∞=1)(n n x u 的部分和为)(x S n ，叙述∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛于和函数)(x S 的定义2、叙述函数列)(x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义3、叙述函数列)(x f n 在D 上不一致收敛于)(x f 的定义4、叙述∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛的柯西准则二、填空题1、级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
2、级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
3、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 条件4、对级数∑∞=1n n u ，0lim =∞→n n u 是它收敛的 条件.5、级数)3,2,1,0()1(11 =>⋅-∑∞=-n u u n n n n ，若满足条件 则此级数收敛。
6、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定 ；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1||n n u 必定 。
7、幂级数n n n x n∑∞=12的收敛区间为 。
8、幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为 。
9、∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数S(x)为 。
10、nn n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则nn n x a ∑∞=1在3<x 时 。
11．函数)1ln(x +在0=x 的麦克劳林级数是 12、)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x =0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则= 。
13、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=ππππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S （-3）= ，S （12）= ，S )(πk = ，k 为整数。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。
解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。
……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。
解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。
……(3分） 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
数学系第三学期数学分析期末考试题及答案
第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000；Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。
3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。
4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。
5、设yxez=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。
二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d e x f 0)(),(,)(2求ττ；3、设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、计算zdS∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++100333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。
数学分析期末试题(值得下载)
数学分析考试题一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dz ．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ．3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim 22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ．3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1.求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：22114π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微． （ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）7.平面图形都是可求面积的． （ ⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)．3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1.解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim 22)0,0(),(+→=1．2.解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得x z e x z z ∂∂=∂∂+1yze y z z ∂∂=∂∂+1 解得 11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=zzz z z xy e e y z e e e y z 。
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2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）
一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分）
1. 下列数项级数中收敛的是 （ ）
A. 211
n n
∞
=∑； B.
2
1n n
n ∞
=+∑； C. 1
1
n n ∞
=∑； D. 0
1
23n n n ∞
=++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ）
A. 1(1)n n n ∞
=-∑ B. n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1
sin n n n ∞
=∑
3.函数项级数1n
n x n
∞
=∑的收敛域是 （ ）
A. (1,1)-
B. (1,1]-
C. [1,1)-
D. [1,1]-
4.幂级数0
21n
n n x n ∞
=+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1
．2 ．1 ．02
5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ）
2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥
6.点集11{,|}E n N n n ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
的聚点是 （ ）
A. (){0,0}
B.()0,0
C. 0,0
D.{}{}0,0
7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ）
A.必要条件
B.充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则
z
x
∂∂等于 （ ） A.
()()u x v y x y ∂∂∂∂ B. ()()du x v y dx y ∂∂ C. ()
()du x v y dx
D. ()()u x v y x y ∂∂+∂∂
10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数.
二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分）
11. 若数项级数1
1n
p n n ∞
=-∑（）
绝对收敛，则p 的取值范围是 ；
12. 幂级数0(1)n n n x ∞
=+∑的和函数是 ；
13．幂级数2
01
(1)n n x n
∞
=-∑
的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________
17．函数y z x =，则
z
y
∂=∂ ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=
的方向导数是 ___________；
19．设cos sin x r y r ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩，则 x x r y y r ϕϕ
∂∂∂∂=∂∂∂∂ ；
20．若22arctan
y x y x +=，则dy
dx
=______________________。
题号 一
二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100
得分 评卷人
得分
得分
三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题1
分，共10分）
21.绝对收敛的级数一定一致收敛； ( ) 22.条件收敛的级数实质上就是发散的级数； （ ） 23.变号级数一定条件收敛； （ ） 24.收敛的数值级数一定是有界的； （ ） 25.若P 是点集E 的界点，则一定有P E ∈； （ ） 26.点集E 的内点一定是E 的聚点； （ ） 27.若函数(,)f x y 在()00,x y 存在偏导数，且
0000(,)(,)
0f x y f x y x y
∂∂==∂∂，则()00,x y 是函数(,)f x y 极值点； ( ) 28. 若()'',xy f x y 和()'',yx f x y 都存在，则()()'','',xy yx f x y f x y =； （ ） 29.任何一个幂级数的收敛域都不是空集； （ ） 30.2R 中的有界无限点集E 至少有一个聚点 （ ） 四、计算题（请写出必要的步骤或过程，每题8分，共32分） 31.判断数项级数1821n
n n n ∞
=+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
∑的敛散性；
32. 求函数22
sin()u x y xy =+的偏导数；
33.设函数2
ln(),,23u x y x ts y t s =+==+，求
,u u
s t
∂∂∂∂；
34. 求曲面2
22
x z y =-在点（2，-1,1）的切平面和法线；
五、证明题（请写出必要的步骤或过程，每题9分，共18分）
35. 证明 函数项级数2
0sin 1n nx
n
∞
=+∑
在R 一致收敛；
36.证明 方程(,)0x y F x y xy e e =+-=在点x=0的某邻域内确定一个隐函数
()y x ϕ=，并求'()x ϕ。