高考数学理二轮专题复习：概率与统计

概率与统计

(推荐时间：70分钟)

1． 某学院为了调查本校学生2013年5月“健康上网”(健康上网

是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名 本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数， 并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…， (25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；

(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及数学期望E (Y )．

解 (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为 (0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75， ∴健康上网天数超过20天的学生人数是 40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.

(2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2， P (Y ＝0)＝C 230

C 240＝2952

，

P (Y ＝1)＝C 110C 1

30

C 240＝513

，

P (Y ＝2)＝C 210

C 240＝352.

∴Y 的分布列为

Y 0 1 2 P

29

52

513

352

∴E (Y )＝0×2952＋1×513＋2×352＝1

2

.

2． 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2003到2012

年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2003年编号为1,2004年编号为2，…，2012年编号为10.数据如下：

年份(x )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

??

???

b ^

＝∑i ＝1

n

(x i

－x )(y i

－y )∑i ＝1

n

(x i

－x )2

＝∑i ＝1

n

x i y i

－n x y ∑i ＝1

n

x 2i

－n x 2

，a ^

＝y －b ^

x .

解 (1)设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A ， 则P (A )＝1－C 26

C 210＝23

.

(2)由已知数据得x ＝3，y ＝8，

∑i ＝1

5

x i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＝146，

∑i ＝1

5

x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＝55.

则b ^

＝146－5×3×855－5×9

＝2.6，

a ^

＝8－2.6×3＝0.2.

则线性回归方程为y ^

＝2.6x ＋0.2，

则第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值为|2.6×8＋0.2－22|＝1.

3． 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A 、B 两个

题目，该学生答对A 、B 两题的概率分别为12和1

3，两题全部答对方可进入面试，面试要回

答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为1

2，至少答对一题即可被聘用(假设

每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的)． (1)求该学生被公司聘用的概率；

(2)设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解 设正确回答A 、B 、甲、乙各题分别为事件A 、B 、C 、D ，则

P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝P (D )＝12.

(1)该学生被公司聘用的概率为

P (AB )·[1－P (C D )]＝12×1

3????1－12×12＝18. (2)由题意可知ξ的取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝P (A B )＝12·23＝1

3

，

P (ξ＝1)＝P (A B )＋P (A B )＝12·23＋12·13＝1

2，

P (ξ＝2)＝P (AB )×P (C D )＝12×13×12×12＝1

24，

P (ξ＝3)＝P (AB )[P (C D )＋P (C D )] ＝12×13????12×12＋12×12＝1

12

， P (ξ＝4)＝P (AB )P (CD )＝12×13×12×12＝1

24.

∴ξ的分布列为

∴E (ξ)＝0×13＋1×12＋2×124＋3×112＋4×1

24

＝1.

4． 现有长分别为1 m 、2 m 、3 m 的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的

编号)，从中随机抽取n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n ≤9)．再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

(1)当n ＝3时，记事件A ＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P (A )；

(2)当n ＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)，①求ξ的分布列；②令η＝－λ2ξ＋λ＋1，E (η)>1，求实数λ的取值范围．

解 (1)事件A 为随机事件，P (A )＝C 13C 23C 16

C 39

＝914.

(2)①ξ可能的取值为2,3,4,5,6. P (ξ＝2)＝C 23

C 29＝112

，

P (ξ＝3)＝C 13C 13C 29＝1

4

，

P (ξ＝4)＝C 23＋C 13C 1

3C 29＝1

3，

P (ξ＝5)＝C 13C 13C 29＝1

4

，

P (ξ＝6)＝C 23

C 29＝112.

∴ξ的分布列为

②E (ξ)＝2×112＋3×14＋4×13＋5×14＋6×1

12＝4.

∵η＝－λ2ξ＋λ＋1，

∴E (η)＝－λ2E (ξ)＋λ＋1＝－4λ2＋λ＋1， ∵E (η)>1，∴－4λ2＋λ＋1>1?0<λ<1

4

.

5． 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

PM2.5日均值(微克/立方米)

(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到

一级的概率；

(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

解 (1)从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，

则P (A )＝1－C 311

C 315＝5891.

(2)ξ的可能值为0,1,2,3，

P (ξ＝0)＝C 05C 310C 315＝24

91，

P (ξ＝1)＝C 15C 210C 315＝45

91，

P (ξ＝2)＝C 25C 110C 315＝20

91，

P (ξ＝3)＝C 35C 010

C 315＝291

.

所以ξ的分布列为

E (ξ)＝2491×0＋4591×1＋2091×2＋291×3＝1或E (ξ)＝3×5

15

＝1(超几何分布)．

6． 某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次

在A 或B 处投篮，在A 处投进一球得3分，在B 处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种： 方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投； 方案2：都在B 处投篮．

已知甲同学在A 处投篮的命中率为0.4，在B 处投篮的命中率为0.6. (1)甲同学若选择方案1，求X ＝2时的概率； (2)甲同学若选择方案2，求X 的分布列和期望；

(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．

解 (1)在A 处投篮命中记作事件A ，不中记作A ，在B 处投篮命中记作事件B ，不中记

作B，

该同学选择方案1，测试结束后所得总分为2为事件A B B∪A B B，

则其概率P1＝P(A B B)＋P(A B B)＝(1－0.4)×0.6×(1－0.6)＋(1－0.4)×(1－0.6)×0.6＝0.288.

(2)该同学选择方案2，测试结束后，所得总分X所有可能取的值为0,2,4.

则P(X＝0)＝(1－0.6)(1－0.6)(1－0.6)＝0.064，

P(X＝2)＝C13×0.6×0.42＝0.288，

P(X＝4)＝0.6×0.6＋2×0.62×0.4＝0.648，

∴X的分布列是

∴E(X)＝0×0.064＋2×0.288＋4×0.648＝3.168.

(3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P2，

P2＝P(A)＋P(A BB)＝0.4＋0.6×0.6×0.6＝0.616，

又选择方案2通过测试的概率P3＝0.648>0.616，

所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．