《数学定积分的应用》PPT课件
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第七讲定积分的应用35页PPT
图形之面积。
解 (i)求交点
y2 x x0 x1 yx2 y0 y1
(ii)相应于[0,1]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条
面积的近似值，即面Y积元素
dA( xx2)dx y
y x2 y x
2
(iii)所求面积
1
A (
xx2)dx
1
o x x+dx
0
3
x
例２ 求由抛物线 y2 2x 与直线 xy4
y
Aa b21co2 std t
0
2
b
ab(t 1sin2t)2
22
0
-a o
ax
-b
ab
练习 1 .求由曲线 xaco3t,syasi3nt 所围图 形面积。
2.求由曲线 r3acos及 r1cos所围
图形的公共部分的面积
y a
-a o a x -a
Y
1 S1
0.5
S2
0.5 1 1.5 2 -0.5
x
-1
答案
1.所求面积
A4
a 0
ydx4
0
asin3 td(ac
o3st)
2
12a2 2 sin4 tco2stdtY12a2 2 sin4 t(1sin2 t)dt
0
0
12a2(3 1 5 3 1) 3a2
422 6422 8
2.所求面积
A2(S1S2)
解方 rr程 1 3 cc组 o o s得 s A 点 的极 (2 3坐 , 3) 标
x
A A 1A 20 2 3d1A 2 3 3 d2 A 9 4
y(x2)21
二、极坐标情形
定积分的应用93820-PPT文档资料59页
y1 f1(x)
所围成，则其面积公式为：
b
A f1 ( x ) f 2 ( x ) d x .
a
o
y2 f2(x)
a
b
x
3 、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、
右曲线 x2 g2( y) 、下
y
直线 y a 、上直线y b b
所围成, 则其面积公式为：
2
或
22
2
A 2 0
2x2 x2
dx
1 2
1 x2
dx
2
练习写出下列给定曲线所围成的图形面来自的定积分表达式。（7）
y2 42x
2
法一：以 y 作积分变量
1
2
A202(2y42)(1y42)dy
4
2 3
法二：以 x 作积分变量
2
y2 4x1
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（3）在图③中，被积f (函 x) 数1在[a，b]
上连续，f且 (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分积的为面A badx
y
f(x)=x2
A 0 1 [x (1 ) 2 1 ] d x 0 2 [x (1 ) 2 1 ] dx
授新课：一、直角坐标系情况
1 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
b
y
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
《数学定积分的应用》课件
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差 的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和 或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠 的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在 一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路 中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描 述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为 时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流 和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分 布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质 量成正比，与物体之间的距离的平方成反比 。通过定积分计算在某一空间区域内的引力 场强度，即在该区域内所有物体产生的引力 对该点的合力。具体地，将引力函数在空间 区域上进行积分，得到该区域内的引力场强 度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动 ，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
定积分及其应用高数(共68张PPT)
例2 计算广义积分
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
66定积分的应用 共15页PPT资料
8
(2) 总收益函数
已知边际收益函数 R (Q ), 则产品未销售前的收益 R0 R(0)0,
从而总收益函数
Q
R(Q)0 R'(Q)dQ.
(3) 总利润函数
总利润函数 L ( Q ) 为 L (Q )R (Q )C (Q ).
例7 设某种产品生产Q单位时的边际成本和边际收益分别为 C(Q) 3 1Q 与 R(Q)6Q 2
1 .
3 练习：P184 ,1(1).
2019/9/18
微积分II 第六章定积分
4
1,(1)由曲线 y x2 3在区间[0,1]上的曲边梯形的面积
解：作图
S 1(x2 3)dx 0
(1 3
x3
3x)
|10
(1 3) 3
10 . 3
y
3
0
1x
2019/9/18
微积分II 第六章定积分
1/3
x
1
(3xln|x|)|1 1/3(3x1 2x2)|1 3
4ln3.
2019/9/18
微积分II 第六章定积分7Βιβλιοθήκη 二、定积分在经济分析中的应用
1.已知边际函数求总函数.
在经济问题中, 经常都要涉及到各种经济量的总量. 这些总量,
在一定条件下, 也可用定积分来进行计算.
由牛顿——莱布尼兹公式知：若 f ( x ) 连续，则
x2
x 0
y
, 0
x 1 y 1
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及
(1, 1). 从而知道所求图形在
直线 x = 0 及 x = 1 之间.
则
定积分的应用9411954页PPT
0
0
2 02
3) 旋转体体积
定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形。
这直线叫做旋转轴。如圆柱、圆锥体，球体等。 特点：与旋转轴垂直的横截面都是圆
圆柱
圆锥
圆台
1）：体积元素为小圆柱体：dV=底面积×高
取积分变量为x， y
yf(x)
x[a,b]
在[a,b]上任取小区 o
(2)A=
d
[g(y)f(y)]dy
c
例 3 计 算 由 曲 线 y22x和 直 线 yx4所 围
成 的 图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点
yx4
y2 2x
y x4
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
如选x为积分变量，图形需分成两块。
选 y为积分变量 y[2,4]
S022sin 2tdt8
（极坐标）
曲线弧为 rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,
弧长
s
x2y2dt4023asintcotds t
y
6a.
a o
ax
例 求摆线 x 1 cost
y
t
sint
一拱（0≤t≤2π）的弧长S。
解 dxsitn, dy1cots
dt
dt
d S s2 t i ( n 1 ct) o 2 d s t 2 ( 1 ct) d o 2 圆的参数方程
x y