2019年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)解析版
2019年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0,1}C. {0,2}D. {1,2}2.若实数x，y满足{x−y+2≥0，x+y≥0，x≤0，则2x+y的最小值是（）A. −2B. −1C. 0D. 43.在等比数列{a n}中，若a1=12，a4=-4，则a7=（）A. 32B. 16C. 8D. 116 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C. 2+√2D. 3+√25.过原点作圆{y=6+3sinθx=3cosθ(θ为参数)的两条切线，则这两条切线所成的锐角为（）A. π6B. π4C. π3D. π26.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A. 若m⊥α，α⊥β，则m//βB. 若m//α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βD. 若m//α，n//α，则m//n．7.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1={(x，y)|y=x2+1}；M2={（x，y）|y=ln x}；M3={(x，y)|y=e x−e}；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A. M1，M2B. M2，M3C. M1，M4D. M3，M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.21−i=______．10.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，则a⃗与b⃗ 的夹角为______．11.设双曲线C经过点（4，0），且与双曲线x24−y2=1具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．12.已知α为锐角，sinα2=√55，则cos(α+π2)=______．13.“当c＞1时，能使不等式log a c＞log b c”成立的一组正数a，b的值依次为______．14.F1、F2分别为椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|•|PF2|的最大值为______，若A(0，4√6)，则|AP|-|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共79.0分）15.在△ABC中，b=8，c=3，A=π3．（Ⅰ）求a及sin C的值；（Ⅱ）求BC边上的高．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，AB=AD=12CD=1，∠BAD=∠ADC=90°，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M-BC-D的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM与平面PAB的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕下表记录了我国在改革开放后某市，，，，五个家庭在五个年份的恩格尔系数．生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.设函数f(x)=a√x−lnx，a∈R．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有极小值2，求a．19.已知M，N为抛物线C：y2=4x上两点，M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点．（Ⅰ）求直线MN的斜率；（Ⅱ）若点B（-2，0）满足∠OBM=∠OBN，求此时直线MN的方程．20.在数列{a n}中，若a n2-a n-12=D（n≥2，n∈N*，D为常数），则称{a n}为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，写出b3，b4的值；（Ⅱ）如果一个公比为q的等比数列为“平方等差数列”，求证：q=±1；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{c n}满足c1=2，c2=2√2，c n＞0，设数列{1cn}的前n项和为T n．是否存在正整数p，k，使不等式T n＞√pn+k-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，k的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．3.【答案】A【解析】解：数列{a n}是等比数列，所以，所以==32．故选：A．根据等比中项的性质，即可得到结果．本题考查了等比中项的性质，属基础题．4.【答案】D【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.【答案】C【解析】解：由得x2+（y-6）2=9，易求得两条切线方程为y=±，这两条切线所成的锐角为，故选：C．把圆的方程化成直角坐标方程后求得两条切线方程，可得它们所夹的锐角．本题考查了圆的参数方程，属基础题．6.【答案】B【解析】解：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥α，则存在直线b⊂α，使得m∥b，由n⊥α可知n⊥b，所以m⊥n，故B正确；对于C，若α∩β=b，m∥n∥b，显然结论不成立．对于D，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交，或m，n为异面直线，故D错误．故选：B．根据空间位置关系的定义，性质判断或举出反例说明．本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，△=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，△=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.【答案】D【解析】解：对于M1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y=0，解得y=0，而y=x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0=0，解得x=0，而函数y=lnx的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2=0成立，即k OA•k OB=-1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．集合M={（x，y）|y=f（x）}，对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，称集合M 是“互垂点集”．利用此定义即可判断出正误．本题考查了新定义、数形结合方法、举例法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】1+i【解析】解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.【答案】60°【解析】解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.【答案】x216−y24=1y=±12x【解析】解：双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为：=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（4，0），∴m=4，即双曲线方程为，对应的渐近线方程为y=±x，故答案为：，y=±x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12.【答案】-45【解析】解：∵α为锐角，且，∴cos=．∴=-sinα=-2sin=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos，再由诱导公式及倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.【答案】（2，12）【解析】解：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lgc＞0，所以，则a，b可依次取2，，故答案为：（2，）．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lgc＞0，所以，则a，b可依次取2，，得解．本题考查了对数不等式的解法，属简单题．14.【答案】9 4【解析】解：∵P点在椭圆C：上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=9，∴|PF1|•|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|-|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6-|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|==10，|AP|=10-|PF1|=10-6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|-|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|-|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．15.【答案】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵b=8，c=3，A=π3，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=82+32-2×8×3×12=49，…4分∴a=7，…6分∴由正弦定理asinA=csinC，可得：sin C=c⋅sinAa=3×√327=3√314…8分（Ⅱ）在△ABC中，BC边上的高为b sin C=8×3√314=12√37…13分【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得a的值，根据正弦定理可求sinC的值．（Ⅱ）由已知可求BC边上的高为bsinC，即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（I）证明：∵∠ADC=90°，∴AD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PCD．（II）解：取CD的中点O，连接PO，OB．∵△PCD是等边三角形，∴PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO ⊥平面ABCD ，∵∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =12CD =DO ，∴四边形ABOD 是正方形，故OB ⊥CD ，以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系O -xyz ， 则A （1，-1，0），B （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，√3），M （0，-12，√32），∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-32，√32），CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，-1，0）， 设m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）为平面MBC 的一个法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{−32y +√32z =0x −y =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =（1，1，√3）． 又OP ⊥平面ABCD ，故n ⃗ =（0，0，1）为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√5×1=√155． ∴二面角M -BC -D 的余弦值为√155．（III ）∵AB ∥CD ，∴CD ∥平面PAB ， 假设CM ∥平面PAB ，则平面PCD ∥平面PAB ，显然与P 是平面PCD 和平面PAB 的公共点矛盾． 故假设不成立，所以直线CM 与平面PAB 的不平行． 【解析】（I ）根据面面垂直的性质即可得出结论；（II ）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小； （III ）假设线CM 与平面PAB 平行，结合CD ∥平面PAB 可得平面PCD ∥平面PAB ，得出矛盾． 本题考查了面面垂直的性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M ．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C ．所以P(M)=15 （Ⅱ） X 的可能取值为1，2，3P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=610，P(X =3)=C 33C 20C 53=110X 的分布列为： X 1 2 3 P31035110------------------------------------------（11分）（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C ，方差最小的家庭是E ．家庭 1978年 1988年 1998年 2008年 2018年 A 1 1 2 3 4 B12234C 0 1 2 4 5D 0 1 2 2 3 E11223【解析】（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M ．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C ．所以，（Ⅱ） X 的可能取值为1，2，3，，，然后写出分布列；（Ⅲ）先列一个表格，再根据表格可得．本题考查了离散型随机变量及其分布列，属中档题．18.【答案】解：（I ）因为点（1，1）在曲线y =f （x ）上，所以a =1，f(x)=√x −lnx ------------------------------------------（1分）又f′(x)=√x2x−1x =√x−22x，------------------------------------------（3分）所以f′(1)=−12------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为y −1=−12(x −1)即x +2y -3=0------------------------------------------（5分）（II ）定义域为（0，+∞），f′(x)=a √x 2x−1x=a √x−22x--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a ≤0时，f '（x ）＜0此时f （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极小值------------------------------（8分） （2）当a ＞0时，令f '（x ）=0可得x =4a 2------------------------------------------（9分） x (0，a 24)a 24(4a 2，+∞) f '（x ）- 0+f （x ） 单调递减单调递增所以f （x ）在(0，4a 2)上单调递减，在(4a 2，+∞)上单调递增----------------------（11分）所以f(x)极小值=f(4a 2)=2−ln 4a 2，所以2−ln 4a 2=2解得a =2（舍负）------------------------------------------（13分）【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出a ，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程． （Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a ．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．19.【答案】解：（I ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则依题意可知：y 12=4x 1，y 22=4x 2 相减可得：y 12−y 22=4x 1−4x 2即（y 1-y 2）（y 1+y 2）=4（x 1-x 2）又y 1+y 2=4，所以k =y 1−y2x 1−x 2=1，即直线MN 的斜率为1．------------------------------------------（4分）（II ）由（I ）知直线MN 的斜率为1，所以可设直线MN 的方程为y =x +a 讨论：当（1）M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在x 轴异侧时，由∠OBM =∠OBN 知k BM +k BN =0，---------------------（6分） 又k BM =y 1x 1+2，k BN =y 2x2+2所以y 1x1+2+y 2x 2+2=0即y 1(x 2+2)+y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=0--------------------（7分）又y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，所以（x 1+a ）（x 2+2）+（x 2+a ）（x 1+2）=0， 化简得2x 1x 2+（a +2）（x 1+x 2）+4a =0 ①---------------------（8分） 联立方程组{y 2=4x y=x+a消去y 得x 2+（2a -4）x +a 2=0，所以x 1+x 2=4-2a ，x 1x 2=a 2---------------------（12分）代入①式可得a =-2所以直线MN 的方程为y =x -2--------------------（13分） （2）当M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在x 轴同侧时，由∠OBM =∠OBN 知k BM =k BN 即直线MN 过点B ，所以此时直线方程为y =x +2，经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去--------------------（14分）综上可知：直线MN 的方程为y =x -2． 【解析】（I ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则依题意可知：相减可得直线MN 的斜率．（II ）由（I ）知直线MN 的斜率为1，所以可设直线MN 的方程为y=x+a ．讨论：当（1）M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在x 轴异侧时，由∠OBM=∠OBN 知k BM +k BN =0，得2x 1x 2+（a+2）（x 1+x 2）+4a=0（1）联立方程组消去y 利用韦达定理，代入（1）式可得a=-2得到直线MN 的方程．（2）当M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在x 轴同侧时，验证即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力． 20.【答案】解：（Ⅰ）由题意，可知：∵{b n }是“平方等差数列”，b 1=1，b 2=2，∴D =b 22−b 12=22-12=3． ∴b 32=b 22+D =4+3=7， b 42=b 32+D =7+3=10． ∴，b 3=±√7，b 4=±√10．（Ⅱ）由题意，可设：数列{a n }是公比为q 的等比数列， ∴所以a n =a 1q n−1，（q 为公比且q ≠0）．∴a n 2=a 12q2n−2，n ∈N *． 又∵数列{a n }为“平方等差数列”，∴a n 2−a n−12=a 12q 2n−2−a 12q 2n−4=a 12q 2(n−2)(q 2−1)=D ．∵D 为与n 无关的一个常数． ∴q 2=1，∴q =1或q =-1．（Ⅲ）由题意，可知：∵数列{c n }是“平方等差数列”，c 1=2，c 2=2√2，c n ＞0，∴D =c 22−c 12=(2√2)2−22=4， ∴c n 2=c 12+(n −1)D =4+4(n −1)=4n ∴c n =2√n ，n ∈N *． ∴1c n=2√n ，n ∈N *．∴数列{1c n}的前n 项和T n =12(√1√2√3√n )．由题意，可假设存在正整数p ，k 使不等式12(√1√2√3+⋯√n )＞√pn +k −1对一切n ∈N *都成立． 即：√1√2√3+⋯√n 2(√pn +k −1)对一切n ∈N *都成立． ①当n =1时，化简上式，可得：1＞2(√p +k −1)， 整理，得：p +k ＜94． 又∵p ，k 为正整数， ∴p =k =1．②当n ≥2时，可猜想：√1√2√3+⋯√n 2(√n +1−1)对一切n ≥2都成立． 下面证明：√1+√2√3+⋯+√n 2(√n +1−1)对一切n ∈N *都成立．∵√n =√n+√n √n+1+√n =2(√n +1−√n)，（n ∈N *）．∴√1√2√3⋯+√n ＞2[(√2−1)+(√3−√2)+⋯+(√n +1−√n)]=2(√n +1−1)． ∴存在p =k =1使不等式T n ＞√pn +k −1对一切n ∈N *都成立． 【解析】本题第（Ⅰ）题可根据题意及b 1=1，b 2=2算出常数D ，然后根据b 2及递推式算出b 3，再根据b 3及递推式算出b 4；第（Ⅱ）题可设一个等比数列{a n }为“平方等差数列”，然后根据等比数列的通项公式代入题干中的递推式，然后根据D 为与n 无关的一个常数，可得出q 的值；第（Ⅲ）题先根据题意算出T n 的表达式，然后先思考n=1时是否存在正整数p ，k ，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题第（Ⅰ）题主要考查对新定义数列的理解能力，然后代值进行计算；第（Ⅱ）题主要考查等比数列的概念及新定义数列的理解能力；第（Ⅲ）题主要考查先思考n=1时的结论，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题是一道偏难题．。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--解析几何+答案
2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为3.已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 4.（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．5.椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．6.设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 . 7.（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为9.（本小题满分14分）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
北京市顺义区2019届高三第二次统练理科数学试题(含解析)
顺义区2019届高三第二次统练数学试卷（理科）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知全集，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合，根据补集定义求得结果.【详解】或即：本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.若实数满足则的最小值是A. B. C. 0 D. 4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的区域，通过平移得到取得最小值的点，代入求解出结果.【详解】由约束条件可得如下可行域（阴影部分）：令，可变为：，可知的最小值即为直线在轴截距的最小值平移可知，当直线经过下图中点时，最小解得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中的型的最值问题，属于基础题.3.在等比数列中，若，，则=A. 32B. 16C. 8D. 【答案】A【解析】【分析】由和可求得，从而求得结果.【详解】为等比数列本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.4.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A. 12B. 2C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图将几何体还原，再分别求解各侧面面积，求得表面积.【详解】由三视图还原可知几何体是如下图所示的直三棱柱：则，表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三视图还原、空间几何体的表面积求解，关键在于能够通过三视图确定几何体为直三棱柱，属于基础题.5.过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与轴所成角，再得到所求角.【详解】由得圆的方程为：则半径为：；圆心与原点之间距离为：设一条切线与轴夹角为，则根据对称性可知，两条切线所成锐角为：本题正确选项：【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件，得到半角的正弦值.6.已知m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β`；B. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n；C. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；D. 若m∥α，n∥α，则m∥n.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个选项，排除法得到最终结果.【详解】在如下图所示的正方体中依次判断各个选项：选项：面面，面，此时面，可知错误；选项：，则内必存在直线，使得；又，则，可知，可知正确；选项：取和中点和，可知面，面，面，此时面面，可知错误；选项：面，面，此时，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的线线、线面关系，对于此类问题可通过定理来证明，也可以举出反例，用排除法得到正确结果.7.“或”是“函数存在零点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过存在零点求解出的解集，通过集合间的关系可判断出结果.【详解】存在零点有根当时，不合题意当时，或可知解集是或的子集“或”是“函数存在零点”的必要不充分条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.8.已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”的集合为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【分析】首先判断和，通过反例可知不是“互垂点集”，由此可排除三个选项.【详解】设，为上任意一点：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集”，可排除选项；本题正确选项：【点睛】本题考查对于新定义的理解，简单方式为通过排除的方法得到正确选项，也可以利用函数的值域来确定和为“互垂点集”，但判断过程较繁琐；对于选择题，合理的采用排除法可极大的减少运算量.二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.__________【答案】1+【解析】【分析】分子分母同乘，化简得到结果.【详解】【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.10.已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，且，则a与b的夹角为_________【答案】【解析】【分析】通过得到关于的方程，从而得到.【详解】设和夹角为()本题正确结果：【点睛】本题考查利用向量数量积求解向量夹角的问题，属于基础题.11.设双曲线经过点（4,0），且与双曲线具有相同渐近线，则的方程为__________；渐近线方程为__________.【答案】(1). (2). .【解析】【分析】求解出双曲线的渐近线方程；由过可得，再利用求得，从而得到的方程. 【详解】由可得渐近线方程为：双曲线过可知焦点在轴上，且则的方程为：本题正确结果：；【点睛】本题考查双曲线的几何性质、标准方程的求解，属于基础题.12.已知为锐角，，则____________.【答案】.【解析】【分析】由可求得，进而得到，则，求得结果.【详解】为锐角又由诱导公式可得：本题正确结果：【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题.13.“当时，能使不等式”成立的一组正数的值依次为_________________．【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】当时，底数以为分界的对数函数分别大于零和小于零，由此只需，即可.【详解】当时，若，则；若，则因此可任取，，均能使得不等式成立本题结果不唯一，可取，【点睛】本题考查对数函数图象问题，只要找到一组符合题意的答案即可，属于基础题.14.、分别为椭圆：的左、右焦点，是上的任意一点. 则的最大值为___________，若，则的最小值为____________.【答案】(1). 9 (2). 4【解析】【分析】通过椭圆定义表示出，进而将变为二次函数问题，通过的范围得到最大值；再将表示为，通过图形可知当在线段上时取得最小值，求解得到结果.【详解】由可得：，由椭圆定义可知又，即当时，取最大值，最大值为：又（当且仅当在线段上时取等号）【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解.三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在△ABC中，b=8，,．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求边上的高．【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出；（Ⅱ）在直角三角形中直接利用求解出高. 【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以由正弦定理得：（Ⅱ）在中，边上的高为【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面，，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断直线与平面的是否平行，并说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析(Ⅱ) （Ⅲ）直线与平面不平行【解析】【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理直接证得结果；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求解出平面和平面的法向量，然后求出法向量夹角的余弦值，由二面角为锐二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面的法向量，可知与法向量不垂直，由此得到结论为不平行.【详解】（Ⅰ）证明：平面平面，平面平面，平面且平面（Ⅱ）取的中点，连结，又四边形是平行四边形平面建立如图所示空间直角坐标系则，，，，，设为平面的一个法向量，由得令，得，，所以因为轴垂直于平面，所以取平面的一个法向量所以二面角的余弦值为（Ⅲ）直线与平面不平行理由如下：，设为平面的一个法向量，由得令，得，所以所以与不垂直，又因为平面所以直线与平面不平行【点睛】本题考查面面垂直的性质、空间向量法解二面角、线面位置关系的判定问题.采用空间向量法解决二面角问题的关键是能够明确二面角大小等于两平面法向量所成角或其补角.17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量的概率；(Ⅱ) 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为，求的分布列；(Ⅲ) 如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.【答案】（Ⅰ）(Ⅱ)见解析(Ⅲ)方差最大：；方差最小：【解析】【分析】（Ⅰ）根据古典概型，可求得结果；(Ⅱ)满足超几何分布，根据超几何分布公式求得概率，从而得到分布列；(Ⅲ)利用数字列出统计表格，方差大的数值波动大；方差小的数值波动小；由数值波动情况可确定方差最大和最小的家庭.【详解】（Ⅰ）记“在年和年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件因为在年和年都达到了“富裕” 或更高生活质量的只有家庭所以(Ⅱ)的可能取值为，，的分布列为：(Ⅲ)由题意可得可得如下图表：年年年年年生活质量方差最大的家庭是，方差最小的家庭是【点睛】本题考查古典概型、随机变量的超几何分布、方差问题，属于常规题.18.设函数.（I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（II）若有极小值2，求.【答案】（I）（II）【解析】【分析】（I）代入求得，得到函数解析式，求导得到，即切线斜率；利用点斜式得到切线方程；（II）求导后经讨论可知当时存在极小值，求得极小值，令，解方程得到.【详解】（I）因为点在曲线上，所以又，所以在该点处曲线的切线方程为，即（II）有题意知：定义域为，（1）当时，此时在上单调递减，所以不存在极小值（2）当时，令可得列表可得所以在上单调递减，在上单调递增所以极小值为：所以【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值的问题，关键在于能够通过求导确定函数的单调性，从而根据单调性得到符合题意的极值点，从而问题得到求解.19.已知为抛物线上两点，的纵坐标之和为4，为坐标原点.（I）求直线的斜率；（II）若点满足，求此时直线的方程.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用点差法得到，从而求得斜率为；（II）分在轴同侧和异侧两种情况进行讨论；当异侧时，将直线代入抛物线，利用韦达定理表示出和，代入得到关于的方程，求解得到结果；当同侧时，验证可知不符合题意，从而总结得到最终结果.【详解】（I）设，则依题意可知：相减可得：，即又，所以，即直线的斜率为（II）由（I）知直线的斜率为，所以可设直线的方程为（1）当在轴异侧时由知又所以，即又，所以化简得……①联立方程组消去得所以，代入①式可得所以直线的方程为（2）当在轴同侧时由知即直线过点，所以此时直线方程为经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去综上可知：直线的方程为【点睛】本题考查利用点差法解决中点弦问题、直线与抛物线综合应用问题.解决直线和抛物线综合问题时，通常采用联立的方式，采用设而不求的方式，得到韦达定理的形式，再利用韦达定理表示出已知当中的等量或不等关系，从而求得所求结果.20.在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）通过求出，再解出，从而求得结果；（Ⅱ）列出等比数列通项公式，根据平方等差数列定义，可得，由于和无关，可证得结论；（Ⅲ）首先求解出，可得到数列的前项和；假设存在，通过，可求得此时，再验证此时是否对于一切均成立；由可进行放缩，从而证得结论成立，从而确定.【详解】（Ⅰ）由是“平方等差数列”，于是，所以（Ⅱ）设数列是等比数列，所以（为公比且）则若为“平方等差数列”，则有因为为与无关的常数，所以即（Ⅲ）因为数列是“平方等差数列”，则，所以数列的前项和假设存在正整数使不等式对一切都成立，即当时，又为正整数下面证明：对一切都成立由于所以：所以存在使不等式对一切都成立【点睛】本题考查新定义问题、等差等比数列综合应用、放缩法证明不等式问题.解决问题首先要明确新定义表示的含义，同时能够利用从特殊到一般的证明思路，先求出的取值，再证明对一切都成立.在此过程中，要对通项进行合理的放缩，也是解决最终证明的关键.。
2019顺义二模理
2019北京顺义区高三二模数学理科2019年5月一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知全集U ={0,1,2}，集合A ={x|x 2−x =0}，则C U A =A. {2}B. {0,1}C. {0,2}D. {1,2} 2.若实数x ，y 满足{x −y +2≥0，x +y ≥0，x ≤0，则2x +y 的最小值是A. -2B. -1C. 0D. 4 3.在等比数列{a n }中，若a 1=12，a 4=−4，则a 7=A. 32B. 16C. 8D. 116 4.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A. 12B. 2C. 2+√2D. 3+√25.过原点作圆{x =3cosθy =6+3sinθ（θ为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A. π6 B. π4 C. π3 D. π2 6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则A. 若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β`；B. 若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n ；C. 若 m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；D. 若 m ∥α，n ∥α，则m ∥n.7.“a ≥4或a ≤0” 是“函数f(x)=ax 2+ax +1存在零点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M ={(x,y) | y =f(x)}，若对于∀ (x 1,y 1)∈M ，∃ (x 2,y 2)∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：M 1={(x,y) | y =x 2+1}； M 2={(x,y) | y =lnx }； M 3={(x,y) | y =e x −e }； M 4={(x,y) | y =sinx +1}． 其中是“互垂点集”的集合为A. M 1,M 2B. M 2,M 3C. M 1 , M 4D. M 3,M 4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.21−i=__________10.已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，且a⃑·(a⃑−b⃑⃑)=0，则a与b的夹角为_________11.设双曲线C经过点（4,0），且与双曲线x24−y2=1具有相同渐近线，则C的方程为__________；渐近线方程为__________.12.已知α为锐角，sinα2=√55，则cos(α+π2)=____________.13.“当c>1时，能使不等式log a c>log b c”成立的一组正数a,b的值依次为_________________．14.F1、F2分别为椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点，P是C上的任意一点. 则|PF1|•|PF2|的最大值为___________，若A(0,4√6)，则|AP|−|PF2|的最小值为____________.三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在△ABC中，b=8，c=3,A=π3．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求BC边上的高．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，AB=AD=12CD=1，∠BAD=∠ADC=90∘，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M−BC−D的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM与平面PAB的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；(Ⅱ) 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ) 如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.18.设函数f(x)=a√x−lnx,a∈R.（I）若点(1,1)在曲线y=f(x)上，求在该点处曲线的切线方程；（II）若f(x)有极小值2，求a.19.已知M，N为抛物线C:y2=4x上两点，M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点.（I）求直线MN的斜率；（II）若点B(−2,0)满足∠OBM=∠OBN，求此时直线MN的方程.2=D（n≥2，n∈N∗，D为常数），则称{a n}为“平方等差数列”．20.在数列{a n}中，若a n2−a n−1（Ⅰ）若数列{b n}是“平方等差数列”，b1=1,b2=2，写出b3,b4的值；（Ⅱ）如果一个公比为q的等比数列为“平方等差数列”，求证：q=±1；}的前n项和为T n．是否存在正整数p,k，（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{c n}满足c1=2,c2=2√2,c n>0，设数列{1c n使不等式T n>√pn+k−1对一切n∈N∗都成立？若存在，求出p,k的值；若不存在，说明理由．。
北京市顺义区高考数二模试卷解析版
2018-2019学年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}2．二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x43．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．24．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．05．已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于______．10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是______．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为______；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为______．13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=______；AE=______．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有______部优秀影片．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）2018-2019学年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出可行域，设z=2x+y，利用目标函数的几何意义其最小值．【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3）时，z 最小，所以最小值为3；故选：B．4．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，故选D．5．已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】在A中，当a1＜0时，a3＜a2；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0；在C 中，是递增数列；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值．【解答】解：由{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；在C中，=，∴是递增数列，故C正确；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）═T1+T2+T3+T4＞0即可得到T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于160．【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：16010．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（，），由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3×=，故答案为：．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，S=1S=，i=3满足条件i＜10，执行循环体，i=5，S==，i=6满足条件i＜10，执行循环体，i=11，S=×=，i=12不满足条件i＜10，退出循环，输出S的值为．故答案为：．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=；AE=6．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE．【解答】解：∵BD∥AC，AC=4，BD=5∴==．由弦切角定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．所以BE=AC=4．由切割线定理，可得AE2=EB•ED=4×（4+5）=36，所以AE=6．故答案为：；6．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．【解答】解：记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．故答案为：10．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）由α为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域．【解答】解：（1）∵α为第二象限角，且sina=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣，∴f（α）=（1+tanα）cos2α=（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，化简f（x）=sin（2x+）+，∵x≠kπ+，k∈Z∴2x+≠2kπ+，k∈Z∴﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣≤f（x）≤∴f（x）的值域为[﹣，]16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 1 2 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜＞|；（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），求出的坐标，令=0得出k与λ的关系，得出||关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．【解答】（1）证明：∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，∴EF⊥DF，EF⊥AF，又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，∴EF⊥平面ADF，∵DG⊂平面ADF，∴DG⊥EF．（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，∴△ADF是等边三角形，∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，∴DG⊥平面ABEF．设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，），F（﹣1，0，0）．∴=（1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣2，﹣4，0）．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=2得=（2，﹣，2）．∴=2，||=，||=1．∴cos＜，＞==．∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），则=（1，0，k），=（1，4，），∴=（λ，4λ，λ），∴=（λ﹣1，4λ，λ﹣k）．∵DG⊥平面ABEF，∴=（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．∵PQ∥平面ABEF，∴，∴=（）=0，∴k=．∴||===．∴当λ=时，||取得最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，x≠﹣a，可得函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为，由题意可得=3，解得a=±1；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，①a=0时，f（x）=无最小值，显然成立；②a＞0时，f（x）的导数为f′（x）=，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）递减；在（﹣a，3a）递增，在（3a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极大值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可，当x1＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜x1+|x1+a|＜﹣a，f（x1）＞f（x1+|x1+a|），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立；③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）递减；在（3a，a）递增，在（﹣a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）＜f（x1）．综上可得，a的范围是[0，+∞）．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆C有两个公共点，∴△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，设EF的中点G（x0，y0），则，，∴G（，），∴|DG|==，|EF|==，∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，∴|DG|＜对于k∈R恒成立，∴，化简，得2m2k2+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1，整理，得，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴m2，由m＞0，．解得0＜m＜，∴m的取值范围是（0，）．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）【考点】数列递推式；数列的求和．×21+a k 【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，则a1，a2，…，a k中有奇数个1，分当a0=1，a1，a2，…，﹣1a k，中无0时，和当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时两种情况证明，（3）由（2）即可求出n的值．【解答】解：（1）数列{b n}的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1．（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，﹣1则a1，a2，…，a k中有奇数个1．当a0=1，a1，a2，…，a k，中无0时，∵m=2k+2k﹣1+…+21+20，∴m+1=1×2k+1+0×2k+…+0×21+0×20，m+2=1×2k+1+0×2k+…+0×21+1×20，∴b m=1，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1，当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时，①若a k=0，即m=a0•2k+a+…+a+0×20则m+1=a0•2k+a+…+a+1×20，、∵a1，a2，…，a k中有奇数个1，∴b m+1=0，此时连续1项为1，②若a k=1，即m=a0•2k+a+…+0×2s+，则m+1=a0•2k+a+…+1×2s+，m+2=a0•2k+a+…+1×2s++1×20，（其中i∈N）如果s为奇数，那么，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1．如果s为偶数，那么b m+1=0，此时仅有1项b m=1．综上所述，连续为1的项不超过2项，（3）n=2051或n=2052．。
北京市顺义区2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
北京市顺义区2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】由题可知：0a <，所以当0x <时，()0f x >， 又()'x f x e a =+，令()'0f x >，则()ln x a >- 令()'0fx <，则()ln x a <-所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减 在()()ln ,a -+∞单调递增， 故选：B 【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.2．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BC sin sin =︒︒，122BC=，∴62BC =故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.3．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=I ，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断． 【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。
北京市顺义区2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
北京市顺义区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.4．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A．122- B．122i + C．12+ D12i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.5．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3 B．C．-D ．3-【答案】D 【解析】【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，Q 一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 6π==，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.6．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算．【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.9．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵12F F =∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．2 【答案】B【解析】【分析】【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =，所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+，所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得3sin 3θ=（负值舍去）， 所以椭圆Г的离心率33e =．故选B ． 2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π 【答案】C【解析】【分析】 设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为334433633V R πππ==⨯⨯= . 故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 3．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】 设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r， []22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，， ∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r r r 21m r配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r [0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 4．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58 B ．34 C ．54 D ．52【答案】C【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-， 因为14a =也适合上式，所以432n a n =-. 依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L .本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】 {}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21201q a q -+<， 因为2210q q -+≥恒成立，故可以推出10a <且1q ≠，若210n S -<成立，当1q =时，有10a <，当1q ≠时，有()211101n a q q --<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3. 只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 7．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件【分析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n o u r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n o u r r u r r u r r ⋅==>，得证；必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立； 所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318 B ．1318或1936 C ．139 D ．136【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-， 所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅. 故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A【解析】【分析】 根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．10．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a ．∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1a ＝﹣10，d ＝3，∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈【答案】A【解析】【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值.【详解】 由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x g x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京顺义区第二中学2019年高三数学理测试题含解析
北京顺义区第二中学2019年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（）A．π+4B．2π+4C．π+4D．π+2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与长方体的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体．半圆柱的底面半径为1，高为2，长方体的棱长分别为1，2，2．所以几何体的体积V=+1×2×2=π+4．故选：C．2. 已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C 三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．解答：解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|=|MF|∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|∵A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|﹣r=5﹣1=4∴（|MA|+|MF|）min=4故选C．点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小．3. 下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（）A． B． C．D．参考答案：C略4. 设a,b为实数，若复数，则A． B. C. D.参考答案：A略5. 已知数若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. -9B. 9C.6D. -6参考答案：B略6. 已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：B7. 已知，是以a为周期的奇函数，且定义域为R，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 2018参考答案：A可知的周期为，故选8. 若集合，，则等于（）A． B． C．D．参考答案：A略9. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为A. B.C. D.参考答案：C10. 已知正数满足，则的最小值为A．3 B． C．4 D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列说法中错误的是．（填序号）①命题“，有”的否定是“，都有”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知为假命题，则实数x的取值范围是[2,3)；④我市某校高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生550人，现采用分层抽样的方法从该校抽取33个学生作为样本进行某项调查，则高三被抽取的学生个数为12人. 参考答案：①④①命题“，有”的否定是“，都有”,特称命题的否定是全称命题，由书写规则知此命题是错误的命题；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；命题的逆命题和否命题互为逆否命题，真假性相同，故正确；③已知为假命题，则则实数的取值范围是；④我市某校高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生550人，现采用分层抽样的方法从该校抽取33个学生作为样本进行某项调查，则三个年级的比例为：12：10：11，高三被抽取的学生个数为11人，故命题不正确.故答案为①④.12. 已知函数，如果，则m的取值范围是 .参考答案：13. 满足约束条件，则的最大值是_____最小值是____ 参考答案：17;11略14. 设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥b，b∥c，则____．参考答案：515. 设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是．参考答案：a＞1或a＜﹣1【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】把不等式转化为两个不等式组，解不等式组可得．【解答】解：由题意可得f（1）=21﹣4=﹣2，∴f（a）＞f（1）可化为或，分别解不等式组可得a＞1或a＜﹣1故答案为：a＞1或a＜﹣1．16. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则= ．参考答案：【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=f（+2）=f（），又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（）=f（），又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，∴f（）=+1=，则=．故答案为：．17. +log3+log3= ．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：+log3+log3=+log35﹣log34+log34﹣log35=．故答案为：．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
9.2019北京高三二模(理)分类汇编--解析几何
2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x t y at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为5.6.7. ,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右顶点分别为,A B，长轴长为4，离心率为1 2.过右焦点F的直线l交椭圆E于,C D两点（均不与,A B重合），记直线,AC BD的斜率分别为12,k k.（Ⅰ）求椭圆E的方程；A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，长轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()01，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0u u u r u u u r u u u u r ，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．2019高三二模分类汇编—解析几何答案部分1.D2. 1,-因为直线PA 的斜率002Ap k x =+ 所以直线MQ 的斜率002MQ x k y +=-又直线MQ 的方程为000022()22y x x y x y +--=--令0x =，得到0000(2)(2)22Q y x x y y +-=+ 因为2200142x y += 所以02Q y y =- 因为PAQ △为正三角形，所以22242(,)1212k k M k k -++ 因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k=- 所以直线MQ 的方程为222214()1212k k y x k k k --=--++ 令0x =，得到22222142121212Q k k k y k k k k -=-⋅=+++因为PAQ △为正三角形， 所以||||AP AQ =2412k =+化简，得到42430k k +-=，解得223,14k k ==-（舍） 所以202422125k x k -+==-+，所以直线MQ 的方程为2224()22t y t x t t --=--++ 令0x =，得到222Q t y t -=+ 因为PAQ △为正三角形， 所以||||AP AQ =2|4|2t t =+化简，得到42340t t --=，解得224,13t t ==-（舍） 所以20224225t x t -==-+， 即点P 的横坐标为25- 5.()1,136.7.k 因为PF ⊥x 轴，所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212244y y y y +++=884424k k -++==.的值为2. ...............13分所以MF NF8.9.10.2所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++. 直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=- 2122143x x x x x --=- 22212431k x k -+=.⎧⎪⎨⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,0A -,()2,0B当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =．由221 1.43x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩得1213,22k k ==或1213,22k k =-=-；均有1213k k =． 猜测存在13λ=． …………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ． 由()221y k x =-⎧⎪，得2222 ====相减可得：22121244y y x x -=-即()()()1212124y y y y x x -+=-又124y y +=，所以12121y y k x x -==-，即直线MN 的斜率为1.------------------------------------------4分 （II ）由（I ）知直线MN 的斜率为1，所以可设直线MN 的方程为y x a =+讨论：当（1）()()1122,,,M x y N x y 在x 轴异侧时，由OBM OBN ∠=∠知0BM BN k k +=，---------------------6分 又1212,22BM BN y y k k x x ==++21．解：（Ⅰ）由已知，得，所以c e a ===． ..........3分 又，所以 ..........4分所以椭圆C 的标准方程为，离心率e = ..........5分 （Ⅱ）设．a =1c =222a b c =+b =22132x y +=①当直线l 与x 轴垂直时，点A ,B的坐标分别为(0-，，(0．因为()0,m m MA x y =-u u u r，()0m m MB x y =-u u u r ，()0,0m m MO x y =--u u u u r ，所以(3,3)m m MA MB MO x y ++=--=0u u u r u u u r u u u u r ．所以0m x =，0m y =，即点M 与原点重合． ..........6分 x 1y kx =+∆所以，1224032y y k +=>+． .......... ..........9分 x 33⎝⎭2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端： 2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以点M '也在曲线L 上． u u u r u u u r u u u u r所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． ......... ......... ......14分23.（本小题13分）（Ⅰ）因为抛物线)0(22>=p py x 过点(2,1)P ，所以2p =4所以，直线TN 恒过定点(0,4). ……………………13分。
2019顺义高三第二次统练理科数学试卷
顺义区2019届高三第二次统练数学试卷（理科）一.选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）1.已知全集，集合，则A. B. C. D.2.若实数满足则的最小值是A. B. C. 0 D. 43.在等比数列中，若，，则=A. 32B. 16C. 8D.4.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A. 12B. 2C.D.5.过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为A. B. C. D.6.已知m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β`；B. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n；C. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；D. 若m∥α，n∥α，则m∥n.7.“或”是“函数存在零点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”的集合为A. ,B. ,C. ,D. ,二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.__________10.已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，且，则a与b的夹角为_________11.设双曲线经过点（4,0），且与双曲线具有相同渐近线，则的方程为__________；渐近线方程为__________.12.已知为锐角，，则____________.13.“当时，能使不等式”成立的一组正数的值依次为_________________．14.、分别为椭圆：的左、右焦点，是上的任意一点. 则的最大值为___________，若，则的最小值为____________.三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在△ABC中，b=8，,．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求边上的高．16.如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面，，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断直线与平面的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量的概率；(Ⅱ) 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为，求的分布列；(Ⅲ) 如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.18.设函数.（I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（II）若有极小值2，求.19.已知为抛物线上两点，的纵坐标之和为4，为坐标原点.（I）求直线的斜率；（II）若点满足，求此时直线的方程.20.在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。