初等函数的基本不等式
基本不等式全部公式
基本不等式全部公式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b2. Cauchy-Schwarz 不等式：对于任意实数 a1, a2,...,an 和 b1, b2,...,bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)3. 二次平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn，有√((x₁² + x₂² + ... + xn²)/n) ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)4. 广义平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn 和实数 p ≠ 0，有(x₁ᵖ + x₂ᵖ + ... + xnᵖ)/n ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)ᵖ5. AM-GM 不等式：对于任意非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁x₂...xn)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + ... + xn)/n6. Jensen 不等式：设 f 是凸函数，则对于非负实数 x₁, x₂, (x)和非负实数权重 w₁, w₂,...,wn，有f(w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wnxn) ≥ w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + ... +wnfn(xn)7. Hessemberg 不等式：对于非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁ + t)ⁿ ≤ x₁ⁿ + nx₁ⁿ⁻¹t + n(n-1)x₁ⁿ⁻²t²/2 + ... + tⁿ8. Bernoulli 不等式：对于实数x ≥ -1 和正整数 n，有(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx9. Muirhead 不等式：对于非负实数 a₁, a₂,...,an 和 b₁,b₂,...,bn 满足 a₁ + a₂ + ... + an = b₁ + b₂ + ... + bn，有a₁ᵖ₁a₂ᵖ₂...anᵖₙ + permutations ≥ b₁ᵖ₁b₂ᵖ₂...bnᵖₙ + permutations10. 反柯西不等式：对于任意非负实数 a₁, a₂,...,an，有(a₁/a₂ + a₂/a₃ + ... + an-₁/an + an/a₁) ≥ n以上是一些常见的基本不等式公式。
基本初等函数
图乙
一种对应 p q r B
A
图丙
图 2-1-3
图丁
图甲不是映射，因为集合A中的一个元素对应了 集合B中的两个元素； 图乙是映射，符合映射的定义； 图丙是映射，虽然，集合B中有的元素没有A中 的元素与之对应，但仍符合映射的定义； 图丁不是映射，因为集合A中的每一个元素都要 对应集合B中的元素，但是A中的元素-1,-2没有对 应B中的元素．
课堂例题
例1.某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表 示法表示函数y=f(x). 解：函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x，
x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域 （domain）；与x的值对应的y值叫作函数值，函数值的 集合 f ( x) x A 叫作函数的值域（range）. 值域是集合B的子集.
2．对概念的理解
（1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素， 这是一个整体.一般来说值域由定义域和对应关系所确 定，因为对于定义域中的数x，按照确定的对应关系f， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和x对应. （2）记住y=f(x)的内涵.例如对于f(x)=x2，对应 关系f就是“取平方”，而对于 f ( x) x ，对应关 系f就是“开平方”，f就是函数符号，对于具体的函 数它有具体的涵义.函数符号还可以记作 y=g(x),y=u(x)等．
（2）f(x)=1和g(x)=x0.
2.请你再举出函数相等的例子.
课堂小结
1．函数的值域由定义域和对应关系确定. 2．如果两个函数的定义域、对应关系都相同，
基本初等函数及其性质(高中数学)
01 函数及其表示函数的概念【知识简介】函数与映射的概念【典例】1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)D.(3，＋∞)【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.【答案】C3．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝( ) A ．4 B.14C.－4D.－14【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B. 【答案】B 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 【解析】[∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 【答案】-2 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． 【解析】由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确． 【答案】① 求函数的定义域 【知识简介】求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解，高考中常以选择题形式出现，难度较低． 【典例】 1(1)(2014·山东，3)f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2013·大纲全国，4)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，1【答案】 (1)C (2)B 【名师点睛】(1)求定义域时对于解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 1.(2012·江西，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，与函数y ＝sin xx 的定义域相同，故选D.2．若典型例题1(2)改为函数f (x 2－1)的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－12，32,求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．求函数的解析式 【知识简介】高考中直接考查求函数解析式的题目很少，主要考查应用问题，备考时熟练掌握换元法、待定系数法求解析式，高考中常以选择题或填空题形式出现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9(2)(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(3)(2013·安徽，14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】 (1)由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，∴f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9，故选C.(3)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．【答案】 (1)C (2)D (3)－12x (x ＋1),【名师点睛】题(2)中判断对应关系“f ”是否是函数关键在于对于∀x ∈R 在f 的作用下是否有唯一的y 与之对应．求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )． 分段函数分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，试题常以选择题、填空题形式出现，考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题．解题过程中常渗透分类讨论的数学思想．【典例】3(1)(2015·课标Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ）， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2014·浙江，15)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)C (2)(－∞，2] 【名师点睛】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．(2015·山东临沂调研，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9 C ∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2.故选C.,分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．【针对训练】1．(2016·湖南三校联考，3)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg(x －1)的定义域是( ) A ．[－1，4] B ．(－1，4] C ．[1，4] D ．(1，4] 1．D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4. 2．(2016·福建厦门一模，4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．(2016·湖南衡阳联考，3)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋13．C f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.4．(2015·河北唐山统考，5)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )4．C 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 5．(2016·广东广州一模，8)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2 5．B 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.6．(2016·陕西西安一中一模，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，－2)D ．(－2，1)7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围( )A ．[－1，1]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[－2，2]7．D 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋（－a ）2＋2（－a ）≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0， 解得a ∈[－2，2]，故选D.8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A ，且 f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，38思路点拨：解答本题关键是要分清x 0∈A 时，f (x 0)的取值范围，以决定如何求f (f (x 0))的值． 9．(2016·浙江慈溪、余姚联考，10)若函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.9． 【解析】 用1x 替换2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，两个方程联立消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝2x －1x. 【答案】 2x －1x10．(2016·湖北武昌调考，14)新定义函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)sgn x >2的解集是________． 10． 【解析】 ①当x >0时， sgn x ＝1，不等式的解集为{x |x >1}； ②当x ＝0时，sgn x ＝0，不等式无解；③当x <0时，sgn x ＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}， 所以不等式(x ＋1)sgn x >2的解集为{x |x <－3或x >1}． 【答案】 {x |x <－3或x >1}【点击高考】1．(2014·江西，2，易)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)1．C 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.2．(2014·江西，3，易)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 2．A 由已知条件可知 f (g (1))＝f (a －1)＝5|a -1|＝1， ∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.3．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x4．(2015·山东，10，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x <1，2x ， x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)4．C 令f (a )＝t ，则由f (f (a ))＝2f (a )得f (t )＝2t .由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1可知t ≥1.∴f (a )≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a ≥1⇒23≤a <1或a ≥1⇒a ≥23.故选C. 5．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]6．(2015·湖北，10，难)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．B 由题可知： 当n ＝1时，1≤t <2.当n ＝2时，2≤t 2<3，即2≤t <3满足条件．当n ＝3时，3≤t 3<4，即33≤t <34满足条件． 当n ＝4时，4≤t 4<5，即44≤t <45满足条件． 当n ＝5时，5≤t 5<6，即55≤t <56， 而33>56.所以正整数n 的最大值为4.7．(2015·浙江，10，易)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3， x ≥1，lg （x 2＋1）， x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(2015·山东，14，中)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．8．【解析】 当0<a <1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32. 【答案】 －3202 函数的单调性求函数的单调区间 【知识简介】对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大． 【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2014·天津，4)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y ＝x 2－4的单调减区间，结合函数的定义域x 2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】 (1)A (2)D(2015·河南洛阳二模，6)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] B 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]，故选B.,判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况内函数t ＝φ(x ) 增 增 减 减 外函数y ＝f (t ) 增 减 增 减 y ＝f (φ(x ))增减减增y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 函数的值域 【知识简介】确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质，如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝x ＋ax (a ≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题．【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8(2)(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)①当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.②当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上可得a ＝－4或a ＝8.【答案】 (1)D (2)(1，2](2015·福建福州一模，6)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1常见求函数值域的方法(1)配方法：对形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求 解．(2)单调性法(图象法)：若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (b )；若f (x )在[a ，b ] 上单调递减，则f (x )min ＝f (b )，f (x )max ＝f (a )．(3)对于形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数，利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值．(4)导数法． 单调性的应用 【知识简介】函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a(2)(2013·安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1.图象如图，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x<3.【答案】(1)C(2)C(3)(－1，3),比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f ′(x )＝0在A 的任意子区间不恒成立，若求得a ≥2，则需检验a ＝2时是否符合题意．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，2)下列函数中是偶函数并且在(0，＋∞)内单调递增的是( ) A ．y ＝－(x －1)2 B ．y ＝cos x ＋1 C ．y ＝lg|x |＋2 D ．y ＝2x2．(2015·河北保定三模，6)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 2．C 要使函数f (x )的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.3．(2015·湖南株洲一模，7)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．123．C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．(2016·黑龙江哈尔滨联考，8)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关 系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c4．D 由函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c ，故选D.5．(2016·江西八校联考，10)定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，且函数y＝f (x －1)的图象关于点(1，0)中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t －2ss ＋t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12①不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≤t ，s ＋t ≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t＝－12.②∵t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≥t ，s ＋t ≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，6．(2016·吉林长春质检，15)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．6．【解析】 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)【点击高考】1．(2014·北京，2，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)1．A 对于A ，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B ，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C ，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故不符合；对于D ，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．2．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x2．D ∵f (x ＋y )＝f (x )f (y )， ∴f (x )为指数函数模型，排除A ，B.又∵f (x )为单调递增函数，∴排除C ，故选D.3．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．D (逐项验证法)对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x 在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，故选D.5．(2015·北京，14，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 5．【解析】 (1)若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，－1<2x －1<1.当x ≥1时，4(x －1)(x －2)＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.6．(2012·上海，7，中)已知函数f (x )＝e |x-－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数， 则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.方法二：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），当x ≥a 时，f (x )＝e x －a ，f ′(x )＝e x －a .由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0在[1，＋∞)上是恒成立的， ∴a ≤x min ，∴a ≤1.当x ＜a 时，f ′(x )＝－e x －a ＜0恒成立，不符合题意． 综上所述，a ≤1. 【答案】 (－∞，1]7．(2016·浙江，16，15分，中)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．7．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．03 函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的判断及应用【知识简介】函数的奇偶性常与函数单调性相结合，解决求值、求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于中低档题．【典例】1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1(2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(3)(2015·课标Ⅰ，13)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝______．【答案】(1)A(2)C(3)1(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3),判断函数奇偶性的方法 (1)定义法首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图象法观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．应用奇偶性可解决的问题及方法(1)求函数值：利用奇偶性转化到已知区间上求解．(2)求解析式：步骤：①求谁设谁；②转化到已知解析式的区间；③利用已知区间解析式求出f (－x )；④利用奇偶性求出f (x )．(3)求解析式中参数的值：利用待定系数法求解，由f (x )±f (－x )＝0得出关于参数的恒等式，进而求解． 函数的周期性 【知识简介】函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合，考查函数求值等问题，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现．【典例】 2(1)(2012·山东，8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012(2)(2014·四川，12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【解析】 (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)由已知易得f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2， 可得f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝1. 【答案】 (1)B (2)1,函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 函数性质的综合应用 【知识简介】函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常将它们综合在一起命题，奇偶性多与单调性结合，周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现． 【典例】 3(1)(2014·大纲全国，12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8) ＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1(2)(2012·课标全国，16)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(2)显然其定义域为全体实数，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 【答案】 (1)D (2)2,函数性质综合应用的注意点函数的周期性常通过奇偶性得到，奇偶性体现的是一种对称关系．而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．【针对训练】1．(2016·山东潍坊联考，4)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是( ) A ．函数f (x 2)＋x 2是奇函数 B ．函数[f (x )]2＋|x |不是偶函数 C ．函数x 2f (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋x 3不是奇函数2．(2016·甘肃兰州一模，12)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2]2．C 因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．(2016·广东东莞一模，6)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (21.8)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c3．B ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，∵21.8＞2＞log 23＝log 49>log 47， ∴log 47<log 49<21.8，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 则f (log 47)>f (log 49)>f (21.8)， 即c <b <a .4．(2015·湖北名校联考，7)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)∴在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧log a （2＋2）<3，log a（6＋2）>3， 解得34＜a ＜2，故选D.5．(2016·河北石家庄模拟，15)若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2，2]，有f (mx －3)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．【答案】 (－3，1)6．(2016·山东济南二模，13)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2 015)＝________.6．【解析】 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )， ∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2 015)＝f (7＋251×8)＝f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝f (1)＝2. 【答案】 27．(2016·山西太原三模，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________. 7．【解析】 ∵奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝－f (－x )， ∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数， ∵S n ＝2a n ＋n ，① ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②②－①可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴数列{a n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，即a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n ＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3. 【答案】 38．(2016·河南郑州质检，15)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin πx ＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1)＝________. 【答案】 82【点击高考】1．(2016·山东，9，中)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．21．D 由题意得，当x ＞12时，f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )，所以当x ＞12时，f (x )的周期为1，所以f (6)＝f (1)．又f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2，故选D.2．(2016·课标Ⅱ，12，难)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m3．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x3．D A 中函数y ＝1＋x 2为偶函数；B 中f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，故为奇函数；C 中f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x＋2x ＝f (x )，故为偶函数；D 中f (－x )＝－x ＋e －x ，为非奇非偶函数，故选D.4．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．C 若f (x )为奇函数，则|f (x )|为偶函数；若g (x )为偶函数，则|g (x )|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C 正确．5．(2013·山东，3，易)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．25．A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.6．(2012·福建，7，中)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数7．(2016·天津，13，中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．7．【解析】由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)>f(2)，∴2|a－1|<2，即|a－1|<1 2，∴12<a<32.【答案】12<a<328．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．04 二次函数与幂函数二次函数 【知识简介】在高考中，二次函数图象常与其他函数结合考查，多以选择题形式出现，难度偏大，属于中高档题． 二次函数性质中单调性及最值在高考中出现频率较高，在解答题中常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、零点与不等式问题，难度较大．【典例】 1(1)(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812(2)(2013·辽宁，12)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16③当m －2<0，即0≤m <2时，f (x )开口向下，对称轴x ＝－n －8m －2＝8－n m －2≤12，整理得m ＋2n ≤18.∴mn ＝12×2mn ≤12×⎝⎛⎭⎫m ＋2n 22≤812，当且仅当m ＝2n ，m ＋2n ＝18，即n ＝92，m ＝9时，等号成立，而m ＝9与0≤m <2矛盾；故不合题意．综上可知，mn 的最大值为18，故选B.(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a ＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.【答案】(1)B(2)C,【名师点睛】(1)首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．注意需对二次项系数进行分类讨论．(2)比较两个函数的大小可以转化成两图象的上下位置关系，故可用图象法求解，在画图时要抓好轴与顶点．二次函数图象的主要考查方向(1)二次函数的图象的识别问题，主要有以下三个要点：一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)与其他图象的公共点问题，解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数图象，要注意其相对位置关系．二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算． 幂函数 【知识简介】高考中考查幂函数的概念、图象及性质，利用幂函数性质求参数，很少单独考查，一般结合指数函数、对数函数考查基本初等函数的图象与性质，以选择题、填空题的形式呈现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是 ( )(2)(2014·上海，9)若f (x )＝x 23－x －12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)令y 1＝x 23，y 2＝x －12，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23，y 2＝x －12的图象如图所示，由图象知当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1)． 【答案】 (1)D (2)(0，1)(2016·山东实验中学三模，5)幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，4)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 1．A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数为f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2．(2016·浙江宁波二模，6)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )2．A [考向1，2]由f (x )的图象知，0<a <1，b <－1.由0<a <1可排除C ，D ，又由g (0)＝1＋b <0可排除B.故。
函数与初等函数
ax b
六、证明函数 y
的反函数是其本身.
cx a
y 1ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
y 1ex 2
D:(, ), 偶函数.
ysinxh
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
D:( , ) 奇函数, 有界函数,
双曲函数常用公式
反双曲正y切 artanxh yartanxh
1ln1x. 2 1x
D:(1,1)
奇函数,
在(1,1)内单调增 . 加
yartanxh
思考题1
设x0，函数值f(1)x 1x2， x
求函数yf(x) (x0)的解析表达式.
思考题1
设x0，函数值f(1)x 1x2， x
3l 2
l 2
l 2
3l 2
例2
设D(x)10
xQ ,
xQ
求 D (7)D ,(12)并 . 讨 D (D (x)论 的 ) 性 . 质 5
解 D(7) 1, D(1 2)0, D (D (x) )1 , 5 y
单值函数, 有界函数,
1
偶函数, 不是单调函数,
周期函数(无最小正周期)
设 f(x ) e x x ,, x x 1 1 ,(x ) x x 2 2 1 ,, x x 0 0 ,求 f[(x )].
解
e(x), (x)1 f[(x)]
(x), (x)1
10 当 (x)1时 ,
或x0, (x ) x 2 1 , 或x0, (x)x211,
12
3x2 2x1
故 Df :[3,1]
三元基本不等式基础
基本不等式在求最值中的应用与完善杨亚军函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。
高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。
一、基本不等式的内容及使用要点1、二元基本不等式：①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。
若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。
对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。
由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
2.三元基本不等式：当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，……乃至n元基本不等式；当ai >0（i=1，2，…，n）时，a1+a2+…+an≥。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，≥2，a+ ≥2等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+ ≤-2。
基本不等式中的字母a，b可代表多项式。
3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。
利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
初等函数的基本不等式
x
不等式转化为 x x1 源自x2 1, 即 f (x)
x ln x 1 ln ( x2 1) 0,x 1.
2
x 1
2
2
而
f
' (x)
ln x (x 1)2
1 x 1
x x2 1
0
ln
x
x x
2 2
1 1
,x
1.
由不等式
2(1)有 ln (1
x)
x 1 x
2
2
后一结果，一般称为指数平均不等式. 3. 指数数型不等式
(1) ex 1 x x2 ... xm (m 1,x 0; 或x 0, m为奇数);
2!
m!
(2) ex 1 x x2 ... xm (x 0, m为偶数).
2!
m!
(3) ex ex (x 1)2,x 0(x 0,1 取等号).
1 2(x 1)
1 x
0, 即 2 x(x 1)(x2 1) (x 1)2 ,
x 1 x 1 x(x 1)(x2 1)
也就是 4x(x2 1) (x 1)3,(3x2 1)(x 1) 0, 显然成立.
x
y
右边的另一证明：由赫尔德不等式知 x x y y x y
2x 2 x
,
x
0,
2
于是 ln
x
1 ln x2 2
1 2(x2 1) 2 2 (x2 1)
x2 x2
1 1
,x
1.
这样
f
' ( x)
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
几类基本不等式及其应用
几类基本不等式及其应用1 前言基本不等式及其应用是高等数学中非常重要的一个内容，也是高等数学中困难度非常高，学生难以掌握的内容.在高等数学中，基本不等式也是考察学生掌握情况的重要内容.学生在学习高等数学过程中，掌握并能够正确的运用基本不等式，将有助于将复杂的数学问题简单化，还能够在各类实际问题中得到广泛的应用，并且不等式还是学习、研究现代科学和技术的基本工具之一.在现阶段关于不等式的研究，向着更加高深、复杂，并且多方向化的方向发展，而探究不等式及其应用对不等式的理论研究有着重要的意义.不等式的应用，需要综合应用多种数学知识和思维方式，而通过不等式的学习和应用，对学生的数学思维和逻辑思维能力发展均有着重要的作用.本研究通过探究几类不同基本不等式及其应用，能够为高数不等式教学提供参考和借鉴. 2 几类基本不等式及其应用分析 2.1 基本不等式2.1.1 基本不等式定义及公式基本不等式是数学中最基本、最基础的不等式，是任何两个正数的算数平均值，不小于其几何平均值，公式为：2a +2b ≥2ab当且仅当两数值相等时，即a =b ，等号成立.基本不等式还有以下变形：ab ≤2ba +或a +b ≥2ab ，基本不等式的成立条件为：a >0，b >0，当且仅当a =b 时等号成立.此外还有拓展基本不等式：ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，其中a ，b ∈.2.1.2 基本不等式的应用基本不等式可以用于比较实数大小或证明不等式、求最值、求取值范围等. 例1 证明不等式.已知a >0，b >0，a +b =1，证明21+a +21+b ≤2.在对此不等式进行证明时，可以将不等式左边的a +21和b +21转换为112a ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭和112b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，然后运用基本不等式定理进行证明.证明 根据基本不等式定理，可以得出21+a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅211a ≤2211++a =43+2a ，即21+a ≤43+2a ，同理21+b =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅211b ≤2211++b =43+2b ，即21+b ≤43+2b ，因此21+a +21+b ≤43+2a +43+2b≤2， 即得到不等式21+a +21+b ≤2. 例2 求最值.分别求当x >0，x <0时，函数y =()()xx x 164++的最值.在此题中，对x 的取值范围进行了规定，而在不等式中有着“一正”前提，如不对前提进行考虑，容易造成计算错误，因此在对此题进行求解时，要首先对x 的正负进行讨论.解 当x >0时，y =()()xx x 164++=x +20+x 64≥20+2xx 64⋅=36， 当且仅当x =x64时，即x =8时，取等号. 因此当x =8时，y =()()xx x 164++取最小值，为36.当x <0时，−x >0，−x64>0， (−x )+(−x64)≥2()⎪⎭⎫⎝⎛--x x 64=16，y =x +20+x 64=20−[(−x )+(−x64)]≤20−16=4， 当且仅当−x =−x64时，即x =−8，等号成立. 因此当x =−8时，y =()()xx x 164++取最大值，为4.例3 求取值范围.设x >0，y >0，不等式x +y ≤y x a +恒成立，则求a 的取值范围. 在对此题进行求解时，要注重将已知条件进行转换，转换为a ≥yx y x ++，然后求yx y x ++的最大值，即可求得a 的取值范围.解 由题目中可以得知a ≥yx y x ++恒成立，并且x >0，y >0，则a >0，则a必然大于或等于yx y x ++的最大值，根据基本不等式定理，得出2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x =y x xy y x +++2=1+y x xy +2≤2 当且仅当x =y 时，等号成立，即2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 的最大值为2，y x yx ++的最大值则为2.因此此题中a 的取值范围为[2，+∞). 2.2 均值不等式2.2.1 均值不等式定义及公式均值不等式又可以称为平均值不等式、平均不等式等，是数学中重要的不等式之一.均值不等式是指调和平均数不超过几何平均数、几何平均数不超过算术平均值、算术平均值不超过平方平均值，即公式为：na a a n11121+++ ≤n 21n a a a ≤n a a a n +++ 21≤n a a a n22221+++若各数值均为正实数，当且仅当各数值相等时，即1a =2a==n a ，等号成立.2.2.2 均值不等式的应用均值不等式主要应用在极限的证明、求极限等. 例4 证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim的存在性. 证明 先对nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+进行单调递增证明.令1a =2a ==n a =1+n1，1+n a =1，则由基本不等式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++〈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++1n 11n 11111.n 11n 111n n 即111n 111++〈⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n,因此，nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+<11n 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n .得出数列nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+呈单调递增.再证明数列nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+存在上限.首先假设nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+的上限为1k 11+⎪⎭⎫⎝⎛+k （k 为正整数）.则需要先证明nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+<1k 11+⎪⎭⎫⎝⎛+k （当n>k 时）.假设121,1k ka a a n +====+2+k a ==n a =1，则由均值不等式得出：111.1+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k n k k k <()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⋅++k n k k k 111n 1=1+n n . 因此可以得出，11+⎪⎭⎫⎝⎛+k k k <11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ，即111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n <111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k .由于1+n 1>1，可以得出n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，因此n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k .当n>k 时，随机取一个正整数k ，M=111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k ，均是nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的上限，并且前文已证明nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11呈单调递增，这就使得当n≤k 时，nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k 不等式仍然成立.因此n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11（n=1,2…）存在n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k （k 为正整数）.这就说明了任选一个k 值，M=111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k 均能够成为nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的上限.从而说明了nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11单调递增，并且存在界限.在单调有界定理下，nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11存在极限.设定极限值为e ，即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .通过上面的证明，可以通过均值不等式证明111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 存在极限，且极限同样为e ，具体证明过程如下：记n x =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，则n x 1=11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n =11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ·1≤()22111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+n n n n n =221+⎪⎭⎫⎝⎛++n n n =11+n x 由此证明n x 呈单调递减，并且1<n x <1x <4，n x 为收敛，极限为e .在上面的证明中，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<e <111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，两边分别取对数，不等式同样成立，即11+n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 11ln <n1. 由此可以证明， n a =1+21++１ｎ−ln ｎ为收敛，其极限值为Euler 数.例5 求极限nn n lim∞→.解 均值不等式n 21n a a a ≤na a a n+++ 21，则nn = n1211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-个n n n ≤n n n 11++++ =n n n 22-+<n 2+1， 因此0≤n n −1<n 2，得出nn n lim ∞→=1.2.3 绝对值不等式2.3.1 绝对值不等式定义及公式在不等式的应用中，在涉及到重量、面积、体积、数学对象的大小、绝对值等情况时，需要通过非负数进行度量，这就出现了绝对值不等式.公式为：b a -≤b a ±≤a +b当且仅当ab ≤0时，b a -=b a ±；ab ≥0时，b a ±=a +b .a 表示数轴上的点a 到原点之间的距离叫做数a 的绝对值. 其中ab =b a ，b a =ba（b ≠0），a <b 可逆推出b >a ，是绝对值不等式的重要性质.2.3.2 绝对值不等式的应用绝对值不等式主要应用于最值的求解、求取值范围等. 例6 最值的求解.设函数()x f =x +bx -1+c (b ≤−1，c∈)，函数()x g =()x f 在区间[−1,1]上的最大值为M ，若M≥k 对任意的b 、c 恒成立，求k 的最大值.解 将函数()x f 进行化简，得出()x f =x －b +bx -1+b +c 若b <−2，则()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥11f M f M ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--+-≥+-+≥c b M c b M 111111，这里利用了()x f 在区间[−1,1]为单调， 根据绝对值不等式定理，得出 2M ≥c b +-+111+c b +--+-111≥⎪⎭⎫⎝⎛+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+c b c b 111111=2122b -+ ≥34， 因此当b <−2时，M ≥32. 若−2≤b ≤−1，则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧+≥≥-≥111b f M f M f M ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≥+-+≥+--+-≥c b M c b M c b M 2111111， 根据绝对值不等式定理消一元，即运用2(m +n )M ≥()()()()111++-+-b f n m nf mf (m>0,n>0)可以将c 消除，得出2(m +n )M ≥()n m bm m b n n +-+++-+211， 要想使等号成立，必须满足()1-f = ()1f =－()1+b f ，可以得出b =－2，c =-1，将b =－2，c =－1带入到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≥+-+≥+--+-≥c b M c b M c b M 2111111中，可以求得M 的最小值为2－1，因此k 的最大值为2－1.例7 求取值范围. 设函数()x f =b ax x --，a ,b ∈，若对任意实数a ,b ，总存在0x ∈[1,9]，使得不等式()0x f ≥M 成立，求实数M 的取值范围.解 令t =x ，则()t g =-2at +t －b ，()x f =()t g ，其中t ∈[1,3] 根据题目设必要条件为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥491f M f M f M 即为⎪⎩⎪⎨⎧--≥--≥--≥ba Mb a M ba M 42931运用绝对值不等式，将参数a ,b 将消除，则设m ()1g +n ()3g +k ()2g ≥()()()231kg ng mg -+再运用待定系数法，将m 、n 、k 值求出，则为⎩⎨⎧=+--=+--0049k n m k n m 得出一组解为⎪⎩⎪⎨⎧===835k n m因此16M≥5b a --1+3b a --93+8ba --42 ≥()()()b a b a b a -----+--42893315=2则得出1.8M ≤即M 的最大值为81，此时a =41，b =87.本题解得M 的取值范围为(−∞,81].2.4 泰勒公式2.4.1 泰勒公式定义及公式泰勒公式的定义：设函数()x f 在点0x 处的某开区间（a ，b ）内具有n +1阶导数，则在该邻域内非0x 处的任意点x ()b a ,∈，在0x 和x 之间存在一个ξ，使得：()x f =()0x f +()()0x x x f -'+()()2002x x x f -''！++()()()n n x x n x f 00-！+()()()()1011++-+n n x x n f ！ξ 定理1 设函数()x f 在a 存在n 阶导数，则()a U x ∈∀，存在()x f =()a f +()()a x a f -'！1+()()22a x a f -''！++()()()n n a x n a f -！+()x R n 其中()x R n =()()()a x a x o n →-是比()n a x -的高阶无穷小，此式称为函数()x f 在a 的泰勒展开公式. 当a =0时，此式则变为()x f =()0f +()x f ！10'+()220x f ！''++()()nn x n f ！0+()n x o 此式称为麦克劳林公式.定理2 设二元函数()y x f ,在点()b a P ,的邻域G 内具有n +1阶连续的偏导数，则()G k b h a Q ∈++∀,，有()k b h a f ++,=()b a f ,+()b a f y k x h ,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂！+()b a f y k x h ,212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！++()b a f y k x h n n,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！+()()k b h a f y k x h n n θθ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++,111！，0<θ<1其中符号()b a f y x l i,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在()b a P ,的值， ()b a f y k x h m,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=()b a f y x k h C i m i m i m i mi i m ,0--=∂∂∂∑.上式称为二次函数()y x f ,在点()b a P ,的泰勒公式.在此式中令a =0，b =0，可得二次函数()y x f ,的麦克劳林公式：()k h f ,=()0,0f +()0,011f y k x h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂！+()0,0212f y k x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！++()0,01f y k x h n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！+()()k h f y k x h n n θθ,111+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+！，0<θ<1.2.4.2 泰勒公式的应用泰勒公式在高等数学中的应用，主要体现在估计函数界、求函数极限、近似计算、判断反常积分及级数敛散性.例8 估计函数界.①设函数()x f 在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A ，B ，使得()x f ≤A ，()x f ''≤B .证明对于∈∀x [0,1]，有()x f '≤2A +2B. 在运用泰勒公式进行函数最值的计算过程中，需要确定已知函数泰勒展开的位置，并且展开到哪阶导数最为合适.在此例题中，已知函数()x f 在[0,1]上存在二阶导数，且函数、二阶导函数均有最值，需要证明一阶导函数在[0,1]有最值，这就需要运用泰勒公式，将函数()x f 在x 处展开到二阶，并将点0和1带入到展开时中，进行简单计算验证本题.证明 泰勒公式中，()0f =()x f +()()x x f -'0+()()202x f -''ξ，()x ,0∈ξ，()1f =()x f +()()x x f -'1+()()212x f -''η，()1,x ∈η， 两式进行相减，得()x f '=()1f －()0f －()()212x f -''η+()22x f ξ''，()1,x ∈η，因为()x f ≤A ，()x f ''≤B ，得出()x f '≤2A +2B()[]221x x +-，而()21x -+2x 在[0,1]内，且最大值为1，因此可以得出()x f '≤2A +2B . ②设()y x f ,在2x +2y ≤1上有连续的二阶导数，2xx f +22xy f +2yy f ≤M .若()00，f =()00，x f =()00，y f =0，证明()⎰⎰≤+122,y x dxdy y x f ≤M 4π.此题考察的是对抽象函数二重积分不等式的证明.在不等式的左边，能够设想到积分绝对值与绝对值积分的相互关系，从而可以计算()y x f ,的值.在题目中设()y x f ,在点(0,0)，运用泰勒公式展开到二阶，并且已知2xx f +22xy f +2yy f ≤M ，将()y x f ,的展开式进行处理，转化成为两个向量的乘积，并运用积分估值，将抽象函数二重积分转化为常见、熟悉的简单函数二重积分，既完成证明.证明 ()y x f ,在点(0,0)进行泰勒展开到二阶， 得出()y x f ,=()21,2x y f x y x y θθ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭，其中()1,0∈θ，记()w v u ,,=()y x f y y x x θθ,,,222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂，则()y x f ,=21()222wy vxy ux ++ 已知2xxf +22xy f +2yy f ≤M ， 所以()w v u ,2,=2222w v u ++≤M ，并且()22,2,y xy x =2x +2y ，因此可以得出()()22,2,,2,y xy x w v u ≤M (2x +2y )，即等同于()y x f ,≤21M (2x +2y )从而得出()⎰⎰≤+122,y x dxdy y x f ≤21M()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x=M 4π.证明结束.例9 求函数极限.①计算极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x x x 22ln 111320lim .此题可以运用洛必达法和泰勒公式求解，若使用前者，则需要进行四次求导才能够计算出结果，计算量较为庞大，而运用泰勒公式，则运算过程较为简单.解 首先对算式进行变换：x x -+22ln =2121ln x x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x −⎪⎭⎫ ⎝⎛-21ln x 算式中xx x -+22ln 13的分母为3x ，运用函数y=()x +1ln 在0点的麦克劳林展开公式，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x 和⎪⎭⎫⎝⎛-21ln x 进行展开到三阶，则有x x -+22ln =[2x −2221⎪⎭⎫ ⎝⎛x +3231⎪⎭⎫ ⎝⎛x +()3x o ]+[2x +2221⎪⎭⎫ ⎝⎛x +3231⎪⎭⎫⎝⎛x +()3x o ] =x +3121x +()3x o 因此，1+21x −x x x -+22ln 13=1+21x −⎪⎭⎫ ⎝⎛+331211x x x +()33x x o =1−121+()33x x o 可以得出⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x x x 22ln 111320lim=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→331211lim x x o x =1211.本题解得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x xx 22ln 111320lim=1211.在运用泰勒公式进行分母或分子中含有n x 这类极限求解题目时，要注意在()x f x lim 0→中，要运用泰勒公式，将非零因子项（乘或者除项）进行转换，再通过四则运算方式将极限值求解出来，不过在计算过程中，加减项不能代换.在进行这类题目的计算过程中，注意到这些原理有助于提高计算的准确度.②计算极限()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→. 在此极限计算中，设()y x f ,=()22sin y x ++()22cos y x +−1，由于()y x f ,在上存在任意连续偏导数，且22y x +为该式的分母，这就需要运用麦克劳林公式，将()y x f ,在点(0,0)展开到二阶，这样容易得出极限值.解()y x f x ,=2()22cos y x x +−2()22sin y x x +，()0,0x f =0，()y x f y ,=2()22cos y x y +−2()22sin y x y +，()0,0y f =0，()y x f xx ,=2()22cos y x +−4()222sin y x x +−2()22sin y x +−4()222cos y x x +，()0,0xx f =2，()y x f xy ,=()y x f yx ,=−4()22sin y x xy +－4()22cos y x xy +，()0,0xy f =()0,0yx f =0，()y x f yy ,=2()22cos y x +－4()222sin y x y +－2()22sin y x +－4()222cos y x y +，()0,0yy f =2，即()y x f ,=()22y x ++()y x R ,2，其中()y x R ,2=-2()222y x +θ[()2222sin y x θθ++()2222cos y x θθ+]+()322334y x +θ[()2222sin y x θθ+－()2222cos y x θθ+]，(0<θ<1)，因此()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→=()()()22222220,0,lim y x y x R y x y x ++++→=1 本题解得()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→=1. 例10 近似计算. ①求方程xx 1sin2=2x －501的近似值，精确至0.001. 在此算式中含有x 1sin，就不能采用初等函数方法进行计算.此题要求计算近似值，就需要将x 1sin 用初等函数即多项式代替，即通过泰勒公式将x1sin 展开.方程右边是x 的一次式，因此在对方程左边进行泰勒公式展开时，也要转换成x 的一次式，故将其在原点进行麦克劳林公式展开至一阶.运用泰勒公式对方程进行近似值计算，可以依据题目中精确度要求展开至合适的阶数.解 根据泰勒公式t sin =t －()22sin t t θ(0<θ<1)， 令t=x1，得x 1sin =x 1−212sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x x θ， 带入到题目中原方程，得 x −2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ=2x −501，即x =501−2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ，由此可以知道x >500，0<x θ<5001，所以501-x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ≤x θ21<10001=0.001， 即当x =501时，满足题目中的假设条件解.②求96.308.1的近似值，精确至410-.在近似值计算题中，对计算的精确度要求较低时，可以采用线性进逼公式()y x f ,≈()00,y x f +()00,y x f x (x −0x )+()00,y x f y (y −0y )，即可以运用全微分近似代替全增量；当对计算的精确度要求较高时，则可以采用高阶泰勒公式进行计算，并根据题目中对精确度的具体要求，来确定泰勒展开式的阶数.解 令()y x f ,=y x ，通过计算二元函数在点(1,4)的泰勒展开式，则y x =1+4(x −1)+[6()21-x +(x －1)(y －4)]+[4()31-x +27()21-x (y －4)]+ [()41-x +313()31-x (y －4)+21()21-x ()24-y ]+将x =1.08，y =3.96带入到上式中，得出96.308.1=1+(4×0.08)+(6×208.0－0.08×0.04)+(4×308.0－27×208.0×0.04)+[408.0－313×308.0×0.04+21×208.0×204.0]+=1+0.32+0.0352+0.001152+0.000034026+由于余项3R =0.000034026<410-，因此96.308.1≈1.356352.例11 判断反常积分及级数敛散性. ①判断积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论.此题目需要判断瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1与无穷积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-1311sin 1的敛散性.瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1的被积分31sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-x x 在区间(0,1]内恒正，所以对于瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1来说，其收敛等同于绝对收敛.在对310sin 1lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x λ极限值进行求解时，需要运用比较判别法，通过λ的阶数和极限值进行敛散性的判断，在这种情况下，将x xsin 在x =0处进行泰勒展开，是一种简单且十分快速有效的求解方法.解dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1=dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1−⎰10dx +dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311sin 1 其中dx x x ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-1031sin 1是以x =0为瑕点的瑕积分，将x x sin 在x =0处进行泰勒展开到二阶，有31sin 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x =()312231-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x o x ！，该式与321x同阶，通过比较法可以知道dx x x ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-1031sin 1.因为当∈x (0,1)时，1－xxsin >0， 因此dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-131sin 1=dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1收敛，且绝对收敛. 其次对无穷积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-1311sin 1，当x >1时，x x sin <1，收敛，因此可以运用()αx +1的泰勒公式进行展开，得到31sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-x x −1=x x sin 31+⎪⎭⎫ ⎝⎛21x o ， 则dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311sin 1=dx x x ⎰+∞1sin 31+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛121x o .运用狄利克雷判别法得知dx x x⎰+∞1sin 为条件收敛，⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛121x o 为绝对收敛，所以原积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1为条件收敛.②设n a =nn n p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 1，判断∑n a 的敛散性.n a =nn n p e⎪⎭⎫⎝⎛-ln 1ln =⎪⎭⎫⎝⎛-n n p n eln 1ln ，而当n →+∞时，n n ln →0，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n p ln 1ln ～-nnp ln .从而可得出n a ～⎪⎭⎫⎝⎛-n n p n e ln =p n -.证明 ()x +1ln 在x =0处进行泰勒展开，得出()x +1ln =x -221x +()2x o ，n a =nn n p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 1=nn n p e ⎪⎭⎫⎝⎛-ln 1ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n p n eln 1ln =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23ln ln n n p n n n e=p n -·⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23ln n np e～p n -（当n→+∞时），即当n →+∞时，n a 是n1的p 阶无穷小量， 所以当且仅当p >1时，∑n a 为收敛. 2.5 柯西不等式2.5.1 柯西不等式定义及公式柯西（Cauchy ）不等式是高等数学中的基础不等式，灵活的运用柯西不等式能够解决数学上的多种问题，而柯西不等式的推广公式，又可以解决一些难度较大的问题.在柯西不等式中，设有两组实数1a ，2a ，，n a 以及1b ，2b ，，n b ，均为任意实数，则不等式：21⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i i b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i b a 1212成立. 当且仅当各数值相等时，即11b a =22b a==nnb a 时，等号成立.柯西不等式在数学不同领域内的应用，具有着不同的形式，在微积分中，柯西不等式又被称为可以柯西-施瓦茨不等式，公式为：()()()()222d .b b b a a a f x g x x f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰在线性代数中，柯西不等式又被称为柯西-布涅柯斯基不等式，公式为：∀向量α，β，则有()βα，≤α·β当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使α1k + β2k =0时，等式成立. 在概率论中，柯西不等式被称为柯西-施瓦茨矩不等式，公式为：ηξ,∀，若2ξE 、2ηE 存在，则有[]2ξE ≤2ξE ·2ηE ，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使P(ξ1k +η2k =0)=1时，等式成立. 2.5.2 柯西不等式的应用在柯西不等式的应用中，可以在参数取值范围的计算、等式证明、极值相关问题、点面距离计算等，均能够得到应用.例12 参数取值范围的计算.已知x ,y ,z +∈R ，x +y +z =xyz 且不等式y x +1+z y +1+zx +1≤λ恒成立，求λ的取值范围.解 根据均值不等式定理和柯西不等式定理可以得出y x +1+z y +1+z x +1≤xy 21+yz 21+xz21 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯z y x yz y x x z y x z 11121 ≤()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++z y x yz y x x z y x z =23 因此可以得出λ的取值范围在[23，+∞）之间. 例13 等式证明.已知a ,b +∈R ，且a a 4sin +b a 4cos =b a +1，证明38sin a a +38cos b a =()31b a +.证明 根据已知条件可以得出（a +b ）（a a 4sin +ba4cos ）=1当且仅当aaa 2sin =bab2cos 时，等号成立，即a a 2sin =a b 2cos ，由上两式解得a 2sin =b a a +，a 2cos =ba b+ 因此38sin a a +38cos b a =431⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a a +431⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b b =()31b a +. 所以通过柯西不等式，证明38sin a a +38cos b a =()31b a +. 例14 极值相关问题. 如1x +2x ++n x =1，i a >0，证明当且仅当11x a =22x a==n n x a 时，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 的最小值为na a 1111++ .证明1x +2x ++n x =1111x a a ++n n nx a a 1≤()21222221121111n n n x a x a x a a a +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++即211x a +222x a ++2n n x a ≥na a 1111++ ，当且仅当1111a x a ==nnn a x a 1时，即11x a =22x a ==n n x a ，等式成立，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 取最小值na a 1111++ .因此在1x +2x ++n x =1，i a >0条件下，当且仅当11x a =22x a==n n x a 时，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 的最小值为na a 1111++ .例15 点面距离计算.运用柯西不等式，推到空间的一点P ()000,,z y x ，到平面α：Ax +By +Cz +D=0的距离公式为d =222000CB A DCz By Ax +++++.解 设1P ()111,,z y x 是平面α：A x +B y +C z +D =0上的任一点，则A 1x +B1y +C 1z +D =0，则1PP =()()()210210210z z y y x x -+-+-的最小值，就是点P 到平面α的距离.由柯西不等式，得出1222PP C B A ++≥()()()101010z z C y y B x x A -+-+-=D Cz By Ax +++000即1PP ≥222000CB A DCz By Ax +++++，当且仅当1PP 垂直于平面α时，取等号，因此P()000,,z y x 到平面α：D Cz By Ax +++=0的距离公式为d =222000CB A DCz By Ax +++++.2.6 施瓦茨不等式2.6.1 施瓦茨不等式定义及公式施瓦茨不等式是对于在[a ,b ]上的任意连续函数()x f ，()x g ，则有不等式为：()()()()222d .b b b a a a f x g x x f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰若()x f =0，或者()x f 与()x g 有正比时，等号成立. 2.6.2 施瓦茨不等式的应用在施瓦茨不等式的应用中，可以在实数域、微积分、多元函数等，均能够得到应用.例16 若级数∑∞=11i mia ，∑∞=12i mia，∑∞=1i m mia都收敛，则对N n ∈∀有不等式mn i mi i i a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∑=121...≤∑∞=11i mi a ·∑∞=12i mia ··∑∞=1i mmia ，证明对于定义在[a ,b ]上的任意连续函数()x f j （j =1,2,,n ）有()nb a nj j dx x f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰∏=1≤()∏⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j b a n j dx x f 1. 证明 已知函数()x f j 定义在区间[a ,b ]上，且连续（N j ∈），将[a ,b ]区间进行m 等分，则每个小区间长度为x ∆，取每个小区间的左端点i ξ(i =1,2,,m )，则有()⎰∏=b an j jdx x f 1=()()()()xf f f mi ii i n ∆∑=∞→1121lim ξξξ()⎰bai nj dx x f =()()∑=∞→mi in jn f 1limξ，j =1,2,,n令n i a 1=()i n f ξ1，ni a 2=()i nf ξ2，，nni a =()i nn f ξ，则级数 ∑∞=11i nia，∑∞=12i n i a ，，∑∞=1i nni a 都收敛， 可以得出0≤ni ni i i a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=121 ≤∑∞=11i n i a ·∑∞=12i ni a ··∑∞=1i nni a 即()()()nni i n i i f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=121ξξξ ≤()∑=n i i nf 11ξ·()∑=ni i n f 12ξ··()∑=ni i n n f 1ξ因此()()()ni i n i i x f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∞=121ξξξ ≤()x f i i n∆∑∞=11ξ·()x f i i n ∆∑∞=12ξ··()x f i i n n ∆∑∞=1ξ由此可以得出()nb a n j j dx x f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰∏=1≤()∏⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j b a n j dx x f 1，因此原命题成立. 例17 设()y x f ,是区域D 内的非负可积函数，且()σd y x f D⎰⎰,≤A ，其中A 是区域D 的面积，证明()()σd y x f y x f D⎰⎰+,1,2≤2A ≤()σd y x f D ⎰⎰+,11. 证明 因为1+()y x f ,2≥2()y x f ,， 则有()()σd y x f y x f D ⎰⎰+,1,2≤⎰⎰Dd σ21=2A ， 由于()y x f ,≥0，1+()y x f ,≥1，则有2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰D d σ≤()()⎰⎰+D d y x f σ,1·()⎰⎰+Dd y x f σ,11， 即()⎰⎰+Dd y x f σ,11≥()()⎰⎰+Dd y x f A σ,12=()⎰⎰⎰⎰+DDd y x f d A σσ,2≥2A， 即有()()σd y x f y x f D⎰⎰+,1,2≤2A ≤()σd y x f D ⎰⎰+,11，原命题成立. 例18 证明不等式0≤()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤()()2122224⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b e e e e A 其中区域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤d y c bx a ，A 表示区域D 的面积.证明 设()y x f ,=()2221y x e xy +，则()y x f ,≥0，()y x ,∈D ，因此有()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≥0，根据施瓦茨不等式，可以得出()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎰⎰⎰⎰+D D y x dxdy xye dxdy ， 因为⎰⎰+Dy x dxdy xye22=⎰bax dx xe 2·⎰dcy dy ye 2=41(2b e -2a e )(2d e -2c e ),⎰⎰D dxdy =A ,则有0≤()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤()()2122224⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b e e e e A ，不等式成立. 3结论在高等数学中，不等式是重要的组成部分之一.作为高等数学中的基本不等式，基本不等式、均值不等式、绝对值不等式、泰勒公式、柯西不等式、施瓦茨不等式，有助于解决高等数学中各种问题，这些不等式可以应用于不同的问题，而合理的运用不等式，将有助于各类高等数学问题的解决，并且灵活应用，可以更好的渗透不等式中的数学思想.随着高等数学的发展，现代数学已成为一门庞大的科学体系，不等式成为了现代数学的重要工具之一，而随着现代数学与其他学科的融合发展，不等式将不断渗透到自然科学、动力系统、工程技术等多个领域，逐渐成为理解各种信息的有力工具.参考文献[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2015.[2]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2014,15(2):88-90.[3]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报，2017,10(4):35-38.[4]夏静.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2015,31(10):19-20.[5]邱克娥，彭长文.泰勒公式在高等数学解题中的应用举例[J].贵州师范学院学报，2017,12(6):76-79.[6]许雁琴.泰勒公式及其应用[J].河南机电高等专科学校学报，2015,9(6):11-15.[7]黄卫.柯西不等式证明及应用[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2014,12(4):19-20.[8]俸卫.Cauchy 不等式的变式及应用探析[J].科技信息，2015,2(7):51-52.[9]高波.高等数学中函数不等式的证明[J].教育教学论坛，2016,7(30):212-213.[10]孙晓莉.柯西-施瓦茨不等式的推广与应用[D].合肥工业大学，2013.。
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初等函数的基本不等式一. 初等函数的基本不等式1. 三角、反三角型不等式 (1) ;0},,120161-{min sin 61-533≥+≤≤x x x x x x x x (2) 222sin (0);241(1-)x x x x x πππ≥≥≤≤+22s i n(0);111163x x x x x x x π≤≤≤≤≤++ (3) ;24121-1cos 21-1422x x x x +≤≤ (4) 22111-cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5)23223arctan ,32113xx xx x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥;10,)1-4(1a r c t a n 2≤≤+≤x xxx π.0,41a r c t an 22≥+≤x x xx π （5）的证明: .0,1arctan 32≥+≤x xxx设=)(x f ,0,1arctan 32≥+-x x xx 0.132>+=x m则 ,0/)2()1(31-)1()1(32-1-11)(4232232-22322'≤+-=++++=m m m x x x x x x f,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略)2. 对数型不等式 (1) 235111-ln (1)(1-),0;1221511(1)26x x x x x x x x x x x x x ≤≤+≤≤≤+≤≥++++ (2);0,21-211)1(ln 1)11-1(212<≤≤+≤+≤+≤++x x x x x x x x x x x(3) 对数平均不等式113312()()().2ln ln 63x y x y xy x y xy x y +-<<++-3. 指数数型不等式(1) 21...(1,0;0,);2!!mxx x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(!...!212为偶数m x m x x x e mx≤++++≤ (3) 2(-1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+≥=取等号 (3)可推广为.1-],)-()1-([21-t x t x t x e e e t x ≥++≥ 4. 幂不等式贝努利不等式(1) ;01,1,1)1(≤≥->+≥+αααα或x x x(2) ;10,1,1)1(<<->+≤+αααx x x 赫尔德不等式 （3）;10,0, ,)-1(-1≤≤>+≤αααααy x y x yx (4) .10,0, ,)-1(-1><>+≤αααααα或y x y x yx事实上也就是 ,)-1()(-1y x yx αααα+≥≤),1-(1)()(yxy x αα+≥≤可见贝努利不等式与赫尔德不等式是等价的.二．应用举例例1 (1) 2arctan (sin )(0);1212x x x x π≥≤≤+(2) ).0(1sin arctan 2≥+≤x xx x证明：(1)先证);2(0sin arctan 2112π≤≤≤+x x x x 设.20,211-sin arctan )(2π≤≤+=x x x x x f 则求导得到 ,)211(21-1-sin 1cos )(2222'x x x x x f ++=利用,sin },021-1,0{max cos 2x x x x ≤≤≥得到 .0)(f ,)211(1sin 1'2222≥+≤+≤+x x x x 于是,0)0()(=≥f x f不等式)2(0sin arctan 2112π≤≤≤+x x x x 得证;(2) 再来证明右边：).0(1sin arctan 2≥+≤x xx x事实上只需考虑20π<≤x 时成立21sin arctan xx x +≤即可.设,2,01-sin arctan )(2π<≤+=x xx x x g 则,)1(1-sin 1cos )(2322'x xxx g ++=0)('≤x g 即,)1(1)sin 1(cos 32222x x x +≤+也就是.)1(1)tan 21(tan 132222x x x +≤++ 令.1t 1s ,0tan 32≥+=≥=x t要证明,1-1)21()arctan (32222t t t ++≤利用1(5)中的反正切不等式,1arctan 32tt t +≤ 这样只需证明,)12(1,)1()1()21(23233332232222s s s s t t t t --≤-+-++≤移项, 立方整理为0,)1-3-3-663()1-(234563≥+++s s s s s s s 因,1≥s 此不等式成立. 于是'()0,g()g(0)0,g x x ≤≤=不等式)0(1sin arctan 2≥+≤x xx x 成立！特别地，在此不等式中令20,tan πθθ<≤=x 得到：).sin (tan )tan (sin θθ≤例2 .40,1)tan (arcsin 2π≤≤+≥x x x x证明：构造函数,40,1-tan arcsin )(2π<≤+=x x x x x f求导得,0121-tan -1sec )(2222'≥++=xx xx x f 设),1,0[tan ∈=x t就是,)arctan (1)arctan (21-112222t t tt ++≥+利用)5(1中的不等式,arctan t t ≤知),0,121)((121)arctan (1)arctan (21222222单调增≥++=++≤++t tt t g tt t t于是只需,121-112222t t t t ++≥+平方整理为,03546≥+t t于是'()0, ()(0)0,f x f x f ≥≥=不等式40,tan arcsin 12π≤≤≤+x x x x 成立.例3..20,cos )2-1(2-sin πππ≤≤≥x x x x 证明 设],1,0[2tan ∈=x t 则利用万能代换,1-1cos ,12sin 222t t x t t x +=+=不等式转化为,11)21(2arctan 2)1(2222tt t t t +-⋅-≥-⋅+ππ整理为 ,)1-4(1arctan 2t t t π+≤这正是不等式).5(1例4 证明斯特林不等式.)(!n en n > 证明：不等式即0,ln -ln )(1>+=∑=n n n i n f ni利用不等式)1(2：ln (1),x x +≤取nx 1=得到 ,1)11ln(n n <+即,1)11(ln <+nn 这样,0)11(ln -1)(1(>+=-+n n n f n f ） 于是.01)1(...)1-()(>=>>>f n f n f例5. 已知,0,>y x 求证22222y x y x yx y x y x yy x x +≥≥++++. (这是二元反调和平均不等式)证明：先证明右边.考虑到不等式的齐次对称性不妨设,1y x =≥不等式转化为,2121+≥+x x x x 即.10,)21(ln 21-ln 1)(2≥≥++=x x x x x x f 而.1,11-ln 01-11)1(ln )(2222'≥+≥⇔≥++++=x x x x x x x x x x f由不等式2(1)有2ln (1), 0,212x xx x xx+≥=≥++ 于是.1,11-)1-(2)1-(221ln 21ln 22222≥+=+⋅≥=x x x x x x x 这样.0)1()(,0)('=≥≥f x f x f 再证右边：,22y x yy x x y x yx y x ++≥++只需211, 11xx x x x x ++≥≥+成立即可. 即证明.1,0)1(1ln 1ln 11ln ln 1)(22≥≤++-+-=++-+=x x x x x x x x x x x x g利用2中不等式有2ln (1), 0; ln (1), 0.2112t t t t t t t t t t+≥=≥+≥≤+++于是得到 22221-12(-1)2(-1)11-(1)ln , 1; ln .2(-1)1(1)1(1)(1)(1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≥=≥≥=+++++++）这样212(-1)1-()--,11(1)(1)x x g x x x x x x ≤⋅++++只需212(-1)1---0,11(1)(1)x xx x x x x ⋅≤++++即,)1()1)(1(222+≥++x x x x 也就是2324(1)(1),(31)(1)0,x x x x x +≥++-≥显然成立.右边的另一证明：由赫尔德不等式知22.xy x yx yx y x y x yx y x y x y x y+++≤⋅+⋅=+++ (甚至成立不等式t t t t tt yx y yx xy x y x y x yxt y x +++-+++≥++≥<≤>111111)2()(,10,0,) 例6. 已知对任意1,≥x 成立不等式,32dx cx bx a e x+++≥其中,,,0.a b c d >试求abcd 的可能取到的最大值(由江苏高考题改编而成).解: 考虑到 1.x ,32≥+++≥dx cx bx a e x由均值不等式23644,x e a bx cx dx abcdx ≥+++≥于是得到4464(), 1.xe abcdf x x x≤=≥ 利用不等式3(1)得到x e x +≥1, 有266-16636662(1-1)()233()(e),32x e x e e f x x x x +⋅=≥==取等)(也可求导得到此结果. 这样,)3(416e abcd ≤取等条件是.)3(41,23,632e abcd x dx cx bx a =====求得32248,,,.43927e a a a a b c d ==== 对于上面给出的d c b a ,,,的值, 下面证明不等式23, 1.x e a bx cx dx x ≥+++≥成立,即.])32()32()32(1[43223x x x e e x+++≥,32x t =设不等式化为.32t ),t t)(1(114232)1-(23≥++=+++≥t t t et 利用不等式3(1)得到：.,6121132R x x x x e x∈+++≥ 这样有 ,)]1(21[61)]1(21[21)1(21132)1-(21-+-⋅+-+≥t t t et而,31-1-≥t 可见,9)1(21)1(3481-)1(81)1(211222)1-(21-++≥-⋅-+-+≥t t t t t et 这样,)1()1(312)1(]9)1()21(3)21[(4]9)1-(21[4422322332)1-(23-+++=-⋅+⋅++≥++≥t t t t t t t t et这样只需证明),1)(1(3)1()1(2)1(2223++≥-+++t t t t t 即,0)1-)(1-2)(1(2≥+t t t 此乃显然. 因此题中所求的.)3(41)(6max e abcd =例7. 已知,21,0≤≤>≥αy x 求证.))(-(-1-+≥αααy x y x y x证明: 记,1≥=xyt 则要证.01-)1)(1-()(1≤++=-ααt t t t f1-)11()1-()(1-1-++=αααt t t t t f ，由贝努利不等式知,11)11(1tt -+≤+-αα于是],)1)(1-()-2[(-11-)1-1()1-()(-21-1-αααααααtt t t t t t f +=++≤ 由赫尔德不等式,1)1(t)1)(1-()-2()1)(2()-1)(2-(-21-=≥+--ααααααααt t t 于是得到 ,0)(≤t f 不等式得证！完全类似地，可以证明);2,0())(-(-1≥>≥+≤-ααααy x y x y x y x 甚至更一般的结果).1-1,,0())(-(-≥≥>≥+≤-βαββαββααy x y x y x y x巩固题: 已知,0,,≥c b a 且对任意,0≥x 成立.2cx bx a e x++≥ 试求a b c ++的最大值, 及此时的c b a ,,的所有可能值.。