正比例函数和反比例函数比较
17.1.2 反比例函数的图象和性质(2)
y x
增 从左到右上升 从左到右上升 减 性 y随x的增大而增大 的增大而增大 位 置
二、四 象限
y 0 x
二、四 象限
y 0 x
增 从左到右下降 减 从左到右下降 性 y随x的增大而减小 的增大而减小
在每个象限内
y随x的增大而增大 的增大而增大
老师在黑板上写了这样一道题： 问题 老师在黑板上写了这样一道题：“已知
问题1 ：如何判断一个点是否在反比例函 问题1：要确定一个反比例函数需要几个 一个条件即可，常见两种形式：1.知道 一个条件即可，常见两种形式：1.知道 问题2 问题2 条件？我们见过哪些条件？ 2.知道图 条件？我们见过哪些条件？；2.知道图 一组自变量与函数的对应值； 一组自变量与函数的对应值 数图像上？ 数图像上？ 象过一个点. 象过一个点.
Hale Waihona Puke “面积” “面积”问题 面积
k 问题1：如图， 问题 ：如图，点A、B在反比例函数 y = (k ≠ 0) 、 在反比例函数 的图像上，且点A、 的横坐标分别为 的横坐标分别为m、 x （ 的图像上，且点 、B的横坐标分别为 、2m（m>0)， ，
AC⊥x轴，垂足为点 ，且△AOC的面积为 ⊥ 轴 垂足为点C， 的面积为2. 的面积为 （1）求该反比例函数的解析式； ）求该反比例函数的解析式； ），（-2m, y2）在该反比例函数的 （2）若点（-m, y1），（ ）若点（ 的大小. 图象上，试比较y 图象上，试比较 1与y2的大小
过点A作 过点 作AM⊥x轴，垂足为 ，连接 ⊥ 轴 垂足为M，连接BM，若 ， S△ABM=4，则k的值是 ( C ) ， 的值是 B. -2 C. 4 D. -4
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
第十五讲 正比例函数
第十五讲正比例函数、反比例函数、几何证明复习正比例函数：解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1)图像：过原点的直线;必过点：（0,0）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；yx倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：x增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；反比例函数：解析式：y=k/x(k为常数，k≠0)图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴，但永不相交。
）所在象限：k>0图像经过一三象限；k<0图像经过二四象限。
kx增减性：k>0,y随x的增大而减小；k<0,y随x的增大而增大；1. 已知：点P （m ，4）在反比例函数xy 12=的图像上，正比例函数的图像经过点P 和点Q （6，n ）．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x 轴上求一点M ，使△MPQ 的面积等于18. 1.函数12-+x x 的定义域是 2．已知函数53)(-=x xx f ，那么=)(x f ． 3. 如果反比例函数的图像经过点（-8，3），那么当0〉x 时y 的值随x 的值的增大而··（ ） (A) 增大 (B)不变; (C) 减小 (D)无法确定 4.某人从甲地行走到乙地的路程S （千米）与时间t （时）的函数关系如图所示，那么此人行走3千米，所用的时间 （时）5. 在同一坐标系中，正比例函数y=x 与反比例函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（）A． y1＜y2B． y1＞y2C． y1=y2D．不能确定7. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式．①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．8. 如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值．9. 假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：（1）这是一次米赛跑．（2）甲乙两人中，先到达终点的是．（3）乙在这次赛跑中的速度为．10. 如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y=（k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．（1）求k的值．（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．命题和证明1、我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2、能界定某个对象含义的句子叫做定义3、判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4、数学命题通常由题设、结论两部分组成5、命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后市结论证明举例平行的判定，全等三角形的判定逆命题和逆定理1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
反比例函数的图像与性质.
x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.
正比例函数反比例函数
反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n∙函数式中自变量取值的范围①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）∙反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
∙反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
反比例函数性质有哪些？1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。
当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。
：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。
③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。
三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
正比例函数和反比例函数的区别
正比例函数和反比例函数的区别一、在定义域上的不同1、正比例函数的定义域为(0， r)。
2、反比例函数的定义域为[-r， r]。
2、反比例函数的定义域为[-r， r]。
3、根据正比例函数和反比例函数的定义域，可得出它们之间的联系与区别。
二、图象与性质不同正比例函数的图象是一条直线，开口向下；反比例函数的图象是双曲线，开口向上。
三、应用不同正比例函数在生活中有广泛的应用。
比如说，化学反应中能量转化的计算，利用的就是正比例函数。
电路图中，串并联电路的判断等等。
反比例函数在生活中也有广泛的应用。
物理学中的物体惯性大小与力成反比，是利用了反比例函数。
地理学中，很多物理量随着地球半径的增加而减小，是利用了反比例函数。
测量物体长度时，测杆要尽量垂直于地面，这是利用了反比例函数。
正比例函数在自然界中的应用极其广泛，主要是在科学技术领域。
实际生活中经常使用正比例函数，如：利用物体的正比例函数图像可制作机械刻度尺、便携式温度计等等。
正比例函数在自然界的应用也极其广泛，主要是在农业、医药卫生、人口普查、环境保护、工程技术等方面。
正比例函数在自然界的应用也极其广泛，主要是在地质、生物、天文、水利、建筑、考古等方面。
四、解决问题不同在数学解答问题中，正比例函数是直接使用的；在应用题的解答中，正比例函数只是一种解题方法。
五、表示方法不同4、两个图象可以相交，正比例函数图象与x轴围成的面积总是一个常数，反比例函数图象与y轴围成的面积总是一个变数，所以图象不可能相交。
5、正比例函数的图象是一条直线， y=kx+b（ k， b 为常数），图象斜率k=b/a（ a>0），反比例函数的图象是一条双曲线，y=kx（ k， b为常数），图象斜率k=-b/a（ a<0），图象不可能相交。
六、相关内容1、相似三角形的基本知识（ 1）基本概念：两个图形与原图形相似，如果它们的对应边和对应角分别相等，那么这两个图形叫做对应边互相成比例的两个三角形。
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? 趋向
– 图象的两个分支都 无限接近但永远不能达到 x轴和y轴。
反比例函数图象性质的运用
已知y ? a(a ? 1) xa2 ? a?1，当a为何值时， （1）y与x成正比例，此时，图象 经过哪几个象限？ （2）y与x成反比例，此时，图象 位于哪几个象限内？
– 当k<0时，它的图象经过 第二、四象限 ，y随x 的增大而减小 ；
? 倾斜程度
– k的绝对值越大，图象越接近y轴。
– 也就是说： 比例系数k决定了直线 y＝kx与x轴 正方向所成的角， k叫做直线y＝kx的斜率。
正比例函数性质
设函数 y ? (m ? 2) xm2 ? 5m? 5 ? (m ? 4)， （1）当 m是什么值时，是正比例 函数？ （2）此时它的图象经过哪 几个象限？
正比例函数图象
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
1 y ? x y ? x y ? 3x
2
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
y? ? 1x 4
y? ?x
y ? ?3x
你发现正比 例函数中的 比例系数k有 什么作用？
正比例函数性质
? 增减性
– 当k>0时，它的图象经过 第一、三象限 ，y随x 的增大而增大 ；
函数关系式是：
量叫做成反比例，把
– 一个物体作匀速直线运动，行程120它m们，之则间运的函数关系
动速度v（m/秒）与所需时间t（秒）叫之做间反的比函例函数。
数关系是：
? 反比例函数的 一般形式： ? k是不等于零的常数。 ? 不同的k值代表不同的反比例函数，因此
确定了 k，就可以确定一个反比例函数。
? y与x2成反比例关系，位于第四象限的一点 P（a， b）在这个函数的图象上，且 a、b是方程x2－x －12＝0的两个根，求这个函数解析式。
1、正确设出函数关系式 2、代入数字得到关于待 定系数的方程（组）
反比例函数图象
画出函数 y ? 6 的图象，观察图象回答 以下问题： x
? 横坐标是正的点都在哪个象限？横坐标是 负的点呢？
? 圆的面积A是不是半径 r的正比例函数？
?
圆的面积 例系数为
A是
π
r2
。
的正比例函数，比
பைடு நூலகம்
用待定系数法求函数关系式
? 矩形的宽固定，它的面积 y与矩形的长 x成正比例。 已知 x＝3（cm）时， y＝12（cm2）。（ 1）求面 积y与x之间的函数关系式；（ 2）求边长x为4.5cm 时矩形的面积。
– 图象是直线还是曲线？
– 你有什么办法 证明它的图象是直线？
– 这条直线一定经过过哪些点？
– 推而广之：正比例函数 y＝kx的图象是什么？
– 以后画正比例函数图象，可以怎样 简便？ 1、正比例函数 y＝kx的图象是过 原点和（ 1，k）点的一条直线。 2、以后把正比例函数 y＝kx的图 象叫做直线 y＝kx。
你觉得解此类题目应注
意什么地方？
若反比例函数
y
?
(2m
?
1)
1 xm2 ? 2
间的函数关系是： W=8.9v
? 正比例函数的 一般形式：y＝kx
? 常数k叫做变量y与x之间的比例系数 ，k是 不等于零 的常数。
? 不同的k值代表不同的正比例函数，因此 确定了 k，就可以确定一个正比例函数。
正比例函数定义
? 下列函数中，哪些是正比例函数？
y ? ?8x y ? ? 8 y ? 8x2 y ? 8x?1 x
? 正比例函数与反比例函数有什么区别？
反比例函数定义
? 下列各小题中的两个变量是否成正（反）比例？ 为什么？ （1）正三角形面积 S与边长a； （2）路程不变时，匀速运动所需的时间与运 动的速度 （3）面积一定时，菱形的两条对角线的长； （4）被除数不变时，除数和商； （5）质量一定时，物体的密度与体积； （6）体积一定时，物体的质量与密度； （7）xy＝18中的y与x； （8）x∶y＝18中的y与x； （9）完成一定工作量的时间和人数（假定每 人的工作能力相同）。
正、反比例函数的一般形式
已知函数y ? (m2 ? 2m)xm2 ? m?1，求m为何值时， 这个函数是（1）正比例函数；（2）反比例函数。
1、正、反比例函数的 k都不等于零 2、正比例函数自变量的指数为 1，
反比例函数自变量的指数为－ 1
用待定系数法求函数关系式
? 某水池的容量一定，设注入水的流量为 Q（m3/ 分）时，注满水池所需时间为 t（分）。已知当 Q＝15时，t＝20。（1）求Q与t的函数关系式； （2）求当t＝25时，注水流量 Q的值。
正比例函数
反比例函数
正比例函数定义
? 建立函数关系：
?S/t、W/V都是常数，
– 我国发射的第一颗人造地球卫星，绕把地具球有运这行种性质的两
平均速度为每秒7.12km，那么，路程个量s与叫时做间成t 正比例，
之间的函数关系是： S=7.12t 把它们之间的函数关
– 铜的密度是8.9克/cm3，铜的质量W系与叫体做积正V之比例函数。
k为何值时，正比例函数y ? (2k ? 1)xk3?k?1 的图象在哪几个象限y随x的增大而减小？
1、自变量的次数为 1 2、比例系数 k不等于零 3、没有常数项（常数项为零）
反比例函数定义
? 建立函数关系：
?xy、vt都是常数，把
– 设y与x的乘积为定值10，则变量y与具x之有间这的种性质的两个
? 已知y＝y1-y2，y1与x成正比例， y2与x－2成正比例， 且x＝1时y＝－1；x＝3时y＝5，求x＝－1时y的值。
? 已知f（x）＝ax2＋bx＋5，且f（x＋1）＝f（x）＋ 8x＋3，试确定f（x）的表达式。
你体会到了待定系数的思 想了吗？ 你有“整体意识”吗？
正比例函数图象
? 试画正比例函数y＝2x的图象，并思考一 下问题：
? 用平滑曲线连线后，发现图象有几个分支？ 这些分支之间的对称性如何？
? 图象能否与两坐标轴相交？为什么？
? 图象有怎样的发展趋势？ ? 图象的增减性如何？ ? 此图是k＝6的情况，你能否估计 k＝－6时
有什么区别？
? 综上所述，k有什么作用？
反比例函数性质
? 象限与增减性
– 当k>0时，图象的 两个分支分别位于第一、 三象限内，在每一个象限内， y随x的增大 而减小；