正比例和反比例的比较
正比例和反比例的比较数学教案
正比例和反比例的比较数学教案第一章：正比例的概念和性质1.1 教学目标了解正比例的定义和特点能够识别生活中的正比例关系掌握正比例的计算方法1.2 教学内容正比例的定义和判定方法正比例的性质和特点正比例的计算公式：y = kx (k 为比例常数)1.3 教学活动通过实例引入正比例的概念，让学生观察和分析实例中的正比例关系引导学生通过数学表达式来表示正比例关系进行小组讨论，让学生探索正比例的性质和特点1.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例概念和性质的理解让学生举例说明生活中的正比例关系，评估学生的应用能力第二章：反比例的概念和性质2.1 教学目标了解反比例的定义和特点能够识别生活中的反比例关系掌握反比例的计算方法2.2 教学内容反比例的定义和判定方法反比例的性质和特点反比例的计算公式：y = k/x (k 为比例常数)2.3 教学活动通过实例引入反比例的概念，让学生观察和分析实例中的反比例关系引导学生通过数学表达式来表示反比例关系进行小组讨论，让学生探索反比例的性质和特点2.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对反比例概念和性质的理解让学生举例说明生活中的反比例关系，评估学生的应用能力第三章：正比例和反比例的比较3.1 教学目标能够区分正比例和反比例的关系能够判断一个给定的关系是正比例还是反比例能够解决与正比例和反比例相关的问题3.2 教学内容正比例和反比例的异同点正比例和反比例的判断方法正比例和反比例问题的解决方法3.3 教学活动通过实例比较正比例和反比例的关系，让学生观察和分析实例中的正比例和反比例关系引导学生通过数学表达式来判断一个给定的关系是正比例还是反比例进行小组讨论，让学生探索正比例和反比例的异同点3.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例比较的理解让学生解决与正比例和反比例相关的问题，评估学生的应用能力第四章：正比例和反比例在实际问题中的应用4.1 教学目标能够将正比例和反比例关系应用到实际问题中能够解决与正比例和反比例相关的实际问题能够解释正比例和反比例在生活中的意义4.2 教学内容正比例和反比例在实际问题中的应用方法正比例和反比例实际问题的解决步骤正比例和反比例在生活中的实例分析4.3 教学活动通过实例引入正比例和反比例在实际问题中的应用，让学生观察和分析实例中的正比例和反比例关系引导学生运用正比例和反比例的计算方法解决实际问题进行小组讨论，让学生探索正比例和反比例在实际问题中的应用4.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例在实际问题中应用的理解让学生解决与正比例和反比例相关的实际问题，评估学生的应用能力第五章：正比例和反比例的综合练习5.1 教学目标巩固学生对正比例和反比例的理解提高学生解决正比例和反比例问题的能力培养学生的逻辑思维和综合应用能力5.2 教学内容正比例和反比例的综合练习题正比例和反比例问题的解决策略正比例和反比例的综合应用实例5.3 教学活动提供一系列正比例和反比例的综合练习题，让学生独立完成引导学生运用正比例和反比例的计算方法和判断方法解决综合练习题进行小组讨论，让学生分享解题思路和方法5.4 教学评估通过正比例和反比例的综合练习题，评估学生对正比例和反比例的理解和应用第六章：正比例和反比例的图形表示6.1 教学目标理解正比例和反比例关系在坐标系中的图形表示学会绘制正比例和反比例函数的图像能够通过图像分析正比例和反比例函数的性质6.2 教学内容正比例函数和反比例函数在坐标系中的图形表示绘制正比例函数和反比例函数图像的方法和步骤正比例函数和反比例函数图像的特点和分析方法6.3 教学活动通过示例演示正比例函数和反比例函数在坐标系中的图形表示学生分组练习绘制正比例函数和反比例函数的图像利用计算机软件或图形计算器进行图形展示和分析6.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例图形表示的理解让学生绘制给定函数的正比例和反比例图像，评估学生的应用能力第七章：正比例和反比例的性质探究7.1 教学目标深入理解正比例和反比例的性质学会运用性质解决相关问题培养学生的探究能力和创新思维7.2 教学内容正比例和反比例的基本性质正比例和反比例的衍生性质正比例和反比例性质在问题解决中的应用7.3 教学活动学生分组探究正比例和反比例的衍生性质利用数学软件或实验工具验证正比例和反比例的性质7.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例性质的理解让学生运用正比例和反比例的性质解决实际问题，评估学生的应用能力第八章：正比例和反比例在实际生活中的应用8.1 教学目标了解正比例和反比例在实际生活中的应用学会用正比例和反比例解决问题培养学生的实际问题解决能力和数学应用意识8.2 教学内容正比例和反比例在实际生活中的实例分析正比例和反比例问题解决的方法和步骤正比例和反比例在生活中的意义和价值8.3 教学活动通过实例分析正比例和反比例在实际生活中的应用学生分组讨论和练习解决实际生活中的正比例和反比例问题分享解决实际问题的经验和方法8.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例在实际生活中应用的理解让学生解决给定的实际生活中的正比例和反比例问题，评估学生的应用能力第九章：正比例和反比例的扩展与应用9.1 教学目标掌握正比例和反比例的扩展知识学会解决复杂的正比例和反比例问题培养学生的综合应用能力和创新思维9.2 教学内容正比例和反比例的扩展知识复杂正比例和反比例问题的解决方法正比例和反比例在科学研究和工程技术中的应用9.3 教学活动引导学生学习正比例和反比例的扩展知识学生分组研究复杂正比例和反比例问题的解决方法利用案例分析和项目研究，探讨正比例和反比例在实际中的应用9.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例扩展知识的理解让学生解决复杂的正比例和反比例问题，评估学生的应用能力10.1 教学目标巩固学生对正比例和反比例知识的理解提高学生解决正比例和反比例问题的能力10.2 教学内容正比例和反比例的主要概念、性质和应用复习正比例和反比例的知识点10.3 教学活动通过复习题和讨论，巩固学生对正比例和反比例知识的理解学生自主复习正比例和反比例的概念、性质和应用分享正比例和反比例的学习方法和经验10.4 教学评估通过复习题和讨论，评估学生对正比例和反比例知识的掌握程度重点和难点解析1. 正比例和反比例的概念理解：学生需要理解正比例和反比例的定义，以及它们在数学和现实世界中的应用。
正比例、反比例的比较
1、正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用关系式表示：x÷y=k （一定）还可表示为：x=ky以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时,应注意已知的两种量必须是两种相关联的量（也就是有关系的两种量），有些量，虽然也是一种量随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．行驶的路程和时间是成比例的量。
“正反比例”归纳：相同点：①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。
②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。
正比例中相关联的两种量的变化方向是一致的，即：同时扩大或同时缩小，关键是：相对应的两个数的“比值一定，也就是商一定”；反比例中两种量的变化方向是相反的，即：一个量扩大，则另一个量缩小，一个缩小，另一个量则扩大，关键是：相对应的两个数的“积一定”。
不同点：正比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的比值。
反比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的积。
②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。
③公式不同：正比例是（x y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。
④规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。
门诊医院：举例：当路程一定时，已行路程与未行路程成比例吗?为什么？分析：虽然这里的已行路程和未行路程也是相关联的两个量，但是它们的变化规律是增加或减少的数，换句话说已行路程与未行路程不是一个量随另一个量的扩大而扩大或缩小而缩小，也就是它们之间不能相乘，也不能相除，得不到一个积或一个商，所以它们不成比例。
正反比例比较知识点总结
正反比例比较知识点总结正反比例是数学中常见的一种比例关系，表现为一种正向的变化和一种反向的变化之间的对应关系。
在现实生活中，正反比例关系也经常出现，比如物体的体积和压力、时间和速度、成本和产量等之间都存在着正反比例关系。
在数学中，我们通常用两个变量x和y表示正反比例关系，其中x表示自变量，y表示因变量。
在正比例关系中，当x增大时，y也随之增大；而在反比例关系中，当x增大时，y却相应地减小。
正反比例关系可以用等式y=kx表示，其中k称为比例常数。
当k>0时，表示正比例关系；当k<0时，表示反比例关系。
正反比例关系在数学中有着重要的应用，特别是在解决实际问题中，比如物理、经济、工程等领域。
在这些领域中，正反比例关系可以帮助我们更好地理解和分析问题，为实际应用提供便利。
下面我们将从数学、物理、经济和工程等方面来具体分析正反比例关系的应用。
一、在数学中的应用1.1 正反比例关系的解题方法在数学中，我们经常会遇到一些与正反比例关系有关的题目，如物体的价钱和重量成正比，时间和距离成反比等。
这些问题可以通过建立方程来求解。
例如，一个物体的重量和价格成正比，如果物体的重量是3kg，价格是45元，求每kg的价格是多少。
设每kg的价格为x元，则可以建立等式45=3x，解得x=15。
因此，每kg的价格是15元。
1.2 正反比例关系的图像和性质在数学中，我们可以利用图像来描述正反比例关系。
对于正比例关系来说，图像是一条通过原点的直线，斜率就是比例常数k；而对于反比例关系来说，图像是一条不通过原点的曲线。
正反比例关系还有一个重要的性质，就是两个变量的乘积是一个常数，即y=kx，所以称为正反比例关系。
1.3 正反比例的相关定理在数学中，还有一些与正反比例关系相关的定理，如等距离定理、平行定理等。
这些定理在解决用正反比例关系求解的问题是非常有用的。
二、在物理中的应用2.1 压力和体积的关系在物理中，压力和体积的关系是一个常见的正反比例关系。
正比例和反比例的比较
1、变化方向相同，一 种量增加（或减少），另
1、变化方向相反， 一种量增加（或减少）
一种量也增加（或减少）．另一种量反而减少
（或增加）．
2、相对应的两个数的 2、相对应的两个数的
比值（商）一定．
乘积一定．
判断下面各题中的两种量成不成比例，成 什么比例 1．工作效率一定，工作时间和工作总量 （成正）比例．
温故而知新
• 1、什么是正比例？用字母怎 样表示？也就是怎样才成正 比例？
2、什么是反比例，用字母怎 样表示？也就是怎样才成反 比例？
思考 路程、速度和时间这三个量中每两量之间
有什么样的比例关系？ 当路程一定时，速度和时间成反比例关系．
当速度一定时，路程和时间成正比例关系．
当时间一定时，路程和速度成正比例关系．
判断下面各题中两种量成不成比例，成 什么比例． 1．已知 A÷B＝C 当 A一定时，B和C（成反）比例； 当B一定时，A和C（成正）比例； 当C一定时，A和B（成正）比例．
2．工作总量一定，工作效率和工作时 间（成反 ）比例．
3．长方形的长一定，宽和面积（成正）比 例．
4．三角形的面积一定，它的底和高（成反） 比例．
2．长方形的周长一定，它的长和宽（不成） 比例．
3．平行四边形的面积一定，它的底和高 （成反）比例．
4．比的前项一定，比的后项和比值 （成反）比例．
5．路程一定，行走的速度和所需的 时间（成反）比例．
6．比的后项一定，比的前项和比 值（ 成正）比例．
7．圆的半径与面积（不成）比例．
8．用一批纸装订练习本，每本的页 数和装订的本数（成反 ）比例．
5．分母一定，分子和分数值（成正）比 例．
做一做 判断单价、数量和总价中一种量一定，另外
正比例与反比例的比较教案
正比例和反比例的比较教学内容正比例和反比例的比较教学目标1．通过比较，使学生进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律，能够正确地判断成正、反比例的关系．2．进一步发展学生的分析、比较、抽象、概括的能力．渗透对立统一的观点．教学重点正、反比例的联系和区别教学难点能正确判断正、反比例教学准备多媒体课件教学过程一、复习准备1：什么是成正比例的量？用字母应如何表示？引导学生回答出：两种相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍，另一种量也随着扩大或缩小相同的倍数，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
成正比例关系的量有一个重要的特点：相对应的两个数的比值（也就是商）一定。
如果用x、y来表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：y=k(一定)x2：什么是成反比例的量？用字母应如何表示？引导学生回答出：两种相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同倍数，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
成反比例关系的量有一个重要的特点：相对应的两个数的积一定。
如果用x、y来表示两种相关联的量，用字母k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为：x·y=k(一定)（根据学生的回答，课件同步显示。
）3、判断下面每题中两种量成正比例还是成反比例（1）单价一定，数量和总价。
（正比例）（2）路程一定，速度和时间。
（反比例）（3）工作时间一定，工作总量和工作效率。
（正比例）（4）长方形的面积一定，长和宽。
（反比例）（抽学生回答，全班反馈。
）二、新授教学1、教师明确：我们已经初步学习了判断两种量是不是成正比例或反比例的关系，这节课通过比较弄清它们有什么相同点和不同点．2、观察下面的两个表，根据表分别填空。
在表1中相关联的量是(路程)和(时间)，(路程)随着(时间)变化，(速度)是一定的。
因此，时间和路程成(正)比例关系。
正反比例的比较
两种量成正比例关系或反比例关系还可以用图来 表示。
表一 路程（千米）
路程
30 60 90 120
时间
1 2 3 4
180 150 120 90 60 30 0 2 4 6
（千米） （时）
8 10 12 时间(时)
两种量成正比例关系或反比例关系还可以用图来 表示。
路程（千米）
A点表示2小时行60千米。 B点表示4小时行120千米。
（2）三角形的底一定，面积和高。 正比例 三角形的面积 ÷ 高 = 底÷ 2 (一定)
二、判断题中两种量成什么比例？
（1）用方砖铺一间房，每块砖的面积和用砖的块数。
反比例
(一定)
每块砖的面积×砖的块数=一间房的面积
（2）用方砖铺一间房，砖的边长和用砖的块数。
不成比例
砖的边长2×砖的块数=一间房的面积 (一定)
因为正方形的面积与边长的比的比值不一定，积也 不一定。 所以正方形的面积与边长 不成比例
3、在工作总量、工作时间和工作效率这三种量中：
如果工作总量一定，工作效率和工作时 反 间成_____比例。
如果工作时间一定，工作总量和工作效 正 率成_____比例；
如果工作效率一定，工作总量和工作时 正 间成_____比例；
=
k (一定）
两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两 种量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y分别表示两 种相关联的量，用k表示它们的 乘积，反比例关系就可以用下 面的式子表示：
x×y
=
k (一定）
例7、观察下面两个表，再回答问题。
一、下面题中的数量成什么关系？请列出等式。
正反比例综合复习：正比例和反比例的比较
当单价一定时，总价和数量成正比例关系.当总价一定时，单价和数量成反比例关系.当数量一定时，总价和单价成正比例关系.这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变，变化时两种量中相对应的两个数的积一定．这样两种相关联的量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系．两种相关联的量成不成反比例的关键是什么?（乘积是不是一定）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，那么x×y ＝k（一定）：这个式子表示两种相关联的量x和y，y随着x的变化而变化，它们的乘积k是一定的．这时就说x和y成反比例关系．所以，两种量成反比例关系，我们就用x×y＝k（一定）来表示．关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，要知道两个量成不成反比例关系，只要先看这两种量是不是相关联的量，再看两种量变化时乘积是不是一定．如果两种相关联的量变化时乘积一定，它们就是成反比例的量，相互之间的关系就是反比例关系．每本的页数×本数＝纸的总页数（一定）【典型例题】例1. 第四生产队计划把400公顷地按照3∶2的比例播种粮食作物和经济作物．粮食作物和经济作物各种多少公顷？这道题就是“按比例分配”的问题．解决这个问题的关键是：首先求出总份数，再把粮、经之比3：2转化成粮占全部的3/5，经占全部的2/5，然后根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，求出各部分是多少．“按比例分配”应用题的规律为：已知两个数的和与两个数的比，把两个数的比转化成各占几分之几，然后按“求一个数的几分之几是多少用乘法”的方法解答．例2. 把45棵树苗分给两个中队，使两个中队分得的树苗的比是4∶5，每个中队各得几棵树苗？总份数是几？怎么算？一中队占几分之几？二中队占几分之几？①总份数 4＋5＝9方法25.4÷9＝0.6（千克）0.6×1＝0.6（千克）0.6×8＝4.8（千克）方法35.4÷（8＋1）＝0.6（千克）0.6×8＝4.8（千克）方法4解：设氢为x千克．例4. 一个玩具厂，要生产玩具560件，头5天生产了175件，照这样的工作效率，一共需要多少天才能完成任务？大部分的同学是用正比例的解法来做，但是，有个别同学用反比例的解法来做，如：用正比例解：工作总量÷工作时间＝工作效率（一定）解：设一共需要x天才能完成任务．175x＝560×5175x＝2800x＝16答：一共需要16天才能完成任务．用反比例解：时间×效率＝总量（一定）反比例解：设一共需要x天才能完成任务．175÷5×x＝56035x＝560x＝16（天）答：一共需要16天才能完成任务．例5. 一种农药是用药液和水按照1：450配制成的，现有药液1.2千克，应加水多少千克？水×药液＝农药（一定）成反比例×解：设应加水x千克1.2：x＝1：4501x＝450×1.2x＝540答：应加水540千克．错因分析：找不准题目中的三个量分别是：水、药液、农药浓度；不明白1：450是其中的一个量——浓度，也就是药液与水的比值（一定），成正比例．另外，数量关系不清晰，列出的式子与依据完全是两码事，不真正明白列出正确式子的依据是什么．解决策略：认识药液与水的比值是一个新的量——农药浓度．比值一定，成正比例．等式两边表示的是农药的浓度．例6. 六年（2）班原来有四个大组，每组都有12人．一天，王老师要带他们到综合电教室上课，那里的桌椅是按每组8人编排的．六年（2）班到综合电教室上课要分成几个大组？总人数÷每组编排的人数＝组数（一定）正比例解：设到综合电教室上课要分成x个大组8x＝12×48x＝48x＝6答：到综合电教室上课要分成6个大组．错因分析：（1）能找出题中的三个量，但确定不了哪个量是一定的；（2）对正、反比例的意义理解不透．（因为，如果判断是正比例，就不可能列出是乘法的等式）解决策略：（1）教会学生用比例解应用题的思路：一想，先想题目给出已知的条件中是哪两个相关联的量，另外第三个固定不变的量是什么量；二找，找出两种相关联的量与不变的量有什么关系？列出关系式；三判断，根据关系式，不变的量是积还是商，判断是成正比例还是成反比例．（2）分析列出等式的特点：如果成正比例，列式是比例的形式；如果是反比例，列式是乘积的形式．例7. 我国发射的科学实验人造地球卫星，在空中绕地球运行6周需行10.6小时，运行14周要用多少小时？提问：“这道题有几个相关联的量？它们成什么关系？为什么？”（有两个相【模拟试题】1. 某工厂有职工1800人，男女职工人数比是5∶4，求男女职工各多少人？2. 沙子灰是灰和沙子混合而成的，它们的比是7∶3．要用280吨沙子灰，则灰和沙子各需多少吨？3. 图书馆买来180本儿童故事书，按1∶2∶3分给低、中、高年级同学阅读．低、中、高年级各分到多少本？4. 学校把560棵的植树任务，按照五年级三个班人数分配给各班．一班47人，二班45人，三班48人．三个班级各植树多少棵？5. 有一块试验田，周长200米，长与宽的比是3∶2．这块试验田的面积是多少平方米？6. 看图编一道按比例分配题解答．【试题答案】1. 男女职工各1000人和800人2. 灰和沙子各需196吨和84吨3. 低、中、高年级各分到30本，60本，90本．4. 提示：①三个班植树的总棵树是几？②题目要求按什么比？人数比是几比几？③三个数的和及三个数的比知道后，根据“按比例分配”的规律，一班188棵，二班180棵，三班192棵5. 提示：（这道题给了长与宽的比是3∶2，指的是一个长与一个宽的比，而周长包括2个长和2个宽，因此先求出一个长宽的和，即200÷2，然后把100按3∶2去分配．）这块试验田的面积是2400平方米6. 苹果和桔子共重1200千克，糨们的重量比是3：1，求苹果和桔子各重多少千克？苹果和桔子各重900千克和300千克7. 解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.1人买3件少 5％×3；1人买2件多 5％×2；1人买1件多 15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76－2×33）÷（24－2）＝25（人），从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3－1）＝25（个）．再要拿出黑子数是 25×3＝75（个）．答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个．由于时间的关系这些题放在模拟试题中，让学生自己阅读理解9. 解一：先画出如下示意图：16+12=28元答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的．为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1．每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地计算．解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧．。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数1. 引言正比例函数和反比例函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的定义、特点以及实际应用，以便读者更好地理解和应用这两种函数。
2. 正比例函数2.1 定义正比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值也相应地增大（或减小）的函数。
在数学符号中，正比例函数可以用y = kx表示，其中k为比例常数。
2.2 特点正比例函数的特点有：- 图像呈现直线；- 图像通过原点，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量亦增大，且变化的速率相同。
2.3 实际应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 物理学中的速度和时间的关系，当物体匀速运动时，其速度与时间成正比；- 经济学中的成本和产量的关系，当生产规模扩大时，成本和产量之间存在正比例关系；- 地理学中的距离和时间的关系，当行驶速度恒定时，两地距离和到达时间成正比。
3. 反比例函数3.1 定义反比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值相应地减小（或增大）的函数。
在数学符号中，反比例函数可以用y = k/x表示，其中k为比例常数。
3.2 特点反比例函数的特点有：- 图像呈现曲线，通常为双曲线；- 图像与两个坐标轴都有渐进线，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量减小，且变化的速率不同。
3.3 实际应用反比例函数在实际问题中也有广泛的应用，例如：- 物理学中的电阻和电流的关系，当电路中的电压不变时，电阻和电流成反比例关系；- 经济学中的价格和需求的关系，当商品价格上涨时，需求量下降，价格和需求成反比例关系；- 化学学中的稀释度和浓度的关系，当添加溶剂时，溶液的浓度与稀释度成反比例。
4. 比较与应用示例正比例函数和反比例函数的区别在于图像的形状和变化的速率不同。
正比例函数的变化速率相同，图像为直线，而反比例函数的变化速率不同，图像为曲线。
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正比例和反比例的比较
南京市南湖第三小学张勇成
教学内容：
苏教版九年义务教育六年制小学教科书（12册）P47例7
教学目标：
1、进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别。
2、结合正反比例的图表，掌握它们的变化规律。
3、能够正确判断成正反比例的关系的量。
4、进一步提高分析、比较、抽象、概括等能力。
教学过程：
谈话：同学们，前面我们学习了正比例和反比例的意义。
谁能说说什么叫成正比例的量？什么叫成反比例的量？
在前面的学习中，同学们已经了解的正比例和反比例的意义。
那么正比例和反比例之间还有什么内在的联系呢？这还需要我们通过对正比例和反比例的比较进行深入地了解。
揭题：正比例和反比例的比较。
因为正比例和反比例的意义同学们已经了解了，所以这节课的比较应该是我们一起学习，一起研究，一起讨论，每人都要争取有表现的机会，行吗？
1、第一次整理。
（1）根据刚才对正比例和反比例意义的回忆，请大家想一想，判断两种量是否成比例，必须是什么样的两种量？（板书：两种相关联的量）（2）请观察下面表格中的两种量。
①每张表格中的量中是相关联的两种量吗？为什么？
②每张表格中两种量都成比例吗？为什么？
③板书：成比例
不成比例
④在成比例的两张表格中的两种量，分别成什么比例？为什么？
板书：成正比例
成反比例
⑤想一想，要判断两种相关联的量成正比例还是成反比例，根据是什么？
2、第二次整理。
（1）刚才同学们是通过观察表格中具体数据的变化辨析了正比例和反比
例的辆。
其实，成正比例关系和成反比例关系的变化规律，还可以通过图来观察。
（2）正反比例图像比较。
①完成正比例图像的描点和连线。
正比例的图用手势比划一下是什么样的？（一条直线）这说明两种量的变化规律是什么?（变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小）
②正比例关系的图都会是一条直线吗？请看这里的两种量。
③完成反比例图像的描点和连线。
反比例的图用手势比划一下是什么样的？（一条曲线）这说明两种量的变化规律是什么?（变化方向相反，一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小（扩大））
④那么不成比例的这两种量的图，会是一条直线吗？会是一条这样的曲线吗？会是什么样的图呢？想看一看吗？
⑤比较：与正比例图比一比，有什么相同和不同？与反比例图比一比呢？（3）通过图像的观察，我们又进一步了解了正比例和反比例的变化方向
的规律。
现在让你对正比例和反比例做个比较，你能行吗？将它们的相同
（4
3、相依关系量的判断。
（1）刚才我们比较了成正比例关系和成反比例关系的相同点和不同点，成正比例关系或成反比例关系的量之间还有哪些联系呢？观察表格（一）和（二）。
（2）它们研究的是哪几种量之间的关系？（速度、时间、路程）
（3）这三种量的数量关系式是什么？还可以得到怎样的数量关系式？
速度×时间=路程路程
时间
=速度
路程
速度
=时间
这说明，速度、时间、路程这三个量存在相依关系。
（4）在这个数量关系中，当哪种量一定时，另外的两种量成什么比例？（5）像这样存在相依关系的数量关系，你还能写出来吗？试一试，写在练习纸的反面。
（先写一个数量关系式，再说一说当哪种量一定时，另外的两种量是否成比例，成什么比例？）
（6）像这样的数量关系式多吗？如果让你用一个式子表示出来，你会用什么式子来表示？
板书：a×b=c 当c一定时，a和b成反比例
当a一定时，c和b成反比例
当b一定时，c和a成反比例
小结：在这样的关系式中，只要是积一定，两个因数就成什么比例，它的图应该是怎样的？（贴图）只要是其中一个因数一定，积和其中一个因数就成反比例，它的图应该是怎样的？（贴图）
（7）判断下面每题中的两种量成什么比例？为什么？
①时间一定，每小时加工零件数和零件总数。
②时间一定，加工一个零件的时间和零件总数。
为什么都是时间一定，一个是成反比例，另一个却是成正比例呢？（8）判断下面每题中的两种量成什么比例？为什么？
①时间一定，织1米布的时间和织布米数。
②天数一定，每天修路米数和修路总米数。
③行驶时间一定，行1千米的时间和行驶路程。
小结：根据数量之间相依的数量关系式，我们就能准确地判断出两种相关联的量成什么比例。
其实，除了在我们常见的数量关系中存在相依关系的量以外，在我们学过的图形计算公式中也存在这样的关系。
例如：ah=s，sh=v，还有吗？（9）判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例？
（1）圆的周长和半径。
（2）圆的面积和半径。
（3）长方形的周长一定，长和宽。
（4）长方形的面积一定，长和宽。
总结:今天我们学习了正比例和反比例的比较,你有哪些收获?
课堂练习
姓名___________ 1、写一写。
2、判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例，并说明理由。
（1）时间一定，织1米布的时间和织布米数。
（）（2）天数一定，每天修路米数和修路总米数。
（）（3）行驶时间一定，行1千米的时间和行驶路程。
（）
3、判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例，并说明理由。
（1）圆的周长和半径。
（）
（2）圆的面积和半径。
（）
（3）长方形的周长一定，长和宽。
（）
（4）长方形的面积一定，长和宽。
（）。