数学分析习题及答案 (50)
数学分析试题及答案
数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。
答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。
答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。
答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。
3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。
答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。
数学分析有答案的套题
七章 实数的完备性判断题：1. 1. 设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭ 为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S 为 闭区间 [],a b , 若,x S ∈则x 必为S 的聚点.4. 4. 若lim nn a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= , 则闭区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√ 证明题1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c-→=.3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则 存在数列1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在.5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.6. 证明:sin ()xf x x =在()0,+∞上一致连续.7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.答案1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u pi n f A B > 即 ,b a <有2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;2a b x A x +∈<另一方面,inf ,2a b b B +=< 则00,2a by B y +∃∈<. 于是, 00,x A y B ∃∈∈有002a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.2. 证明: 已知数集{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤由上确界的定义, 00,(,)x a b ε∀>∃∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤00,:b xx b x b δδ∃=->∀-<<; 或 0:,x x x b ∀<<有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 l i m ()x b f x c -→=.3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=∃∈, 有 11a x a ε-<<2121min ,0,2a x x E ε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<3231min ,0,3a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈<∀∈. 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: ⇒ 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-<, 有 12()()f x f x ε-< 显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ∀>∃>∀∈1122()a x a x x a x a δδδ<<+⎧-<⎨<<+⎩, 有 12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.⇐已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[],a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续. 5. 证明: 不妨设{}n x 递增.(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取02ηξε-=, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有002n N x x ξηηεξε+≥>-==+于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚点存在时必唯一.(2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ. ()a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有n x ξ>, 取00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.()b 对0,ε∀>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义{}sup n x ξ=.6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x xx x =⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x ++→→===, 而 (0,)x ∈+∞时sin ()xF x x =, 所以 ()F x 在[)0,+∞上连续, 又因lim ()0x F x →+∞=存在, 所以 ()F x 在[)0,+∞上一致连续,从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续. 7. 7. 证明: ⇒ 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列{}kn x 也有界, 由致密性定理知{}kn x 必存在其收敛子列{}k jn x .⇐ 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得11n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;n x > 一般地,对M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞=∞, 从而{}kn x 的任一子列{}k jn x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8. 证: 因{}[],n x a b ⊂为有界数列, 故{}n x 必有收敛子列{}kn x ,设lim k n k x x →∞=,由于{}[],kn x a b ⊂,故 []0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有0l i m ()(),x x f x f x →=再由归结原则有0lim ()lim ()()k n k x x f x f x f x →∞→==; 另一方面, 由lim ()n n f x A→∞= 及{}()kn f x 是{}()nf x 的子列有lim ()lim ()k n n k n f x f x A→∞→∞==因此 0().f x A =第八章 不定积分填空题1. ()()_________x ex dx ϕϕ'=⎰.2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式_______________.3. 若()f x '=且3(1)2f π= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C =-+⎰, 则()()___________.n f x =5.(ln )________.f x dx x '=⎰6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--， 则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ⎰.7.[1()]()__________n x x dx ϕϕ'+=⎰.()n N +∈8.3415(1)_________x x dx -=⎰9.若()(0)f x x x =>, 则 2()___________f x dx '=⎰.10. 过点(1,)4π斜率为211x +的曲线方程为___________.答案:1. ()x eC ϕ+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π+. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.7. 11[1()]1n x C n ϕ++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C++10. arctan y x =判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. ()()df x dx f x dx =⎰3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 22221(1)1(1)x A Bx C Dx Ex x xx x +++=++--- 7. 7.()()d d f x d f x =⎰8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C =+⎰, 则(1)f x dx x C -=+⎰答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：1．下列等式中（ ）是正确的.()().()()xx A f x dx f x Bf edx f e C ''==+⎰⎰221..(1)(1)2C f dx f C D xf x dx f x C ''=+-=--+⎰⎰2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+⎰则()(f x '= ） .4s i n 2.2c o s 2.4s i n 2.2A x B x C x Dx-- 3．若21()(0),f x x x '=>则()f x =（ ）.2.l n A x CB x CxCC ++++4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上 （ ） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )221.2.(ln 1)1x x A xe dx de B dx d x x ==++21.a r c t a n .c o s 2s i n 21C x d x d D x d xd x x ==+6. 22()()xf x f x dx '=⎰( )2222221111.().().().()2244A f x CB f x CC f x CD f x C++++.7. 若()f x dx x C =+⎰, 则 (1)f x dx -=⎰ ( )21.1......(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+ 8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )111.s i n .s i n .s i n .s i n A x B a xC a xD a xa a a-9. 若()21xf x dx x C =+++⎰, 则()f x =( )2111.2..2ln 2 1..21.21ln 22x x x x A x x B C D ++++++10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x''==+=+=⎰⎰.,,.a r c s i n ,1,a r cx xC xe dx u x v eD xdx u v x --''====⎰⎰答案：1—10 DCCDADCBBC计算题:1.ln(x dx+⎰2. x ⎰3. dx4.44cos 2sin cos xdx x x +⎰5.ln tan cos sin x dxx x ⎰6. 7.221(1)(1)x dxx x ++-⎰. 8. 11sin cos dxx x ++⎰9. 2(1)xx xe dx e +⎰.10.2答案:1. 1. 原式=ln(x x dx+-⎰21ln(2x x =-ln(x x C =+.2. 2.原式21122x =221124x =21arctan 2x C=3. =(sin cos )2cos 2sin 2222x x x xdx C=+=-++⎰4. 4422222cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x xdx dx x xx x x x =++-⎰⎰ 22cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d xd x x x ==--⎰⎰C=+5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan xxdx d x xd x x xx ==⎰⎰⎰2(ln tan )2x C =+.6. 2sin 2(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t tt dt dtt t =-=+=⎰⎰tan 2t t C =-+arcsin x C=+7. 2221111[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+⎰⎰111ln 1ln 1221x x Cx =-+++++211ln 121x Cx =-+++.8.tan222121sin cos 211111x u dxdu x xu u uu u =⋅++-+++++=⎰⎰ln 1ln 1tan 12du xu C C u =++=+++⎰.9.21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1)111x x x x xx e dx x e C e e e ---=-+=--+++++⎰.10.sin 22221cos 2sin 2x a uua udu a du =-==⎰⎰⎰22sin 2()arcsin 222a u a x u C C a =-+=+.第九章 定积分一、 一、 选择题（每题2分） 1、若()⎰=+122dx k x ，则=k （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）212、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（ ）（A ）()()⎰⎰-=aa adxx f dx x f 02 （B ）()()⎰⎰--=aaadxx f dx x f 02（C ）()⎰-=a adx x f 0（D ）()()⎰-=a aa f dx x f 23、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（ ）（A ）()()x f dt t f dx d x a =⎰ （B ）()()x f dx x f dx d ba=⎰（C ）()()⎰+=C x f dx x f dx d（D ）()()x f dx x f ='⎰4、设()x f 为连续函数，()()⎰-=104dxx f x x f ，则()⎰10dx x f =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）25、函数()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的（ ）（A ） （A ） 必要条件 （B ）充要条件 （C ）充分条件 （D ）无关条件 6、()x f 在[]b a ,上连续，()()⎰=xa dt t f x F ，则正确的是（ ）（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数； （B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数； （C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数； （D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、⎰e edxx 1ln =（ ）（A ）0 （B ）2e-2 （C ）e 22-（D ）e e 222-+8、已知()()21210-=⎰x f dt t f x，且()10=f ，则()=x f （ ） （A ）2xe （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 2219、下列关系中正确的有（ ）（A ）dxe dx e x x ⎰⎰≤1102（B ）dxe dx e x x ⎰⎰≥112（C ）dxe dx e x x⎰⎰=112（D ）以上都不正确10、⎰=ba xdx dx d arcsin （ ）（A ）a b arcsin arcsin -（B ）211x -（C ）x arcsin （D ）011、设410I xdxπ=⎰，4230,sin I I xdxπ==⎰，则（ ）；（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；（A ）1201x dx x +⎰ （B）10⎰ （C）e （D ）210x e dx ⎰13、设()f x 为连续函数，则积分()ba I f x t dx=+⎰（ ）（A ）与,,t a b 有关 （B ）与,t x 有关 （C ）与,,x b t 有关 （D ）仅与x 有关 14、()2x af t dt '=⎰（ ）（A ）()()1222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （C ）()()22f x f a -⎡⎤⎣⎦ （D ）()()12f x f a -⎡⎤⎣⎦15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+⎰令 （B）10sin x t =⎰令 （C）10tan x t=⎰令 （D ）12111dx x xt -=+⎰令 答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、 二、 填空题（每题2分）1、已知⎰=Φxdtt x 02)sin()(，则=Φ')(x .；2、比较大小：⎰20πxdx⎰2s i n πx d x.3、⎰-++1142251sin dx x x xx = ；4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()⎰-12dxx f = ； 5、设()x f 为连续函数，则()()[]=⋅+-+⎰-dx x x x f x f 322 ；6、522cos xdx ππ-=⎰；7、()12ln 1xd t dt dx +=⎰ ；8、(211x dx -+=⎰；9、设()f x 为连续函数，且()()12,f x x f t dt =+⎰则()f x = ；10、设0a ≠，若()0120ax x dx -=⎰，则a = ；11、已知()2302xf t dt x =⎰，则()1f x dx =⎰ ；12、=⎰ ；答案：1、()2sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、1615 7、()2ln 1x -+ 8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π三、计算题 （每题5分）1、dx x x ⎰-22101解：令t x sin =，则tdt dx cos =，tx 2010π→→ dx x x ⎰-22101=⎰2022cos sin πtdt t=()⎰⎰-=202024cos 1812sin 41ππdt t tdt=16024sin 4181ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t2、⎰2sin πxdxx 20cos xd xπ=-⎰=⎰+-20cos 02cos ππxdxx x=102sin =πx 3、dxx x x ⎰+-20232=()()⎰⎰⎰-+-=-2121111dxx x dx x x dx x x=12325201523223252523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x =()22154+4、⎰-2121dx x x解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，3021π→→t x⎰-2121dx x x =⎰302tan πtdt =()d t t ⎰-3021sec π=()3303tan ππ-=-t t5、()dx xx 21124⎰--+=()⎰--+-+11222442dxx x x x=()d xx x ⎰-+-112442=⎰-=1184dx6、⎰⋅202cos πxdx e x=⎰202sin πx d e x=⎰⋅-⋅20222sin 02sin ππdx e x x e x x=⎰⎰-+=+2022022cos 402cos 2cos 2πππππxdxe x e e x d e e x x x=2-πe则 ⎰⋅202c o s πx d x e x =()251-πe7、⎰-⋅ππxdxx sin 4解： x x sin 4⋅为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称sin 4=⋅∴⎰-ππxdx x8、⎰+402cos 1πdx x x=⎰⎰=4402tan 21cos 2ππx xd dx x x=⎰-40tan 2104tan 21ππxdx x x =04cos ln 218ππx + =2ln 41822ln 218-=+ππ9、()⎰-+11221x dx = ()⎰+102212x dx解：令tdt dx t x 2sec ,tan ==，4010π→→t x ()⎰-+11221x dx =⎰402cos 2πtdt=()⎰+402cos 1πdt t =042sin 21π⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t =214+π10、⎰+301arcsindx x x解：令x x t +=1arcsin，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，3030π→→t x ⎰+301arcsin dx x x =⎰302tan πt td =⎰-3022tan 03tan ππtdt t t=()d t t ⎰--3021sec ππ=()03tan ππt t -- 334)33(-=--=πππ11、⎰+133221x x dx解：令t x 1=,则dt t dx 21-=,13133→→tx⎰+133221x x dx =⎰+⋅-132221111t t dt t=⎰+3121t tdt=221312-=+t12、dxx ee⎰1ln =dxx e⎰-11)ln (+dxx e ⎰1ln=()()1ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =e 22-13、⎰--1145x xdx解：令x t 45-=，则()2541t x -=，tdtdx 21-=，1311→→-t x ⎰--1145x x d x =()dt t ⎰-312581 =13315813⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =61 14、0xdx=20arctan 1xdx x x +=1ln 1ln 2323x -+=- 15、20π⎰20cos 2x dx π20c o s c o s 22x x dx dx πππ⎫=-⎪⎭⎰⎰ =2sin sin 022x x πππ⎫-=⎪⎭五、证明题（每题5分）1、 1、 证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，且除有限个点外有()()F x f x '=，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰证：设除[]()()12,,,n x x x a b F x f x '∈= 外，即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=∀∈ 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤= 在[]1,i i x x +上应用N-L 公式知:()()()()()()()110i innbx i i ax i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑⎰⎰2、 2、 证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则iiiiT Tx xωω'''∆≤∆∑∑证：由性质2知 ()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。
微积分(数学分析)证明题及参考答案.doc
统计专业和数学专业数学分析练习题1. 证明极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim不存在。
2. 用极限定义证明： .0lim 22)0,0(),(=++→yx yx y x3. 证明极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.4. 设),(),(x f y x F =)(x f 在 0x 连续，证明：对,0R y ∈∀),(y x F 在),(00y x 连续.5. 证明：如果),(y x f 在 ),(000y x P 连续，且0),(00>y x f ，则对任意),(00y x f r <,),;(0δP ⋃∃对一切),;(),(0δP y x P ⋃∈有.),(r y x f >6. 证明：22),(y x y x f +=在点)0,0(处连续且偏导数不存在.7. 证明；2222221sin 0(,)00y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在)0,0(点连续，且0)0,0(,0)0,0(==y x f f 不存在.8. 证明222222221()sin 0(,)00x y x y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩在 点)0,0(处连续且偏导数存在.9. 设 函数),(y x f 在),(00y x 的某邻域内存在偏导数，若),(y x 属于该邻域，则存在)(010x x x -+=θξ和 )(020y y y -+=θη，,10,1021<<<<θθ 使得00000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f y x x f x y y ξη-=-+-。
10. 证明：2222220(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩,在点)0,0(不可微.11. 证明: 对任意常数,ρϕ, 球面2222x y z ρ++=与锥面2222tan x y z ϕ+=⋅是正交的. 12. 证明: 以λ为参数的曲线族221() x y a b a b λλ+=>-- 是相互正交的(当相交时).13. 证明: 由方程()z y x z ϕ=+所确定的隐函数(,)z z x y =满足222()z z z x y y ϕ⎡⎤∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎣⎦, 其中ϕ二阶可导. 14. 设()20()ln 12cos F a a x a dx π=-+⎰, 证明20,10,()ln , 1. 若且 若a a F a a a π⎧<≠⎪=⎨>⎪⎩15. 证明含参量反常积分⎰+∞sin dy yxy 在[)+∞,δ上一致收敛()0＞其中δ，但在()0,+∞内不一致收敛。
数学分析试卷及答案6套
数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.（请写出证明过程）4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。
A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).（请写出证明过程）..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。
三、解答题（共3题，每题20分，共60分）1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c，请求该驻点c的值以及f(c)的极值。
（请写出解题过程）2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。
（请写出解题过程）3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c，并且f(c) = 2，求函数f(x)在该区间上的最大值。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
数学分析习题及答案 (50)
习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。
解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。
（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。
于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。
（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。
于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。
（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。
2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。
解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。
(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)
数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析第五版练习册答案
数学分析第五版练习册答案在数学分析这门课程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要手段。
以下是数学分析第五版练习册的部分答案，供学生参考。
第一章：实数和序列1. 证明实数的完备性。
答案：实数的完备性可以通过柯西序列来证明。
一个实数序列\( \{a_n\} \)被称为柯西序列，如果对于任意的正数\( \epsilon > 0 \)，存在正整数\( N \)，使得对于所有的\( m, n > N \)，都有\( |a_m - a_n| < \epsilon \)。
实数的完备性意味着每一个柯西序列都收敛到一个实数。
2. 判断序列\( \{a_n\} \)的收敛性。
答案：序列\( \{a_n\} \)收敛当且仅当存在实数\( L \)，使得对于任意的正数\( \epsilon > 0 \)，存在正整数\( N \)，使得对于所有的\( n > N \)，都有\( |a_n - L| < \epsilon \)。
第二章：连续函数1. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在实数线上是连续的。
答案：对于任意的\( x \)和\( \delta > 0 \)，我们有\( |f(x+\delta) - f(x)| = |(x+\delta)^2 - x^2| =|\delta(2x+\delta)| \)。
当\( |\delta| < 1 \)时，\( |\delta(2x+\delta)| < 2|x||\delta| + |\delta|^2 \)。
由于\( 2|x||\delta| < 2|x| \)和\( |\delta|^2 < \epsilon \)，我们可以选择\( \delta < \min(1, \frac{\epsilon}{2(|x|+1)}) \)，使得\( |f(x+\delta) - f(x)| < \epsilon \)。
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习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。
解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。
（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。
于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。
（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。
于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。
（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。
2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。
解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。
3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2π=t 所对应的点处的切线的方向余弦。
解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2t π=代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。
4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1）3432y x z +=，在点)35,1,2(；（2）4e e =+zy zx ，在点)1,2ln ,2(ln ；（3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。
解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得到(64,9,1)-，所以切平面方程为0)35()1(9)2(64=---+-z y x ，即 6491020x y z +--=，法线方程为13591642--=-=-z y x 。
（2）曲面的法向量函数为2211e ,e ,e e x y x yz z z z x yz z z z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以(,,)x y z(ln 2,ln 2,1)=代入，得到(2,2,4ln 2)-，所以切平面方程为ln 2ln 22ln 2(1)0x y z -+---=，即 02ln 2=-+z y x ,法线方程为)1(2ln 212ln 2ln --=-=-z y x 。
（3）由于22112233J uv u v ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以在1,0==v u 所对应的点处的法向量为 (0,3,2)-，所以切平面方程为3(1)2(1)0y z --+-=，即 0123=++-z y ,法线方程为10,1132x y z -=⎧⎪--⎨=⎪-⎩，即⎩⎨⎧=+=5321z y x 。
5. 在马鞍面xy z =上求一点，使得这一点的法线与平面093=+++z y x 垂直，并写出此法线的方程。
解 马鞍面的法向量(,,1)y x -与(1,3,1)平行，所以1131y x -==，即1,3,3y x z xy =-=-==，于是该点为(3,1,3)--，在该点处的法线方程为3)1(313-=+=+z y x 。
6. 求椭球面49832222=++z y x 的平行于平面753=++z y x 的切平面。
解 由于椭球面的法向量(2,4,6)x y z 与(1,3,5)平行，所以23135x y z==，解出35,23y x z x ==，代入椭球面方程可得6x =±，即切点为(6,9,10)±。
所以有两个切平面满足条件，切平面的方程分别为 0)10(5)9(3)6(=-+-+-z y x 与 0)10(5)9(3)6(=+++++z y x 即35830x y z ++±=。
7. 求圆柱面222a y x =+与马鞍面xy bz =的交角。
解 设(,,)x y z 是圆柱面与马鞍面交线上一点。
圆柱面在该点的的法向量为(2,2,0)x y ，马鞍面在该点的的法向量为(,,)y x b ，于是两法向量的夹角θ的余弦为cos θ===，所以θ=8. 已知曲面0322=--z y x ，求经过点)1,0,0(-A 且与直线212zy x ==平行的切平面的方程。
解 设切点为000(,,)x y z ， 则曲面在该点的法向量为00(2,2,3)x y --，切平面方程为00223(1)0x x y y z --+=。
由于切点在切平面上，所以22000223(1)0x y z --+=，与曲面方程相比较可得01z =。
由于切平面与直线平行，所以0000(2,2,3)(2,1,2)4260x y x y --⋅=--=，与曲面方程联立，并注意到01z =，可以求出切点坐标为(2,1,1)。
于是，切平面方程为03324=---z y x 。
9．设椭球面632222=++z y x 上点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量为n ，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数。
解 曲面的单位法向量为(4,6,2)(4,6,2)x y z x y z =n ，将点)1,1,1(P 的坐标代入，得到n =。
于是，函数u 在点P 处沿方向n 的方向导数为11,,7u u u u n x y z ⎛⎫∂∂∂∂=⋅== ⎪∂∂∂∂⎝⎭n 。
10．证明曲面)0(>=++a a z y x 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。
证 设切点为000(,,)x y z ，则曲面在该点的法向量为⎛⎫，切平面方程为000)))0x x y y z z ---=， 即x y z==，所以截距之和为2a ==。
11．证明：曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t tt a z t a y t a x e ,sin e ,cos e 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。
解 易知曲线的切向量为(cos sin ,sin cos ,1)t ae t t t t -+，锥面的母线方向为(,,)(cos ,sin ,1)t x y z ae t t =，假定它们的夹角为θ，则cos θ==。
12．证明曲面0),(=--cz ay bz ax f 上的切平面都与某一定直线平行，其中函数f 连续可微，且常数c b a ,,不同时为零。
证 曲面的法向量为1212(,,)af af bf cf --，由于1212(,,)af af bf cf --(,,)0b c a ⋅≡，所以曲面的法向量与非零向量),,(a c b 垂直，即曲面的切平面都与向量),,(a c b 平行，也就是与以此向量为方向的直线平行。
13．证明曲面)0(≠⎪⎭⎫⎝⎛=x x y xf z 在任一点处的切平面都通过原点，其中函数f 连续可微。
证 易知曲面上任意一点000(,,)x y z 处的切向量为00000000()'(),'(),1y y y y f f f x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此过点000(,,)x y z 的切平面为0000000000()'()()'()()()0y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎛⎫--+---= ⎪⎝⎭， 容易验证，)0,0,0(满足上述方程，即所有切平面都经过原点。
14．证明曲面0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y z x y z F 的所有切平面都过某一定点，其中函数F 具有连续偏导数。
证 易知曲面上任意一点000(,,)x y z 处的切向量为000233132222000000111,,y z x F F F F F F z x x y y z ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 因此过点000(,,)x y z 的切平面为000230310320222000000111()()()0y z x F F x x F F y y F F z z z x x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 容易验证，)0,0,0(满足上述方程，即所有切平面都经过原点。
15．设),,(z y x F 具有连续偏导数，且0222≠++z y x F F F 。
进一步，设k 为正整数，),,(z y x F 为k 次齐次函数，即对于任意的实数t 和),,(z y x ，成立),,(),,(z y x F t tz ty tx F k =。
证明：曲面0),,(=z y x F 上所有点的切平面相交于一定点。
证 利用齐次条件对t 求导，有1(,,)(,,)(,,)(,,)k x y z xF tx ty tz yF tx ty tz zF tx ty tz kt F x y z -++=，再令1t =，得到曲面上的点(,,)x y z 所满足的恒等式：),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++。
因为曲面上任意一点000(,,)x y z 处的法向量为()0(,,),(,,),(,,)xyzF x y z F x y z F x y z ，于是过点000(,,)x y z 的切平面方程为000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=。
利用前面的恒等式，切平面方程化为000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)0x y z F x y z x F x y z y F x y z z kF x y z ++==，显然切平面经过原点，所以原点就是所有切平面的交点。