高中数学 第二章《正态分布、线性回归》教案 新人教A版选修23
高中数学人教A版选修23第二章2.4正态分布教案设计
课题：正态分布教学目标：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学重点：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学过程一、复习引入：简要复习模块3种的相关内容，材料如下，可选取相关内容重点复习1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为 n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 1 ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n ；⑵简单随机抽样N N的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等；⑶简单随机抽样方法，表达了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的根底．〔4〕.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样2.抽签法：先将总体中的所有个体〔共有N个〕编号〔号码可从1到N〕，并把号码写在形状、大小相同的号签上〔号签可用小球、卡片、纸条等制作〕，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．随机数表法：随机数表抽样“三步曲〞：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个局部，然后按预先定出的规那么，从每一局部抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等②为将整个的编号分段〔即分成几个局部〕，要确定分段的间隔k当N〔N为总体中的个体的个数，n为样本容量〕是整数时，nk= N;当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N 能被n n n整除，这时k=N.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照事先确定的规n那么抽取样本〔通常是将l加上间隔k，得到第2个编号l+k,第3个编号l+2k，这样继续下去，直到获取整个样本〕①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一局部进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样5.分层抽样:当总体由差异明显的几局部组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几局部，然后按照各局部所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的局部叫做层不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样分布列:ξx1 x2 x iP P1 P2 Pi分布列的两个性质：⑴P≥0，i＝1，2，；⑵P+P+=1i 1 2频率分布表或频率分布条形图历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：试验结果频数频率正面向上(0) 36124反面向上(1) 35964抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，那么上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个〔用0和1表示〕，所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．当试验次数无限增大时，两种试验结果的试验结果值就成为相应的概率，得到右表，除了抽样造正面向上(记为0) 误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这体取值的概率分布规律通常称为总体分布. 反面向上(记为1) 说明：频率分布与总体分布的关系：⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.9.总体分布：总体取值的概率分布规律概率频率成的0．5种整0．5在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布一般地，样本容量越大，这种估计就越精确总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．频率/组距总体密度曲线单位O a b它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．二、讲解新课：1．正态分布概率密度函数：(x )212f(x) e2 ,)，〔σ＞0〕,x(2其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差 .正态分布一般记为N( ,2)2．正态分布N( ,2)〕是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的根本特征是两头底、中间高、左右对称4．正态曲线的性质：1〕曲线在x轴的上方，与x轴不相交2〕曲线关于直线x=μ对称3〕当x=μ时，曲线位于最高点〔4〕当x＜μ时，曲线上升〔增函数〕；当x＞μ时，曲线下降〔减函数〕并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近5〕μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖〞，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高〞．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原那么，采用比照教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示1 x2式是f(x) e2，〔-∞＜x＜+∞〕2其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N〔0，1〕在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6.对于正态总体N( ,2)取值的概率：68.3% x 95.4% 99.7% xx2σ4σ6σ在区间〔μ-σ，μ+σ〕、〔μ-2σ，μ+2σ〕、〔μ-3σ，μ+3σ〕内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间〔μ-3σ，μ+3σ〕内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一局部课堂小节：本节课学习了取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用课堂练习：略课后作业：第79页习题A:1,2。
高中数学人教A版选修2-3课件：3.1回归分析的基本思想及其初步应用
问题导学
Байду номын сангаас
当堂检测
解:(1)由表画出散点图,如图所示.
问题导学
当堂检测
(2)从上图可看出,这些点基本上散布在一条直线附近,可以认为 x 和 y 线性相关关系显著,下面求其回归方程,首先列出下表.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ xi 5 .6 6 .0 6 .1 6 .4 7 .0 7 .5 8 .0 8 .2 54.8 yi 130 136 143 149 157 172 183 188 1 258 x2 i 31.36 36.00 37.21 40.96 49.00 56.25 64.00 67.24 382.02 y2 i 16 900 18 496 20 449 22 201 24 649 29 584 33 489 35 344 201 112 xiyi 728.0 816.0 872.3 953.6 1 099.0 1 290.0 1 464.0 1 541.6 8 764.5
例 1 某工厂 1~8 月份某种产品的产量与成本的统计数据见 下表:
月份 产量 (t) 成本 (万元) 1 5 .6 130 2 6 .0 136 3 6 .1 143 4 6 .4 149 5 7 .0 157 6 7 .5 172 7 8.0 183 8 8 .2 188
以产量为 x,成本为 y. (1)画出散点图; (2)y 与 x 是否具有线性相关关系?若有,求出其回归方程. 思路分析:画出散点图,观察图形的形状得 x 与 y 是否具有线性相关 关系.把数值代入回归系数公式求回归方程 . x
3.回归模型拟合效果的刻画
类 别 残差图法 残差点比较均匀地落在 特 点 水平的带状区域内,说明 选用的模型比较适合,这 样的带状区域的宽度越 窄,说明模型拟合精度越 高 残差平方和法 残差平方和
高中数学选修2-3人教A教案导学案2.4.1正态分布
2. 4.1正态分布【教学目标】1. 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
2. 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。
【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义.教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】一、 设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？ 问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：22()2,(),(,),2x x x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,(<X (),baP a b x dx μσϕ≤=⎰）则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为2XN μσ（，）。
问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3） 曲线在x μ=2σπ（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
高中数学 第二章《正态分布》教案 新人教A版选修2-3
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个X 围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解X 例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解X 例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μσ，μσ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σＦ（μσ，μσ）＝Ｆ（μσ）－Ｆ（μσＦ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σＦ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业： 书本第75页 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学反思： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成： 22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
数学：2.4《正态分布》课件(新人教A版选修2-3)
y
思考 观 察
图 2.4 4,结
合 φμ,σ x的
o
图2.4 4
x
解析式及概 可以发现,正态曲线有如下特点:
率的性质,你 1曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
能说 说正态 曲线的特点 吗?
2曲 线 是单 峰 的,它 关 于直 线x μ
对 称;
3曲线在x μ处达到峰值;
4曲 线 与x轴 之 间 的 面 积 为1.
由 上 述 过 程 还 可 以 发 现正 态
曲 线 的 下 述 特 点:
5当 σ 一 定 时,曲 线 随 着μ的
变 化 而 沿x轴 平 移;
m 的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
产品
尺寸
(mm)
x3
x4
x1
平均x数2
s的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的
y
5、如图，为某地成年男性
1
体重的正态曲线图，请写出 10 2
其正态分布密度函数，并求
P（|X-72|<20）.
x
72(kg)
x (, )
例2、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解： P5 X 7 1 P 3 X 7 0.4772
2
P5 X 6 1 P 4 X 6 0.3413
胖", 表 示 总 体 的 分 布 越 分 散.
进一步,若X ~ Nμ,σ2 ,则对任何实数a 0,概率
Pμ a X μ a
μa
φ μa μ,σ x dx
为图2.4 6中阴影部分的面积,对于固定的μ和 a 而言, 该面积随着σ 的减少而变大.这说明σ 越小, X落在区间 (μ a,μ a]的概率越大,即X集中在μ周围概率越大. 特别有
人教版高中数学(文科)选修正态分布与线性回归教案
正态分布与线性回归一、教学目标：1．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
2．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用；通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
3．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
4．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算；了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
二、教学重点：正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用。
三、教学过程：（一）主要知识：1．正态分布： ；2．正态分布的概率密度函数： ；3．标准正态总体： ；4．正态曲线的性质： ；5．标准正态总体()0,1N 及一般正态总体()2,N μσ在区间()12,x x 内取值的概率： ；6．相关关系与函数关系： ；7．回归直线方程 。
（二）知识点详析1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
例如，产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。
又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。
另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。
2．正态曲线及其性质对于正态分布函数：22)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
高中数学人教A版选修2-3第二章《正态分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教A版选修2-3第二章《正态分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能
(1)通过高尔顿板试验,了解正态分布密度曲线的来源
(2)通过事例借助几何直观,理解正态分布的概念及其曲线特点,掌握利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题
2.过程与方法
(1)通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线,体验从有限到无限的思想方法
(2) 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质,体会数形结合的方法,增强观察、分析和归纳的能力
3、情感、态度与价值观
(1) 通过经历直观动态的高尔顿试验,提高学习数学的兴趣
(2)通过原则的学习,充分感受数学的对称美
2学情分析
在必修三的学习中,学生已经掌握了统计等知识,这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。
但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,学生理解比较困难。
3重点难点
重点:1、正态分布密度曲线的特点.
2、正态分布密度曲线所表示的意义.
难点:1、在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布
2、正态分布密度曲线所表示的意义
4教学过程。
人教版选修2-3《正态分布》教案
“博古通今”
师：幻灯展示正态分布定义。
生：朗读定义。
师：结合实例对定义做出解释。
生：展示课前搜集并整理的有关正态分布的历史资料，并进行讲解。
生：小组讨论，而后由学生代表展示研讨成果，并由其他小组补充完善。
师：总结学生发言并板书，给出标准正态分布。
通过小组的合作探究，让学生的思维得以碰撞，在养成分析总结的习惯的同时，也体会到解决问题的快乐，感受到与他人合作交流的重要性。
“天生我学必有用”
师：回顾引例中身高的正态分布曲线，引导学生分析其实际意义及应用。另举一例：“两次标准化考试的数学成绩的概率密度曲线图，且两次成绩都服从正态分布”，引导学生对比分析。
生答
师：回顾“钢管尺寸”的实际例子，给出正态分布的原则，并作出解释。
回归到实际生活之中，通过对几个实际问题的分析与解决，让学生充分体会“数学源于生活，而又服务于生活”。
“喜庆丰收”
师：以上就是我们今天的内容，哪位同学愿意与大家分享自己在本节课的收获？
生：（小结）
课堂小结由学生来完成，让学生自己归纳、总结本节课内容，不仅利于学生对知识的系统理解，也让学生学会反思，更为他们提供了更多的展示自我的机会。
教材分析
正态分布是人教A版选修2—3第二章第四节的内容，在这之前学生已经学习了离散型随机变量，正态分布的随机变量是连续型随机变量，因此正态分布既是对前面内容的一种补充，也是必修三第二章概率知识的后续。
教学目标
1.知识目标：理解并掌握正态分布和正态曲线的概念及性质，能简单应用。
高中数学 2.4 3正态分布教案 新人教A版选修选修2-3
2013年高中数学 2.4 3正态分布教案 新人教A 版选修选修2-3〖教学目标〗(1)进一步加深理解并掌握正态分布和正态曲线对应函数式的意义和性质.(2)理解和掌握标准正态总体的意义及性质.(3) 掌握正态总体中，取值小于x 的概率及在任一区间内取值的规律.(4)介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件，生产过程的质量控制图.〖教学重点〗正态分布、正态曲线、标准正态总体是教学的重点内容，在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想.〖教学难点〗 小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1. 正态密度函数的解析式.其中字母的意义.2. 正态曲线的性质.二、讲解新课1.标准正态分布与一般正态分布的关系(1) 若ξ～()2,Nμσ,则ξμησ-=～N(0，1). (2) 若ξ～()2,N μσ,则()P a b ξ<≤= ()()ba μμσσ--Φ-Φ, 即通过查标准正态分布表中,ab x x μμσσ--==的()x Φ的值,可计算服从2(,)μσ的正态分布的随机变量ξ取值在a 与b 之间的概率.2. 假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:(1) 提出统计假设. 统计假设里的变量服从正态分布()2,N μσ. (2) 确定一次试验中的取值是否落入范围(3,3)μσμσ-+.(3) 作出推断:如果∈,接受统计假设.如果∉,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.3．例题评价例 1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的.如果某地成年男子的身高η～(175,36)N (单位: cm ),则车门高度应设计为多少?例 2.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布, μ=8, σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度少于2m .这时,他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋呢?还是让钢筋工停止生产检修钢筋切割机?例3.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布（1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-= ∵()()()2()10.95200200200a a a P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥， ()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200a a ≥⇒≥ 三．练习 35面练习2. 习题1.5的2.3四.小结五.课后作业〖教学反思〗本节我们学习了一类重要的总体分部：正态分布.决定一个正态分布的两个重要的参数:平均数(期望、数学期望) μ 和标准差σ 。
正态分布教学设计与反思
正态分布教学设计与反思孙恒来1．教学内容解析正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的第二章“随机变量及其分布”的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修3第二章频率分别直方图和第三章概率知识的后续。
该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。
旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。
课标教材利用高尔顿钉板试验引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。
本节课的教学重点确定为：（1）正态分布密度曲线的特点和性质；（2）正态分布密度曲线所表示的意义。
2．教学目标分析在上次教材改革中增加了正态分布，此次新课程标准中理科选修2-3仍然保留了正态分布的内容，只是在内容上作了一些调整，课本删除了标准正态分布和正态分布函数表，只要求利用对称性和“3σ”原则分析实际问题，从而考查难度有所降低，注重考查阅读理解能力。
正态分布在概率和统计中占有重要的地位，如现今德国10马克的钞票印有高斯头像，其上还印有正态分布的密度曲线。
这是给高斯的最高荣誉，同时传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是正态分布。
正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。
自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。
正态分布还具有很多优良的性质，在数学、物理及工程控制、医学检测等领域有着广泛的应用。
在大学的理工科基本上都要学习正态分布的相关内容，在高中新课标中仍保留了正态分布是很有必要的。
因此，我们要提高认识。
本节课作为新授课，加上正太密度曲线函数式很复杂，内容抽象，我力图通过flash动画模拟高尔顿钉板实验激发学生的兴趣，几何画板动态演示，小组合作探究，老师引导点拨，学生归纳总结，让学生对正态密度曲线的生成、性质有更直观的认知。
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12.4 正态分布、线性回归一、 知识梳理1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质正态分布函数：22()21()2x f x e μσπσ--=，x ∈（-∞，+∞）3．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，00()1()x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。
只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。
进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。
课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布),(2σμN ；第二步，确定一次试验中的取值a 是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）；第三步，作出推断。
如果a ∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
6．相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。
对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：⑴相关关系与函数关系不同。
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。
相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。
⑵函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
⑶函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。
7．回归分析本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型——一元线性回归分析。
对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：⑴回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。
两个变量具有相关关系是回归分析的前提。
⑵散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。
⑶求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。
8．相关系数有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程。
显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义。
那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了相关系数的公式。
相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。
9．线性相关性检验相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y 与x 之间线性相关与否的具体办法。
限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。
其具体检验的步骤如下：⑴在课本中的附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2（n 为观测值组数）相应的相关系数临界值05.0r 。
⑵根据公式∑∑∑===---=n i n i i i n i i iy n y x n x y x n y x r 1212221))((计算r 的值。
⑶检验所得结果。
如果05.0||r r ≤，那么可以认为y 与x 之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设。
如果05.0||r r >，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了。
这个小概率事件的发生使我们有理由认为y 与x 之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y 与x 之间具有线性相关关系。
● 教学目标1．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
2．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N（0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用；通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
3．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
4．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算；了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
重点：正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用。
二、基础训练1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于BA.2Φ（1）－1B.Φ（4）－Φ（2）C.Φ（2）－Φ（4）D.Φ（－4）－Φ（－2） 广告费用（千元） 1.04.0 6.0 10.0 14.0 销售额（千元） 19.0 44.0 40.0 52.0 53.0现要使销售额达到6万元，则需广告费用为__1.5万元____.（保留两位有效数字）三、例题剖析【例1】 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）.（1）若d =90°，求ξ<89的概率；（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，问d 至少是多少?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：（1）提出统计假设：某种指标服从正态分布N （μ，σ2）；（2）确定一次试验中的取值a ；（2）作出统计推断：若a ∈（μ－3σ，μ+3σ），则接受假设，若a ∈（μ－3σ，μ+3σ），则拒绝假设.如：某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N （30，0.8），质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5 kg/cm 2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么?【例2】1. 已知测量误差ξ～N （2，100）（cm ），必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm 的频率大于0.9?2. 随机变量ξ服从正态分布N （0，1），如果P （ξ<1）=0.8413，求P （－1<ξ<0）3. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？4. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？5. 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x （万元）分别服从正态分布N （8，32）和N （6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?【例3】设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：412221)(+--=x x e x f π，x ∈R 。
⑴求μ，σ；⑵求)2|1(|<-x P 及)22121(+<<-x P 的值。
【例4】公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N （173，7）（单位：cm ），问车门应设计多高（精确到1cm ）？【例5】已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg 与每单位面积蔬菜年平均产量yt 之间的关系有如下数据：年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 ⑵若线性相关，求蔬菜产量y 与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量。
四、同步练习 正态分布、线性回归1．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ε～N （200，18），则取得的这件材料的强度不低于180的概率为（ ）A ．0.9973B ．0.8665C ．0.8413D ．0.81592．已知连续型随机变量x 的概率密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=b x 0b x a A a x 0)(x f其中常数A>0，则A 的值为（ ） A ．1 B ．b C ．a b -1 D ．b-a3．某工厂某产品产量x （千件）与单位成本y （元）满足回归直线方程x y 82.136.77^-=，则以下说法中正确的是 （ ）A ．产量每增加1000件，单位成本下降1.82元B ．产量每减少1000件，单位成本上升1.82元C ．产量每增加1000件，单位成本上升1.82元D ．产量每减少1000件，单位成本下降1.82元4．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为x y 9060^+=，下列判断正确的是 （ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资为150元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D ．劳动生产率为1000元时，工资为90元5．若随机变量ε～N （5，2），且P(ε<a)=0.9，则a=_____________。
6．已知连续型随机变量x 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<=21 a 1x 0ax0)(x x f 其他 则a=___________，=<)23(x P _____________。
7．设随机变量ε服从N （0，1），求下列各式的值：（1）P(ε≥2.55)； （2）P(ε<-1.44)； （3）P(|ε|<1.52)。