北师大版九年级数学上册第一章检测题(含答案)

第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(内江中考)下列命题中，真命题是( C )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．(西宁中考)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )A．5 B．4 C.342D.343．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是( C )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD,第2题图),第4题图),第5题图),第6题图)4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( D )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180°5．(衡阳中考)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( A )A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4) C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4)6．(陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于点M′、N′，则图中的全等三角形共有( C )A．2对B．3对C．4对D．5对7．(广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为( B )A. 2 B．2 2 C.2＋1 D．22＋18．(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )A .103B ．4C ．4.5D ．5 ,第7题图) ,第8题图),第9题图) ,第10题图)9．(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图1，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图2，AC ＝( A )A . 2B ．2C . 6D ．2 210．(宜宾中考)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( A ) A ．4.8 B ．5 C ．6 D ．7.2二、填空题(每小题3分，共18分)11．(成都中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为__33__.12．(青岛中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度．,第11题图) ,第12题图),第14题图) ,第16题图)13．(兰州中考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB ＝AD ；②AB ＝BD ，且AB ⊥BD ；③OB ＝OC ，且OB ⊥OC ；④AB ＝AD ，且AC ＝BD.其中正确的序号是__①③④__.14．(江西中考)如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，CN ，MN ，若AB ＝22，BC ＝23，则图中阴影部分的面积为__26__.15．(哈尔滨中考)在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝4，点E ，F 在直线AD 上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF 的中点为点M ，则线段AM 的长为__5.5或0.5__.16．已知，如图，∠MON ＝45°，OA 1＝1，作正方形A 1B 1C 1A 2，周长记作C 1；再作第二个正方形A 2B 2C 2A 3，周长记作C 2；继续作第三个正方形A 3B 3C 3A 4，周长记作C 3；点A 1、A 2、A 3、A 4…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3、B 4…在射线OM 上，…依此类推，则第n 个正方形的周长C n ＝__2n ＋1__.三、解答题(共72分)17．(6分)已知：如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，若点E 是AO 的中点，点F 是OD 的中点．求证：BE ＝CF.证明：易证△OBE ≌△OCF(SAS )，∴BE ＝CF18．(7分)如图，菱形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点．(1)求证：△ABE ≌△ADE ；(2)若AB ＝AE ，∠BAE ＝36°，求∠CDE 的度数．(1)证明：易证△ABE ≌△ADE(SAS )；(2)解：∵AB ＝AE ，∠BAE ＝36°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝180°－∠BAE 2＝72°， ∵△ABE ≌△ADE ，∴∠AED ＝∠AEB ＝72°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAE ＝36°，∴∠CDE ＝∠AED －∠DCA ＝72°－36°＝36°19．(7分)(贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积．(1)证明：易证△AOD ≌△COB(ASA )，∴AO ＝OC ，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝5，∴OC ＝CD 2－OD 2＝2，∴AC ＝2OC ＝4，∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝4 5 20．(7分)(上海中考)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD DE ＝DE EA ＝EC，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形21．(7分)(遵义中考)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．(1)证明：易证△CFP ≌△AEQ(ASA )，∴CP ＝AQ(2)解：∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°，∵∠AEF ＝45°，∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2，∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32，∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2，∵CP ＝AQ ，AD ＝BC ，∴DQ ＝BP ＝1，∴AD ＝AQ ＋DQ ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB·AD ＝2×4＝822．(8分)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，分别延长OA ，OC 到点E ，F ，使AE ＝CF ，依次连接B ，F ，D ，E 各点．(1)求证：△BAE ≌△BCF ；(2)若∠ABC ＝40°，求当∠EBA 为多少度时，四边形BFDE 是正方形．(1)证明：易证△BAE ≌△BCF(SAS )(2)解：若∠ABC ＝40°，则当∠EBA ＝25°时，四边形BFDE 是正方形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠ABO ＝12∠ABC ＝20°，∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形，∵∠EBA ＝25°，∴∠OBE ＝25°＋20°＝45°，∴△OBE 是等腰直角三角形，∴OB ＝OE ，∴BD ＝EF ，∴菱形BFDE 是正方形23．(8分)(云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S.解：(1)∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，Rt △ACD 中，DF ＝12AC ＝AF ，又∵AB ＝AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，∴四边形AEDF 是菱形(2)如图，∵菱形AEDF 的周长为12，∴AE ＝3，设EF ＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7，∴x 2＋2xy ＋y 2＝49①，∵AD ⊥EF 于O ，∴Rt △AOE 中，AO 2＋EO 2＝AE 2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x 2＋y 2＝36②，把②代入①，可得2xy ＝13，∴xy ＝132，∴菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝13424．(10分)(开江县期末)如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，以AE 为边作正方形AEFG.(1)求证：△ADG ≌△ABE ；(2)求证：∠FCN ＝45°；(3)请问在AB 边上是否存在一点Q ，使得四边形DQEF 是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．证明：(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴DA ＝BA ，EA ＝GA ，∴∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ，∴△ADG ≌△ABE(2)过F 作BN 的垂线，设垂足为H ，∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠FEH ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠HEF ，∵AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EHF ，∴AB ＝EH ，BE ＝FH ，∴AB ＝BC ＝EH ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CH ，∴CH ＝BE ＝FH ，∴∠FCN ＝45°(3)在AB 上取AQ ＝BE ，连接QD ，∵AB ＝AD ，∴△DAQ ≌△ABE ，∵△ABE ≌△EHF ，∴△DAQ ≌△ABE ≌△ADG ，∴∠GAD ＝∠ADQ ，∴AG 、QD 平行且相等，又∵AG 、EF 平行且相等，∴QD 、EF 平行且相等，∴四边形DQEF 是平行四边形．∴在AB 边上存在一点Q ，使得四边形DQEF 是平行四边形25．(12分)(1)如图1，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一个动点，若线段MN 垂直AP 于点E ，交线段AB 于M ，交线段CD 于N ，证明：AP ＝MN ；(2)如图2，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一动点，若线段MN 垂直平分线段AP ，分别交AB 、AP 、BD 、DC 于点M 、E 、F 、N.求证：EF ＝ME ＋FN ；(3)若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的最大值与最小值．(1)证明：过B 点作BH ∥MN 交CD 于H ，∵BM ∥NH ，BH ∥MN ，∴四边形MBHN 为平行四边形．∴BH ＝MN.∵MN ⊥AP ，∴∠BAP ＋∠ABH ＝90°.又∵∠ABH ＋∠CBH ＝90°，∴∠BAP ＝∠CBH.在△ABP 与△BCH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAP ＝∠CBH AB ＝BC ∠ABP ＝∠BCH∴△ABP ≌△BCH.∴AP＝BH.∴AP ＝MN(2)连接FA ，FP ，FC.∵正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，∴FA ＝FC.又∵FE 垂直平分AP ，∴FA ＝FP.∴FP ＝FC.∴∠FPC ＝∠FCP.∵∠FAB ＝∠FCP ，∴∠FAB ＝∠FPC.又∵∠FPC ＋∠FPB ＝180°，∴∠FAB ＋∠FPB ＝180°.∴∠ABC ＋∠AFP ＝180°.∴∠AFP ＝90°.∴FE ＝12AP.又∵AP ＝MN ，∴ME ＋EF ＋FN ＝AP.∴EF ＝ME ＋FN(3)由(2)有EF＝12MN，∵AC，BD是正方形的对角线，∴BD＝2 2.当点P和点B重合时，EF最小＝12MN＝12AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大＝12MN＝12BD＝ 2。