2021年高考总复习《双曲线的离心率计算》讲义
2024年高考数学复习培优讲义专题12---椭圆与双曲线离心率相关问题(含解析)
专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ．题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________.2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．7 C ．5 D ．24．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>A C P A 33412PF F △21120PF F ∠=重点题型·归类精讲利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．146．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A ．3514− B ．3314 C ．1712D ．17129．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A 3B 2C 21D 210．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 1511．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C ．6237D ．3237利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 52024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 615．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．53C ．64D ．10516．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C 5D ．1317．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为() A ．32B ．2C 15D ．4与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ） A 3B 5C 13 D 1519．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.3 B.3 C.5 D.521．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______.2024届长郡中学月考（二）22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 .24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的范围为ππ,126⎛⎫⎪⎝⎭时，双曲线C 离心率的范围为（ ）A ．6,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．61,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．(1,3)D ．6,22⎛⎫⎪⎝⎭30．已知双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2B ．()1,4C ．()2,2D ．()2,431．（多选）双曲线2221y x a−=的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为（ ）．A ．324B ．2C ．32D ．232．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b−=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x =有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为 .33．设椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221y x a b−=，若双曲线的一条渐近线的斜率大于52，则椭圆的离心率e 的范围是 .34．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 ． 35．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1||3F A b =，则双曲线的离心率的取值范围是()A ．2)B ．3)C ．(2,2)D ．(3,2)36．已知12F F ，分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭37．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭38．已知点P 为椭圆C ：()222101y x b b+=<<的上顶点，点A ，B 在椭圆上，满足PA PB ⊥且PA PB =，若满足条件的△PAB 有且只有一个，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．20,2⎛ ⎝⎭B ．6⎛ ⎝⎦C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．6⎫⎪⎪⎝⎭题型三 椭圆和双曲线公共焦点问题39．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦40．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m−=>，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,1C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭41．设12,F F 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b −=>>的公共焦点，曲线12,C C 在第一象限内交于点12,90M F MF ∠=，若椭圆的离心率16,13e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．(1,3⎤⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．)2,⎡+∞⎣42．设12,F F 为双曲线22122:1x y C a b−=与椭圆2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点12,P PF F 是以线段1PF 为底边的等腰三角形，若椭圆2C 的离心率范围为25,512⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则双曲线1C 的离心率取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,5]43．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为（ ）A ．3B ．92C ．4D ．5344．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．445．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是其一个公共点，1260F PF ∠=︒，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．246．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF ＞，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．247．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ） A ．43B ．433C ．4 D ．46348．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．32B ．643C 510D 55专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．35【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==−，224t c =，将点A 代入双曲线C得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +−=，故a m =或3a m =−（舍去）， 所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =， 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===， 所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +−∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故35c e a ==方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c −，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =−，所以()()002,,3x c y c t −=−−，则00235,3x c y t ==−，又11F A F B ⊥，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=−⋅ ⎪⎝⎭2282033c t =−=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b−=，整理得2222254199c t a b −=，则22222516199c c a b −=， 所以22222225169c b c a a b −=，即()()2222222225169c c a a c a c a −−=−，整理得4224255090c a c a −+=，则()()22225950c a c a −−=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以35e =5e =（舍去），故35e =2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32bb c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 20e <≤； 当32b b c −>−，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立．2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ． 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________. 【解答】解：设22||||F A F B m ==，由双曲线定义得：1||2F A m a =−，1||2F B m a =+， 所以11||||||(2)(2)4AB F B F A m a m a a =−=+−−=，作21F H F B ⊥，Rt △21F HF 中，213tan 4F H F H α==，可得234F H m =， Rt △2F HA 中，勾股定理得：222222222234||||||()(2)......4167m F H AH AF m a m a +=⇒+=⇒=①，Rt △21F HF 中，勾股定理得：22222221123||||||()(2)4F H F H F F m m c +=⇒+=，可得22254 (16)m c =②， 由①②可得2242547a c ⨯=，整理可得22257c a =，即577e =2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )重点题型·归类精讲A 2B 3C 5D 7【解答】解：因为2ABF ∆为等边三角形，不妨设22||||||AB BF AF m ===，B 为双曲线上一点，1211||||||||||2F B F B F B BA F A a −=−==， A 为双曲线上一点，则21||||2AF AF a −=，2||4AF a =，12||2F F c =，由260ABF ∠=︒，则12120F AF ∠=︒，在△12F AF 中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+−⋅⋅⋅︒， 得227c a =，则27e =，解得7e =D ． 【法二】作垂直，勾股定理3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B 7C 5D ．2【答案】B 【解析】224AB BF AF ===，1212BF BF AF a ∴−==，又212AF AF a −=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=， 在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+−⋅=，解得：1227F F =227c =，7c ∴=∴双曲线C 的离心率7ce a=4．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .【答案】【分析】作出辅助线，得到，求出. 【详解】由题知，过作轴于，则，，，利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考 5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP 3得，222312tan sin cos 61313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>A C P A 3312PF F △21120PF F ∠=323,2PM c AM c a ==−333PM c AM==1222F F PF c ==P PM x ⊥M 260PF M ∠=2223,,2PM c F M c AM AF F M c a c c a ∴==+=−+=−333PM c AM ==23c a =32e ∴=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以222113134,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+−∠⋅−⋅6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________. 3【解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ， 则2,,P F Q 三点共线， 设1PF m =，则PQ m =，又127cos 9F PF ∠=，所以在1PF Q 中，由余弦定理有： 22222174299FQ m m m m =+−⨯=，即123m FQ = 由椭圆定义可知11243m PF PQ QF m m a ++=++=，可得32m a = 所以1231,22PF a PF a ==在12PF F △中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠，即22222913744244493c a a a a =+−⨯⨯=，所以2213c a =， 所以3c e a ==构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．2【解答】解：因为点P 在双曲线上，且2PF x ⊥轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得2(,)b P c a ±，则22||b PF a=，12||2F F c =，所以2221212||3tan ||224b PF b a PF F F F c ac ∠====，所以223b ac =， 所以222()3c a ac −=，所以2232(1)c ca a −=，所以22320e e −−=，所以12e =−（舍去），或2e =8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A 351−B ．331+ C 171− D 171+【答案】B法一：利用对称性和互余关系导角【简证】设2QP l ⊥于H ，作PH ⊥x 轴于H ，易知如右图，易知∠POH=∠GOQ ，则∠1=∠2 而5s 0.10.5in a a c c ∠==，sin 2OH OHOP c∠==，则OH a =，PH b =故 221tan 1122OG PH a b a ac b QG QH b a c ∠==⇒=⇒+=+，即22212a ac c a +=−同除a ²可得21112e e +=− 解得3314e =法二：设点由题可设,),(,0)2(cP a b Q −，2,2PQ bk PQ l G a =⊥+，则 223311()()124045Q bb k k e ec a a e +⋅=−⇒−=−⇒−−==⇒+9．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 3B ．22C 21D 2【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c −，离心率为e ，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =, 又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，yxl 2l 1:y=b aGHQF 1O F 2P 12ba c0.5c0.5bG O所以22b c a=即2220c a ac −+=，所以2210e e +−=，解得21e =（负值舍去）.10．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 15【答案】C【详解】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =. 在△ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.所以在△AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+−,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以10e =11．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C 623−D 323−【答案】C【详解】解：依题意作下图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是矩形，其中122F MF π∠=，12NF MF =，设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=， 整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，222x a a b =−，由2222NF =，得23MN MF =，即(22322a a b c −=，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得6237e =.利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 5【答案】D【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点， 又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ， 又122PF PF a −=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+， 故225c a =，离心率5ca=2024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =−，22NF a n =−，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +−=−， 22222948444n a an n a an n ∴+−+=−+，2124n an ∴=，3a n =， 123a MF ∴=，243a MF =， 在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+， 223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈，5e ∴=利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 6【答案】C解析：设1F B t =，则12AF t =，23F B t =， 由椭圆定义：1242F B F B t a +==，2at ∴=，1222F A F A a F A a +=+=，2F A a ∴=，1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，22222294444122222a a c a c a a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简223c a =,3e ∴=，故选C15．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A 2B 5C 6D 10【答案】B解析：设1A F t =，则22t F B =，152BF t =， 由椭圆定义：125222t tF B F B a +=+=， 23a t ∴=，1222F A F A t F A a +=+=，243a F A ∴=， 12A 2F F B =，12F A F B ∴，1212cos cos AF F F F B ∴∠=−∠，2222224162544999921222233a a a a c c a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简2295c a =，5e ∴=，故选B16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 22C ．53D ．13【答案】D【解析】因为122||||2F F AF c ==，由椭圆定义知1||22AF a c =−，又112AF F B =，所以1||BF a c =−，再由椭圆定义2||2()BF a a c a c =−−=+， 因为1212πAF F BF F ∠+∠=，所以1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AF F F AF BF F F BF AF F F BF F F +−+−=−⋅⋅，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2a c c c a c c a c a c c a c c −+−−+−+=−−⋅−⋅，化简可得22340a c ac +−=，即23410e e −+=， 解得13e =或1e =（舍去）17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为( )A ．32B ．2C 15D ．4【解答】解：设2||BF x =，因为22||3||AF BF =，则2||3AF x =， 由双曲线的定义可得1||23AF a x =+，1||2BF a x =+， 因为1||||4232AB AF x a x x a =⇒=+⇒=，所以2||2BF a =，2||6AF a =，1||8AF a =，1||4BF a =， 因为1212F F B F F A π∠+∠=，所以1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2||||F F F B BF F F F A AF F F F B F F F A +−+−+=⋅⋅， 即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226c a a c a a c a c a +−+−+=⋅⋅⋅⋅，解得2c e a ==． 故选：B ．与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 3B 5C ．132 D．152【答案】C【分析】取线段AT 中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E 的右焦点为F '，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接,,OT AF F M ''，因为FA 切圆222x y a +=于T ，则OT FA ⊥，有2222||||||FT OF OT c a b =−=−=， 因为3FA FT =，则有||||||AM MT FT b ===，||||232AF AF a b a '=−=−， 而O 为FF '的中点，于是//F M OT '，即F M AF '⊥，||2||2F M OT a '==， 在Rt AF M '中，222(2)(32)a b b a +=−，整理得32b a =， 所以双曲线E 的离心率22131c b e a a ==+=19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．【答案】12【分析】由向量线性运算化简已知等式得到21222F F AF c ⋅=，由向量数量积定义可求得22AF c =，121cos 2F F M ∠=，可知12AF F △为等边三角形；利用椭圆定义可得42c a =，进而可得椭圆离心率. 【详解】设2AF 与直线l 交点为M ，则M 为2AF 中点，21AF F M ⊥；()()()1122112122112222F A F F AF F A F F F F AF F M F F AF +⋅=++⋅=+⋅21212212222F M AF F F AF F F AF c =⋅+⋅=⋅=，2221221212222212cos 22F M F F AF F F A F F AF AF F M F M c F F ∴⋅∠=⋅⋅=⋅==，2F M c ∴=，22AF c =，121cos 22c F F M c ∴∠==，则123F F M π∠=，又2122AF F F c ==， 12AF F ∴为等边三角形，则12AF c =，由椭圆定义知：1242AF AF c a +==，∴椭圆离心率12c e a ==.20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.33B.32C.53D.54【答案】C【分析】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，由已知条件可得出2113=a a ，利用椭圆和双曲线的定义可求得1PF 、2PF ，分析出12F PF ∠为直角，利用勾股定理可求得椭圆1C 的离心率.【详解】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设()2120F F c c =>，因为双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，则21223a a =， 设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点， 设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得112121214323PF a a a PF a a a⎧=+=⎪⎪⎨⎪=−=⎪⎩，由对称性可知PQ 、12F F 的中点均为原点O ，所以，四边形12PF QF 为平行四边形， 因为P 、1F 、Q 、2F 四点共圆，则有12121212πF PF FQF F PF FQF∠+∠=⎧⎨∠=∠⎩，故12π2F PF ∠=，由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即()2221142233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212049a c =， 即12523a c =，故椭圆1C 的离心率为112515323c e a ===.21．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______. 6【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据P A 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ， ∵P A 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||3QF OA b ==. 又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=， 223a b ∴=，222233()a b a c ∴==−，∴离心率为6c a=2024届长郡中学月考（二） 22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 【答案】【分析】由题意知四边形为菱形，再结合图形得出，最后根据定义即可得出离心率.【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限，由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，， 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C 31212PQF F 1223,2PF c PF c ==22221(0,0)x y a b a b−=>>2c P 12PQ F F ∥12PQ F F =1PF 2QF 12PQF F 2c 1QF O112,QF c FO c ==故，则， 则， 故， 即离心率故答案为:23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为矩形，设，结合椭圆定义可得，结合可得的关系，由此可求离心率.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，，1130,60F QO QF O ∠=∴∠=1120F QP ∠=1232223,2PF c c PF c ===122322PF PF c c a −=−=3131e +==−31+O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E 53E F 'PFQF 'FR m =3am =222PF PF FF ''+=,a c E F 'PF 'QF 'RF 'P Q O O FF 'PFQF 'QF FR ⊥PFQF '4QF FR =FR m =4QF PF m '==224PF a PF a m '=−=−22F R a FR a m '=−=−所以，，在中，，即， 解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31【答案】C【分析】先求解F 1到渐近线的距离，结合OA ∥F 2M ，可得∠F 1MF 2为直角，结合勾股定理可得解 【详解】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)， 设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 122b a b=+. 设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b , A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点, ∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2.题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B【分析】据162MF NF NF a NF +=+==，得到3a =，根据点A 到直线l 距离d ，求出2b ≥，从而求出c2423PR PF FR a m m a m =+=−+=−Rt F PR '222PF PR F R ''+=()()22216232m a m a m +−=−3a m =443a PF m '==4224233a aPF a m a =−=−=Rt PFF '222PF PF FF ''+=22242433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2259a c =5c e a ==得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F ，A 是C 的上顶点，连接11,MF NF ，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,M N 关于原点对称，则OM ON = 又1OF OF = ，∴四边形1MFNF 为平行四边形1MF NF ∴= ，又162MF NF NF a NF +=+==，解得：3a = A 到l 的距离为：4855b d −=≥， 解得：2b ≥22292a c c −−05c ∴<≤5c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦.26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】2101⎛ ⎝⎭，【分析】表示出222AB a b =−a b c 、、的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】1F ，2F 是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以()20F c ，圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0ax by =－交于A ，B 两点，则焦点到渐近线的距离：22bc d b a b==+，所以222AB a b =−， 122F F AB >， 22222c a b ∴−>， 可得2222244a b c a b >=+－，即：22223555a b c a >=－，可得2258c a <，所以2285c a <，所以210e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是：2101⎛ ⎝⎭，27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m 表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中,00m λ><）， 得()2211y x m mλλ−=−+−， 则双曲线C 离心率()()()121121121111m m m m e m m m m λλλ−+−+−+====−−++++ 因为0m >，所以11m +>，则1011m <<+， 所以11221m <−<+， 所以12e <<C 离心率的取值范围为(2.28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得c b >，据此可求出椭圆的离心率. 【详解】因为以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b c <，即22b c <，222a c c −<，222a c <，所以212e >，即22e >， 又因为01e <<，所以椭圆离心率的取值范围为2⎫⎪⎪⎝⎭．29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的。
高三数学专题复习离心率的三种求法
椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．12变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（ ） CA ．3B. 2C.1D.14324变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（） CA.3B.6C.3D.22 22二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于e 的方程，从而解得离心率 e.x 2 y 2例 2： (2012 ·江西 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是 A ，B ，左，右焦点分别是F 1， F 2，若 |AF 1|，5 |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 522变式练习 1：已知 F 1， F 2 是双曲线x2y 2 1( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） DA.423B.31C.31D.3 12变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 FF， F MF21200，则双曲线的离心率为()B1， 2 1A.366D.3B.C.32322变式练习 3：设双曲线x2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距ab离为3 c ，则双曲线的离心率为 ( ) A4A. 2B. 3C. 223D. 3三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ________. 21【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） DA ．13C ．1D ．3B ．33222242．已知双曲线x y1的一条渐近线方程为 y x ，则双曲线的离心率为（ ）Aa 2b 23 54 C.5 3A. B. 4 D.3 3 2x 2 y 2 1 ( a 0,b 0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2 a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（ ）D F 1O F 2 xBA. 3B. 5C.5D.3 124．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线x 2 y 2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使 F 1 AF 290 0 ，且 AF 13AF 2 ，22a b 则双曲线离心率为（） B5B.10C.15D. 5A.222225．已知双曲线 xy 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） CA. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,x 2y 21(a b 0) 的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则6．已知椭圆 C : 22ab椭圆 C 的离心率是.5 12【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点,A,B分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ( )D F 1OF 2xA. 2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6222.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线 C : x 2y 2 1(a 0,b0) 的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 2 6a,a 2b 2且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为. 33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________. 3 1x 2y 24.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C : a 2b 21(a b0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4 , 则 C 的离心率 e=______. 5575. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为1的直线与椭圆 C ： x 2y 21(a b0) 相交于 A, B ，若 M 是线段2 a 2 b 2AB 的中点，则椭圆C 的离心率为.226. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 ym0(m 0)x 2 y 21（ a b0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P( m,0) 满足 PAPB , 则该双曲线的离心率是5__________.27. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2y 21(a 0,b 0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b2| PF 1 | |PF 2 | 3b, | PF 1 | | PF 2 9）B|ab ，则该双曲线的离心率为（4A.4B. 5C.9D.33348.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 () DA. 5B.2C. 3D. 2x 2y 2 1的一个焦点，若C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：2b 2a轴的一个端点，则C 的离心率为. 5C 1：x2210.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线C 2：abx 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为. 322211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1 ： x2 +y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，mn C 2 的离心率，则（ ） AA ．m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1 e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<112.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点，x 2y 21(a b0) 的左焦点，分别为 C 的F是椭圆C ：a 2b 2A, B左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PFx 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直A ．1B.1C.2D.3 323413.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知F1, F2是双曲线 E : x222y2 1 的左，右焦点，点M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，a bsin MF2 F11,则 E 的离心率为（） A 3（A）2（B）3（C）3（D）2 22–y214.（ 2016 山东文理）已知双曲线E：x22 =1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CDa b的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______． 2xOy F x2y2yb15.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系中，是椭圆a 2b2 1(a＞b＞0) 的右焦点，直线 2 与椭圆交于 B,C 两点，且BFC90 ,则该椭圆的离心率是6 .316.(2017 新课标Ⅰ理15)已知双曲线 C：x2y21（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ________.2 3317.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ． 2m18.(2017新课标Ⅱ理9)若双曲线C:221(a0 b0)的一条渐近线被圆x2y2 4 所截得x2y2，2a b的弦长为 2，则C的离心率为（） AA ．2B．3C．2 D ．23319.(2017 新课标Ⅲ文11)已知椭圆 C：x2y21， ( a>b>0) 的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段 A1A2 a2b2为直径的圆与直线bx ay2ab0 相切，则C的离心率为（） AA ．6B ．321 33C．D．3320.(201814)x 2 y 2x 2y 2N北京理 已知椭圆M ：a 2b 21(a b0)，双曲线N ：m 2n 2 1 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________． 31221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2y 2 1(a0,b0)的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3 c ，则其离心率的值是． 2222.(2018 新课标Ⅱ理 12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x 2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点Pa 2b 2在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1 2的离心率为 () D6F P=120 ，则 C21C ．11A.B ．3D ．32423.(2018 新课标Ⅲ理 11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x 2y 21(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2a 2b 2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心率为 ( ) CA ． 5B ． 2C ． 3D ． 2椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．【答案】12→→1【解析】由椭圆定义及 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，得 2a ＝ 4， a ＝ 2， c ＝ 1，e ＝ .2变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（ ）A ．3B. 2C. 1D. 13424 【答案】 C【解析】由 F 1 1,0 ， F 2 3,0 知2c 3 1 ，∴ c1 ，又∵椭圆过原点，∴ a c 1 ， ac 3.∴ a2 ， c 1 c 1，所以离心率 e.故选 C.a2变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（）A. 3B. 6C.3D.2222【答案】 C【解析】由题设a2 ， 2c 6 ，则 c3 ， e c3，因此选 C.a 2二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于 e 的方程，从而解得离心率 e.22例 2： (2012 ·江西 )椭圆 x2 y 2A ，B ，左，右焦点分别是， F ，若 |AF1|，a ＋b ＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是F 12|F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ________． 【答案】55【解析】由椭圆的定义知，|AF 1|＝ a － c ， |F 1F 2 |＝ 2c ， |BF 1 |＝ a ＋ c.∵ |AF 1|， |F 1F 2|， |BF 1|成等比数列，因此4c 2＝( a －c) ·(a ＋ c)，整理得 5c 2＝ a 2，两边同除以 a 2得 5e 2＝ 1，解得 e ＝5.522变式练习 1：已知 F 1 ， F 2 是双曲线x2y2 1（ a0, b 0 ）的两焦点， 以线段 F 1F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A.423B.31C.31D.312【答案】 D【解析】如图，设 MF 1 的中点为 P ，∵ F 1(-c,0 )，M (0, 3c ),∴ P(c 3cc 2 3c 22,2 ).代入双曲线方程，得 4a 2 4b 2 1 .∴ c 4 8a 2c 2 4a 4 0 ， e 4 8e 2 4 0 ， e 24 2 3 ，∴ e 1 3 .故选 D.变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 F 1 ，F 2 ， F 1 MF 21200，则双曲线的离心率为 （）A. 3B. 6C. 6D.3323【答案】 B【解析】如图所示，不妨设 M 0,b ， F 1c,0 ， F 2 c,0 ，则 MF 1MF 2c 2 b 2 ，又 F 1 F 2 2c ，MF 1 2MF 222在 F 1MF 2 中， 由余弦定理，得 cosF 1 F 2,F 1MF 22 MF 1 MF 2222 22221cbcb4cc1 .即 2 c 2 b 2，∴ b2b 2c 22∵ b2c2a 2，∴2ca21，∴3a22c 2 ，∴ e 23 ，∴ e 6 ，故选 B.2 a 2222变式练习 3：设双曲线x 2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距a 2b 2离为3c ，则双曲线的离心率为 ()4A. 2B. 3C. 22 3D. 3【答案】 A【解析】由已知，直线l 的方程为 bx ayab0 ，由点到直线的距离公式，得ab 3 c .a 2b 24又 c 2 a 2 b 2 , ∴ 4ab 3c 2 ,两边平方，得 16a 2 c 2 a 23c 4 ，整理得 3e 416e 2 16 0 ，得 e 24或 e 24 .又 0 a b 2c 2 a 2 b 2 1 b 2 2 ，∴ e 2 4e 2，故选 A.3，∴ e a 2 a 2a 2，∴三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三【答案】21c2c2c 2c 1 2 1 .【解析】 e2 2c 2ca 2a PF 1 PF 22 1【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） A ． 13C ．1D ．3B ．2332答案： D解析： ∵椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，∴ a=2b ，椭圆的离心率 c3 ，选 D.e2a224x ，则双曲线的离心率为（2．已知双曲线 xy 1的一条渐近线方程为y）a 2b 23A.5B.4C.5D.333 42答案： A解析： 双曲线焦点在 x 轴，由渐近线方程可得b 4，可得 ec 32425，故选 A.a3a33x2y21 ( a 0,b0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（ ）F 1O F 2 xBA.3B.55 D. 3 1C.2答案： D解析： 连接 AF 1，∵ F 2 AB 是等边三角形，∴∠ AF 2F 1=30°，∠ F 1AF 2=90°.∴ |AF 1|=c ， |AF 2|=3 c ，∴ 2a=( 3 - 1)c ，双曲线的离心率为 1+3 ，故选 D.4．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线 x 2 y 21 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 F 1 AF2 900 ，且 AF 13 AF 2 ，a 2b 2则双曲线离心率为（ ）A.5B. 10C. 15D. 5222答案： B解析：设 F ，F 分别是双曲线x 2 y 2 1的左、右焦点 .若双曲线上存在点 A ，使∠ F 1AF 2=90o ，且|AF 1|=3|AF 2 |， a 2 b 212设 |AF 2|=1， |AF 1|=3，在双曲线中 2a=|AF 1|- |AF 2 |=2， 2c= 22= 10 10AF 1AF 2 ,∴离心率 e=.25．已知双曲线x 2 y 2 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2A. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,答案： C解析： 双曲线x 2y 2 1 ( a 0,b 0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为60 0 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2222只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b ，∴ b3 ，离心率 e 2= c2a2b ≥aaaa4，∴ e ≥ 2，故选 C.6．已知椭圆x 2 y 2的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则C :a 2b 21(ab 0)椭圆 C 的离心率是 .答案：5 12解析： ∵∠ BAO+∠ BFO=90 °，∴ sin ∠ BAO =cos ∠ BFO ，∴b b 2c,∴ e23 5 ，e 235(舍去 ).a 2 a22∴ e5 1 .2【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点 , A, B 分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ()F 1OF 2xA.2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6 22【答案】 D2.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线x 2 y 2的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 26a,C : a 2 b 21(a 0,b0)且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为 .【答案】33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为 2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于 __________.【答案】3 14.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接a 2b 2AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4, 则 C 的离心率 e=______.【答案】571x 225. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为的直线与椭圆C ： y1(a b 0) 相交于 A, B ，若 M 是线段 2a 2b 2AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为.6. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 y m 0(m 0)x 2 y 2 1（ a b 0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P(m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________.7. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2 y 2 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b 21(a 0,b 0)| PF 1 | | PF 2 | 3b, | PF 1 | |PF 2 | 9ab ，则该双曲线的离心率为（）A.4B.5C.9D.33 3 48.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5B.2C. 3D. 2【答案】 D9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：x 2y 2 1的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚a 2b 2轴的一个端点，则C 的离心率为.【答案】510.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2 y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线 C 2：a2b2x 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为.答案：32x2y21(a 0,b 0) 的渐近线为 解析：C 1:2b 2aC 2 : x22 py( p0) 的焦点 F (0, p) ，则 k AF2b 2 pb 2 pb 2 ), B(yx ，则 A( , 2 a a a 2pb 2pb 25c 2a 2 2 a ，即 , 2pb b a 2 4 a 2a2 pb 2pb 2, ) . a a 2a 2b 29 c 3a 2 ,ea .4211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1： x 2+y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，m 2n 2C 2 的离心率，则（）A ． m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<1【答案】 A考点： 1、椭圆的简单几何性质； 2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】 计算椭圆 C 1 的焦点时， 要注意 c 2 a 2b 2 ；计算双曲线 C 2 的焦点时，要注意c 2 a 2 b 2 ．否则很容易出现错误．2212.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：x2y2 1(a b 0) 的左焦点， A, B 分别为 C 的a b左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A ．1B.1C.2D.33234【答案】 A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（ 1）直接求得 a ,c 的值，进而求得e 的值；（ 2）建立 a,b, c 的齐次 等式，求得 b或转化为关于 e 的等式求解； (3) 通过特殊值或特殊位置，求出e ．a13.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知x 2 y 2M 在E 上，与 x 轴垂直，F 1, F 2 是双曲线 E :a 2b 2 1 的左，右焦点，点MF 1sin MF 2F 11 ,则 E 的离心率为（ ）3（A ） 2（B ）3（C ） 3（D ）22【答案】 A考点：双曲线的性质 .离心率 .【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中 a ， b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中 c 2＝a 2＋ b 2.双曲线的离心率 e ∈ (1，＋ ∞)，而椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)．x 2 y 214.（ 2016 山东文理）已知双曲线 E ：–=1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB ， CDa 2b 2的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______．【答案】 2【解析】依题意，不妨设AB 6, AD 4 ，作出图象如下图所示 .则 2c 4,c 2;2a DF2DF1532,a 1, 故离心率c2 2 . a115.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆 x2y2的右焦点，直线yb 与椭a 2b21(a＞b＞0)2圆交于 B,C 两点，且BFC90,则该椭圆的离心率是.【答案】63考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出a, c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 a,c的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于a,c 的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.16.(2017 新课标Ⅰ理 15)已知双曲线 C：x2y2 1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN=60°，则 C 的离心率为 ________.【答案】2 33【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是 b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab. c17.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ．m【答案】 29)若双曲线C:x2y2218.(2017 新课标Ⅱ理1（a 0，b0 ）的一条渐近线被圆x 2 4 所y2a2b2截得的弦长为2，则C的离心率为（）A ． 2B．3C．223 D．3【答案】 Ax2y2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．63C ．213B ．3D ．33【答案】 A【解析】以线段A 1 A 2 为直径的圆是 x 2 y 2 a 2 ，直线 bx ay2ab 0 与圆相切，所以圆心到直线的距离d2aba ，整理为 a 23b 2 ，即 a 23 a2c22a23c 2 ，即 c 22 ， ec6，故选 A.a 2b 2a 23a32222x yxy20.(2018 北京理14)已知椭圆 M ：a 2b 2 1(ab0)，双曲线N ：m 2n 21 ．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________．【答案】3 1 22221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xy1(a0,b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3c ，则其离心率的值是．2【答案】 22222.(2018 新课标Ⅱ理12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 Pab在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1F 2P= 120，则 C 的离心率为 ()6A.2B ．1C ．1D ．13 234【答案】 D2223.(2018 新课标Ⅲ理11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2ab作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若PF 16 OP ，则 C 的离心率为 ()A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2【答案】 C。
2021新高考数学二轮总复习学案：7.2 热点小专题三、圆锥曲线的离心率含解析
7.2热点小专题三、圆锥曲线的离心率必备知识精要梳理1.椭圆中,由a与b的关系可以求离心率,e=.双曲线中,由a与b的关系可以求离心率,e=.2.椭圆的离心率的取值范围e∈(0,1),双曲线的离心率的取值范围e∈(1,+∞).3.等轴双曲线是一类特殊的双曲线,等轴双曲线的离心率为e=.4.求椭圆(或双曲线)的离心率:求椭圆(或双曲线)的离心率就是要找椭圆(或双曲线)中a与c的关系,常将椭圆(或双曲线)的条件与c2=a2-b2(或c2=a2+b2)相结合,转化为关于a,c的等式(或不等式),进而化成关于e的方程(或不等式)求解.关键能力学案突破热点一椭圆的离心率类型一求椭圆的离心率【例1】(2020湖南怀化一模,15)若椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F1,点P在椭圆上,点O为坐标原点,且△OPF1为正三角形,则椭圆的离心率为.解题心得本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,常见的有两种方法:①求出a,c,代入公式e=;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为关于a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值.【对点训练1】已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C 的离心率为()A. B. C. D.类型二求椭圆离心率的范围【例2】(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C:=1,a>b>0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则椭圆的离心率的取值范围为()A.,1B.0,C.,1D.0,解题心得椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率的取值范围,常见有两种方法:(1)求出a,c,代入公式e=;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a2转化为关于e的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可得e的取值范围.【对点训练2】(2019福建龙岩高三5月月考)已知点F为椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,直线y=kx(k>0)与C相交于M,N两点(其中M在第一象限),若|MN|=2,|FM|≤|FN|,则C的离心率的最大值是.热点二双曲线的离心率类型一求双曲线的离心率(多维探究)方法一直接法求离心率【例3】(2020山东泰安三模,8)如图,已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于点A,△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.解题心得直接法求离心率就是先直接求出a与c(或a与c的关系),然后通过求比值e=,得到双曲线的离心率.【对点训练3】(2020北京朝阳一模,7)在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°.若以A,B 为焦点的双曲线经过点C,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.方法二通过a与b的关系求离心率【例4】(2020河北张家口一模,7)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角成2倍关系,则该双曲线的离心率为()A. B.C.2D.4解题心得1.椭圆(双曲线)的离心率有一个公式变形,e=,所以由a与b的关系可以求离心率,相反,由离心率也可以得出a与b的关系;2.圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个关系式.【对点训练4】(2020山东济南一模,14)已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则该双曲线的离心率为.方法三通过a与c的齐次式求离心率【例5】(2020山东临沂二模,15)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,M为虚轴的一端点.若以M为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点N,且M,N,F三点共线,则该双曲线的离心率为.解题心得离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e,这种方法的步骤如下:(1)建立方程:根据已知条件得到齐次式Aa2+Bac+Cc2=0;(2)化简:同时除以a2,化简齐次式,得到关于e的一元二次方程A+Be+Ce2=0;(3)求解:解一元二次方程,求得e的值;(4)验算取舍:根据离心率的取值范围e∈(0,1)或e∈(1,+∞)进行取舍,最终的e值即为所求.【对点训练5】(2020重庆名校联盟二诊,11)过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线,设垂足为P(P为第一象限的点),延长FP交抛物线y2=2px(p>0)于点Q,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若),则双曲线的离心率的平方为()A. B. C.+1 D.类型二求双曲线离心率的取值范围【例6】(2020辽宁锦州一模,11)圆C:x2+y2-10x+16=0上有且仅有两点到双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是()A. B.()C. D.(+1)解题心得求双曲线离心率的取值范围涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强、方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,构造不等式,常用方法主要有以下三种:(1)利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系;(2)直接根据已知条件中的不等关系,建立关于离心率的不等式;(3)利用函数的思想分析解答.【对点训练6】(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为且满足|F2Q|>|F2A|,若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<|F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是.7.2热点小专题三、圆锥曲线的离心率关键能力·学案突破【例1】-1解析∵椭圆上存在点P使△OPF1为正三角形,|OF1|=c,不妨设点P 在第二象限,∴点P的坐标为-c代入椭圆方程,得=1,即=1,=1,解得e=-1.对点训练1D解析如图,作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1.由∠F1F2P=120°,可得|PB|=,|BF2|=1,故|AB|=a+1+1=a+2,tan∠PAB=,解得a=4,所以e=【例2】D解析依据题意作出如下图象:由已知可得,当点P在椭圆的上(下)顶点处时,∠PF1F2最大,要满足椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则90°>(∠PF1F2)max≥60°.所以tan(∠PF1F2)max≥tan60°=即,整理得b c.又a2=b2+c2≥3c2+c2=4c2,即a2≥4c2,所以e=所以椭圆离心率的取值范围为0,.故选D.对点训练2-1解析设右焦点为F',连接MF',NF',由椭圆对称性知四边形FMF'N为平行四边形.又|MN|=2=2c=FF',故FMF'N为矩形.|FM||FN|=|F'M|,|FM|+|F'M|=2a,即2a-|F'M||F'M|, ∴|F'M|又(2a-|F'M|)2+|F'M|2=4c2,故0<e-1.故答案为-1.【例3】D解析设△AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|.又|MF1|-|MF2|=2a,则|EF1|+|MG|-|MF2|=2a,由对称性可知|AF1|=|AF2|,化简可得|MN|=a,则a=2,a+2=4,所以双曲线C的离心率为对点训练3C解析设AB=BC=2,取AB的中点为O,在△OBC中,cos B=-,AC==2,所以2a=2-2,即a=-1,2c=2,即c=1,所以双曲线的离心率为故选C.【例4】C解析设经过一三象限的渐近线的倾斜角为α,则另一条渐近线的倾斜角为2α,则有tanα=,tan2α=-,因为tan2α=,所以-,即=3,=2.故选C.对点训练4解析取双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以=1,化简得a2=3b2,所以e=【例5】解析由题意可得F(-c,0),M(0,-b),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,可得|MN|=,|MF|=,在直角三角形MOF中,可得:b2=,化为b2c2=a2(c2+b2),由b2=c2-a2,可得c2-a2=ac,由e=可得e2-1=e,即e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去).所以e=对点训练5D解析由),可得P为FQ的中点,设F(c,0),由渐近线方程y=x,①可设直线FP的方程为y=-(x-c),②由①②解得P,由中点坐标公式可得Q,代入抛物线的方程可得=2p,③由题意可得c=,即2p=4c,代入③,得a2b2=2a2c2-c4,由b2=a2-c2,得a4-c4+a2c2=0,由e=可得e4-e2-1=0,解得e2=故选D.【例6】A解析圆C:x2+y2-10x+16=0可化为(x-5)2+y2=9,∵圆C:x2+y2-10x+16=0上有且仅有两点到双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4.由对称性不妨取双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,即ax-by=0,∴2<<4,即2<<4,解得<e<即双曲线离心率的取值范围是.对点训练6解析令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±,由|F2Q|>|F2A|,可得,即为3a2>2b2=2(c2-a2),即有e=,①又在双曲线C的右支上存在点P,使|PF1|+|PQ|<|F1F2|成立,由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|<c成立,由F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=a,可得c>2a+a,即有e=,②由e>1,结合①②可得,e的范围是。
高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)
专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
2021年高考总复习《椭圆离心率的计算》讲义
椭圆离心率的计算一．学习目标：掌握常见的离心率计算问题 二．知识梳理：离心率计算公式 三．典型例题 1.计算离心率例1．(1)设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线32ax =上一点，APF ∆是底角为030的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 A ．34 B ．23C ．12D ．13(2)．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( )A ．13B ．3C ．23D(3)．设椭圆E 的两焦点分别为12,F F ,以1F 为圆心,12F F 为半径的圆与E 交于,P Q 两点.若12PF F ∆为直角三角形,则E 的离心率为A 1BCD 1(4)．设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为（ ）A.12B.23C.2D.22.计算离心率范围例2.已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,9021 =∠PF F 求该椭圆离心率的范围.小结：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222e ab -=-≥θ例3．设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦例4．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,2B ．3(0,]4C ．,1)2D ．3[,1)4四.练习题.1.已知椭圆的两个焦点为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A2B 12C 212．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，过2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B ．2 C 2 D ．23．已知点21,F F 是椭圆14:22=+y x C 的焦点，点M 在椭圆C 上且满32||21=+→→MF MF ，则21F MF ∆的面积为（ ）A ．33B ．23C ．2D ．14．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，直线y x =与椭圆相交于A ，B 两点，若椭圆上存在异于A ，B 两点的点P 使得1,03PA PB k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则离心率e 的取值范围为（ ）A ．0,3⎛ ⎝⎭B ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭5．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭6．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )1B.12C.2D.127．椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为（ ） A.12B.13C.14D.298.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021=∠PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21。
高中数学离心率专题复习精选优质PPT教学课件
(3)其他类型
例 3 如图，F 1，F 2 分别是双曲线 C： x 2 y2 － ＝1(a， b>0)的左， 右焦点， a2 b2 B 是虚轴的端点，直线 F 1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两 点，线段 PQ
的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|＝|F1F2|，则 C 的 离心率是 2 3 A. 3 6 B. 2 C. 2 ( D. 3 )．
离心率专题复习
离心率问题概述
离心率问题是解析几何的重要部分，颇受命题者 青睐，近4年的浙江卷（文科）都出现了离心率小题， 总体难度中等偏难，学生得分率不是很高。 离心率问题只需找到一组a,b,c之间的等量关系 （求离心率的值）或不等关系（求离心率的范围） 就能解决，但就如何快速找出这组关系并计算出结 果，是我们解决离心率问题的关键。
PF1 PF2 FP1 F2 P 0
( x0 c, y0 ) ( x0 c, y0 ) 0
x0 2 y0 2 c 2
x0 2 y0 2 又 2 2 1 a b
2 2 4 2 a c a x0 . 2 c 2
PQ 的垂直平分线与 x 轴交
b －0 1－a2 1 于点 M，|MF2|＝|F1F2|，所以点 M 的坐标为(3,0)，因此有 kMN＝ 2 ＝－b， a －3 1－a2 2 6 所以 3－4a2＝b2＝1－a2，所以 a2＝ ，所以 e＝ . 3 2
题型二：求离心率的范围
1、构造关于a,b,c（或e）的不等式
ac bc Qc－a，c－a，
b y＝c x＋b， 联立方程 x＋y ＝0， a b 所以 PQ
得点
ac bc P－c＋a，c＋a，
专题 求双曲线的离心率(解析版)高考数学专题复习
03 求双曲线的离心率典例分析一、求离心率的值1．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且OPF △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．43B ．13+C 23D 3【答案】B 【分析】根据OPF △为正三角形求出P 的坐标，代入双曲线方程，根据离心率公式化为关于e 的方程，可求出结果， 【详解】不妨设P 在第一象限，因为OPF △为正三角形，||OF c =，所以13()2P c ，又P 在双曲线上，所以22223121c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以22213144c e b-=，所以222213144()c e c a -=-，所以222131444e a c -=-， 所以22131444e e-=-，化简得42840e e -+=，解得2423e =+13e = 2．如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右支与直线0x =，6y =，3y =-围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为4526C 的离心率为（ ）A ．2B 2C 3D ．3【答案】C【分析】根据题意可知点()25,6M ，点263N ⎫-⎪⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，即可求出a ，b 的值，再根221b a+.【详解】由题意上口外直径为4526()25,6M ，点263N ⎫-⎪⎪⎝⎭， 将点M ，点N 的坐标代入双曲线的方程()222210,0x y a b a b -=>>可得22222036126914a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =2b =，所以双曲线C 2213b a+3．（多选题）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=．双曲线2C 和椭圆1C 有相同焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，则（ ）A ．213e e =B ．123e e ⋅=C ．221252e e += D ．22212e e += 【答案】ABD【分析】由三角形的面积公式可得b c =，由椭圆的离心率公式可得1e ，设双曲线的方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，设P 在第一象限，且1||PF s =，2||PF t =，运用椭圆和双曲线的定义，可得s ，t ，（用a ，m 表示），再在△12PF F 中，运用余弦定理，求得2212134e e +=，进而得到2e ，检验即可得到结论．【详解】由题意120MF MF ⋅=，所以12MF MF ⊥，可得△12MF F 的面积为11222b c a a ⋅⋅=⋅⋅，所以22222222a b c bc b c bc +==⇒+=，即有b c =，则122c e a c =22221(0,0)x y m n m n-=>>，设P 在第一象限，如图：令1||PF s =，2||PF t =，由椭圆的定义可得2s t a +=，由双曲线的定义可得2s t m -=，解得s a m =+，t a m =-，在△12PF F 中，2221241cos 22s t c F PF st +-∠==，则2224s t st c +-=，可得22222()()()()34a m a m a m a m a m c ++--+-=+=，则222234a m c c +=，即有2212134e e +=，由12e =可得26e =，则123e e =，213e e =，221213222e e +=+=，∴选项ABD 正确；C 错误．4．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，曲线上的点P 到原点的距离为b ，且2112sin 2sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为______.22【分析】由等面积法结合定义得出212,4PF a PF a ==，由12180POF POF ︒∠+∠=结合余弦定理得出该双曲线的离心率.【详解】设焦距为2c ，因为2112sin 2sin PF F PF F ∠=∠，1121sin 2c PF PF F ⋅∠2211sin 2c PF PF F =⋅∠，所以122PF PF =，又122PF PF a -=，所以212,4PF a PF a ==，因为22222212164cos ,cos 22b c a b c a POF POF bc bc+-+-∠=∠=，12180POF POF ︒∠+∠=， 所以22222216422b c a b c a bc bc +-+-=-，结合222b c a =-整理得22112c a =，即22c e a ==二、求离心率的取值范围1．（多选题）已知双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与双曲线右支交于点P .若12||2||PF PF =，且12PF F △有一个内角为120，则双曲线的离心率可能是（ ）A 131- B ．2 C 131+D 7【答案】AD【分析】当12120F PF ∠=时，由122PF PF a -=，122PF PF =，求得2PF ，1PF ，12F F ，利用余弦定理可得答案；当21120PF F ∠=时， 122PF PF a -=，122PF PF =，求出2PF ，1PF ，12F F ，由余弦定理可得答案.【详解】当12120F PF ∠=时，122PF PF a -=，122PF PF =，所以22PF a =，14=PF a ，122F F c =， 所以22121221212cos 2+-∠=⨯PF PF F F F PF PF PF ，即222224c 116411o 62s 0+-==-c a a a ，化简得227c a=，所以7e 当21120PF F ∠=时，122PF PF a -=，122PF PF =，所以22PF a =，14=PF a ，122F F c =，所以221221212221cos 2+-∠=⨯F F PF PF PF F F F PF ，即22224c s 4112810o 6=--+=ac a c a ，化简得2230c ac a +-=，解得131e -=2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】5⎛ ⎝⎭【解析】【分析】求得22PA PBb k k a=，利用基本不等式可求得b a 的取值范围，结合离心率公式可求得结果.【详解】设点()00,P x y ，其中0x a ≠±，易知点(),0A a -、(),0B a ，且有2200221x y a b -=，则2222002a x a y b =+，22200002222200002PA PB y y y y b k k a x a x a x a a y b =⋅===+--，当点P 在第一象限时，0x a >，00y >，则000PA y k x a =>+，000PB y k x a =>-，且PA PB k k ≠，由基本不等式可得22PA PB PA PB b k k k k a+>=，因为存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则21b a <，即102b a <<，251b e a ⎛⎛⎫∴=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 3．已知椭圆1C 和双曲线2C 有公共的焦点1F ､2F ，曲线1C 和2C 在第一象限相交于点P .且1260F PF ∠=︒，若椭圆1C 的离心率的取值范围是322⎡⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率的取值范围是___________.【答案】63⎡⎢⎣ 【分析】设12||,||PF s PF t ==，由椭圆、双曲线的定义可得1s a a =+，1t a a =-，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，双曲线：2C 2222111x y a b -=，椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆离心率ce a=，双曲线离心率11c e a =，12||,||PF s PF t ==，如图，由椭圆定义可得：2s t a +=，由双曲线定义可得：12s t a -=，联立可得1s a a =+，1t a a =-，由余弦定理可得：1222222211111242cos ()()2()()cos 603c s t st a a a a a P a a F a F a a =+-=++--+⋅︒=+∠-，即221134e e =+，解得212314e e=-，因为32e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21132e ≤≤，2123e ≤≤，可得21332e ≤≤163e ≤≤ 方法点拨求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解，注意e >1.(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a ＝1，求出相应c 的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：当k ＞0时，k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a 2－1＝e 2－1；当k ＜0时，k ＝－ba＝－e 2－1.巩固练习1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3a ，则此双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】由题列出关于,,a b c 的关系式求解即可.【详解】由题可知渐近线方程by x a =±，即0bx ay ±=，故焦点(),0c ±到渐近线的距离223bc d a a b==+， ∴3b a .，即2222233b a c a a =⇒-=，解得2ca =.故选：C.2．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2145AF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．12B ．13+C ．52D 5【答案】A 【解析】【分析】根据所给的条件，分析双曲线内部的几何关系，即可求解.【详解】易知1(,0)F c -，2(,0)F c ，将x c =-代入双曲线的方程，可得2b y a=±，则21bAF a =．又因为2145AF F ∠=︒，12AF F △是等腰直角三角形，所以112AF F F =，即22b c a =，整理得2220c ac a --=，解得12c a = 3．已知曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在双曲线C 上，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于2，则C 的离心率为（ ）A 2B 3C 6D ．3【答案】B 【解析】【分析】设出点P 的坐标，由给定条件列式求出22b a，再利用离心率计算公式求解作答.【详解】依题意，12(,0),(,0)A a A a -，设点(,)P t s ，则22221t s a b-=，有22222()b s t a a =-，由直线1PA 与2PA 的斜率之积等于2得：222222s s s b t a t a t a a ⋅===+--，所以C 的离心率2222213a b b e a a+=+=4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，直线:l x c =与双曲线C 交于,A B 两点，与双曲线C 的渐近线交于,D E 两点，若2DE AB =，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B 2C ．43D 23【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,AB DE ，由2DE AB =和,,a b c 关系可求得2c b =，3ab ，由此可求得离心率.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：b y x a =±；:l x c =，AB ∴为双曲线的通径，即22b AB a=；由x cb y x a =⎧⎪⎨=±⎪⎩得：x c bc y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，2bc DE a ∴=，由2DE AB =得：224bc b a a =，即2c b =，223a c b b ∴-，∴离心率23c e a ==. 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上一点，若125PF PF =，则该双曲线的离心率可以是（ ）A ．75B 2C 3D ．2【答案】AB 【解析】【分析】依据双曲线定义及几何性质构造不等式，求得双曲线的离心率的取值范围即可解决. 【详解】P 是双曲线右支上一点，125PF PF =则有12224a PF PF PF =-=，又2PF c a ≥-， 则有12a c a ≥-，即32c a ≤，则双曲线的离心率取值范围为31,2⎛⎤⎥⎝⎦，选项AB 正确；选项CD 错误.6．（多选题）已知椭圆2212:1(1)x C y m m+=>与双曲线2222:1(0)x C y n n -=>的焦点重合，12,e e 分别为12,C C 的离心率，则（ ）A ．m n >B ．m n <C ．121e e >D ．121e e <【答案】AC 【解析】【分析】由题可得2211m n -=+，即可得出m n >，进而表示出离心率即可得出答案.【详解】因为12,C C 的焦点重合，所以2211m n -=+，即2220m n -=>，所以m n >，故A 正确；则222212221111111m n m m e e mn m m-+--==>=->，故C 正确. 7．（多选题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点00(,)P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．5【答案】AB【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线20bx ay a -+=，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d ，则由题意可得1d ≥，从而可求出离心率的范围【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=，则直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离为2222a ad ca b ==+，因为点00(,)P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，且圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，所以1d ≥，即21a c≥，得离心率2ce a =≤，因为1e >所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的离心率计算
一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.
二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法. 三：典例分析：
例1. 已知双曲线122
22=-b
y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.
【变式】
1. 双曲线122
22=-b
y a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ 2. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 2
1±
=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45
例2．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．
【变式】1.设双曲线122
22=-b
y a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________（2）.
2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A
B ．2
C D
例3．已知点21,F F 分别为双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，直线l 是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点P ，点P 在l 上的射影为Q ，使得||||||211F F PQ PF ≤+成立，求双曲线离心率的取值范围.
12F F ，22
221x y C a b
-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C
四．练习题
1．已知双曲线()22
22:10 ,0x y C a b a b
-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点
2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．3 C ．2 D ．3
2．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2 D ．3
3．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为
A ．1
B
C ．3
D ．2
4．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．12e <≤
B ．2≥e
C ．1e <≤
D ．e ≥5．斜率为2的直线l 过双曲线22
22=1x y a b
-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．e <
B ．1e <<
C ．1e <<
D ．e >6．设F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4+
7．设点(),,0A F c 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2
a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ,若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）
A B ．3 C D ．2
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B
C ．43
D ．3
9．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为（ ）
A B C D ．52
10．已知12F F 、分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(
B ．)+∞
C ．()1,2
D ．()2,+∞
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若12F A AB =，10
F A AO ⋅=则C 的离心率为______. 12．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为__________．
13．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．。