高中数学基础知识汇总[经典版]

高中数学基础知识汇总[经典版]高中数学知识归纳汇总目录第一部分集合 (3)第二部分函数与导数 (4)第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 (8)第四部分立体几何 (10)第五部分直线与圆 (12)第六部分圆锥曲线 (14)第七部分平面向量 (16)第八部分数列 (17)第九部分不等式 (19)第十部分复数 (20)第十一部分概率 (21)第十二部分统计与统计案例 (22)第十三部分算法初步 (23)第十四部分常用逻辑用语与推理证明 (24)第十五部分推理与证明 (25)第十六部分理科选修部分 (26)第一部分 集合1．N ，Z ，Q ，R 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集；2．交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y 符号区分； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,非空子集数为2n －1；真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

（3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数1．定义域：①抽象函数；已知[k(x)]f 定义域，求[g(x)]f 定义域，(x)k 与(x)g 值域相同。

（具体可以参考本节第4点复合函数定义域求法）。

②具体函数。

分母不为0，偶次根号下不为负数，0a 中a 不为0，tan θ ，log a x 中的x 为正数。

2．值域：①一元二次方程配方法 ；②换元法；③分离参数法 ；3．解析式：①配方法 ；②换元法；③待定系数和；④消去法。

4．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出；② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。

5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ；⑶)(x f 是偶函数1)()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ；⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f ；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f ；⑵单调性的判定① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；② 导数法（见导数部分）； ③ 复合函数法； ④ 图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；⑶ 与周期有关的结论①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称⇒)(x f 周期为2b a -； ③)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称⇒)(x f 周期为2b a -； ④)(x f y =的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称⇒)(x f 周期为4b a -；8．基本初等函数的图像与性质⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02=++c bx ax ； ⑻其它常用函数：① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；特别的xy 1= ② 函数)0(>+=a xax y ； 9．二次函数： ⑴解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ⑵图象变换： ① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω1倍；ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；③ 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=；ⅲ )(x f y =−→−=0x )(x f y -=；④ 翻转变换：ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然； （注意上述两点的区别！） 注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0; ②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a 的对称曲线C 2方程为：f(2a －x, y)=0; ③曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）−→−y=f(x)图像关于直线x=2ba +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）−→−y=f(x)图像关于直线x=a 对称； ⑤函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2ba +对称； 12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；. 13．导数⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(；⑦ax x a ln 1)(log '=； ⑧xx 1)(ln '=。

⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' ⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：ⅰ )(0)(x f x f ⇒>'是增函数；ⅱ )(0)(x f x f ⇒<'为减函数； ⅲ )(0)(x f x f ⇒≡'为常数；③利用导数求极值：ⅰ求导数)(x f '；ⅱ求方程0)(='x f 的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

14．（理科）定积分⑴定积分的定义：)(lim )(1i ni ban f nab dx x f ξ∑⎰=∞→-= ⑵定积分的性质：①⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （k 常数）；②⎰⎰⎰±=±baba badx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121； ③⎰⎰⎰+=bcbacadx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。