平面向量三角形四心(有详解)

平面向量与三角形“四心”的应用问题
三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。

本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．
1 课本原题
例１、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：
123PP P △是正三角形．
分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===，容易想到，点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点
O 是123PP P △的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．
显然，本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==．
2 高考原题
例２、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()[0,).||||
A B A C
O P O A A B A C λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
．
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析 已知等式即(
)||||AB AC AP AB AC λ=+，设,||||
AB AC
AE AF AB AC ==
，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为ABC ∠的平分线，选B ．
例３、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．
分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC =，将其中的向量分解，
向已知等式形式靠拢，有()()0OH OA OC OB --=，将已知代入，有
[()]()0m OA OB OC OA OC OB ++--=，即22
()(1)0m OC OB m OA BC -+-=，由O 是外心，得
(1)0m OA BC -=，由于ABC ∆是任意三角形，则OA BC 不恒为０，故只有1m =恒成立．
或者，过点O 作OM BC ⊥与M ，则M 是BC 的中点，有1
()2
OM OB OC =
+；H 是垂心，则AH BC ⊥，故AH 与OM 共线，设AH kOM =，则()2
k
OH OA AH OA OB OC =+=++，又
()OH m OA OB OC =++，故可得(1)()()022k k m OA m OB m OC -+-+-=，有102
k
m m -=-=，
得1m =．
根据已知式子()OH m OA OB OC =++中的OA OB OC ++部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内任一点，均
有3
OA OB OC
OG ++=
，由题意，题目显然叙述的是一个
一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到2HG GO =，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT 均与三角形的边AC 垂直，则//BF OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点．此时，会先猜想BHG TOG △∽△，但现在缺少一个关键的条件，即
2BH OT =，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同
时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．
本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是3OH OG =．
例４、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（ ）．
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三
条高的交点
分
析 移项后不难得
出，
B
C
图１
A
0OB CA OC AB OA CB ===，点O 是ABC ∆的垂心，选D ．
3 推广应用题
例５ 在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．
分析 如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，有
,A P x a B P x b
=-=
-． 于是，222
2
2
2
2
2
211()()3[()]()33
AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+．
当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1()3
OP OA OB OC =++，则点P 为△ABC
的重心．
例
６
已
知
O
为△ABC 所在平面内一点，满足
222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的 心．
分析 将22
22||()2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-，22||,||CA AB 也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心．
例７ 已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=． 分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．201
2
AOB S x y =
△，直线BC 的方程是32
32
3(
)0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直
线BC 的同侧，且230x y -<，因此有
03
302020x y x y x y x y -+-<，得
302303201
()2
BOC S x y x y x y x y =
+--△． 直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与
点O 必在直线AC 的同侧，且33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301
()2
AOC S x y x y =-△．
于是，容易验证，
BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△，又
1
||||sin 2BOC S OB OC BOC =△， 1||||sin 2BOA
S OB OA AOB =△，1
||||sin 2
AOC S OA OC AOC =△，又||||||OA OB OC ==，则所证成立．。