2020北京汇文中学高二(上)期中数学含答案
2020北京汇文中学高二(上)期中数学
2020北京汇文中学高二（上）期中数 学一、选择题1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）A. 2B. 1C. 21D. 不存在2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）A. 5)2()3(22=-+-y xB. 5)2()3(22=-++y xC. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x3. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ） A. 4 B.94 C. 1 D.344. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ） A.65 B. 1 C.85D.2 5.已知抛物线x y C =2:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，045||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 86. 过点P )1,3(--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]6,0(πB. ]3,0(πC. ]6,0[πD. ]3,0[π 7.已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．128.直线1:10l ax y a +-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥< 则所有正确结论的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________. 11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =_______；直线l 的方程为__________. 12. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
2020-2021学年北京市某校高二(上)期中数学试卷 (1)
2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。
1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( ) A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】进行交集、补集的运算即可． 【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}； ∴ (∁U A)∩B ={3, 5}． 故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（ ） A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义 复数的基本概念【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论． 【解答】解：复数z 在复平面上对应的点为(1,−1)， 则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =1. 因此只有C 正确． 故选C .3. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，那么|b →|等于（ ） A.√10B.2√3C.√11D.5【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量且a →⊥b →，求出x ，然后利用向量的模长公式求|b →|的长度． 【解答】解：因为a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，所以−1×3+2x +1×1=0，即x =1，所以b →=(3, 1, 1)， 所以|b →|=√32+12+12=√11， 故选C ．4. 设a =213，b =log 32，c =cos 100∘，则（ ） A.c >b >aB.a >c >bC.c >a >bD.a >b >c【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【解答】解：∵ a =213>20=1，0=log 31<b =log 32<log 33=1， c =cos 100∘<0， ∴ a >b >c ． 故选：D ．5. 下列函数中，在定义域内满足f(−x)+f(x)=0的是（ ） A.f(x)＝√x B.f(x)=ln |x|C.f(x)=x cos xD.f(x)＝1x−1【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由题意，函数f(x)为奇函数，再利用函数的奇偶性的定义以及判断方法，得出结论． 【解答】f(−x)+f(x)=0，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数．由于f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故f(x)不是奇函数，故排除A ； 由于f(x)=ln |x|是偶函数，故排除B ；由于f(x)=x cos x 的定义域为R ，且满足f(−x)=−x cos (−x)=−x cos x =−f(x)，故函数为奇函数，故C 满足条件；由于f(x)=1x−1的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，不是奇函数，故排除D ，6. 在下列四个命题中，正确的是（ ）A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B.四条直线中斜率最大的直线是l 3C.直线x +2y −3＝0的斜率是2D.经过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1，则m =132【答案】 D【考点】 直线的斜率 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率；对于B ，四条直线中斜率最大的直线是l 4；对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12；对于D ，利用直线的斜率计算公式求解． 【解答】对于A ，平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角，但当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，如图，四条直线中斜率最大的直线是l 4，故B 错误； 对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12，故C 错误； 对于D ，∵ 过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1， ∴ 8−mm−5=1，解得m =132，故D 正确．7. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =AA 1=1，AB =2，则BD 1→⋅AD →等于（ ）A.1B.2C.3D.√63【答案】 A【考点】空间向量的数量积运算 【解析】由向量的运算法则把向量用AB →，AD →，AA 1→表示，结合垂直关系和数量关系可得． 【解答】解：由题意可得BD 1→⋅AD →=(AD 1→−AB →)⋅AD → =(AD →+AA 1→−AB →)⋅AD →=AD →2+AA 1→⋅AD →−AB →⋅AD →由垂直关系可得AA 1→⋅AD →=AB →⋅AD →=0 故原式=12+0−0=1 故选A8. 如图，在三棱锥A −BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB =DC =2，点E 为BC 的中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，则三棱锥A −BCD 的体积等于（ ）A.23B.43C.2D.2√23【答案】D【考点】直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】确定∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角，求出DE ，可得AD ，再利用三棱锥A −BCD 的体积公式，即可得到结论． 【解答】解：∵ DB =DC =2，点E 为BC 的中点，∴ DE ⊥BC ，DE =√2 ∵ DA ，DB ，DC 两两垂直，∴ AD ⊥平面DBC ， ∴ ∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角∵ 直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，∴ ∠AED =45∘， ∴ AD =DE =√2∴ 三棱锥A −BCD 的体积等于13×12×2×2×√2=2√23故选D ．9. 已知复数z 的共轭复数z ¯=2−i1+2i ，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】先根据复数的运算法则求出z ¯，再根据共轭复数求出z ，可得z 的虚部． 【解答】z ¯=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，则z =i ，则复数z 的虚部是1，10. 在空间中，已知直线a 的方向向量为v →，平面α的法向量为n →，则“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分必要条件的定义以及直线和平面的位置关系判断即可． 【解答】若“直线a 与平面α相交”，则“v →⋅n →≠0”，是充分条件， 若v →⋅n →=0时，则直线a 和平面α平行或直线a ⊂平面α， 若v →⋅n →≠0，则直线a 与平面α相交，是必要条件； 故“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的充要条件，11. 如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为（ ）A.2√55B.√55C.45D.1【答案】 A【考点】棱柱的结构特征 【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)， ∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →=−2a +4+b −2＝0，即b ＝2a −(2) 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55． 故选：A ．12. 设空间直角坐标系中有四A ，B ，C ，D 个点，其坐标分别为A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(2, 1, 4)，D(−1, −2, 8)，下列说法正确的是（ ）A.存在唯一的一个不过点A 、B 的平面α，使得点A 和点B 到平面α的距离相等B.存在唯一的一个过点C 的平面β，使得AB // β，CD ⊥βC.存在唯一的一个不过A 、B 、C 、D 的平面γ，使得AB // γ，CD // γD.存在唯一的一个过C 、D 点的平面α使得直线AB 与α的夹角正弦值为1235【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点可判断 A 选项的正误； 推导出 AB ⊥CD 以及 A 、B 、C 、D 四点不共面，利用点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个以及 AB // β 可判断 B 选项的正误； 在 AB 、CD 的公垂线 MN 上的点作 MN 的垂面满足题意，可判断 C 选项的正误； 设平面 α 的法向量为 n →＝(1,y,z)，根据题意可得出关于 y 、z 的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 D 选项的正误． 【解答】对于 A 选项，当 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点时，点 A 和点 B 到平面 α 的距离相等， A 选项错误； 对于 B 选项，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)，∴ AB →∗CD →＝−1×(−3)+1×(−3)＝0，∴ AB ⊥CD ，∵ AC →＝(1,1,4)，AD →＝(−2,−2,8)，设 AD →＝xAB →+yAC →，则 {−x +y ＝−2x +y ＝−24y ＝8，该方程组无解，所以，A 、B 、C 、D 四点不共面， 则 AB 与 CD 异面，而过点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个，若 AB ⊂β，由于 CD ⊂β，则 AB 与 CD 共面，矛盾，所以，AB // β， B 选项正确； 对于 C 选项，由于 AB 、CD 异面，设 MN 为 AB 、CD 的公垂线段，且 M ∈AB ，N ∈CD ，在直线 MN （异于 M 、N ） 的任意一点作平面 γ，使得 γ⊥MN ，则 AB // γ，CD // γ，这样的平面 γ 有无数个， C 选项错误； 对于 D 选项，设平面 α 的一个法向量为 n →＝(1,y,z)，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)， 由题意可得 n →∗CD →＝−3−3y +4z ＝0， |cos ⟨AB →，n →⟩|＝|AB →∗n →||AB →|∗|n →|＝√2×√y 2+z 2+1＝1235，所以，{3y −4z ＝−3,|y−1|√y 2+z 2+1＝12√235， 整理得775y 2−2774y +775=0，△=27742−4×7752=27742−15502>0，即方程 775y 2−2774y +775=0 有两个不等的实数解，所以，存在两个过 C 、D 点的平面 α 使得直线 AB 与 α 的夹角正弦值为 1235，D 选项错误．13. 如图1，矩形ABCD 中，AD =√3．点E 在AB 边上，CE ⊥DE 且AE ＝1．如图2，△ADE 沿直线DE 向上折起成△A 1DE ．记二面角A −DE −A 1的平面角为θ，当θ∈(0∘, 180∘)时，①存在某个位置，使CE ⊥DA 1； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③任意两个位置，直线DE 和直线A 1C 所成的角都不相等． 以上三个结论中正确的序号是（ ）A.①B.①②C.①③D.②③C【考点】棱锥的结构特征【解析】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE 是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．【解答】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，AD=√3．点E在AB边上，CE⊥DE且AE＝1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A−DE−A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA＝90∘，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A−DE−A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．二、填空题直线y＝−x−2的倾斜角是________，在y轴上的截距为________．【答案】3π,−24【考点】直线的斜截式方程直线的倾斜角【解析】由题意利用直线的斜率，求出它的倾斜角，再根据直线的方程，求出直线在y轴上的截距．【解答】，在y轴上的截距为−2，直线y＝−x−2的斜率为−1，它的倾斜角是3π4已知直线l经过点P(1, 2)，且直线l的方向向量为a→=(2, 4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________．【答案】2,2x−y=0【考点】直线的斜率直线的点斜式方程【解析】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线l的方程．∵ 直线l 经过点P(1, 2)，且直线l 的方向向量为a →=(2, 4)，则直线l 的斜率为42=2，∴ 直线l 的方程为 y −2=2(x −1)，即 2x −y =0，已知向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则sin α＝________，cos 2α＝________． 【答案】13,79【考点】二倍角的三角函数平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，求得结果． 【解答】∵ 向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则13×1−tan α⋅cos α＝0，求得 sin α=13，故cos 2α＝1−2sin 2α=79，已知平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，且平面α经过点A(1, 2, 0)．若P(x, y, z)是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________． 【答案】x +y −z −3=0 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】求出向量AP →，利用平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，通过向量的数量积为0，求解即可． 【解答】解：由题意可知AP →=(x,y,z)−(1,2,0)=(x −1, y −2, z)； 平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，所以AP →⋅n →=0， 即：(x −1, y −2, z)(1, 1, −1)=0；x −1+y −2−z =0，即x +y −z −3=0， 所求点P 的坐标满足的方程是x +y −z −3=0． 故答案为：x +y −z −3=0．函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x ＝7π6；②点(5π6，0)时对称中心； ③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2，π]上的最小值为−12．其中所有正确的结论为________. 【答案】 ②③④ 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 命题的真假判断与应用【解析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数的性质函数的定义域和值域的关系，函数的单调区间，函数的对称性的应用判定①②③④的结论． 【解答】函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin (x +π6)的图象， 对于①：当x ＝7π6时，g(7π6)＝sin (7π6+π6)＝sin 4π3＝−√32，故①错误； ②当x =5π6时，g(5π6)=sin π=0故函数关于(5π6，0)对称，故②正确；③当x ∈(0,π3)，时，x +π6∈(π6,π2)，故函数在区间(0,π3)上为单调增函数，故③正确； ④当x ∈[π2，π]时，x +π6∈[2π3，7π6]，所以sin (x +π6)∈[−12,√32]故函数的最小值为−12，故④正确．已知f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ．（1）f(−1)＝________；（2）若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是________． 【答案】 1 [1, 2] 【考点】函数的最值及其几何意义 分段函数的应用【解析】（1）直接把x ＝−1代入已知函数解析式求得f(−1)的值；（2）令g(x)＝f(x)−f(−1)，根据题设条件求出g(x)的表达式，画出其图象，再对m 进行讨论，求出|g(x)|的最大值的表达式，进而求得结论． 【解答】∵ f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ，∴ f(−1)＝1−|−1+1|＝1；f(x)−f(−1)＝f(x)−1={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，令g(x)＝f(x)−f(−1)={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，其图象如下图所示：①当m ＝−2时，g(x)={x +1,x ∈[−2,−1]−x −1,x ∈(−1,0]，此时|g(x)|max ＝1；②当m ∈(−2, −1)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1]＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；③当m ＝−1时，g(x)={−x −1,x ∈[−1,0]x 2−2x −1,x ∈(0,1] ，此时|g(x)|max ＝2，④当m ∈(−1, 0)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1] ＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；⑤当m ＝0时，g(x)＝x 2−2x −1，x ∈[0, 2]，此时|g(x)|max ＝1．综上，若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是[1, 2]．三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin (2A +π4)的值． 【答案】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13，则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√2213=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513， ∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226． 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形【解析】(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小， (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值，(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 【解答】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13， 则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√22√13=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513，∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226．已知函数f(x)=(sin x +cos x)2+cos 2x ． (1)求f(π4)值；(2)求f(x)的最小值正周期；(3)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用【解析】(I)根据函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x，直接求得f(π4)值．(II)化简f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x为√2sin(2x+π4)+1，从而求得f(x)的最小正周期．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，求得x的范围，可得f(x)的单调递增区间．【解答】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2．（1）求证：A 1C ⊥BC ；（2）求直线AC 1和A 1B 1所成角的大小；（3）求直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【答案】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ， 则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)， 设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=8⋅2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘． 【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角【解析】（1）由BC ⊥CC 1，AC ⊥BC ，得BC ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明A 1C ⊥BC ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此直线AC 1和A 1B 1所成角的大小．（3）求出AC 1→=(−2, 0, 2)和平面ABB 1A 1的法向量，由此能求出直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【解答】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ，则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)，设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=√8⋅√2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘．如图，三棱柱ABC −DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，面BEFC ⊥面ADEB ，AB =4，∠DEB =60∘，G 是DE 的中点．（1）求证：CE // 平面AGF ；（2）求点D 到平面AGF 的距离；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．【答案】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)，设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ3+1×1=√4ℎ3+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32． 【考点】二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 直线与平面平行【解析】（1）连接CD 交AF 于H ，连接HG ，根据中位线定理可得HG // CE ，于是CE // 平面AGF ；（2）建立空间坐标系，求出平面AGF 的法向量n →，利用距离公式求出D 到平面AGF 的距离；（3）假设存在符合条件的P 点，设BP =ℎ，求出平面PGE 的法向量m →，令|cos <m →，BC →>|=√22计算ℎ，根据ℎ的值做出判断．【解答】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)， 设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ23+1×1=√4ℎ23+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32．已知n ∈N ∗，n ≥2，给定n ×n 个整点(x, y)，其中1≤x ，y ≤n ，x ，y ∈N ∗．(Ⅰ)当n ＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，求x1+x2的所有可能值；(Ⅱ)从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n2−1．(ⅰ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ⅱ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+ x1′＝x2+x2′，y1≠y2．【答案】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．【考点】归纳推理【解析】(Ⅰ)取n＝2时可表示出整点即可算出可能值；(Ⅱ)(i)用反证法可推出矛盾；(ii)利用不等关系可得∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3即可【解答】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．试卷第21页，总21页。
北京市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(II)卷
北京市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2020高二上·吉林期末) 双曲线的渐近线方程是________.（一般式）2. （1分） (2019高二上·中山月考) 命题“ ，都有”的否定是________．3. （1分） (2017高一下·承德期末) 如果直线4ax+y+2=0与直线（1﹣3a）x+ay﹣2=0平行，那么a等于________．4. （1分） (2016高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高二下·衡水期中) 已知点Q（﹣2 ，0）及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是________．6. （1分） (2016高二上·上海期中) 直线x﹣3y+5=0关于直线y=x对称的直线方程为________（用一般式表示）7. （1分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知椭圆的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=________．8. （1分） (2016高二上·中江期中) 圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是________．9. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A=[2﹣a，2+a]，B=[0，5]，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．10. （1分） (2016高二上·绵阳期中) 以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2，），则该双曲线的方程是________．11. （1分）不等式|x﹣1|+|x﹣4|≤2的解集为________12. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则 ________.13. （1分） (2016高二上·宝应期中) 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1 ， F2 ，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．14. （1分） (2016高二上·绥化期中) F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （15分） (2016高二上·陕西期中) 求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．16. （5分）已知命题命题，若命题“ ”是真命题，求实数的取值范围．17. （10分） (2018高一上·吉林期末) 已知点及圆 .（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.18. （5分） (2015高二上·抚顺期末) 已知椭圆在x轴两焦点为F1 ， F2 ，且|F1F2|=10，P为椭圆上一点，∠F1PF2= ，△F1PF2的面积为6 ，求椭圆的标准方程？19. （15分） (2015高一上·扶余期末) 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．（1）求证：无论m取什么实数，直线l恒过第一象限；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短长度；（3）设直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．20. （10分） (2017高二下·上饶期中) 已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．（1）求椭圆的方程；（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（3分）下列叙述中，错误的一项为（ ） A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2．（3分）下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A ．f （x ）＝log 2xB ．f （x ）＝2﹣x 2C ．f （x ）＝3﹣xD ．f （x ）=−x 343．（3分）圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ） A ．23B ．32C ．43D ．344．（3分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（3分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．√6B ．√3C ．√2D ．√336．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为（ ） A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝117．（3分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且P A＝PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0上的点到直线3x+4y+8＝0的最大距离是．10．（3分）若将函数f（x）＝sin（2x+π4）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．11．（3分）如图是正方形的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 ．12．（3分）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．13．（3分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为14．（3分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线与直线x +8y ＝0垂直，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S n ＝ ．15．（4分）如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F （x ），则函数F （x ）的单调增区间是 ；最大值为 ．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（8分）已知函数f （x ）＝sin 2ωx +√3sin ωx •sin （ωx +π2）﹣1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）当x ∈[−π12，π2]时，求函数f （x ）的值域．17．（8分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13．（1）求数列{a n }，{b n }通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和H n ．18．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面P AC ； （2）证明：AF ⊥PC ．19．（14分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点F(√3，0)，点M(−√3，12)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为λ|AB|+42|OP|（λ为实数），求λ的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个不同的零点，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．【解答】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱． 定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D 错； 故选：D ．2．【解答】解：A ．f （x ）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数； B ．f （﹣x ）＝2﹣（﹣x ）2＝2﹣x 2＝f （x ），则f （x ）是偶函数，不满足条件； C ．f （x ）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；D ．f （﹣x ）=−(−x)34=x 34=−f （x ），则f （x ）是奇函数，当x ＞0时，函数f （x ）为减函数，满足条件． 故选：D ．3．【解答】解：设一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积V =13πr 2ℎ；圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r ，高为13ℎ，体积为V 1=13π⋅(2r)2⋅13ℎ=49πr 2ℎ． ∴V 1V=49πr 2ℎ13πr 2ℎ=43．∴它的体积是原来体积的43． 故选：C ．4．【解答】解：m ⊂α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m ∥β； ∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c∴MF1=2ccos30°=43√3c，MF2=2c⋅tan30°=23√3c∴2a=MF1−MF2=43√3c−23√3c=23√3c∴e=ca=√3，故选：B．6．【解答】解：由正弦定理，有asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa=10×√32a=5√3a，∵三角形有两解，∴sin B＜1且b＞a，∴5√3＜a＜10，因此由选项知，只有a＝9时符合条件，故选：B．7．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE ⊥A 1C ，且P A ＝PE ， 所以△A 1AP ≌△A 1EP ， 所以A 1A ＝A 1E ，即E 为定点． 因为P A ＝PE ，所以点P 位于线段 AE 的中垂面上， 又点P 在底面上，所以点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段． 故选：A ．二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．【解答】解：由题意可得，圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1， 圆心的坐标为（1，1），半径r ＝1， ∴圆心到直线的距离 d =√3+4=3，所以所求最大距离是4， 故答案为：4．10．【解答】解：将函数f （x ）＝sin （2x +π4）的图象向左平移φ个单位，可得y ＝sin （2x +π4+2φ）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+2φ=π2+k π，k ∈Z ，则φ的最小正值为π8，故答案为：π8．11．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM 与ED 平行；错误的，是异面直线； ②CN 与BE 是异面直线，错误；是平行线；③从图中连接AN ，AC ，由于几何体是正方体，故三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 的夹角是60°，又AN ∥BM ，故CN 与BM 成60°；正确； ④DM 与BN 垂直．正确 判断正确的答案为③④． 故答案为：③④．12．【解答】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则 F(12，0)， 依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP '|＝|PF |， 则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和 d =|PF|+|PA|≥|AF|=√(12)2+22=√172．故答案为：√172． 13．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系． ∵长方体中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3， ∴AD 1=√2，AB ＝AD 1tan π3=√6．∴A （1，0，0），B 1（1，√6，1），B （1，√6，0），C 1（0，√6，1）． ∴AB 1→=（0，√6，1），BC 1→=（﹣1，0，1）， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=7×2=√1414．故答案为：√1414．14．【解答】解：函数f （x ）＝ax 2﹣1的导数为f ′（x ）＝2ax ， 可得f （x ）在x ＝1处的切线斜率为2a ，切线与直线x +8y ＝0垂直，可得2a ＝8，即a ＝4， 则f （x ）＝4x 2﹣1，1f(n)=14n 2−1=12（12n−1−12n+1），可得S n =12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =12（1−12n+1）=n2n+1． 故答案为：n 2n+1．15．【解答】解：如图所示，设BC ＝x ，AB ＝AC ＝AD ＝CD ＝BD ＝1． 取AD 的中点O ，连接OB ，OC ，则OB ⊥AD ，OC ⊥AD ，OB ＝OC =√32． 又OB ∩OC ＝O ，则AD ⊥平面OBC ， 取BC 的中点E ，连接OE ，则OE ⊥BC ， OE =(√32)2−(x 2)2=√3−x 22．∴S △OBC =12BC ⋅OE =x √3−x 24． ∴F （x ）=13S △OBC ⋅AD=13×x √3−x 24×1=x √3−x 212（0＜x ＜√3）．F ′（x ）=3−2x 212√3−x ，令F ′（x ）≥0，解得0＜x ≤√62，此时函数F （x ）单调递增；令F ′（x ）＜0，解得√62＜x ＜√3，此时函数F （x ）单调递减法．因此当x =√62时，F （x ）取得最大值，F(√62)=√62×3−(√62)212=18．故答案分别为：(0，√62]，18．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．【解答】解：（1）f(x)=1−cos2ωx 2+√3sinωxcosωx −1=√32sin2ωx −12cos2ωx −12=sin(2ωx −π6)−12，∵函数f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω=π，∴解得ω＝1， （2）∵x ∈[−π12，π2]， ∴2x −π6∈[−π3，5π6]，根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最大值1． 当2x −π6=−π3，即x =−π12时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最小值−√32， ∴−12−√32≤sin(2x −π6)−12≤12，即f （x ）的值域为[−1+√32，12]． 17．【解答】解：（1）设公差为d 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13． 所以：{2(2+d)=2q2+2+d +2+2q =13，解得{d =1q =3，所以a n ＝2+（n ﹣1）＝n +1，b n =2⋅3n−1．（2）由于c n ＝a n +b n ＝n +1+2•3n ﹣1， 所以H n ＝（1+2+…+n ）+n +2（30+31+…+3n ﹣1）=n 2+n 2+2n 2+2(3n−13−1)=n 2+3n 2+3n −1． 18．【解答】证明：（1）点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．∴EF ∥PC ，∵EF ⊄平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ．（2）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，∴AF ⊥PD ，P A ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∵AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ，∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∵PC ⊂平面PCD ，∴AF ⊥PC ．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：c =√3，左焦点F ′（−√3，0）．根据椭圆的定义得：2a ＝|MF ′|+|MF |=√(−√3−√3)2+(12)2+12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2＝1； （Ⅱ）由题意知，S △ABC =12|AB |•|OP |=λ|AB|+42|OP|，整理得：λ＝|OP |2−4|AB|． ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为：x =√3，此时|AB |＝1，|OP |=√3，∴λ＝|OP |2−4|AB|=−1；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k （x −√3），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，消去y 整理得：（1+4k 2）x 2﹣8√3k 2x +12k 2﹣4＝0，显然△＞0，则x 1+x 2=−8√3k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵y 1＝k （x 1−√3），y 2＝k （x 2−√3），∴|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4•1+k 21+4k 2， ∴|OP |2＝（√3k|√1+k 2）2=3k 21+k2， 此时，λ=3k 21+k 2−1+4k21+k 2=−1；综上所述，λ为定值﹣1．20．【解答】解：（1）函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ．定义域为（0，+∞）， f ′（x ）＝a （1−2x ）﹣x +2=1x （x ﹣2）（a ﹣x ），（x ＞0）①a ≤0时，a ﹣x ＜0，当x ∈（0，2）．f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（2，+∞）．f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；②0＜a ＜2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，a ），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（a ，2）f （x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（2，+∞），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；③a ＝2时，f ′（x ）=−1x （x ﹣2）2＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递减；④a ＞2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，2），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；x ∈（2，a ），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；x ∈（a ，+∞），f ′（x ）＜0．f （x ）单调递减；（2）由（1）得当a ＝0时，f （x ）=−12x 2+2x 在定义域上只有一个零点，a ＜0，由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，所以1ln2−1＜a ＜0，下证f（x）有两个零点，取x=e 1a，f（e1a）＝a（e1a−2×1a）−12（e1a）2+2e1a＜0，满足f（e1a）•f（2）＜0，故f（x）在（0，2）有且只有一个零点；因为f（4）＝a（4﹣2ln4）＜0，满足f（2）•f（4）＜0，故f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点；当0＜a＜2时，由（1）可得x∈（0，2），f（x）≥f（a）＝a（a﹣2lna）−12a2+2a=12a2+2a（1﹣lna）＞0，故f（x）在（0，2）无零点，又因为f（x）在（2，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；当a＞2时，x∈（0，a），f（x）≥f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，故f（x）在（0，a）上无零点，又因为f（x）在（a，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；∴满足条件a的取值范围1ln2−1＜a＜0，。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题 1．（3分）过椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．132．（3分）在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．63．（3分）椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为（ ） A ．2√10B ．√10C ．2√2D ．√24．（3分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 22−y 26=1 B ．x 26−y 22=1C ．x 2−y 23=1D ．x 23−y 2=15．（3分）“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（3分）若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a +b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．（3分）已知x ，y ＞0且x +4y ＝1，则1x+1y的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．118．（3分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题9．（3分）在等比数列{a n }中，若a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q 为 ．10．（3分）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 ． 11．（3分）椭圆x 2m+y 24=1的焦距为2，则m 的值等于 ．12．（3分）若对任意正实数a ，不等式x 2≤1+a 恒成立，则实数x 的最小值为 ． 13．（3分）若命题“∃x ∈R ，有x 2﹣mx ﹣m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 14．（3分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 ． 三、解答题15．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=92． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }前n 项和T n ． 16．求过点(3，−√2)，离心率e =√52的双曲线的标准方程．17．已知f （x ）＝ax 2+x ﹣a ，a ∈R （1）若a ＝1，解不等式f （x ）≥1； （2）若a ＜0，解不等式f （x ）＞1． 18．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1（Ⅰ）若|PF 1|＝2+√2，|PF 2|＝2−√2，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e ．19．设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．20．有限数列A n：a1，a2，…，a n．（n≥3）同时满足下列两个条件：①对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），a i＜a j；②对于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），a i a j，a j a k，a i a k三个数中至少有一个数是数列A n中的项．（Ⅰ）若n＝4，且a1＝1，a2＝2，a3＝a，a4＝6，求a的值；（Ⅱ）证明：2，3，5不可能是数列A n中的项；（Ⅲ）求n的最大值．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，b 2a）或（﹣c ，−b2a ），∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2cb 2a=√3，即2ac =√3b 2=√3（a 2﹣c 2）． ∴√3e 2+2e −√3=0， ∴e =√33或e =−√3（舍去）．故选：B ．2．【解答】解：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 4=12（a 2+a 6）=12(4+a 6)=2， 解得a 6＝0． 故选：B ．3．【解答】解：椭圆2x 2+3y 2＝12化为x 26+y 24=1，所以a 2＝6；b 2＝4，所以c 2＝2，所以2c =2√2．椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为：2√2． 故选：C ． 4．【解答】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y =√3x ，可得ba =√3，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 解得a ＝1，b =√3， 所求双曲线方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．【解答】解：由（x ﹣1）（x +2）＝0得x ＝1或x ＝﹣2， 则“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件， 故选：B ．6．【解答】解：∵1a＜1b＜0，∴b ＜a ＜0．则下列不等式：①a +b ＜0＜ab ，正确； ②|a |＞|b |，不正确； ③a ＜b ，不正确； ④ab ＜b 2，正确． 正确的不等式有①④． 故选：C ．7．【解答】解：∵x ，y ＞0且x +4y ＝1， ∴1x +1y =（1x +1y）（x +4y ）＝1+4+x y +4y x ≥5+2√x y ⋅4yx =9．当且仅当x =13，y =16时，等号成立． ∴1x+1y 的最小值为9．故选：B ．8．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n2+1+⋯+a n(n+1)2=2n +1﹣1，（n ∈N +），则∑ n i=1b i=∑ n(n+1)2i=1a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝21﹣1+22﹣1+…+2n +1﹣1＝2n +1﹣n ﹣2， 可知当N 为n(n+1)2时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n +1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440＝435+5，可知S 440＝T 29+b 5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330＝T 25+b 5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意． C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220＝T 20+b 10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110＝T 14+b 5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20︸第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，⋯20，21，22，⋯，2n−1第n 项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N ＝1+2+3+…+n =(1+n)n2， 所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+ (2)﹣1＝（21+22+23+ (2)）﹣n =2(1−2n)1−2−n＝2n +1﹣2﹣n ，由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝1，总共有(1+1)×12+2＝3，不满足N ＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝5，总共有(1+5)×52+3＝18，不满足N ＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝13，总共有(1+13)×132+4＝95，不满足N ＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝29，总共有(1+29)×292+5＝440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440． 故选：A ． 二、填空题9．【解答】解：∵a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q =a 2+a 3a 1+a 2=q(a 1+a 2)a 1+a 2=1218=23． 故答案为：23．10．【解答】解：依题意可知a ＝3，c ＝5 ∴b =√25−9=4根据顶点坐标可知焦点在x 轴， ∴双曲线的方程为x 29−y 216=1故答案为：x 29−y 216=111．【解答】解：由题意可得：c ＝1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4＝1，解得m＝5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m＝1，解得m＝3．故答案为：3或5．12．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．13．【解答】解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．14．【解答】解：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故答案为：甲丁乙丙三、解答题15．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝2，前3项和S3=9 2．∴a1+2d＝2，3a1+3d=92，解得a1＝1，d=12．∴a n＝1+12（n﹣1）=n+12．（II）b1＝a1＝1，b4＝a15＝8，可得等比数列{b n}的公比q满足q3＝8，解得q＝2．∴{b n}前n项和T n=2n−12−1=2n﹣1．16．【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C上，且双曲线C的离心率e =√52，∴{9a 2−2b 2=1c a =√52a 2+b 2=c 2，解得a 2＝1，b 2=14．∴双曲线的标准方程为x 2−y 214=1；当双曲线焦点在y 轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C 上，且双曲线C 的离心率e =√52，∴{2a 2−9b 2=1c a=√52a 2+b 2=c 2，此方程组无解． 综上，双曲线C 的标准方程为x 2−y 214=1．17．【解答】解：（1）若a ＝1，不等式f （x ）≥1可化为：x 2+x ﹣1≥1，即x 2+x ﹣2≥0， 解得：x ∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a ＜0，不等式f （x ）≥1可化为：ax 2+x ﹣a ﹣1＞0，即（x ﹣1）（x +a+1a）＜0， 当−a+1a ＜1，即a ＜−12时，不等式的解集为（−a+1a ，1）； 当−a+1a =1，即a =−12时，不等式的解集为∅； 当−a+1a ＞1，即−12＜a ＜0时，不等式的解集为（1，−a+1a ）．18．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝2+√2+2−√2=4，故a ＝2， 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 2⊥PF 1，因此2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=2√3，即c =√3，从而b =√a 2−c 2=1， 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）连接F 1Q ，由椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|QF 1|+|QF 2|＝2a ， 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|+|QF 2|， 有|QF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，又由PQ ⊥PF 1，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|=√2|PF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，解得|PF 1|＝2（2−√2）a ，从而|PF 2|＝2a ﹣|PF 1|＝2（√2−1）a ， 由PF 2⊥PF 1，知2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2，因此e =c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2−√2)2+(√2−1)2=√9−6√2=√6−√3．19．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由①，得2＜a＜6．由②，当i＝2，j＝3，k＝4时.2a，6a，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但6a＞6，12＞6，故2a＝6，解得a＝3．经检验，当a＝3时，符合题意．…（3分）（Ⅱ）假设2，3，5是数列A n中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A n 中的项，则有限数列A n的最后一项a n＞5，且n≥4．由①，a n＞a n﹣1＞a n﹣2＞a n﹣3＞1．…（4分）对于数a n﹣2，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣2a n﹣1＝a n；对于数a n﹣3，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣3a n﹣1＝a n．…（6分）所以a n﹣2＝a n﹣3，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列A n中的项．…（7分）（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：…（8分）（1）令A9：−4，−2，−1，−12，−14，0，12，1，2，则A9符合①、②．…（11分）（2）设A n：a1，a2，…，a n（n≥3）符合①、②，则：（ⅰ）A n中至多有三项，其绝对值大于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a i，a j，a k，a l是A n中绝对值最大的四项，其中1＜|a i|≤|a j|≤|a k|≤|a l|．则对a i，a k，a l有|a i a l|＞|a l|，|a k a l|＞|a l|，故a i a l，a k a l均不是数列A n中的项，即a i a k是数列A n中的项．同理：a j a k也是数列A n中的项．但|a i a k|＞|a k|，|a j a k|＞|a k|．所以a i a k＝a j a k＝a l．所以a i＝a j，这与①矛盾．（ⅱ）A n中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．（ⅲ）A n中至多有两项绝对值等于1．（ⅳ）A n中至多有一项等于0．综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A n中至多有9项．…（14分）由（1），（2）可得，n的最大值为9．。
【精品高二数学试卷】2019-2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．√33C ．12D ．√322．（5分）倾斜角为135°，在y 轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x +y ﹣1＝0D ．x +y +1＝03．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直的直线方程为（ ） A ．3x +2y ﹣1＝0B ．3x +2y +7＝0C ．2x ﹣3y +5＝0D ．2x ﹣3y +8＝0 4．（5分）设m 是不为零的实数，则“m ＞0”是“方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知椭圆x 24+y 23=1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|﹣|MF 2|＝1则△MF 1F 2是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．（5分）已知点F 1、F 2是椭圆x 2+2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→+PF 2→|的最小值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2√27．（5分）已知直线x ﹣y +m ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．√32B ．√62C ．√32或−√32 D ．√62或−√62 8．（5分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，D 是AC 的中点，则BD →⋅CD →的取值范围是（ ） A ．(−34，14)B ．(−∞，14)C ．(−34，+∞)D ．(14，34)二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）双曲线x 2−y 22=1的渐近线方程为 ．10．（5分）已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C 的方程是 ．11．（5分）已知l 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线，其倾斜角为π4，且C 的右焦点为（2，0），则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ．12．（5分）已知圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣8y +8＝0，过点P （1，0）作该园的一条切线，切点为A ，那么线段P A 的长度为 ．13．（5分）若⊙O 1：x 2+y 2＝5与⊙O 2：（x ﹣m ）2+y 2＝20（m ∈R ）相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →=AB →，F 1B →•F 2B →=0，则C 的离心率为 ．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分） 15．（13分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x ． （1）求函数f （x ）图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π3]上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 16．（13分）在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ． （1）求cos B 的值；（2）若cosA =17，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．17．（14分）已知C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长2√3，离心率为12，圆O ：x 2+y 2＝b 2．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AB|=165，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及△OAB 与△OMN 的面积之比．18．（13分）已知函数f （x ）＝（ax +a ）e x （其中e ＝2.71828…），g （x ）＝x 2+bx +2，已知f （x ）和g （x ）在x ＝0处有相同的切线． （1）求函数f （x ）和g （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值；（3）判断函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦点到短轴的端点的距离为√5，离心率为2√55． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1，0）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线x ＝5于点N ，求证：直线AN 恒过定点．20．（13分）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n +1，a n +2，…的最小值记为B n ，记d n ＝A n ﹣B n ． （1）若数列{a n }的通项公式为a n ={5−n ，1≤n ≤41，n ≥5，求数列{d n }的通项公式；（2）证明：“数列{a n }单调递增”是“∀n ∈N *，d n ＜0”的充要条件； （3）若d n ＝a n 对任意n ∈N *恒成立，证明：数列{a n }的通项公式为a n ＝0．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a ＝2b ，椭圆的离心率e =c a =√32， 故选：D ．2．【解答】解：∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于﹣1， ∵在y 轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y ＝﹣1×x ﹣1， 即 y ＝﹣x ﹣1， 故选：D ．3．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x ﹣3y +4＝0垂直，∴设方程为﹣3x ﹣2y +c ＝0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c ＝0 ∴c ＝1∴所求直线方程为3x +2y ﹣1＝0． 故选：A ． 4．【解答】解：方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线⇔m ≠0．∴“m ＞0”是“方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A ．5．【解答】解：由题意， |F 1F 2|＝2，|MF 1|+|MF 2|＝4， ∵|MF 1|﹣|MF 2|＝1， ∴|MF 1|=52，|MF 2|=32， ∴|MF 2|2+|F 1F 2|2＝|MF 1|2， 故选：B ．6．【解答】解：∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1→+PF 2→=2PO →，可得|PF 1→+PF 2→|=2|OP →|当点P 到原点的距离最小时，|OP →|达到最小值，|PF 1→+PF 2→|同时达到最小值． ∵椭圆x 2+2y 2＝2化成标准形式，得x 22+y 2=1∴a 2＝2且b 2＝1，可得a =√2，b ＝1因此点P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|OP →|最小值为b ＝1 ∴|PF 1→+PF 2→|=2|OP →|的最小值为2 故选：C ．7．【解答】解：直线x ﹣y +m ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形， 则：△AOB 的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x ﹣y +m ＝0的距离d =2=√32， 解得：m ＝±√62． 故选：D ．8．【解答】解：BD →=−（DA →+AB →），设∠CAB ＝α∈（0，π），所以BD →⋅CD →=−(DA →+AB →)⋅DA →=−[(12CA →)2+12CA →⋅AB →]=−14−12cos （π﹣α）＝﹣（14−12cosα）∈(−34，14)．故选：A ．二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：双曲线x 2−y 22=1的a ＝1，b =√2，可得渐近线方程为y ＝±bax ，即有y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．10．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，设圆C 的圆心为（a ，a ），半径为r ；又由圆C 过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则有r 2＝（a ﹣2）2+（a ﹣2）2＝（√1+1）2，解可得a ＝1，即圆心的坐标为（1，1）， 则r 2＝（a ﹣2）2+（a ﹣2）2＝2，则圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2； 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2．11．【解答】解：由题意可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 一条渐近线的斜率为k =ba =tan π4=1，解得a ＝b =√2，则双曲线的右顶点为（√2，0）， C 的方程为x 22−y 22=1．故答案为：（√2，0），x 22−y 22=1．12．【解答】解：圆x 2+y 2+2x ﹣8y +8＝0，即 （x +1）2+（y ﹣4）2＝9，表示以C （﹣1，4）为圆心、半径R ＝3的圆，再由切线长定理可得切线长P A =√PC 2−R 2=√20−9=√11， 故答案为：√11．13．【解答】解：由题知O 1（0，0），O 2（m ，0），半径分别为√5，2√5，根据两圆相交， 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即√5＜m ＜3√5． 又O 1A ⊥O 2A ，所以有 m 2=(√5)2+(2√5)2=25，∴m ＝±5． 再根据S △AO 1O 2=12•AO 1•AO 2=12O 1O 2•AB2，求得 AB ＝2×√5⋅2√55=4，故答案为：4． 14．【解答】解：如图，∵F 1A →=AB →，且F 1B →•F 2B →=0，∴OA ⊥F 1B ， 则F 1B ：y =ab(x +c)，联立{y =ab (x +c)y =b a x ，解得B （a 2c b −a ，abc b −a ）， 则OB 2=a 4c 2(b2−a 2)2+a 2b 2c 2(b2−a 2)2=c 2，整理得：b 2＝3a 2，∴c 2﹣a 2＝3a 2，即4a 2＝c 2， ∴c 2a 2=4，e =ca =2．故答案为：2．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分） 15．【解答】解：f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1 ＝2sin （2x +π6）+1．（1）函数f （x ）图象的相邻两条对称轴的距离为T2=π2；（2）∵x ∈[−π6，π3]，∴2x +π6∈[−π6，5π6]，∴当2x +π6=π2，即x =π6时，f （x ）取得最大值为3； 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f （x ）取得最小值为﹣1．16．【解答】解：（1）由余弦定理及已知得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =12， （2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(17)2=4√37，sin B =√1−cos 2B =√1−(12)2=√32，由正弦定理得：b =a⋅sinB sinA =8×√32437=7，又∵cos A =17=b 2+c 2−a 22bc．∴c 2﹣2c ﹣15＝0，解得 c ＝5 （c ＝﹣3舍）． ∴S △ABC =12bc •sin A ＝10√3．17．【解答】解：（1）由题得b =√3，e =ca =12，所以c 2=14a 2，所以b 2=34a 2＝3，则a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1，圆O 的方程为：x 2+y 2＝3；（2）根据题意可知，左焦点F （﹣1，0），且直线l 的斜率存在且不为0， 不妨设y ＝k （x +1），联立{y =k(x +1)x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝0，所以x A +x B =−8k23+4k2，x A x B=4k 2−123+4k2，所以|AB |=2|x A ﹣x B |=2√(x A +x B )2−4x A x B =12×1+k23+4k2=165， 解得k ＝±√3，则l ：y =±√3（x +1）； 所以原点到l 的距离d =√31+3=√32，所以△AOB 面积为12×√32×165=4√35；MN ＝2√3−d 2=3，所以△MON 面积为12×√32×3=3√34，所以△OAB 与△OMN 的面积之比为16：15．18．【解答】解：（1）f （x ）＝（ax +a ）e x （其中e ＝2.71828…），g （x ）＝x 2+bx +2， f （0）＝a ，g （0）＝2．f ′（x ）＝a （x +2）e x ，g ′（x ）＝2x +b ， f ′（0）＝2a ，g ′（0）＝b ．∵f （x ）和g （x ）在x ＝0处有相同的切线． ∴2a ＝b ，a ＝2． 解得a ＝2，b ＝4．∴f （x ）＝2（x +1）e x ，g （x ）＝x 2+4x +2， （2）f （x ）＝2（x +1）e x ，x ∈[﹣3，3]．f ′（x ）＝2（x +2）e x ，可得f （x ）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在（﹣2，3]上单调递增． ∴x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （﹣2）=−22． 又f （﹣3）=−4e3，f （3）＝8e 3．∴x ＝3时，函数f （x ）取得最大值，f （3）＝8e 3．综上可得：函数f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值分别为：8e 3，−22． （3）函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2＝4（x +1）e x ﹣x 2﹣4x ． F ′（x ）＝4（x +2）e x ﹣2x ﹣4＝2（x +2）（2e x ﹣1）． 令F ′（x ）＝0，解得x ＝﹣2，x ＝﹣ln 2．可得：x ＝﹣2时，函数F （x ）取得极大值，F （﹣2）＝4−4e 2＞0； x ＝﹣ln 2．函数F （x ）取得极小值，F （﹣ln 2）＝2+2ln 2﹣ln 22＞0． 又x →﹣∞时，F （x ）→﹣∞．可得：函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2只有一个零点．19．【解答】解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦点到短轴的端点的距离为√5，则a =√5， 又离心率为2√55，即e =c a =2√55，解得c ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 25+y 2＝1；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，即方程设为x ＝1，代入椭圆方程可得y ＝±√1−15=±√5，即有A （1，√5），B （1，2√5），N （5，2√5）， 直线AN 的方程为y =−√55（x ﹣3），直线AN 恒过定点Q （3，0）； 当直线l 的斜率存在，设过点（1，0）的直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 由{y =k(x −1)x 2+5y 2=5，消去y 整理得（1+5k 2）x 2﹣10k 2x +5k 2﹣5＝0． 由△＝100k 4﹣4（1+5k 2）（5k 2﹣5）＝80k 2+20＞0恒成立， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），N （5，y 2）， 则x 1+x 2=10k21+5k2，…①，x 1x 2=5k 2−51+5k2，…②，k AN =y 2−y 15−x 1=k(x 2−x 1)5−x 1， 由k QN =y 2−05−3=y22=k(x 2−1)2，k AN ﹣k QN ＝k （x 2−x 15−x 1−x 2−12） ＝k •x 1x 2−3(x 1+x 2)+52(5−x 1)，由①②可得x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5=5k 2−51+5k2−3•10k 21+5k 2+5＝0，则k AN ﹣k QN ＝0，即k AN ＝k QN ，综上可得直线AN 过定点（3，0）．20．【解答】解：（1）当1≤n ≤4，数列{a n }是递减数列，最大为a 1＝4，又a 4＝a 5＝…＝a n＝…＝1，所以A n ＝4，B n ＝1，n ＝1，2，3，…， 所以d n ＝A n ﹣B n ＝4﹣1＝3，（2）充分性：数列{a n }单调递增，则a 1＜a 2＜…＜a n ＜…，则A n ＝a 1，B n ＝a n +1， 所以d n ＝A n ﹣B n ＝a 1﹣a n +1＜0；必要性：数列{a n }，∀n ∈N *，d n ＜0，d n ＝A n ﹣B n ＜0，d 1＝A 1﹣B 1＜0，a 1＜B 1＝min {a 2，…，a n +1，…}，所以a 1＜a 2，d 2＝A 2﹣B 2＜0，A n ＝max {a 1，a 2}＝a 2，B 2＝min {a 3，…，a n +1，…}，所以a 2＜a 3， 同理a 3＜a 4＜…＜a n …即数列{a n }单调递增，故“数列{a n }单调递增”是“∀n ∈N *，d n ＜0”的充要条件．（3）反证法：若d n ＝a n 对任意n ∈N *恒成立，数列{a n }的通项a n ≠0．当n ＝1时，d 1＝a 1＝A 1﹣B 1，A n ＝a 1，所以B 1＝0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾， 故原命题成立．。
2021-2022汇文高二数学上学期期中试题(1)(2)
北京汇文中学2021-2022学年度第一学期期中考试试卷高二数学班级 学号 姓名一. 选择题（每题5分，共10小题）1.若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若α , β表示不同的平面，平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定3．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于y 轴的对称点为C ，则AC --→=( ） A ．(042)，，B ．)0,0,2(-C ．(040)，，D ．(202)-，，4.若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为13，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ． 3112D ．552-5.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）A. 2B. 1C.21 D. 不存在6. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x7. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A. 4B.94 C. 1 D.348．设椭圆C ：y 2＋x 2m 2＝1(0＜m ＜1)的两焦点分别为F 1，F 2，若在椭圆C 上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，1B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，129．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，|AF 1|＋|AF 2|＝4，则椭圆C 的离心率是( )A.12B.54C.23D.3210．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F 2的直线交椭圆于C ，D 两点．△F 1CD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为－14，则椭圆的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 24＋y 23＝1二.填空题（每题5分，共6小题） 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于直线 BD 吗? 填“是”或“不是”_________12. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =13. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.14.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .15. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.16.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长为120分钟.请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.1 集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 如图，曲线在点处的切线l 过点，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 33. 下列函数中，的最小值是2的是（ ）A B. C. D.4. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数..2{|0}A x x x =-≤{|1}B x x =<-R A B = ð{}1x x >-{|01}x x ≤≤{|01}x x <≤{|1}x x ≥-()y f x =()()1,1P f ()2,0()12f '=-()1f 1-y 1y x x=+ln y x x =-1x y e x =-+1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭0.12a =0.413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭21log e c =a b c>>b c a>>a c b>>c a b>>()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x (1,)+∞(1,)+∞(1,)+∞D. 是偶函数，且在上是减函数6. 7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，记事件A ＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B ＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（ ）A.B.C.D.7. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz ；为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）A. B.C.D. 9. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 函数的定义域是____________．12. 已知函数则________；的值域为_______．13. 若函数存在极值点，则实数a 的取值范围为________．14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，(1,)+∞()P B A 132349590.80.30.60.40.450.50.60.722log (1)SC W N=+C bis /s W SN99S N =2000Hz W =1C 9999SN=3000Hz W =2C 21C C 1521543()()221e xf x x a x =++a =()f x =1x -()f x D x D ∀∈y D ∃∈()()f x fy =-()f x Ωsin y x =4y x x =+11y x =-()ln f x x =-Ω()ln f x x =+22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩…(0)f =()f x ()32113f x x ax x =-++无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．15. 如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.16. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数存最小值；②对于任意，函数是上的减函数；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点.其中正确命题的序号是______.三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．18. 某学校食堂为了解师生对某种新推出菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96根据师生对该菜品满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和在的的136m ()e ln x f x a x =-()0,∞+()f x ()0,a ∈+∞()f x (),0a ∈-∞()f x ()0,∞+(),0a ∈-∞()0,x ∈+∞()0f x >()0,a ∈+∞()f x 2()ln f x x x=+()f x [1,]e x (1,)∈+∞()f x 3221()32g x x x =+1μ2μ1η2η1μ2μ1η2η的大小（结论不要求证明）；（2）从全校教师中随机抽取3人，设X 为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A 组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B 组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；（3）从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）20. 已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求函数的极值点的个数.21. 由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；X X ()E X A B 1ξ2ξ()1D ξ()2D ξ()()31ln ax a f x a x+-=∈R ()y f x =()()e,e f 22e y x b =+a b ()f x 1a <()f x m {}123,,,,m M a a a a =⋅⋅⋅123m a a a a <<<⋅⋅⋅<()12m P M a a a =++⋅⋅⋅+()0P ∅=M ()k P M ≤M ,A B ()()k P A P B =-M {}11,2M ={}22,3M =（2）若集合为“满集”，求的值；（3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由.M 1a 123,,,,m a a a a 12M北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】D二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】①. 1②. 【13题答案】(]0,1(),2∞-【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】1【16题答案】【答案】①④三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详略.【18题答案】【答案】（1）>，<；（2）分布列略，数学期望；（3）.【19题答案】【答案】（1）（2） （3）【20题答案】【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案略 （2）答案见详解【21题答案】【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由略；（2）；（3）是“满集”，理由略.()(),11,-∞-⋃+∞2027()f x (1)1f =2()1f e e =+1μ2μ1η2η()34E X =1940310()1E X =()()12=D D ξξ31,e a b ==-1M 2M 1。
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2020北京汇文中学高二（上）期中
数 学
一、选择题
1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）
A. 2
B. 1
C.
2
1 D. 不存在
2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）
A. 5)2()3(2
2
=-+-y x
B. 5)2()3(2
2=-++y x
C. 25)2()3(2
2
=-+-y x
D. 25)2()3(2
2
=-++y x
3. 焦点在x 轴上的椭圆22
13
x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）
A. 4
B.
94 C. 1 D.3
4
4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ）
A.
65 B. 1 C.8
5
D.2 5.已知抛物线x y C =2
:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，04
5
||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
6. 过点P )1,3(--的直线l 与圆12
2=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. ]6
,
0(π
B. ]3
,
0(π
C. ]6
,
0[π
D. ]3
,
0[π
7.已知抛物线2
4y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 8.直线1
:10l ax y a
+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：
① 1
1,2
AOB a S ∆∀≥=
； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<
则所有正确结论的序号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③ 二、填空题
9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =
10. 双曲线22
1169
x y -=的渐近线方程为_________________.
11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆2
2
(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =_______；直线l 的方程为__________.
12. 已知F 为双曲线2
2:13
x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 2
3
=上一点，△12PF F 是底角为
30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
14. 已知点1(,0)2
A -， 抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 三、解答题：
15.已知圆2
2
:1010340C x y x y ++++=.
（Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）圆D 的圆心在直线5x =-上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程； （III ）过点(0,2)P 的直线交（Ⅱ）中圆D 于,E F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程.
16.已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.
(I)将||AB 表示为t 的函数；
(II)若||AB =AFB △的周长.
17.已知椭圆2
2:14
x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为
3
2
时，求线段OC 的长；
（Ⅱ）当∆OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.
18.如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12
x
C y +=交于,P Q 两点. 过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的
另一个交点为A .
(I)求直线PA 与AQ 的斜率之积；
(II)若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.
2020北京汇文中学高二（上）期中数学
参考答案
一、选择
1.A
2.D
3.A
4.C
5.A
6.D
7.B
8.C 二、填空
9.1或-1 10.y =±3
4x
11.1
2；2x-y-1=0
12.1
13.3
4
14.√5
2
三、解答题
15.（Ⅰ）(x +5)2+(y +5)2=16，圆心(-5,-5)，半径r=4.
（Ⅱ）因为圆D 圆心在x=-5上，所以设圆D ：(x +5)2+(y −b)2=R 2， 因为圆D 与圆C 外切，所以|CD|=b+5=R+r=4+R.
因为圆D 被x 轴截得弦长为10，所以圆心D 到x 轴距离|b|=√R 2−52. 解得R=13,b=12，即圆D ：(x +5)2+(y −12)2=132 （III ）连接DM 、PM 、DP ，PM 中点为N(−5
2,7)，
因为M 为弦EF 中点，所以DM ⊥PM ，△MPD 为直角三角形，|MN |=1
2|DP |=1
2
√(−5−0)2+(12−2)2=
5√5
2
. 因为动点M 到定点N(−5
2,7)的距离为定值
5√5
2
，所以动点M 的轨迹为圆，其方程为(x +52)2+(y −7)2=
1254
.
16.（Ⅰ）{y =2x +t y 2=4x ，整理得4x 2+4(t −1)x +t 2
=0，由韦达定理可得{x 1+x 2=1−t x 1x 2=
t 2
4
. |AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =√1+22√(x 12)212 =√5√(1−t)2−t 2=√5−10t.
（Ⅱ）若|AB |=3√5，则t=-4， |AF |+|BF |=x 1+x 2+2=7。
△AFB 周长为7+3√5.
17.（Ⅰ）因为直线l 过(0,-2)，斜率为3
2，所以l:y =3
2x −2.
联立{y =3
2x −2
x 2+4y 2
−4=0
，得到5x 2−12x +6=0.
由韦达定理，有{x 1+x 2=12
5
x 1x 2=
65
，所以C(65,−15
)， |OC |=√(65
)2+(−1
5
)2=
√37
5
. （Ⅱ）设l:y =kx −2
联立{y =kx −2
x 2+4y 2
−4=0，得到(4k 2+1)x 2−16kx +12=0 由韦达定理，有{x 1+x 2=16k
4k 2+1
x 1x 2=12
4k 2+1 O 到直线l 的距离为d =
22
，
|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1∙√(x 1+x 2)2−4x 1x 2. S △OAB
=1
2d ·|AB |=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√
(16k)2−48(4k 2+1)
(4k 2+1)2
=
√64k 2−484k 2+1
=1. 化简得(4k 2−7)2=0，解得k =±
√7
2
，即直线l:y =
√72
x −2或y =−
√72
x −2.
18.（Ⅰ）设P (x 1,y 1),A(x 2,y 2)，联立{y =kx
x 2+2y 2
=2
，得(2k 2+1)x 2=2，所以Q (−x 1,−y 1) k PA =y 2−y 1x 2
−x 1
,k AQ =y 2+y 1x 2
+x 1
. k PA ·k AQ =y 2−y 1x 2
−x 1
·y 2+y
1x 2
+x 1
因为P,A 都在椭圆上，所以
x 1
22
+y 12
=1，
x 2
22
+y 22
=1.
k PA ·k AQ =
y 12−y 22x 12−x 2
2=
(1−
x 122)·(1−x 222)
x 12−x 2
2=12(x 2
2−x 1
2)x 12−x 2
2=−1
2
.
（Ⅱ）因为k AQ =y 2+y 1x 2
+x 1
=−1
2k PA
，又PQ ⊥PA ，即k PA =−1
k
所以k AQ =k 2，所以直线AQ ：y 1=k
2(x +x 1). 因为P 在直线y=kx 上，所以y 1=kx 1， 代入得到B 点的横坐标为x =x 1， 所以直线PB 与x 轴垂直.。