北京汇文中学数学分式解答题单元测试卷(含答案解析)
北京汇文中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．10±B ．20±C ．10D ．20 2．下列因式分解正确的是（ ） A ．24414(1)1m m m m -+=-+ B ．a 2+b 2=(a +b )2C ．x 2-16y 2=(x +8y )(x -8y )D ．-16x 2+1=(1+4x )(1-4x )3．如果x+y ＝6，x 2-y 2=24，那么y-x 的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．6 4．已3,2x y a a ==，那么23x y a +=（ ）A ．10B ．15C ．72D ．与x ，y 有关 5．下列计算中能用平方差公式的是（ ）．A ．()()a b a b -+-B ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22x xD ．()()21x x -+6．下列分解因式正确的是（ ） A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ） B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）7．已知3a b -=、4b c -=、5c d -=，则()()a c d b --的值为（ ） A ．7 B ．9 C ．-63D ．12 8．下列运算正确是（ ） A ．b 5÷b 3＝b 2 B ．（b 5）3＝b 8C ．b 3b 4＝b 12D ．a （a ﹣2b ）＝a 2+2ab9．如果单项式223a b a b m n -+-与38b m n 是同类项，那么这两个单项式的积是（ ） A ．6163m n -B ．6323m n -C ．383m n -D ．6169m n -10．已知1x =，1y =，则代数式222x xy y ++的值为（ ）．A ．20B ．10C ．D ．11．若y 2+4y 0，则xy 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣2C ．2D ．6 12．下列运算正确的是（ ）． A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=二、填空题13．下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．14．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．15．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．16．对于2(34)x y --的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式()2222a b a ab b -=-+；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即(34)(34)x y x y ----；③小懿说可以用公式222()2a b a ab b +=++但要看准谁是a 谁是b ；④小王说口算就是22916x y +；⑤小亮说可以转化计算2(34)x y +，你认为谁的说法正确请写出序号____．17．若2249x mxy y -+是一个完全平方式，则m =______18．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．19．若代数式23y y +-的值为0，则代数式3242020y y ++的值为___________． 20．已知22m mn -=，25mn n -=，则22325m mn n +-=________．三、解答题21．先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式244x xy x y -+-和2222a b c bc --+．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：()()()()()()22(1)444444x xy x yx xy x y x x y x y x y x -+-=-+-=-+-=-+()()()()22222222(2)22a b c bca b c bc a b c a b c a b c --+=-+-=--=+--+这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：（1）32236m m m --+（2）2229x xy y --+22．先化简，再求值：2()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦，其中1x =-，2y =． 23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个22⨯的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．24．分解因式：（1）222ax axy ay ++；（2）4161y -25．计算：（1）2(1)(1)(2)x x x +--+ （2）(34)(34)x y x y -++- 26．计算（1）()()433a a -⋅- （2）（ab 2）2 •（﹣a 3b ）3÷（﹣5ab ）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由4a 2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m 的值．【详解】解：∵4a 2+ma+25是完全平方式，∴4a 2+ma+25=（2a±5）2=4a 2±20a+25，∴m=±20．故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．2．D解析：D【分析】把各式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解： A 、()224412-1-+=m m m ，原选项错误，不符合题意；B 、a 2+b 2不能分解，不符合题意；C 、x 2-16y 2=(x +4y )(x -4y )，原选项错误，不符合题意；D 、-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) ，原选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．A解析：A【分析】先变形为x 2-y 2=（x+y ）（x-y ），代入数值即可求解．【详解】解：∵x 2-y 2=（x+y ）（x-y ）=24，∴6（x-y ）=24，∴x-y=4，∴y-x=-4，故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式是解题关键．4．C解析：C【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.【详解】a 2x+3y =(a x )2(a y )3=32⨯23=9⨯8=72，故选：C【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键. 5．B解析：B【分析】根据平方差公式()()22a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可． 【详解】A 选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；B 选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；C 选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；D 选项：有一项2-与1不同，故不能用平方差公式．故选：B ．【点睛】此题考查平方差的基本特征：()()22a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同，难度一般．6．D解析：D【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．【详解】A 、xy ﹣2y 2＝y （x ﹣2y ），故该项错误；B 、m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）=mn （m+1）（m-1），故该项错误；C 、4x 2﹣24x +36＝4（x ﹣3）2，故该项错误；D 、4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ），故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．C解析：C【分析】由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，然后整体代入求解即可．【详解】解：由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，∴()()()7963a c d b --=⨯-=-；故选C ．【点睛】本题主要考查求代数式的值，关键是根据题意利用整体思想进行求解．8．A解析：A【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法，单项式乘多项式运算法则判断即可．【详解】A 、b 5÷b 3＝b 2，故这个选项正确；B 、（b 5）3＝b 15，故这个选项错误；C 、b 3•b 4＝b 7，故这个选项错误；D 、a （a ﹣2b ）＝a 2﹣2ab ，故这个选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，以及单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．9．B解析：B【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出a 和b ，再利用单项式乘以单项式计算结果即可．【详解】解：由题意可得：2328a b a b b -=⎧⎨+=⎩， 解得：72a b ==，，则这两个单项式分别为：3163m n -，316m n ，∴它们的积为：3163166323?3m n m n m n -=-，故选：B ．【点睛】本题主要考察同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键． 10．A解析：A利用完全平方公式计算即可得到答案．【详解】∵1x =，1y =，∴x+y=∴222x xy y ++=2()x y +=2=20，故选：A ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并运用解决问题是解题的关键．11．A解析：A【分析】根据2440y y ++=，即（y +2）20，根据任何数的偶次方以及二次根式都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都等于0，据此即可求解．【详解】解：∵2440y y ++=∴（y +2）20∴y +2＝0且x +y ﹣1＝0解得：y ＝﹣2，x ＝3∴xy ＝﹣6．故选：A ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，两个非负数的和是0，则两个非负数都等于0．12．D解析：D【分析】根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．【详解】A 、235x x x =，故该项错误；B 、2222x x x +=，故该项错误；C 、22(2)4x x -=，故该项错误；D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；故选：D ．此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．二、填空题13．（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：mambmc 大长方形的面积为：m （a+b+c ）三个小长方形的面积和等解析：()m a b c ma mb c ++=++（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式．【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma 、mb 、mc ，大长方形的面积为：m （a+b+c ），三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m （a+b+c ）= ma+mb+mc ，故答案为：()m a b c ma mb c ++=++．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的几何意义，分别表示出各个长方形的面积，找到等量关系是解题关键．14．2【分析】先运用多项式的乘法法则计算再合并同类项因积中不含x 的一次项所以让一次项的系数等于0得a 的等式再求解【详解】解：（2x-a ）（x+1）=2x2+（2-a ）x-a ∵积中不含x 的一次项∴2-a=解析：2【分析】先运用多项式的乘法法则计算，再合并同类项，因积中不含x 的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a 的等式，再求解．【详解】解：（2x-a ）（x+1）=2x 2+（2-a ）x-a ，∵积中不含x 的一次项，∴2-a=0，∴a=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．15．4【分析】根据x2－3x －1＝0可得x2－3x ＝1再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值【详解】解：∵x2－3x －1＝0∴x2－3x ＝1∴==将x2－3x ＝1代入原式==将x2－3x ＝1代解析：4【分析】根据x 2－3x －1＝0可得x 2－3x ＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．【详解】解：∵x 2－3x －1＝0，∴x 2－3x ＝1，∴3223111x x x --+=223132611x x x x -+-+=()22233111x x x x x -+-+将x 2－3x ＝1代入原式=221113x x x +-+=23)13(x x -+将x 2－3x ＝1代入原式=314+=，故答案为：4．【点睛】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想． 16．①②③⑤【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可【详解】①正确；②正确；③正确；④错误；⑤正确；故答案为：①②③⑤【点睛】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算熟练掌握运算法则是解答解析：①②③⑤【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可.【详解】①22222(34)(3)2(3)4(4)92416x y x x y y x xy y --=--⋅-⋅+=++，正确；②22222(34)(34)(34)(3)3443(4)92416x y x y x y x x y y x y x xy y --=----=-+⋅+⋅+=++，正确；③22222(34)(3)2(3)(4)(4)92416x y x x y y x xy y --=-+⋅-⋅-+-=++，正确； ④错误；⑤222222(34)(34)(3)234(4)92416x y x y x x y y x xy y --=+=+⋅⋅+=++，正确； 故答案为：①②③⑤【点睛】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键. 17．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值【详解】∵是一个完全平方式∴故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用明确完全平方公式的基本形式是解题的关键解析：12±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵2249x mxy y -+是一个完全平方式，∴22312m =±⨯⨯=±．故答案为：12±．【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键． 18．（a+b ）2-2ab=a2+b2【分析】利用各图形的面积求解即可【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b ）2-2ab 故可得： （a+b ）2-2ab=a2+b2故答案为：（a+解析：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积． 19．2029【分析】由题意得将原式变形成整体代入得再一次整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案为：【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解解析：2029【分析】由题意得23y y +=，将原式变形成()2232020y y y y +++，整体代入得2332020y y ++，再一次整体代入即可求出结果．【详解】解：∵23y y +-，∴23y y +=，原式()2232020y y y y =+++()232020y y =++92020=+2029=．故答案为：2029．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解．20．31【分析】由然后把代入求解即可【详解】解：由题意得：∴把代入得：原式=；故答案为31【点睛】本题主要考查代数式的值及整式的加减关键是对于所求代数式进行拆分然后整体代入求解即可解析：31【分析】由()()222232535m mn n m mn mn n+-=-+-，然后把22m mn -=，25mn n -=，代入求解即可．【详解】解：由题意得： ()()222232535m mn n m mn mn n +-=-+-，∴把22m mn -=，25mn n -=代入得：原式=325531⨯+⨯=；故答案为31．【点睛】本题主要考查代数式的值及整式的加减，关键是对于所求代数式进行拆分，然后整体代入求解即可． 三、解答题21．（1）2(2)(3)m m --；（2）()()33x y x y -+--【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的；（2）原式分成222x xy y -+和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可．【详解】解：（1）32236m m m --+2(2)3(2)m m m =---2(2)(3)m m =--；（2）2229x xy y --+()223x y =-- ()()33x y x y =-+--．【点睛】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．22．25x y -；-12【分析】整式的混合运算，中括号内利用完全平方公式和平方差公式展开，合并，再计算多项式除以单项式，然后代入求值．【详解】解：2()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦=22222(4)()x xy y x y y ⎡⎤-+--÷-⎣⎦ =2222(2+4)()x xy y x y y -+-÷-=2(25)()xy y y -+÷-=25x y -当1x =-，2y =时，原式=2(1)5221012⨯--⨯=--=-【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．23．（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析【分析】（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a ，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案为：7；（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；设方框框出的四个数分别为a ，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)-a(a+8)=a 2+7a+a+7-a 2-8a=7．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．24．（1）2()a x y +；（2）2(41)(21)(21)y y y ++-．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可得出结果；（2）先利用平方差公式分解可得22(41)(41)y y +-，再次利用平方差公式对2(41)y -进行分解，即可完成．【详解】解：（1）原式22(2)a x xy y =++2()a x y =+，（2）原式22(41)(41)y y =+-2(41)(21)(21)y y y =++-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法，并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．25．（1）3x +；（2）229816-+-x y y ．【分析】（1）先分别利用完全平方公式和多项式乘多项式运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得到结果；（2）原式变形后，运用平方差公式和完全平方公式计算即可求出结果．【详解】计算：⑴ 原式2221(2)x x x x =++-+-22212x x x x =++--+3x =+，（2）原式[3(4)][3(4)]x y x y =--+-229(4)x y =--229816=-+-x y y ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握运算法则及灵活运用乘法公式是解题的关键． 26．（1）15a -；（2）10615a b 【分析】（1）先算乘方，再算同底数幂的乘法即可；（2）先算乘方，再算乘法，后算除法．【详解】（1）()()433aa -⋅- =()123a a ⋅- =15a -；（2）(ab 2)2 •(﹣a 3b)3÷(﹣5ab)=a 2b 4．(-a 9b 3) ÷(﹣5ab)= -a 11b 7÷(﹣5ab) =10615a b ． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．。
北京汇文中学七年级数学下册第一单元《相交线与平行线》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，若1234//,//l l l l ，则图中与1∠互补的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图a 是长方形纸带，26DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是（ ）A ．102°B ．112°C ．120°D ．128°3．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A ．∠1＝50°，∠2＝40°B ．∠1＝50°，∠2＝50°C ．∠1＝∠2＝45°D ．∠1＝40°，∠2＝40° 4．如图，25AOB ︒∠=，90AOC ︒∠=，点B ，O ，D 在同一直线上，则COD ∠的度数为（ ）A ．65B ．25C ．115D ．1555．下列哪个图形是由图1平移得到的（ ）A ．B ．C ．D ．6．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（ ）A ．61°B ．58°C ．48°D ．41°7．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（ ）A ．23°B ．33°C ．44°D ．46°8．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式析叠，若∠EFB ＝35°，则下列结论错误的是（ ）A ．∠C 'EF ＝35°B ．∠AEC ＝120° C ．∠BGE ＝70°D ．∠BFD ＝110° 11．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．25°D ．30°12．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠FBC ＝∠DABB ．∠ADC +∠BCD ＝180° C ．∠BAC ＝∠ACE D ．∠DAC ＝∠BCA二、填空题13．如图，直线a ，b 被直线c 所截（即直线c 与直线a ，b 都相交），且a //b ，若1∠=α，则2∠的度数=______度．（用含有α代数式表示）14．给出下列说法：①同角的补角相等；②相等的角是对顶角；③两点确定一条直线；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的有___个．15．在同一平面内，A ∠与B 的两边分别平行，若50A ∠=︒，则B 的度数为__________︒．16．如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．17．命题“相等的角是对顶角”是______（填“真命题”或“假命题”）．18．一副直角三角板叠放如图①所示，现将含30角的三角板固定不动，把含45角的三角板CDE 由图①所示位置开始绕点C 逆时针旋转(a DCF α=∠且018)0a <<，使两块三角板至少有一组边平行．如图,30a =︒②时，//AB CD ．请你在图③、图④、图⑤内，各画一种符合要求的图形，标出a ，并完成各项填空： 图③中α=_______________时，___________//___________﹔图④中α=_____________时，___________//___________﹔图⑤中α=_______________时，___________//___________﹔19．小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC ，并将边AC 延长至点P ，第二步将另一块三角板CDE 的直角顶点与三角板ABC 的直角顶点C 重合，摆放成如图所示，延长DC 至点F ，PCD ∠与ACF ∠就是一组对顶角，若30ACF ∠=，则PCD ∠=__________，若重叠所成的(090)BCE n n ∠=<<，则PCF ∠的度数__________．20．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC ∥DE ．则∠BAD （0°＜∠BAD ＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．三、解答题A B C都在格点上．21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点,,()1找一格点D，使得直线//CD AB，画出直线CD；()2找一格点E，使得直线AE BC⊥于点F，画出直线AE，并注明垂足F；()3找一格点G，使得直线BG AB⊥，画出直线BG；()4连接AG，则线段,,AB AF AG的大小关系是 (用“<”连接)．22．如图，AE//CF，∠A=∠C．（1）若∠1=35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=105°，OE把∠AOC分成两个角，∠AOE∶∠EOC=2∶3．（1）求∠AOE的度数；（2）若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．24．已知：如图，DE ∥BC ，BE ∥FG ．求证：∠1＝∠2．25．已知：如图，//,12180EF CD ︒∠+∠=．（1）求证：//GD CA ．（2）若CD 平分,ACB DG 平分CDB ∠，且36A ︒∠=，求ACB ∠的度数． 26．如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，并顺次首尾连接，若AF 恰好经过点G ，且//AF DE ，105D E ∠=∠=︒．（1）求F ∠的度数．（2）连接AD ，当ADE ∠与CGF ∠满足怎样的数量关系时，//BC AD ，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案．【详解】解：解：∵1234//,//l l l l ，∴∠1+∠2=180°，∠2=∠4，∵∠4=∠5，∠2=∠3，∴图中与∠1互补的角有：∠2，∠3，∠4，∠5共4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，注意不要漏角是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（图a），∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．3．C解析：C【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【详解】A、满足条件∠1＋∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．4．C解析：C先求出∠BOC，再由邻补角关系求出∠COD的度数．【详解】∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，∴∠BOC=90°-25°=65°，∴∠COD=180°-65°=115°．故选：C．【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A.不是由图1平移得到的，故错误；B.是由图1平移得到的，故正确；C.不是由图1平移得到的，故错误；D.不是由图1平移得到的，故错误；故选：B．【点睛】考查平移的性质，平移前后，图形的大小和形状没有变化.6．B解析：B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【详解】如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．7．C解析：C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得,2323FAB EAB FCD ECD ∠=∠∠=∠，由此即可得出答案． 【详解】 如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，11,33EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,2323FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 8．C解析：C【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．D解析：D【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可对①②③进行判断；根据∠BAC=90°及平移的性质可对④进行判断，综上即可得答案.【详解】∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，CF=AD=2.5cm，故①②③正确.∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∵AB//DE∴⊥，故④正确.DE AC综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，故选D.【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．10．B解析：B【分析】根据平行线的性质即可求解．【详解】A．∵AE∥BF，∴∠C'EF＝∠EFB＝35°（两直线平行，内错角相等），故A选项不符合题意；B．∵纸条按如图所示的方式析叠，∴∠FEG＝∠C'EF＝35°，∴∠AEC＝180°﹣∠FEG﹣∠C'EF＝180°﹣35°﹣35°＝110°，故B选项符合题意；C．∵∠BGE＝∠FEG+∠EFB＝35°+35°＝70°，故C选项不符合题意；D．∵AE∥BF，∴∠EGF＝∠AEC＝110°（两直线平行，内错角相等），∵EC∥FD，∴∠BFD＝∠EGF＝110°（两直线平行，内错角相等），故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．11．C解析：C【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．12．C解析：C【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【详解】解：A.∵∠FBC＝∠DAB，∴AD∥BC，故A正确，本选项不符合题意；B.∵∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，故B正确，本选项不符合题意；C.∵∠BAC＝∠ACE，∴AB∥CD，故C不正确，本选项符合题意；D.∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，故D正确，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是准确识图，运用判定得出正确的平行关系．二、填空题13．【分析】根据对顶角性质得；根据平行线性质得结合推导得即可得到答案【详解】如图∵//∴∴∴∵∴即的度数=度故答案为：【点睛】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角相等平行线的性质从而完成求解 解析：180α-【分析】根据对顶角性质，得13∠=∠；根据平行线性质，得23180∠+∠=，结合1∠=α，推导得2180α∠=-，即可得到答案．【详解】如图13∠=∠∵a //b∴23180∠+∠=∴21180∠+∠=∴21801∠=-∠∵1∠=α∴2180α∠=-，即2∠的度数=180α-度故答案为：180α-．【点睛】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角相等、平行线的性质，从而完成求解．14．2【分析】根据补角的性质对顶角的性质直线的性质平行线的性质依次判断【详解】同角的补角相等故①符合题意；对顶角相等但相等的角不一定是对顶角故②不符合题意；两点确定一条直线故③符合题意；过直线外一点有且 解析：2【分析】根据补角的性质、对顶角的性质、直线的性质、平行线的性质依次判断．【详解】同角的补角相等，故①符合题意；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意；两点确定一条直线，故③符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④不符合题意；故答案为：2．【点睛】此题考查了平行线的判定等知识，掌握补角的性质、对顶角的性质、直线的性质、平行线的判定是解题的关键．15．50或130【分析】由∠A与∠B的两边分别平行可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°继而求得答案【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°∵∠A=50°∴∠B=50°或∠解析：50或130【分析】由∠A与∠B的两边分别平行，可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°，继而求得答案．【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°，∵∠A=50°，∴∠B=50°，或∠B=180°-∠A=180°-50°=130°．故答案为：50或130．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意由∠A与∠B的两边分别平行，可得∠A与∠B相等或互补．16．110【分析】根据平行线的性质和折叠的性质可以得到∠2的度数本题得以解决【详解】如图：由折叠的性质可得∠1＝∠3∵∠1＝55°∴∠1＝∠3＝55°∵长方形纸片的两条长边平行∴∠2＝∠1+∠3∴∠2＝解析：110【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．【详解】如图：由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∵长方形纸片的两条长边平行，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．假命题【分析】对顶角相等但相等的角不一定是对顶角从而可得出答案【详解】解：对顶角相等但相等的角不一定是对顶角从而可得命题相等的角是对顶角是假命题故答案为：假命题【点睛】此题考查了命题与定理的知识属于 解析：假命题【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．【详解】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．故答案为：假命题．【点睛】此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．18．；（答案不唯一)【分析】画出图形再由平行线的判定与性质求出旋转角度【详解】图中当时DE//AC ；图中当时CE//AB 图中当时DE//BC 故答案为：；（答案不唯一）【点睛】考查了平行线的判定和性质解题解析：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一)【分析】画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．【详解】图③中，当45DCF D α=∠=∠=时，DE//AC ；图④中，当9090120DCF DCB BCF B α=∠=∠+∠=︒-∠+︒=︒ 时，CE//AB ，图⑤中，当90135a DCF DCB BCF D =∠=∠+∠=∠+=︒ 时，DE//BC ．故答案为：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一）．【点睛】考查了平行线的判定和性质，解题关键是理解平行线的判定与性质，并且利用了数形结合．19．30°180°－n°【分析】（1）根据对顶角相等可得答案；（2）根据角的和差可得答案【详解】解：（1）若∠ACF=30°则∠PCD=30°理由是对顶角相等（2）由角的和差得∠ACD+∠BCE=∠AC解析：30° 180°－n°【分析】（1）根据对顶角相等，可得答案；（2）根据角的和差，可得答案．【详解】解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°， ∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°．故答案为：30°，180°－n°．【点睛】本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键．20．45°60°105°135°【解析】分析：根据题意画出图形再由平行线的判定定理即可得出结论详解：如图当AC ∥DE 时∠BAD=∠DAE=45°；当BC ∥AD 时∠DAE=∠B=60°；当BC ∥AE 时∵∠解析：45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC∥AD时,∠DAE=∠B=60°；当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；当AB∥DE时,∵∠E=∠EAB=90°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.故答案为45°,60°,105°,135°.点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.三、解答题<<21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AF AB AG【分析】（1）将AB沿着BC方向平移，使其过点C，此时经过的格点即为所求；（2）延长CB，作AE与CB交于F点，此时E点即为所求；（3）过B点作AB的垂线，经过的格点即为所求；（4）在两个直角三角形中比较即可得出结论．【详解】（1）如图所示，符合题意的格点有D1，D2两个，画出其中一个即可；（2）如图所示：E点即为所求，垂足为F点；（3）如图所示，点G 即为所求；（4）如图所示，显然，在Rt ABF 中，AB AF >；在Rt ABG 中，AG AB >， 故答案为：AF AB AG <<．【点睛】本题考查应用与设计作图，平行线的判定与性质以及垂线的定义，熟练掌握基本性质定理是解题关键．22．（1）∠2=145°；（2）BC ∥AD ，理由见解析．【分析】（1）由平行线的性质求得∠BDC=∠1=35°，再根据邻补角的定义即可求得∠2； （2）由平行线的性质可知：∠A+∠ADC=180°，然后根据∠A=∠C ，可证得∠C+∠ADC=180°，从而可证得BC ∥AD ．【详解】解：（1）∵AE ∥CF ，∴∠BDC=∠1=35°，又∵∠2+∠BDC=180°，∴∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°；（2）BC ∥AD ．理由：∵AE ∥CF ，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C ，∴∠C+∠ADC=180°，∴BC ∥AD ．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．在本题中能正确识图找出同位角和同旁内角是解题关键． 23．（1）∠AOE=30°；（2）OB 是∠DOF 的平分线；理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的定义求出AOC ∠的度数，设2AOE x ∠=，根据题意列出方程，解方程即可；（2）根据角平分线的定义求出BOF ∠的度数即可．【详解】解：（1）:2:3AOE EOC ．设2AOE x ∠=，则3EOC x ∠=， 5AOC x ∠=，由105AOD ∠=︒可得75AOC ∠=︒，即575x =︒，解得：15x =︒，则230x =︒，即30AOE ∠=︒；（2）OB 是DOF ∠的平分线；理由如下：30AOE ∠=︒，180150BOE AOE ， OF 平分∠BOE ， 1752BOF BOE ，105AOD， 75BOD， BOD BOF ，即OB 是DOF ∠的角平分线．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180︒是解题的关键．24．证明见解析．【分析】由//DE BC ，利用“两直线平行，内错角相等”可得出1CBE ∠=∠，由//BE FG ，利用“两直线平行，同位角相等”可得出2CBE，进而可证出12∠=∠．【详解】 证明：//DE BC ，1CBE ∴∠=∠．//BE FG ，2CBE ，12∠∠∴=．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记平行线的各性质定理是解题的关键．25．（1）证明见解析．（2）72°．【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠ECD=180°，从而可得∠2=∠ECD ，再根据内错角相等两直线平行可得GD ∥CA ；（2）由GD ∥CA ，得∠A=∠GDB=∠2=36°=∠ACD ，由角平分线的性质可求得∠ACB 的度数．【详解】解：（1）∵EF ∥CD∴∠1+∠ECD=180°又∵∠1+∠2=180°∴∠2=∠ECD∴GD ∥CA（2）由（1）得：GD ∥CA ，∴∠BDG=∠A=36°，∠ACD=∠2，∵DG 平分∠CDB ，∴∠2=∠BDG=36°，∴∠ACD=∠2=36°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠ACD=72°．【点睛】本题考查角平分线的有关证明和平行线的性质和判定．能正确识别同位角、内错角、同旁内角是解题关键．26．（1）75°；（2）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ．【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；（2）根据平行线的判定和性质解答即可．【详解】解：（1）∵AF ∥DE ，∴∠F+∠E=180°，∵105E ∠=︒∴∠F=180°-105°=75°；（2）如图，当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，∴∠GAD=∠CGF，∴BC∥AD．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．。
北京汇文中学八年级数学上册第五单元《分式》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．关于x 的分式方程5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m =B ．2m =-C ．5m =D ．5m =-2．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b =B ．11a ab b +=+ C ．2233a b a ab b= D ．232131a ab b ++=-- 4．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a bab+=( )A ．-2020B ．-2C ．1D ．25．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．756．下列计算正确的是（ ）A ．22a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．2222a b ba a b-=-D ．3339()28a a-=- 7．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ） A ．18018032x x-=- B ．18018032x x-=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x -=+ 8．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=100%⨯生活垃圾总量(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（ ）A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x⨯=++C ．660840014147660840010x x⨯=⨯++ D ．7840066010146608400x x++⨯=9．下列各式计算正确的是（ ）A ．()23233412a b a b-=-B ．()222(2)2224x xy y x y xy x --++=+-C ．()2422842a ba b b -÷=-D ．()325339a ba b -=-10．已知227x ,y ==-，则221639yx y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．311．2a ab b a ++-的结果是( )．A ．2a-B ．4aC ．2b a b--D ．b a- 12．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）． A ．132x - B ．213x + C ．231x x + D ．21xx + 二、填空题13．科学家使用冷冻显微术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为__________． 14．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 15．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____． 16．若关于x 的方程1322m xx x-+=--的解是正数，则m =____________．17．符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b c d＝ad ﹣bc ，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值．若2111111xx =--，那么x ＝__． 18．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．19．已知215a a+=，那么2421a a a =++________． 20．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．三、解答题21．小强家距学校3000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸骑电瓶车送他去学校．已知小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，且小强爸骑电瓶车的平均速度是小强步行的平均速度的5倍，小强到家取课本与小强爸启动电瓶车等共用4分钟．（1）求小强步行的平均速度与小强爸骑电瓶车的平均速度； （2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由．22．某商店购进 A B 、两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元（2）商店准备购买A B 、两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A B 、商品的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案？ 23．计算：（1）2031(2021)|13|(2)4； （2）2222()()ab a abb ab a abb ．24．水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用2000元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用2496元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． （1）第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 25．计算：（1）化简：()()22n m n m n -++； （2）解分式方程：2132163x x x -=---． 26．某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道，因为地质条件不同，甲、乙的挖掘速度不同，已知甲、乙同时挖掘3天，可以挖216米，若甲挖2天，乙挖5天可以挖掘270米．（1）请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米？（2）若隧道的总长为2400米，甲、乙挖掘机工作20天后，因为甲挖掘机进行设备更新，乙挖掘机设备老化，甲比原来每天多挖m 米，同时乙比原来少挖m 米，最终，甲、乙两台挖掘机完成的时间相同，且各完成隧道总长的一半，请求出m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解． 【详解】5222mx x+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，∵关于x 的分式方程5222m x x+=--有增根，且增根x=2， ∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5，故选D ． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；方程4102x -=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x +=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ． 【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．3．C解析：C 【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】A ．22a a b b=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；B ．11a ab b+=+，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误； C ．2233a b a ab b=，从左边到右边分子和分母同时除以ab ，分式的值不变，故正确； D ．232131a a b b ++=--，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．4．B解析：B 【分析】a 与b 互为相反数，由相反数的定义与性质得22=,a b a b -=，将代数式中字母统一成b,合并约分即可． 【详解】∵a 与b 互为相反数， ∴22=,a b a b -=，222222019202120192021220202020a b b b ab b ++==--， 故选择：B ．【点睛】本题考查分式求值问题，掌握相反数的定义与性质，会利用相反数将代数式的字母统一为b 是解题关键．5．D解析：D 【分析】根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y y y y +=+，将x 2y 5=代入计算即可． 【详解】 解：∵x 2y 5=， ∴x y x y 2y y y 5+=+=+175=， 故选：D ． 【点睛】此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．6．C解析：C 【分析】A 、B 两项利用同底数幂的乘除法即可求解，C 项利用合并同类项法则计算即可，D 项利用分式的乘方即可得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A 、原式=a 3，不符合题意； B 、原式=a 4，不符合题意； C 、原式=-a 2b ，符合题意； D 、原式=3278a- ，不符合题意， 故选：C ． 【点睛】此题考查了分式的乘方，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．D解析：D 【分析】设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程． 【详解】设原来参加游览的学生共x 人，由题意得18018032x x -=+， 故选：D ． 【点睛】此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．8．B解析：B 【分析】根据公式列出12月与5月厨余垃圾分出率，根据12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍列方程即可． 【详解】5月份厨余垃圾分出率=660660x+，12月份厨余垃圾分出率=84007840010x + ，∴由题意得6608400147660840010x x⨯=++，故选：B ． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．9．A解析：A 【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式运算法则判断即可． 【详解】A 、()23233412ab a b -=-，故这个选项正确；B 、()222(2)2224x xy y x y xy x --++=--，故这个选项错误； C 、()24222842a b a b b -÷=-，故这个选项错误； D 、()3263327a b a b -=-，故这个选项错误；故选：A ． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．10．B解析：B 【分析】先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．原式=()()16333yx y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-=()()333x yx y x y -+-=13x y+， 当227x ,y ==-，原式=112221=-，故选B ． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．11．C解析：C 【分析】根据分式的加减运算的法则计算即可． 【详解】222()()a a b a b a b a b b a a b a b a b+-++=-=-----. 故选：C 【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．12．B解析：B 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0确定答案． 【详解】A 、若3x-2≠0，即23x ≠时分式有意义，故该选项不符合题意； B 、∵230x +>，∴无论x 取何值，分式都有意义，故该项符合题意；C 、∵20x ≥，∴x ≠0时分式有意义，故该选项不符合题意；D 、若210x +≠即12x ≠-时分式有意义，故该选项不符合题意； 故选：B ．此题考查分式有意义的的条件：分母不等于0．二、填空题13．2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10−n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解解析：2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000000022＝2.2×10−10，故答案为：2.2×10−10．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m值再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．15．4【分析】将x=2代入求解即可【详解】将x=2代入=1得解得k=4故答案为：4【点睛】此题考查分式方程的解解一元一次方程正确理解方程的解是解题解析：4 【分析】将x=2代入求解即可． 【详解】 将x=2代入31k x x x -+-=1，得112k -=，解得k=4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查分式方程的解，解一元一次方程，正确理解方程的解是解题的关键．16．m ＜5且m≠1【分析】将分式方程去分母转化为整式方程表示出x 根据x 为正数列出关于m 的不等式求出不等式的解集即可确定出m 的范围【详解】解：关于的方程的解是正数且解得m ＜5且m≠1故答案为：m ＜5且m≠解析：m ＜5且m≠1 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，表示出x ，根据x 为正数列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可确定出m 的范围． 【详解】 解：1322m xx x-+=-- ()m+32=-1-x x5-m x=2关于x 的方程1322m xx x-+=--的解是正数， 5-m 02>且5-m22≠ 解得m ＜5且m≠1，故答案为：m ＜5且m≠1 【点睛】此题考查了分式方程的解，得出关于m 的不等式是解题的关键，注意任何时候考虑分母不为0．17．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的解析：4 【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．【详解】解：∵211111xx --=1， ∴21111x x-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，即x ＝4是分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．18．【分析】先计算括号内的加法再将除法化为乘法再计算乘法即可【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的混合运算掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键 解析：11a - 【分析】先计算括号内的加法，再将除法化为乘法，再计算乘法即可．【详解】 解：2121211a a a a +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭ =2112211a a a a a +-+÷-+- =211(1)1a a a a +-⋅-+ =11a -， 故答案为：11a -． 【点睛】 本题考查分式的混合运算．掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．19．【分析】将变形为=5a 根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a 即可得到答案【详解】∵∴=5a ∴故答案为：【点睛】此题考查分式的化简求值完全平方公式根据已知等式变形为=5a 将所求代数式的分母变形为 解析：124【分析】 将215a a+=变形为21a +=5a ，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a +=5a ，即可得到答案．【详解】 ∵215a a+=， ∴21a +=5a ， ∴2421a a a =++()()2222222221242451a a a a a a a a ===-+- 故答案为：124． 【点睛】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22(1)a a +-形式，再代入计算是解题的关键． 20．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x-= 【分析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用12小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x-=． 故答案为：1501150x 2 1.2x-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题21．（1）小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟；（2）小强不能按时到校，将会迟到，理由见解析【分析】（1）设小强步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，据此列方程求解； （2）计算出小强从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可．【详解】解：（1）设小强步行的平均速度为x 米/分钟，则小强爸骑电瓶车的平均速度为5x 米/分钟，根据题意得：30003000245x x-=， 解得100x =，经检验，100x =是分式方程的解，且符合题意，∴5500x =，即小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟； （2）由（1）得，小强半途步行返家所需时间为3000210015÷÷=分钟，小强爸骑电瓶车送小强到学校所需时间为30005006÷=分钟，所以，从小强半途步行返家到小强爸骑电瓶车送他到学校共用时间为154625++=分钟23>分钟，故小强不能按时到校，将会迟到．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．22．（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个；方案②：购进A 商品65个，B 商品15个；方案③：购进A 商品64个，B 商品16个【分析】（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，列出分式方程求解；（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据题意列出不等式组求出m 的范围，取整数解．【详解】解：()1设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，依题意， 得：30010010x x=+，解得：5x =，经检验， = 5x 是原方程的解，且符合题意，1015x ∴+=，答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；()2设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，依题意，得：()()804158051000158051060m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，解得：1416m ≤≤， m 为整数，14m ∴=或15或16，∴商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个，方案②：购进A 商品65个，B 商品15个，方案③：购进A 商品64个，B 商品16个．【点睛】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，解题的关键是掌握根据题意列分式方程和不等式的方法．23．（1）7；（2）32a ．【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方的运算分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先根据多项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：（1）2031(2021)|13|(2)416128=+--7=（2）2222()()a b a ab b a b a ab b322223a a b ab a b ab b =-++-++322223a a b ab a b ab b ++---3333a b a b =++-32a =．【点睛】考查了整式的混合运算以及负整数指数幂、零指数幂、立方、绝对值运算等知识，熟练运用这些法则是解题关键．24．（1）第一次水果进价是每千克4元；（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利3104元【分析】（1）设第一次水果的进价是每千克x 元，则第二次水果的进价是每千克1.2x 元，根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润=每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论．【详解】解：（1）设第一次水果进价为每千克x 元，则第二次水果进价为每千克1.2x 元． 依题意列方程得，2000249620 1.2x x+= 解得，4x =经检验，4x =是方程的根，且符合题意． ∴第一次水果进价是每千克4元．（2）第一次售完水果盈利为：()20009425004-⨯=（元） 第二次售完水果盈利为：()()200010 4.81005 4.8(20100)6044-⨯+-⨯+-=（元） 25006043104+=（元）∴该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利3104元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．25．（1）24m mn +；（2）x=1【分析】（1）根据单项式乘多项式法则和完全平方公式，即可得到结果；（2）通过去分母，把分式方程化为整式方程，即可求解．【详解】（1）原式=22222mn n m mn n -+++=24m mn +；（2）2132163x x x -=--- 213213(21)x x x -=--- 2(21)3x x --=-423x x --=-55=xx=1，经检验，x=1是方程的解，∴x=1．【点睛】本题主要考查整式的混合运算以及解分式方程，熟练掌握完全平方公式以及解分式方程的步骤，是解题的关键．26．（1）甲每天挖30米，乙每天挖42米；（2）m=15【分析】（1）设甲、乙每天分别挖x 、y 米．等量关系：3（甲+乙）216=米、2⨯甲5+⨯乙270=；（2）由题意可知20天后甲完成（30×20）米，剩余1(24003020)2⨯-⨯米，乙完成（4220⨯）米，剩余1(24004220)2⨯-⨯米，根据关键描述语：甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设甲、乙每天分别挖x 、y 米．依题意得：3()21625270x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解得3042x y =⎧⎨=⎩． 答：甲每天挖30米，乙每天挖42米；（2）由题意可知：20天后甲完成（30×20）米，剩余1(24003020)2⨯-⨯米，乙完成（4220⨯）米，剩余1(24004220)2⨯-⨯米， 依题意得：112400302024004220223042m m⨯-⨯⨯-⨯=+-， 解得：m=15，经检验：m=15是原方程的解．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键，切记，分式方程一定要验根．。
北京市汇文中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题
北京市汇文中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 2．小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度cm y 与鞋子的码数x 之间满足一次函数关系，下表给出y 与x 的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．38cm 3．如图，在ABC V 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，FD AB ⊥交CB 的延长线于点F ．若3AF =，7CF =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．44．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A ．平均数，中位数B ．众数，中位数C ．众数，方差D ．平均数，方差5．已知y 是关于x 的二次函数，部分y 与x 的对应值如表所示：则当40x -<<时，y 的取值范围是（ ）A ．36y -<<B ．26y -<<C ．36y -≤<D ．26y -≤<6．已知()26100a c --=，则以a ，b ，c 为三边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 7．一元二次方程2630kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤ D ．3k ≤且0k ≠8．对任意两个实数a ，b 定义两种运算：()()a a b a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，()()b a b a b a a b ⎧≥⎪⊗=⎨<⎪⎩，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如()233-⊕=，()232-⊗=-，()2322-⊕⊗=⎡⎤⎣⎦． 那么)2 ）．AB ．3C ．6D ．9．矩形纸片两邻边的长分别为a ，b （a b <），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形ABCD ，其边长为a b +．图中正方形ABCD ，正方形EFGH 和正方形MNPQ 的面积之和为（ ）A ．2222a b +B ．2223a b +C ．2233a b +D ．2244a b +10．如图1，在ABC V 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是边BC 上的一个动点，过点P分别作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，连接DE ．如图2所示的图象中，912,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该图象的最低点．下列四组变量中，y 与x 之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ）A ．点P 与B 的距离为x ，点P 与C 的距离为yB ．点P 与B 的距离为x ，点D 与E 的距离为yC ．点P 与D 的距离为x ，点P 与E 的距离为yD ．点P 与D 的距离为x ，点D 与E 的距离为y二、填空题11=．12．已知一组数据的方差：2222221(45)(65)(55)(5)(5)5s m n ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，那么m n +的值为．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于x 的每一个值，一次函数2(0)y mx m =+≠的值都大于函数2y x =的值，那么m 的值是．14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将ABC V 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为．15．在平面直角坐标系xOy 中，将直线1:l y x m =-+向下平移1个单位长度，得到直线2:1l y x =-+，则m =．16．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，分别以边AC BC AB ，，为直径画半圆．记两个月牙形图案ADCE 和CGBF 面积之和（图中阴影部分）为1S ，ABC V 的面积为2S ，则1S 2S （填“＞”，“＝”或“＜”）．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(A ，AB y ⊥轴于点B ，以AB 为边作菱形ABCD ，若点C 在x 轴上，则点D 的坐标为．18．对于二次函数22y x ax =-+，当1x >时，y 随x 的增大而减小，那么a 的取值范围为．19．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，如[4]4=，1=，[ 2.5]3-=-．现对82进行如下操作：82931⎡⎤⎡⎤⎡⎤===u u u u u u u u r u u u u u u u u r u u u u u u u u r 第一次第二次第三次，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行次操作后变为1．20．磁力棋的棋盘为99⨯的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，根据以上规则，回答下列问题：（1）如图，小颖在棋盘A ，B ，C 三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从21P P ，中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是；（2）棋盘最多可摆放颗互不相吸的磁力珠．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．22．如图，在ABC V 中，AB AC =，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，BF DE ∥，EF DB ∥．(1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)连接DF 交BC 于点M ，连接CD ，若4BE =，AC =DM ，CD 的长． 23．下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程．已知：ABC V ；求作：菱形AEDF （点E 在AB 上，点D 在BC 上，点F 在AC 上）；作法：①作BAC ∠的角平分线，交BC 于点D ；②作线段AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ；③连接DE 、DF ．所以四边形AEDF 为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：AD Q 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．EF Q 是线段AD 的垂直平分线，,EA ED FA FD ∴==，,BAD ADE CAD ADF ∴∠=∠∠=∠，,CAD ADE BAD ADF ∴∠=∠∠=∠，ED AC ∴∥，DF AB ∥．（_____________）（填推理的依据）∴四边形AEDF 为平行四边形．（______________）（填推理的依据）EA ED =Q ，∴四边形AEDF 为菱形．（_____________）（填推理的依据）24．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：b ．七年级学生的成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m ，n 的值；(2)估计七、八两个年级成绩在90100x ≤≤的人数一共为______；(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为1p ，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为2p ，比较1p ，2p 的大小，并说明理由．25．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根12x x 、(1)求a 的取值范围(2)若12x x 、满足22121216x x x x +-=，求a 的值．26．对于函数2y x m =+（m 为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题，(1)当0m =时，函数为2y x =；当7m =时，函数为27y x =+．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数2y x =的图象关于______对称：对于函数27y x =+，当x =______时，3y =；(2)当4m =-时，函数为24y x =-，对于函数24y x =-，当13x <<时，y 的取值范围是______；(3)结合函数2y x =，27y x =+和24y x =-的图象，可知函数()20y x m m =+≠的图象可由函数2y x =的图象平移得到，它们具有类似的性质．①若0m >，写出由函数2y x =的图象得到函数2y x m =+的图象的平移方式；②若点()1,t y 和()21,t y +都在函数2y x m =+的图象上，且12y y >，直接写出t 的取值范围（用含m 的式子表示）．27．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），连接AE ，P 为点B 关于直线AE 的对称点．(1)连接AP ，作射线DP 交射线AE 于点F ，依题意补全图1．①若BAE α∠=，求ADP Ð的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段AF ，PF 和PD 之间的数量关系，并证明；(2)已知2AB =，连接PC ，若PC ∥AE ，M ，N 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两个动点，且BN BM =EM ，AN ，直接写出EM AN +的最小值．28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 与图形W ，给出如下的定义：在点P 与图形W 上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点P 与图形W 的距离，特别的，当点P 在图形W 上时，点P 与图形W 的距离为零．如图1，点()1,3A ，点()5,3B ．(1)点()0,1E 与线段AB 的距离为______；点()5,1F 与线段AB 的距离为______；(2)若直线2y x =-上的点P 与线段AB 的距离为2，求出点P 的坐标；(3)如图2，将线段AB 沿y 轴向上平移2个单位，得到线段DC ，连接AD BC ，，若直线y x b =-上存在点P ，使得点P 与四边形ABCD 的距离小于或等于1，请直接写出b 的取值范围为______．。
北京汇文中学数学有理数单元测试卷(含答案解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最大的负整数，且满足 .（1）求，，的值；（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点对应的数；（3）点，，在数轴上同时开始运动，其中以单位每秒的速度向左运动，以单位每秒的速度向左运动，点以单位每秒的速度运动，当，相遇时，停止运动，求此时两点之间的距离.【答案】（1）解：∵是最大的负整数，∴b=-1，∵，∴a=-3，c=6（2）解：设当点与点重合时，对折点为D，则D点的坐标为（-2,0），∴此时与点重合的点对应的数是-10（3）解：由（1）和（2）可知，运动前BC=7，由题意可得，运动后，相遇时，可计算出经历的时间为7s，此时C点坐标为（-8,0），当A点向左运动时，此时C点坐标为（-24,0），可得此时两点之间的距离为16；当A点向右运动时，此时C点坐标为（18,0），可得此时两点之间的距离为26【解析】【分析】（1）根据是最大的负整数得出b=-1，根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，求出a,c的值；（2）设当点与点重合时，对折点为D，根据折叠的性质得出点D所表示的数是-2，故CD=8，在点D的左边距离点D8个单位的数就是-10，从而得出答案；（3）由（1）和（2）可知，运动前BC=7，由题意可得，运动后，相遇时，可计算出经历的时间为7s，然后根据点A向左或向右运动两种情况考虑即可得出答案.2．（1）观察发现，，，……，．＝1﹣＝．＝1﹣＝．＝________．（2）构建模型＝________．(n为正整数)（3）拓展应用：① ＝________．② ＝________．③一个数的八分之一，二十四分之一，四十八分之一，八十分之一的和比这个数的四分之一小1，这个数是________．【答案】（1）（2）（3）；；20.【解析】【解答】(1) ＝=1﹣＝，故答案为：；(2) ＝＝1﹣＝，故答案为：；(3)①原式＝＝1﹣＝，故答案为：；②原式＝＝＝1﹣＝，故答案为：；③设这个数为x，根据题意得：( )x＝ x﹣1，整理得： x＝ x﹣1，去分母得：( )x＝x﹣4，即(1﹣ )x＝x﹣4，整理得： x＝x﹣4，解得：x＝20，答：这个数是20.【分析】（1）各项拆项后，计算即可求出值；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）①原式拆项后，计算即可求出值；②原式变形后拆项，计算即可求出值；③设这个数为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．3．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB，故2PB+PB＝AB，代数可得PB＝8，故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，所以2PB﹣PB＝AB，故PB＝AB＝24，故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，3t2﹣(t2+AB)＝4，故3t2﹣(t2+24)＝4，则t2＝14；第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，3t3+t3+4+AB＝2AC，故3t3+t3+4+24＝2×48，则t3＝17；第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，3t4+t4+AB＝2AC+4，故3t4+t4+24＝2×48+4，则t4＝19.【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.4．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；（2）化简：；（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．【答案】（1）>；<；<（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，则2b -c - (a - 4c - b)．=2b -c - a + 4c + b=3(b+c)-2=【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0<b<1<a∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足＋＝0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值；（2）数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点M是A、B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简（请写出化简过程）；（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）解：∵b是最小的正整数∴b=1∵＋＝0∴a = -1，c=5故答案为：-1；1；5；（2）解：由（1）知，a = -1，b=1，a、b在数轴上所对应的点分别为A、B，①当m<0时，|2m|=-2m；②当m≥0时，|2m|=2m；（3）解：BC-AB的值不随着时间t的变化而变化，其值是2，理由如下：∵点A以每秒一个单位的速度向左移动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右移动，∴BC=3t+4，AB=3t+2∴BC-AB=3t+4-（3t+2）=2【解析】【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据＋＝0，即可求出a、c的值；（2）先得出点A、C之间（不包括A点）的数是负数或0，得出m≤0，在化简|2m|即可；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2.6．阅读材料:在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.【答案】（1）-4；10（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.则(3-1)x=14解得：x=7故7秒后点A，B重合.（3）解：y不发生变化，理由如下：设运动时间为x秒，则AM=x而OP=则y=OP-AM=故y为定值，不发生变化.【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.7．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值,即：点A、B表示的数分别为a、b,这两点之间的距离为AB= ，如:表示数1与5的两点之间的距离可表示为，表示数-2与3的两点之间的距离可表示为 .（借助数轴，画出图形，写出过程）（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是________,数轴上表示3和-6的两点之间的距离是________；（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是________,如果|MN|，则x为________；（3）当式子： |x+2|+|x-3|+|x-4| 取最小值时，x的值为________,最小值为________.【答案】（1）｜2-7｜＝5；｜3-（-6）｜＝9（2）｜x+2｜；-8或4（3）3；6【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是：|2-7|=5；数轴上表示-3和-6的两点之间的距离是：|3-（-6）| =9；故答案为：5，9；（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是：|x+2|，如果|MN|=6，则|x+2|=6，∴x+2=±6，解得：x=4或x=-8，故答案为：|x+2|，4或-8；（3）|x+2|+|x-3|+|x-4|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示-2、3、4的三点的距离之和，显然只有当x=3时，取到最小值；∴当x=3时，最小值为：；【分析】（1）和（2）主要是根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算；（3）结合数轴和两点间的距离进行分析.8．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且.（1）a=________，b=________；（2）在数轴上是否存在一点P，使，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？（3）点M从点A出发，沿的路径运动，在路径的速度是每秒2个单位，在路径上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？【答案】（1）-8；4（2）解：根据题意，若要满足，则点P在线段AB中点右侧，线段AB的中点表示的数为-2，设点P表示的数为x，分三种情况讨论：①当-2≤x<0时，则x+8-（4-x）=2（-x），解得：x=-1；②当0≤x<4时，则x+8-（4-x）=2x，方程无解③当x≥4时，则x+8-（x-4）=2x，解得：x=6.综上：存在点P，表示的数为-1或6（3）解：设运动时间为t，根据运动情况，可知MN=1的情况有三种：①M在A→O上，且M在N左侧，则2t+3t+1=12，解得t= .②M在A→O上，且M在N右侧，则2t+3t-1=12，解得t= .③M在O→A上，且N到达点A，此时，M在A→O上所用时间为8÷2=4（s），M在O→A上速度为4个单位每秒，∵MN=1，∴（8-1）÷4= ，∴此时时间t=4+ = ，综上：当MN=1时，时间为秒，秒或秒【解析】【解答】（1）解：∵，∴ab=-32，b-4=0，∴a=-8，b=4.【分析】（1）根据，利用绝对值及偶次方的非负性即可求出；（2）若要满足，则点P在线段AB中点右侧，分三种情况讨论；（3）当MN=1时，根据运动情况，可分三种情形讨论，列出方程解答.9．阅读材料：如图①，若点B把线段分成两条长度相等的线段AB和BC，则点B叫做线段AC的中点．回答问题：（1）如图②，在数轴上，点A所表示的数是﹣2，点B所表示的数是0，点C所表示的数是3．①若A是线段DB的中点，则点D表示的数是________；②若E是线段AC的中点，求点E表示的数________．（2）在数轴上，若点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段MN的中点．①若点P表示的数是1，则m、n可能的值是________（填写符合要求的序号）；（i）m＝0，n＝2；（ii）m＝﹣5，n＝7；（iii）m＝0.5，n＝1.5；（iv）m＝﹣1，n＝2②直接用含m、n的代数式表示点P表示的数________．【答案】（1）﹣4；；（2）（i）（ii）（iii）； .【解析】【解答】解：（1）①点A所表示的数是﹣2，点B所表示的数是0，A是线段DB 的中点，∴点D表示的数是﹣4，故答案为﹣4；②点A所表示的数是﹣2，点C所表示的数是3，E是线段AC的中点，∴点E表示的数为．（2）①点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段MN的中点，点P表示的数是1，∴1＝，即m+n＝2，∴m、n可能的值是：（i）m＝0，n＝2；（ii）m＝﹣5，n＝7；（iii）m＝0.5，n＝1.5．故答案为（i）（ii）（iii）；②点P表示的数为．【分析】（1）①依据点A所表示的数是-2，点B所表示的数是0，A是线段DB的中点，即可得到点D表示的数；②依据点A所表示的数是-2，点C所表示的数是3，E是线段AC 的中点，即可得到点E表示的数；（2）①依据点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段MN的中点，点P表示的数是1，即可得到m、n可能的值；②依据中点公式即可得到结果．10．数轴上两个质点A．B所对应的数为−8、4，A．B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒。
北京汇文中学九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在⊙O 上，点D 在优弧ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．165°B ．155°C ．145°D ．135°2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，过B ，C 两点的O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交O 于点F ．连接BF ，CF ，若135EDC ∠=︒，2AE =，4BE =，则CF 的值为（ ）．A ．10B ．22C ．23D ．3 3．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104π 4．如图在ABC 中，∠B=90°，AC=10，作ABC 的内切圆圆O ，分别与AB 、BC 、AC 相切于点D 、E 、F ，设AD=x ，ABC 的面积为S ，则S 关于x 的函数图像大致为（ ）A．B．C．D．5．如图，正六边形ABCDEF内接于O，过点O作OM⊥弦BC于点M，若O的半径为4，则弦心距OM的长为（）A．3B3C．2 D．22π，则该圆锥的高是（）6．若圆锥的底面半径为5cm，侧面积为265cmA．13cm B．12cm C．11cm D．10cm7．如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM可取的整数值有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4 8．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠ 9．如图，⊙O 的半径为2，四边形ADBC 为⊙O 的内接四边形，AB ＝AC ，∠D ＝112.5°，则弦BC 的长为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．23 10．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为1L ，n 个小半圆弧长的和为2L ，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为3L ．则（ ）A ．123L L L =>B ．123L L L =<C ．无法比较1L 、2L 、3L 间的大小关系D ．132L L L >>11．如图，⊙O 的直径2AB AM =，和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．412．如图，△ABC 内接于☉O ，若☉O 的半径为6，∠A=60°，则BC 的长为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π二、填空题13．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则AB 的长为________14．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，35BAC ∠=︒，则P ∠的度数为________.15．ABC 是边长为5的等边三角形，点D 在ABC 的外部且30BDC ∠=︒，则AD 的最大值是______．16．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．17．如图，已知O 是以数轴上原点O 为圆心，半径为2的圆，45AOB ∠=︒，点P 在x正半轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与O 有公共点，设P 点对应的数为x ，则x 的取值范围是______．18．如图，⊙O 的半径为1，作两条互相垂直的直径AB 、CD ，弦AC 是⊙O 的内接正四边形的一条边．若以A 为圆心，以1为半径画弧，交⊙O 于点E ，F ，连接AE 、CE ，弦EC 是该圆内接正n 边形的一边，则该正n 边形的面积为____．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （8，0），⊙O 半径为3，B 为⊙O 上任意一点，P 是AB 的中点，则OP 的最小值是____．20．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_____．三、解答题21．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．（1）求DEB ∠的度数：（2）若3OC =，5OA =，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．22．如图，以Rt ABC 的AC 边为直径作O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点P 为BC 的中点，连接EP ，AD ．（1）求证：PE 是O 的切线； （2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离．23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 于点G ，交AE 于点F ，过点E 作EP ⊥AB 交AB 于点P ，∠EAD ＝∠DEB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：CE ＝EP ；（3）若CG ＝12，AC ＝15，求四边形CFPE 的面积．24．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°．（1）作∠ABC 的角平分线交AC 于点P ，以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P ，则⊙P 与BC 的位置关系是 ． （2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P 的面积．25．如图，O 的半径为2，四边形ABCD 内接于O ，圆心O 到AC 3.（1）求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数.26．图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB 、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形 ABCD ，点D 在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求=四边形ABCD S ．（2）在图②中画一个四边形 ABCE ，点E 在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求ABCE S =四边形 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OB ，根据平行四边形的性质可得∠OAB=∠C=45°，再根据等腰三角形的等边对等角得∠OBA=∠OAB=45°，则∠AOB=90°，由DA=DB 得∠AOD=∠BOD ，进而可求得∠AOD 的度数．【详解】解：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠OAB=∠C=45°，∵OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠AOB=90°，∵DA=DA ，∴∠AOD=∠BOD=12（360°﹣90°）=135°， 故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，熟知等弦所对的圆心角相等是解答的关键． 2．A解析：A【分析】由四边形BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC ，由EF 是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE ，再根据四边形BECF 是⊙O 的内接四边形知∠AEC=∠BFC ，从而证△ACE ≌△BCF 得AE=BF ，根据Rt △ECF 是等腰直角三角形知EF 2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE 内接于O ，且135EDC ∠=︒， ∴18045EFC ABC EDC ︒∠=∠=-∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴ABC 是等腰三角形，∴AC BC =， 又∵EF 是O 的直径， ∴90EBF ECF ACB ∠=∠=∠=︒，∴BCF ACE ∠=∠，∵四边形BECF 是O 的内接四边形，∴AEC BFC ∠=∠，∴()ACE BFC ASA ≅△△，∴AE BF =，Rt BEF △中，22222224220EF BF BE BE AE =+=+=+=，Rt ECF △中，45EFC ∠=︒，∴CE CF=，∴2222+===，220CE CF CF EF∴210CF=，∴10CF=，故选:A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．3．B解析：B【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，∵OB=OC，∴OB2=OC2，∴22+(16-x) 2=62+x2，解得x=7，∴r2=OB2=22+92=85，∴圆的面积S=πr2=85π，故选：B．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．4．A解析：A【分析】连接OD 、OE ，根据三角形内切圆证得四边形DBEO 是正方形，在根据勾股定理即可得解；【详解】连接OD 、OE ，如图，O 的半径为r ，∵△ABC 的内切圆O 分别于AB 、BC 、AC 相切与点D 、E 、F ，∴⊥OD AB ，OE BC ⊥，AF=AD=x ，CE=CF=10-x ，易得四边形DBEO 是正方形，∴DB BE OD r ===， ∵()()2△1110101022ABC S r AB BC AC r x r r x r r =++=+++-+=+，∵222AB BC AC +=，∴()()2221010x r x r ++-+=， ∴221010r r x x +=-+， ∴()2210525S x x x =-+=--+（0＜x ＜10）． 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与圆心，函数图像，准确分析判断是解题的关键．5．A解析：A【分析】如图，连接OB 、OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，求出BC 、BM ，根据勾股定理即可求出OM ．【详解】解：如图，连接OB 、OC ．∵ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，OB=OC=4，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=4，∵OM⊥BC，∴BM=CM=2，在Rt△OBM中，22224223OM OB BM=-=-=，故选：A．【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．6．B解析：B【分析】先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【详解】解：根据题意得12•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，所以圆锥的高=2213512．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．C解析：C【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=1×8=4，2∴在Rt△OAM′中，OM′=2222-'=3，OA AM=-54∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，故线段OM长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．8．D解析：D【分析】利用切线长定理证明△PAG≌△PBG即可得出．【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．9．C解析：C【分析】如图：连接OB、O C,先根据圆的内接四边形对角互补得到∠C=67.5°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC=45°，再根据圆周角定理可得∠BOC=90°，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ADBC 为⊙O 的内接四边形，∠D ＝112.5°∴∠C=180°-∠D ＝180°-112.5°=67.5°∵AC=AB∴∠BAC=180°-2∠C=45°∴∠BOC=90° ∴BC=22222222OB OC +=+=．故答案为C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的突破口．10．A解析：A【分析】利用圆周长公式计算1L 和2L 的长．根据圆周长公式分别写出1L 和2L 的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出13L L >，即可选出答案．【详解】解：设n 个小半圆半径依次为1r ，2r ，⋯，n r ．则大圆半径为()12n r r r ++⋯+()112n L r r r π∴=++⋯+，212n L r r r πππ=++⋯+()12n r r r π=++⋯+，12L L ∴=；根据“两点之间线段最短的性质”可得：13L L >，123L L L ∴=>．．故选A ．【点睛】本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大． 11．C解析：C【分析】由切线的性质得到AM 、BN 与AB 垂直，过点D 作DF ⊥BC 于F ，，构造一个直角三角形DFC ，再由切线长定理和勾股定理列方程，得出关于y 的函数关系式，根据直角梯形的面积公式求解．【详解】∵AB 是直径，AM 、BN 是切线，∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，∴AM ∥BN ．过点D 作DF ⊥BC 于F ，则AB ∥DF ．∴四边形ABFD 为矩形．∴DF ＝AB ＝2，BF ＝AD ．∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线，∴根据切线长定理，设DE ＝DA ＝x ，CE ＝CB ＝y ．在Rt △DFC 中，DF ＝2，DC ＝DE +CE ＝x +y ，CF ＝BC ﹣BF ＝y ﹣x ，∴（x +y ）2＝22+（y ﹣x ）2，∴y ＝1x， ∴四边形的面积S ＝12AB （AD +BC ）＝12×2×（x +1x ），即S ＝x +1x （x ＞0）． ∵（x +1x ）﹣2＝x ﹣2+1x x x 2≥0，当且仅当x ＝1时，等号成立． ∴x +1x≥2，即S ≥2，∴四边形ABCD 的面积S 的最小值为2．故选：C ．【点睛】考查了切线的性质、平行线的判定、矩形的性质和勾股定理，解题关键是作出辅助线． 12．B解析：B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 度数，再由弧长公式即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴BC =208161π⨯=4π． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解题的关键．二、填空题13．【分析】连接AB 并延长BO 交圆于C 连接ACPAPB 是⊙O 的切线由切线长定理知PA=PB ；又∠P=60°则等腰三角形APB 是等边三角形则有∠ABP=60°BC 是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC= 解析：3【分析】连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，PA 、PB 是⊙O 的切线，由切线长定理知PA=PB ；又∠P=60°，则等腰三角形APB 是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC 是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt △ABC 中，有∠ABC=30°，进而可知AB 的长．【详解】解：连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴∠PBA=60°；又∵BC是圆的直径，∴CB⊥PB，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°，而BC=4，∴在Rt△ABC中，cos30°=AB BC，∴AB=4×32=23．故答案为：23【点睛】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键．14．70°【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数然后根据∠BAC＝35°即可求得∠P的度数【详解】解：连接OB：∵PAPB是⊙O的两条切线AB是切点AC是⊙O的直径∴∠OAP＝∠OBP＝90°解析：70°【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．【详解】解：连接OB：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠BAC＝35°，OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝35°，∴∠PAB＝∠PBA＝55°，∴∠P＝180°−∠PAB−∠PBA＝70°，即∠P的度数是70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质解答问题．15．【分析】作A点关于BC的对称点A以A点为圆心以BC的长为半径作圆连接AA交BC于E点延长AA交⊙A与点D连接BDCD则∠BDC＝∠BAC＝×60°＝30°此时AD为最大值根据等边三角形的性质可求解A解析：5【分析】作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BDC＝12∠BA'C＝12×60°＝30°，此时AD为最大值，根据等边三角形的性质可求解A'E＝AE，A'D＝A'B＝AB＝5，进而可求解．【详解】作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BDC＝12∠BA'C＝12×60°＝30°，此时AD为最大值，∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴BC＝AB＝5，∴BE=12BC=52∴A'E＝AE A'D＝A'B＝AB＝5，∴AD＝AE＋A'E＋A'D＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识的综合运用，解题的关键是根据题意作出示意图进行求解．16．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形解析：1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．【详解】解：如图，O 的面积为π，设半径为r ，2S r ππ∴==，∴21r =，解得，1r =， ∵360606AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，故1AB OA ==．故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键．17．【分析】根据题意知直线和圆有公共点则相切或相交相切时设切点为C连接OC根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2求得斜边是2所以x的取值范围是0＜x≤2【详解】解：设切点为C连接OC则圆的半径OC=2O解析：022<≤x【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2，求得斜边是22．所以x的取值范围是0＜x≤22．【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=2，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA//PC，∴∠OPC=45°，∴PC=OC=2，∴OP=22+=22，22所以x的取值范围是0＜x≤22，故答案为0＜x≤22．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．18．3【分析】利用正多边形和圆的关系可知弦EC是该圆内接正十二边形的一边所以∠EOC=30°然后计算出△EOC的面积最后乘以12即为该多边形的面积【详解】解：如图所示连接EO作EF⊥CO交CO于点F由题解析：3【分析】利用正多边形和圆的关系可知弦EC是该圆内接正十二边形的一边，所以∠EOC=30°，然后计算出△EOC的面积，最后乘以12即为该多边形的面积．【详解】解：如图所示，连接EO，作EF⊥CO交CO于点F由题意可得n=12∴∠EOC=30°∴EF=12EO=12 ∴S △EOC =1·2EF CO =11××122=14 ∴该正12边形的面积=12 S △EOC =3故答案为：3【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质及其应用，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．19．【分析】作点A 关于y 轴的对称点C 连接BC 由题意可得若OP 取最小值则BC 也为最小因此可根据圆外的点到圆上的距离为最小只需过圆心即可求解【详解】解：作点A 关于y 轴的对称点C 连接BC 如图所示：∴点O 为AC解析：52【分析】作点A 关于y 轴的对称点C ，连接BC ，由题意可得12OP BC =，若OP 取最小值，则BC 也为最小，因此可根据圆外的点到圆上的距离为最小只需过圆心即可求解．【详解】解：作点A 关于y 轴的对称点C ，连接BC ，如图所示：∴点O 为AC 的中点，∵点P 为AB 的中点，∴12OP BC =，//OP BC ，当OP 取最小值，则BC 也取最小值，∵()8,0A ，OB=3，∴OA=OC=8，当点C 、O 、B 三点共线时，BC 的长为最小，即为：835BC =-=， ∴52OP =，即OP 的最小值为52； 故答案为52． 【点睛】本题主要考查圆的最值问题，关键是根据三角形的中位线得到线段的最值问题，然后根据点与圆的位置关系进行求解即可．20．【分析】利用三角形三边分别为345可得三角形是直角三角形根据内切圆的性质可判定四边形OECE 是正方形所以用r 分别表示：CE ＝CD ＝rAE ＝AN ＝3−rBD ＝BN ＝4−r ；再利用AB 作为相等关系求出r解析：5 【分析】利用三角形三边分别为3、4、5，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形OECE 是正方形，所以用r 分别表示：CE ＝CD ＝r ，AE ＝AN ＝3−r ，BD ＝BN ＝4−r ；再利用AB 作为相等关系求出r ＝1，则可得AN ＝2，N 为圆与AB 的切点，M 为AB 的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M 为外接圆的圆心；在Rt △OMN 中，先求得MN ＝AM−AN ＝12，由勾股定理可求得OM 的长． 【详解】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴32+42＝52，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt △ABC ，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，设Rt △ABC 的内切圆的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，∵∠C ＝90°，∴CE ＝CD ＝r ，AE ＝AN ＝3﹣r ，BD ＝BN ＝4﹣r ，∴4﹣r +3﹣r ＝5，解得r ＝1，∴AN ＝2，在Rt △OMN 中，MN ＝AM ﹣AN ＝12，∴OM【点睛】 此题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．解决本题的关键是掌握直角三角形的外心与内心概念．三、解答题21．（1）25°；（2）①8；②25π9 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =， ∴11502522DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒； （2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ，∴4AC ==，∴AB=2AC=8；②∵50AOD ，AD BD =，∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，∴弧AB 的长π1005π25π1801809n r ⨯===． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）1221.7 【分析】 （1）连接CE ，由AC 是⊙O 的直径，得出CE ⊥AE ，由P 为BC 的中点，可得EP=BP=CP ，可得∠PEC=∠PCE ， 再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）设P 点到直线AD 的距离为d ，根据三角形的面积得到PD AC d AD= ①由勾股定理得63BC =，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出OEA △为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =+=，将以上数据代入①得即可得到结论．【详解】证明：（1）连接CE ，如图所示：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点P 为BC 的中点，∴EP=BP=CP ．∴∠PEC=∠PCE ．∵OE=OC ，∴∠OEC=∠OCE ．∵∠PCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠PEC+∠OEC=∠OEP=90°．E 在O 上，∴EP 是⊙O 的切线；（2）解：设P 点到直线AD 的距离为d ， 连接,AP OP ，则有：1122PAD SAD d PD AC ==， ∴PD AC d AD= ①∵⊙O 的半径为3，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，由勾股定理得：BC = ∴PC =∵O ，P 分别是AC ，BC 的中点，∴//OP AB ，∴∠OPC=∠B=30°，∵OE=OA ，∠OAE=60°，∴OEA △为等边三角形，∴∠EOA=60°，∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，∴∠ODC=∠OPC=30°，∴OP=OD ，∵OC ⊥PD ， ∴CD PC ==，在Rt ACD △中，由勾股定理得：AD =将以上数据代入①得：637PD AC d AD ===． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30的直角三角形的性质，等面积法，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）面积是45【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED=90°，∠OED=∠ADE ，由余角的性质可得∠DEB+∠OED=90°，进而可得∠BEO=90°，可得结论；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE 为∠CAB 的角平分线，由角平分线的性质可得CE=EP ；（3）连接PF ，先证四边形CFPE 是菱形，可得CF=EP=CE=PF ，由“AAS”可证△ACE ≌△APE ，可得AP=AC=15，由勾股定理可求CF 的长，即可求解．【详解】证明：（1）连接OE ，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ADE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，又∵∠DEB＝∠EAD，∴∠DEB+∠OED＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∴AE为∠CAB的角平分线，又∵EP⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝EP；（3）连接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG22-9，-225144AC CG∵∠CAE＝∠EAP，∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝PE，∴四边形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵∠CAE＝∠EAP，∠EPA＝∠ACE＝90°，CE＝EP，∴△ACE≌△APE（AAS），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝152，∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝152×6＝45．【点睛】本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（1）相切；（2）9 4【分析】（1）先利用角平分线的性质得到点P到BC的距离等于PA，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．（2）由全等三角形的性质，先求出CD=2，由勾股定理求出AC=4，再利用勾股定理求出PD的长度即可．【详解】解：（1）作PD⊥BC，交BC于点D，如图：∵PB平分∠ABC，∴点P 到BC 的距离等于PA ，∴PA=PD ，∴BC 为⊙P 的切线．故答案为：相切．（2）由（1）可知，易得△ABP ≌△DBP ，∴BD=AB=3，∴CD=5-3=2，∵在直角△ABC 中，由勾股定理，得 22534AC =-=，设PA PD r ==，∴4PC r =-，在直角△PDC 中，由勾股定理，则()22242r r -=+， 解得：32r =， ∴圆的面积为：223924S r πππ==•=()． 【点睛】 本题考查了圆的定义，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．25．（1）2；（2）150︒【分析】（1）过点O 作OE AC ⊥于点E ，根据勾股定理求出CE ，即可得出答案；（2）连接OA ，先求出60AOC ∠=︒，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠B=30°，即可得出答案．【详解】（1）过点O 作OE AC ⊥于点E ，如图，则在Rt OCE 中，3OE =2OC =，∴()2222231CE OC OE =-=-=∴22AC CE ==；（2）连接OA ，如图：∵由（1）知，在AOC △中，AC OA OC ==，∴60AOC ∠=︒，∵弧AC =弧AC ，∴1302B AOC ∠=∠=︒， ∴180********ADC B ︒︒∠=-∠=-=︒︒．【点睛】 本题考查了垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题关键． 26．（1）图见详解，6 ；（2）图见详解，4.5【分析】（1）过C 画AB 的平行线，过A 画BC 的平行线，两线交于一点D ，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质可知∠CBA=∠CDA ，然后用用割补法求出面积即可；（2）根据图中正方形网格和∠B 的特点，作出∠E 与∠B 互补，然后用割补法求面积即可．【详解】解：（1）如图，S 四边形ABCD =3×4-122⨯×2-222⨯-112⨯=6； （2）如图，S四边形ABCE=3×3-122⨯×2-222⨯-112⨯=92．【点睛】此题主要考查了应用设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．。
2024年北京市东城区汇文中学中考数学模拟试卷及答案解析(4月份)
2024年北京市东城区汇文中学中考数学模拟试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（）A．B．C．D．2．（2分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（）A．4.75×107B．4.75×108C．4.75×109D．475×106 3．（2分）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（）A．B．C．D．4．（2分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若|a|＝|c|，则下列结论中正确的是（）A．a+c＞0B．a﹣b＞0C．|a|＞b D．ab＞05．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（）A．20°B．30°C．45°D．60°6．（2分）方程的解是（）A．4B．3C．2D．17．（2分）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则下列结论中正确的是（）A．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y28．（2分）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（）①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）若分式的值为0，则x的值是．10．（2分）因式分解：a3﹣ab2＝．11．（2分）正六边形的一个外角的度数为°．12．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．13．（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是cm．14．（2分）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为．15．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则DH＝．三.解答题（本题共68分）17．（4分）计算：．18．（4分）已知：x2+3x＝1，求代数式•﹣的值．19．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ．作法：如图，①在直线l 上任取两点A ，B ；②以点P 为圆心，AB 长为半径画弧，以点B 为圆心，AP 长为半径画弧，两弧在直线l 上方交于点Q ：③作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵PA ＝QB ，AB ＝PQ ，∴四边形PABQ 是平行四边形（）（填写推理的依据）．∴PQ ∥AB （）（填写推理的依据）．即PQ ∥l ．20．（6分）我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，角平分线、中线、高线只要两线重合，则这个三角形是等腰三角形（结论）．选择下面一种情况，完成证明．情况一情况二情况三已知：如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC ，D 是BC 中点．求证：AB ＝AC ．已知：如图，在△ABC 中，BD ＝CD ，AD ⊥BC 于D ．求证：AB ＝AC ．已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD 平分∠BAC ．求证：AB ＝AC ．选择情况：．证明：21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣2k2+8k+5的值．22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点（4，0），且与反比例函数y＝的图象在第四象限的交点为（n，﹣1）．（1）求b，m的值；（2）点P（x p，y p）是一次函数y＝﹣x+b图象上的一个动点，且满足＜y p＜4，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围．23．（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为S cm2，底面半径为x cm，高为y cm，则330＝πx2y，①S＝2πx2+2πxy，②由①式得y＝，代入②式得S＝2πx2+，③可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：x/cm…1 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56…S/cm2…666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为cm（精确到0.1）．24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）连接BD交AC于点P，若AC＝8，cos A＝，求DE和BP的长．25．（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：评委编号12345678910评分/分7.27.57.87.58.29.77.9 6.78.59.4评分方案如下：方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为＝＝8.04．方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为＝＝8.00．回答下列问题：（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是；（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数＝7.5，5至10号评委所给分数的平均数＝8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3．该节目的得分为＝f1+f2＝0.7×7.5+0.3×8.4＝7.77．Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，A节目的得分为．Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有．①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；③当f1＝0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．27．（6分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②求证：2CE+AE＝BD；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，若，求BD．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM＝MN＝NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是；（2）⊙O的“倍弦线”PQ与直线x＝2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；（3）若⊙O的“倍弦线”PQ过点（1，0），直线y＝x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．2024年北京市东城区汇文中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析（4月份）一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形组成的图形，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将475000000用科学记数法表示为4.75×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．【解答】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．选项A，其中△ABC绕点A逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，选项D，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°可以得到△AB′C′．故选：D．【点评】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．【分析】根据|a|＝|c|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【解答】解：∵|a|＝|c|，∴原点在a，c的中间，如图：由图可得：|a|＞|b|，∴a+c＝0，a﹣b＜0，|a|＞b，ab＜0，故选项C正确．故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．5．【分析】根据切线的性质可得PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，根据AO＝OB＝2，OP ＝4，可得∠APO＝∠BPO＝30°，进而可得∠C的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，∵AO＝OB＝2，OP＝4，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∵OB＝OC，∴∠C＝30°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握切线的性质．6．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，2（x﹣2）﹣x＝0，解得：x＝4，检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0，∴x＝4是原方程的根，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．7．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1），（x2，y2）两点在第二象限，点（x3，y3）在第四象限，∴y3＜0＜y1＜y2．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．【分析】由摄像装置的视角，画出图形观察可得答案．【解答】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：摄像装置的视角为∠CAB，∠CBA，∵∠CAB＝∠CMB，∠AMC＝∠CBA，∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，如图：∵∠CMB＝∠CAB，∠ANC＝∠ABC，∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：∵∠CPB＝CAB，∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮；故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，借助图形解决问题．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．10．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差形式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．故答案为：a（a+b）（a﹣b）【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．11．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．12．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，∴n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．13．【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形的性质得到：＝．解得x＝4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故答案为：4．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．14．【分析】根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图如图：共有4个等可能的结果，两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的有2种结果，所以两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】连接AD、BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BCD＝∠BAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：连接AD、BD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝5，∴sin∠BAD＝＝，由圆周角定理得：∠BCD＝∠BAD，∴sin∠BCD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．16．【分析】由“ASA”可证△ADH≌△ENH，可得DH＝HN，AD＝NE＝1，由勾股定理可求DN的长，即可求解．【解答】解：如图，延长DH，交EF于N，∵将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，∴EF＝AB＝2，BC＝CF＝1，∴DF＝1，∵AD∥BG∥EF，∴∠DAH＝∠FEH，∵点H是AE的中点，∴AH＝HE，在△ADH和△ENH中，，∴△ADH≌△ENH（ASA），∴DH＝HN，AD＝NE＝1，∴DN＝＝＝，∴DH＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．三.解答题（本题共68分）17．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝4﹣2×+1﹣（﹣2）＝4﹣+1+2＝3+3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．【分析】直接利用分式的混合运算进而化简求出答案．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝＝∵x2+3x＝1，∴原式＝1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．19．【分析】（1）根据几何语言画出定义的几何图形即可；（2）先根据平行四边形的判定方法判断四边形PABQ是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到结论．【解答】（1）解：如图，PQ为所作；（2）证明：∵PA＝QB，AB＝PQ，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形），∴PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行），即PQ∥l．故答案为：两组对边分别相等的四边形为平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．20．【分析】选择情况一时，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，先证△EBD和△ACD全等得EB＝AC，再证EB＝AB即可得出结论；选择情况二时，由已知可得AD为线段BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得出结论；选择情况三时，可依据“ASA”判定△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．【解答】解：选择情况一，证明如下：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，如图所示：∵D是BC中点，∴BD＝CD，在△EBD和△ACD中，，∴△EBD≌△ACD（SAS），∴∠1＝∠E，EB＝AC，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴EB＝AB，∴AB＝AC；选择情况二，证明如下：∵BD＝CD，AD⊥BC于D，∴AD为线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC；选择情况三，证明如下：∴AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．21．【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断即可．（2）将x＝2代入一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0，整理得k2﹣4k＝﹣3，再将﹣2k2+8k+5变形为﹣2（k2﹣4k）+5，代入求值即可．【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．（2）将x＝2代入一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0，得4﹣4k+k2﹣1＝0，整理得k2﹣4k＝﹣3，∴﹣2k2+8k+5＝﹣2（k2﹣4k）+5＝﹣2×（﹣3）+5＝11．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ＝b2﹣4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，一元二次方程无实数根．22．【分析】（1）将（4，0）代入y＝﹣x+b得，﹣4+b＝0，解出方程即可求出b的值，将（n，﹣1）代入刚刚求出的一次函数解析式即可求出n的值，最后将新求出的坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值．（2）根据＜y p＜4，得出0＜x P＜5，连接OD，过点O作OC⊥BD于C，当OP⊥BC，先求出点C坐标为（5，﹣1），根据两点间距离公式可得：OD＝，即可算出OP的取值范围．【解答】解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b．解得：b＝4．∴一次函数解析式为y＝﹣x+4，把（n，﹣1）代入y＝x+4．得﹣l＝﹣n+4．解得：n＝5．把（5，﹣1）代入y＝得，﹣1＝，解得：m＝﹣5；∴b＝4，m＝﹣5．（2）∵＜y p＜4，即＜﹣x P+4＜4，解得：0＜x P＜5．∴点P在线段BD上运动，连接OD，过点O作OC⊥BD于C，由﹣x+4＝﹣，解得：x＝5，代入y＝﹣x+4，得：y＝﹣1，∴A（4，0），B（0，4），D（5，﹣1），∴OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，＝OA•OB＝AB•OC，∴S△OAB∴4×4＝4OC，∴OC＝2，∵O（0，0），D（5，﹣1），∴OD＝＝，∴OC≤OP＜OD，∴2≤OP＜．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．【分析】（2）根据图象上点连线即可；（3）根据图表即可求出答案．【解答】解：（2）函数图象如图所示：（3）①根据图表可知，半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大，故答案为：大．②根据图表可知，当s＝300cm2，x≈2.5cm或x≈5.3cm，故答案为：2.5或5.3．【点评】本题考查了函数图象，根据结合图象和表格信息是解题的关键．24．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，根据垂径定理的推论得OD⊥AC，便可得AC∥DE；（2）连接OD与AC交于点H，连接AD，在△ABC中，解直角三角形得AB，进而由勾股定理求得BC，再由中位线定理求得OH，在△ADH中由勾股定理求得AB，在△ABD 中由勾股定理求得BD，最后由△PDO∽△PCB求得BP，由△OHC∽△ODE求得DE．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，∵点D为的中点，∴OD⊥AC，∴DE∥AC；（2）解：连接OD与AC交于点H，连接AD，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，∴BC＝，∵点D为的中点，∴AH＝CH＝4，OD∥BC，∴OH＝，∵OD＝AB＝5，∴DH＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，∴AD＝，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝，∵OD∥BC，∴△HPD∽△CBP，∴，即，∴BP＝3，∵HC∥DE，∴△OHC∽△ODE，∴，即，∴DE＝．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是运用相似三角形的知识解题．25．【分析】（1）利用平均数的性质回答即可；（2）Ⅰ．当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，＝7.5，＝8.4，利用公式计算即可；Ⅱ．分别根据加权平均数公式及权重进行分析即可得到答案．【解答】解：（1）同意，理由：平均数易受极端值影响，故方案二更合理；故答案为：同意，平均数易受极端值影响，故方案二更合理；（2）Ⅰ．当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，＝7.5，＝8.4，∴该节目得分：＝f1+f2＝0.6×7.5+0.4×8.4＝7.86∴f1＝0.6时，A节目的得分为7.86．故答案为：7.86；Ⅱ．正确的有③．①f 1＝0.5时，＝f1+（1﹣f1）＝0.5×7.5+0.5×8.4＝7.95，8.04≠7.95，故①错误；②f1＞0.4时，说明方案三评的更注重节目的专业性，故②正确；③f1＝0.3，＝0.3×7.5+0.7×8.4＝8.13，∵8.13＞8.04，8.13＞8.00，∴③正确．故答案为：②③．【点评】此题考查的是加权平均数，掌握其概念是解决此题关键..26．【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，进而得出或，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的对称轴为x＝t，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∵t﹣1≤x1≤t+2，∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，∴当x＝t+2时，y1最大即y1的最大值为2；②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵对于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、当时，由①知，x2＞x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜﹣，由②知，x2+x1＞2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，即t＜﹣；Ⅱ、当时，由③知，x2＜x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x2+x1＜2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＞3，∴t＞，即t＞；即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．27．【分析】（1）①根据将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，得AC＝AD，∠DAC ＝60°，故∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD，知∠ABD＝∠ADB＝15°，而∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC，有∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°，从而△ABE≌△ACE（SAS），可得∠ABE＝∠ACE＝15°，BE＝CE，即知∠EBC＝∠ECB＝30°，∠CED＝∠EBC+∠ECB＝60°，又∠AED＝∠ABE+∠BAE＝60°，得∠AED＝∠CED；②过点A作AH⊥BD于点H，由①知：BE＝CE，由∠AED＝60°，AH⊥BD，得AE＝2EH，即可得2BE+2EH＝BD，故2CE+AE＝BD；（2）以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F，设AE交BC于K，可得BK＝AK＝CK，根据将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，得AC＝AD，∠DAC＝60°，可求出∠ABD＝∠ADB＝75°，∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°，证明△ABE≌△ACE（SAS），即得BE＝CE＝6+2，知AE是BC的垂直平分线，可得KE＝BE＝3+，BK＝KE＝3+3＝AK，而△AEF是等边三角形，有AE＝AF＝EF＝6+4，再证△CAE≌△DAF（SAS），得CE＝DF＝6+2，即可得BD＝6．【解答】（1）证明：①如图：∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝15°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴∠ABE＝∠ACE＝15°，BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝30°，∴∠CED＝∠EBC+∠ECB＝60°，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝60°，∴∠AED＝∠CED；②过点A作AH⊥BD于点H，如图：由①知：BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD，∴AE＝2EH，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BD＝2BH，∵BE+EH＝BH，∴BE+EH＝BD，∴2BE+2EH＝BD，∴2CE+AE＝BD；（2）补全图形如下：以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F，设AE交BC于K，如图，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BK＝AK＝CK，∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE＝6+2，∴AE是BC的垂直平分线，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE＝30°，∴KE＝BE＝3+，BK＝KE＝3+3＝AK，∴AE＝KE+AK＝6+4，∵∠EAF＝60°，∠AED＝60°，∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF＝6+4，∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，∴△CAE≌△DAF（SAS），∴CE＝DF＝6+2，∴BE＝CE＝DF＝6+2，∵DF+BE﹣EF＝BD，∴BD＝6+2+6+2﹣（6+4）＝6，∴BD的长为6．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．【分析】（1）根据定义验证可得结果；（2）根据PQ最大值为6，所以以O为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得EF，进而求得结果；（3）以（2，0）为圆心，1为半径作圆，直线y＝x+b与圆相切，此时b＝﹣2﹣，以（﹣1，0）为圆心，2为半径作圆，直线y＝x+b与圆I相切，求得b，进而求得结果．【解答】解：（1）如图1，∵AF＝FH＝BH＝2，CG＝GF＝DF＝，∴AB，CD是⊙O的“倍弦线”，∵BC与⊙O不相交，，∴BC和AD不是⊙O的“倍弦线”，故答案为：AB、CD；（2）如图2，以O为圆心，3为半径画圆交直线x＝2于E和E′，∵EF＝＝＝，∴﹣≤y E≤；（3）如图3，以O′（﹣1，0）为圆心，2为半径画圆O′，直线y＝x+b1与⊙相切，此时b1＝2+1，以O″（2，0）为圆心，1为半径作⊙O″，直线y＝x+b2与⊙O″线切，此时b2＝﹣2﹣，∴﹣2≤b≤1+2．【点评】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合。
北京汇文中学八年级数学上册第十五章《分式》经典复习题(培优提高)
一、选择题1．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯ B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯2．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =3．若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x =4．计算233222()mn m n -⋅-的结果等于（ ）A ．2mnB ．2n mC ．2mnD ．72mn5．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b=B ．11a ab b +=+ C ．2233a b a ab b= D ．232131a ab b ++=-- 6．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．757．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －18．若2x 11x x 1+--的值小于3-，则x 的取值范围为（ ） A ．x 4>-B ．x 4<-C ．x 2>D ．x 2<9．下列变形不正确．．．的是（ ） A ．1a ba b a b -=-- B ．1a b a b a b+=++ C ．221a b a b a b+=++D ．221-=-+a b a b a b10．若数a 关于x 的不等式组()()11223321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-+⎩恰有三个整数解，且使关于y 的分式方程13y 2a2y 11y--=---的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202y yy a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．812．化简232a b c a b c c ba b c a c b c a b-+-+--++--+--的结果是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．2(2)b c c a b---13．下列各式中错误的是（ ） A ．2c d c d c d c d da a a a -+-----== B ．5212525aa a +=++ C ．1x y x y y x-=--- D ．2211(1)(1)1x x x x -=---14．若分式 2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．±115．使分式2221x x x ---的值为0的所有x 的值为（ ） A ．2或1-B ．2-或1C ．2D ．1二、填空题16．已知5a b +=，6ab =，b aa b+=______． 17．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校，已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学离学校还有m 米，则m =________．18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．（1）{}min 2,3--=__________________． （2）方程{}3min 2,322x x x--=---的解为_________________． （3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_________________．19．计算：111x x---的结果是________． 20．符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b c d＝ad ﹣bc ，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值．若2111111xx =--，那么x ＝__． 21．分式2222,39a bb c ac 的最简公分母是______． 22．计算211()(1)11m m m -⨯--+的结果是______． 23．若13x x +=，则231x x x ++的值是_______． 24．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米． 25．已知1112a b -=，则ab a b-的值是________． 26．方程22020(1)1x x x ++-=的整数解的个数是_____．三、解答题27．（1）计算：1301|6|(2)(2)3π-⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：(3)(2)()x x y x y x y +-++，其中1x =-，2y =． 28．（1）计算：22y x x y x y-++ （2）解方程：4322x x x=+-- 29．（1121(2)(3)2π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)()x x y x y --+30．先化简，再求值．（1）22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x 是9的平方根； （2）2222221211⎛⎫-+-÷ ⎪-+-⎝⎭a a a aa a a ，然后从－1，0，1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．。
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【试题分析】
（1）根据第1所民办学校得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，得：
（2）根据（1）中的两个式子， ；
（3） ， ，则 ，则 .奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.
【试题解析】
（1）根据题意得：
（2）根据（1）中的两个式子，
（3） ， ，则 ，则 .奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD
∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD=
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
5．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，- ＞0，则也可以按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将 的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
【分析】
根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.
【详解】
解： 答案不唯一 ；
故答案为 ；
原式 ；
故答案为
分式方程整理得： ，
即 ，
方程两边同时乘 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解．
【点睛】
此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.
∴ ，故 的值为
评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目
已知 ，求 的值。
【答案】 ．
【解析】
【分析】
首先根据解答例题可得 =7，进而可得x+ =8，再求 的倒数的值，进而可得答案．
【详解】
∵ = ，∴ =7，x+ =8．
∵ =x2+ +1=（x+ ）2﹣2+1=82﹣1=63，∴ = ．
【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.
根据题意得：
解得；y＝ ，
经检验：y＝ 是原方程的解，
则现在小麦的平均每公顷产量是:
故答案为: ， ；
（3）根据题意得：
答：两组一起收割完这块麦田需要 小时．
【点睛】
本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.
3．阅读下面的解题过程：
已知 ，求 的值。
解：由 知 ≠0，所以
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为 元（1 ），试用k、n和b表示 （不必证明）；
（3）比较 和 的大小（k=1，2 ，……， ），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
【答案】（1） , ；
（2） ；
（3） ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨，
根据题意可得：
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨，
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2） ， ；（3）两组一起收割完这块麦田需要 小时．
【解析】
【分析】
（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为_______；当 时， 的最大值为__________．
(2)当 时，求 的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．
2．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是吨，现在小麦的平均每公顷产量是吨；（用含a、m的式于表示）
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当 时， 的最小值为2；当 时， 的最大值为-2；
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答．
4．观察下列各式： ， ， ， ， ，…
请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________
请利用上述规律计算： ________
（用含有 的式子表示）
请利用上述规律解方程： ．
【答案】
【解析】