基于相关矩阵的MIMO

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mimo技术原理

3. MIMO的信道模型
无线通信信号特点
➢ 中尺度衰落
描述阴影衰落，变化趋向于正态（高斯）分布，通常称为对数正态衰落。
3. MIMO的信道模型
无线通信信号特点
➢ 大尺度衰落
描述由距离引起的信号的衰减，中值信号功率与距离长度增加的某次幂成反比变化。
3. MIMO的信道模型
无线通信信号特点
2.MIMO的空时编码
分层空时码-复用
2.MIMO的空时编码
分层空时码-复用
S/P
编码器编码器
…… ……
调制器调制器
空间交织
交织器 xt1
x 交织器
nT t
DLST的一般结构
2.MIMO的空时编码
分层空时码-复用
2.MIMO的空时编码
分层空时码-复用
1.MIMO技术原理
空
数
射
数据时
模
频
编
转
前
码
换
端
s
h 11 h1 2
h 1 nT
h n R nT
射
模
空
频
数
时数据
前
转
解
端
换
码
H
r
s1(t)
s(t)=
s
2
(
t
)
s n T ( t )
h11(t,)h12(t,) H(t,)h21(t,)h22(t,)
hh21nnT T((tt,,))
陈列操纵矢量（陈列机构和去波角的函数）
a ( ,) [ 1 a 1 , a n R , ] T
第m个分量为
3. MIMO的信道模型

矩阵在mimo技术中的应用(一)

矩阵在mimo技术中的应用(一)矩阵在MIMO技术中的应用1. 空时编码技术•空时编码技术是MIMO系统中的一项关键技术，用于在多个天线之间编码和解码数据，实现高速无线通信。

•矩阵在空时编码技术中起到了重要作用，通过对发送信号进行线性变换，可以将多个天线之间的信号进行合理组合，从而实现信号的编码和解码。

2. 天线选择技术•在MIMO系统中，多个天线可以同时传输和接收信号，通过合理的天线选择技术可以提高系统的性能。

•矩阵在天线选择技术中用于计算天线选择的权重，通过最大化接收信号的信噪比来选择合适的天线组合。

3. 并行信道技术•MIMO技术利用了多个独立的并行信道进行数据传输，提高了系统的容量和性能。

•矩阵在并行信道技术中用于描述多个信道之间的关系，通过矩阵运算可以实现对独立信道之间的数据进行合理分配和处理。

4. 反馈技术•在MIMO系统中，反馈技术用于获取信道状态信息，以便发送端进行合适的天线选择和编码策略。

•矩阵在反馈技术中用于描述信道状态信息，通过采集信号样本，计算相关矩阵可以得到准确的信道状态信息。

5. 混合自适应调制技术•MIMO系统中的混合自适应调制技术结合了空时编码和调制技术，通过根据信道条件自适应地选择合适的调制方式和编码策略。

•矩阵在混合自适应调制技术中用于描述调制方式和编码策略的关系，通过调整矩阵参数可以实现不同调制方式和编码策略的切换和优化。

6. 信道估计技术•在MIMO系统中，准确的信道估计是实现高速无线传输的关键。

•矩阵在信道估计技术中用于描述信号传输过程中的信道损耗和信道变化情况，通过计算相关矩阵可以得到准确的信道估计结果。

7. 多用户检测技术•MIMO系统中的多用户检测技术用于解决多个用户同时传输数据时的干扰问题，并实现多用户间的并行通信。

•矩阵在多用户检测技术中用于描述用户之间的干扰关系，通过矩阵运算可以实现用户之间的分离和干扰消除。

以上是一些矩阵在MIMO技术中的应用示例，这些应用充分展示了矩阵在MIMO技术中的重要作用，为高速无线通信提供了强大的支持。

矩阵在mimo中应用

MIMO 信道中矩阵分析的应用张靖悦 S110101198 矩阵分析在MIMO 技术这个模块中有着很重要的应用，基本可以说是矩阵分析是MIMO 技术研究的基础。

所以我也根据导师给定我的研究方向，选修了矩阵分析这门基础课程。

MIMO Multiple Input-Multiple Output)是指在通信链路的发送端与接收端均使用多个天线元的传输系统,它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素,从而成倍地提高业务传输速率。

矩阵理论在通信，自动控制等工程领域里应用广泛，而通信的难点在于信道的处理，因此，矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。

在MIMO 技术的研究中，对于MIMO 信道的容量的研究具有着重大的意义。

目前，MIMO 技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。

无线信道的一个重要特性就是存在衰落。

如果在多径环境中采用多天线系统，则系统抗衰落特性能得到很大的提高，而且如果在发射和接受两端均采用多天线，即构成MIMO 系统，则会有效地提高信道容量。

为了描述MIMO 信道，令发射天线数目为tN ，接受天线数目为r N ，这样在某特定时刻m ，发射的符号构成一个1⨯t N 的矢量t X[]，接受的符号构成一个1⨯r N 的矢量t Y[]，关系为：t t t +Y []=H X []N [] (1)其中，12[,,,]tT N n n n =N(t) (2)表示高斯白噪声，方差为2n σ；H 为r t N N ⨯信道矩阵，即1111tr r tNN N N h h h h ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦H(3) 其中，ji h 表示从发射天线i 到接受天线j 的信道系数。

这样，式（1）可写为1tN t ttjjii j i y hx n ==+∑ (4)式中，上标t 表示在t 时刻。

根据奇异值分解（SVD ）理论，r t N N ⨯信道矩阵可以进行分解，得到⎡⎤⎢⎥⎣⎦HHE0H =U V =U D V 00 (5)12(,,,)m diag λλλ=E(6)(1,2,,)i i m λ= 为矩阵H 的全部非零奇异值。

基于MIMO的通信系统仿真与分析研究

仿真工具介绍
性能评估指标
衡量系统在给定频谱资源下传输数据的能力，包括频谱效率/频谱利用率。
频谱效率
容量
误码率/错误率
鲁棒性
衡量系统在特定信道条件下的最大传输速率，包括空间信道容量、自由度容量等。
衡量系统传输数据的错误率，包括硬错误率、软错误率等。
衡量系统在信道条件变化下的性能表现，包括信道估计误差、干扰等对系统性能的影响。
基于MIMO的通信系统仿真实验与结果分析
06
总结词
本实验主要研究了在不同信道模型下，MIMO系统的性能变化。
详细描述
首先，我们选择了三种典型的信道模型，包括Rayleigh、Rician和Log-normal模型。在每个模型下，我们通过仿真生成了大量的信道矩阵，并利用这些矩阵进行MIMO系统的调制和解调。通过对比各个模型下的误码率和频谱效率，我们发现Rayleigh模型下的性能表现最为优秀，其次是Rician模型，最后是Log-normal模型。这一结果表明，信道模型的选取对MIMO系统的性能有着重要影响。
03
确定仿真目标和参数
明确要研究的MIMO通信系统的性能指标和参数范围。
开始仿真
运行仿真模型，收集仿真数据。
建立仿真模型
根据MIMO通信系统的原理和模型，建立相应的仿真模型。
数据分析与处理
对仿真数据进行处理和分析，提取有用的信息。
配置仿真环境
设置仿真工具的相关参数，如仿真时间、信道模型等。
结果可视化
在城市高楼大厦的环境中，空间复用技术能够更好地利用空间资源，提高无线通信系统的性能。
多用户MIMO技术是一种利用多天线技术提高系统容量的方法，允许多个用户在同一时间和频率上同时通信。
通过多用户MIMO技术，可以增加系统容量和频谱效率，同时减少用户之间的干扰。

分布式MIMO系统中基于矩阵分割的检测算法

文章编号：０１５６（００１－６ —５１００Ｘ２１）０２２００
分布式ＭＩＭＯ系统中基于矩阵分割的检测算法
云婵。，王霞
（．西安交通大学电子与信息工程学院，陕西西安７０４；１１０９２．西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西西安７０７）１０１
算机仿真表明，算法与已有的分布式天线下的排序干扰对消（ｉｔｂｔｄａｔｎａｏｄｒｇｓｃｅｓｅｉｔｒｒ该ｄｓｒｕｅｎｅｎｒｅｉｕｃｓｉｅｆ — ｉｎｖｎｅｅｃａｃｌｔｎＡＯＳＣ检测算法相比，支持信号的连续发送，随着发送序列的增长，法性能逐步逼近ｎｅｃｎｅｌｉ，Ｄ — Ｉ）ａｏ可且算Ｄ — ＳＣ法，具有较低的计算复杂度。ＡＯＩ算并
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｉｎｔｈｒｂｅｏｈｓｎｈｏｏｓｒｃｉｉｇｆｒｄｓｒｂｔｄａｔｎａｍｕｔｐｅｉｐｔｍｕｔｍｉｇａｅｐｏｌｍｆｔｅａｙｃｒｎｕｅｅｖｎｏｉｔｉｕｅｎｅｎｌｉｌｕｌｉｔｎ — ｐｅｏｔｕｙｔｍｓｅｉｌｅｅｔｏｃｅａｅｎｍａｒｘｐｒｉｉｎｉｐｏｏｅ．Ｆｉｓｌ，ａｓｌｅｔｉｓｌｕｐｔｓｓｅ，ａｓｒｔｃｉｎｓｈｍｅｂｓｄｏｔｉａｔｔｓｒｐｓｄａｄｏｌｔｙｍａｌｒｍａｒｘｉ＂ｐｒｉｉｎｄｆｏｔｅｅｕｖｌｎｈｎｅｔｉａｔｔｅｒｍｈｑｉａｅｔｃａｎｌｍａｒｘ，ｆｏｗｈｃｏｒｍｉｈ，ｓｇａｓａｅｄｔｃｅ．Ｔｈｎｔｅｆｓｆｔｅｄｔｃｅｉｎｌｒｅｅｔｄｅｈｉｔｏｈｅｅｔｄｒｓｇａｓｉｓｄｆｒｉｔｒｅｅｃａｃｌｔｏｉｎｌｓｕｅｏｎｅｆｒｎｅｃｎｅｌｉｎ，ａｄｔｅｒｍａｎｅｓｕｅｏｏｂｎｔｏ．Ｆｉａｌａｎｈｅｉｄｒｉｓｄｆｒｃｍｉａｉｎｎｌｙ，ａｏｈｒｓｌｎｔｅｍａｌｍａｒｘｉａｔｔｎｄｆｏｔｅｃａｎｌｍａｒｘｃｎｅｌｄｔｅｉｔｒｅｅｃ．ＴｈｓｐｏｅｓｉｒｐａｅｎｉａｌｔｅｔｉＳｐｒｉｉｅｒｍｈｈｎｅｔｉａｃｌｅｈｎｅｆｒｎｅｏｉｒｃｓＳｅｅｔｄｕｔｌｌｈｓｇａｓａｅｄｔｃｅ．Ｓｍｅｃｍｐｔｒｓｍｕａｉｎｒｓｌｓｕｄｒｔｅｓｎｌ－ａｈＲａｌｉｈｆｄｎｈｎｅｈｗｈｔｉｎｌｒｅｅｔｄｏｏｕｅｉｌｔｅｕｔｎｅｈｉｇｅｐｔｙｅｇａｉｇｃａｎｌｓｏｔａｏｔｅｐｏｏｅｅｅｔｏｃｅｕｐｒｓｔｅｓｃｅｓｖｒｎｍｉｓｏｆｓｇａｏｈｒｐｓｄｄｔｃｉｎｓｈｍｅｓｐｏｔｈｕｃｓｉｅｔａｓｓｉｎｏｉｎｌｍｐｒｄｗｉｈｔｅｅｉｎｉｔｉｕｃａｅｔｈｘｔｇｄｓｒｂ — ｉｔｄａｔｎａｏｄｒｎｕｃｓｉｅｉｔｒｅｅｃａｃｌｔｏ（ｅｎｅｎｒｅｉｇｓｃｅｓｖｎｅｆｒｎｅｃｎｅｌｉｎＤＡ— ＩａＯＳＣ）ａｇｒｔｍ．Ｍｅｎｉｌｏｉｈａｗｈｌｅ，ａｈｅｇｈｏｓｔｅｌｎｔｆｓｇａｅｕｎｅｂｉｇｌｒｅｈｒｐｓｄａｇｒｔｍａｈａｅｐｒｏｍａｃｓｔｅＤＡ— Ｉｓｈｍｅａｄｈｓｉｎｌｓｑｅｃｅｎａｇ，ｔｅｐｏｏｅｌｏｉｈｈｓｔｅｓｍｅｆｒｎｅａｈＯＳＣｃｅｎａ

MIMO通信模型下的相关矩阵组低复杂度设计

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－３１１４．２０２２．０２．０１７引用格式：施育鑫，鲁信金，孙艺夫，等．ＭＩＭＯ通信模型下的相关矩阵组低复杂度设计［Ｊ］．无线电通信技术，２０２２，４８（２）：３２７－３３５．［ＳＨＩＹｕｘｉｎ，ＬＵＸｉｎｊｉｎ，ＳＵＮＹｉｆｕ，ｅｔａｌ．Ｌｏｗ⁃ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙＤｅｓｉｇｎｏｆＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎＭａｔｒｉｘＧｒｏｕｐｕｎｄｅｒＭＩＭＯＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＭｏｄｅｌ［Ｊ］．ＲａｄｉｏＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０２２，４８（２）：３２７－３３５．］ＭＩＭＯ通信模型下的相关矩阵组低复杂度设计施育鑫１，鲁信金２，孙艺夫２，雷㊀菁２，李玉生１（１．国防科技大学第六十三研究所，江苏南京２１００００；２．国防科技大学电子科学学院，湖南长沙４１００００）摘㊀要：矩阵组常用于无线通信中的数据表示㊂在多输入多输出（Ｍｕｌｔｉｐｌｅ⁃ＩｎｐｕｔＭｕｌｔｉｐｌｅ⁃Ｏｕｔｐｕｔ，ＭＩＭＯ）通信模型中，基站利用信道数据设计适应信道的最小均方误差（ＭｉｎｉｍｕｍＭｅａｎＳｑｕａｒｅＥｒｒｏｒ，ＭＭＳＥ）均衡器接收矩阵组，以低复杂度地处理来自多用户的上行数据㊂首先分析了矩阵数据的关联性，通过时谱图确定矩阵组在时间维所具有的强相关性；其次采用插值算法进行低复杂度的矩阵估计，并提出最大插值比搜索算法计算各类插值算法的性能及其复杂度；接着利用一种改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法来降低ＭＭＳＥ求逆过程的复杂度㊂相比传统的接收矩阵组，显著降低了计算复杂度㊂关键词：ＭＩＭＯ通信模型；奇异值分解；最小均方误差；计算复杂度中图分类号：ＴＮ９２９．５㊀㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀㊀开放科学（资源服务）标识码（ＯＳＩＤ）：文章编号：１００３－３１１４（２０２２）０２－０３２７－０９Ｌｏｗ⁃ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙＤｅｓｉｇｎｏｆＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎＭａｔｒｉｘＧｒｏｕｐｕｎｄｅｒＭＩＭＯＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＭｏｄｅｌＳＨＩＹｕｘｉｎ１，ＬＵＸｉｎｊｉｎ２，ＳＵＮＹｉｆｕ２，ＬＥＩＪｉｎｇ２，ＬＩＹｕｓｈｅｎｇ１（１．６３ｒｄＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００００，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅ，ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｒｉｘｇｒｏｕｐｓａｒｅｏｆｔｅｎｕｓｅｄｔｏｒｅｐｒｅｓｅｎｔｄａｔａｉｎｗｉｒｅｌｅｓｓｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ．ＩｎｔｈｅＭＩＭＯ（Ｍｕｌｔｉｐｌｅ⁃ＩｎｐｕｔＭｕｌｔｉｐｌｅ⁃Ｏｕｔｐｕｔ）ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｂａｓｅｓｔａｔｉｏｎｏｆｔｅｎｕｓｅｓｔｈｅｃｈａｎｎｅｌｄａｔａｔｏｄｅｓｉｇｎａｃｈａｎｎｅｌ⁃ａｄａｐｔｅｄＭＭＳＥ（ＭｉｎｉｍｕｍＭｅａｎＳｑｕａｒｅＥｒｒｏｒ）ｅｑｕａｌｉｚｅｒｒｅｃｅｉｖｉｎｇｍａｔｒｉｘ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｐｒｏｃｅｓｓｔｈｅｕｐｌｉｎｋｄａｔａｆｒｏｍｍｕｌｔｉｐｌｅｕｓｅｒｓｗｉｔｈｌｏｗｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｍａｔｒｉｘｄａｔａｉｓａｎａｌｙｚｅｄ，ａｎｄｔｈｅｓｔｒｏｎｇｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘｇｒｏｕｐｉｎｔｈｅｔｉｍｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｉｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｉｍｅ⁃ｓｐｅｃｔｒｏｇｒａｍ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ａｎｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｕｓｅｄｆｏｒｌｏｗ⁃ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｍａｔｒｉｘｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ａｎｄａｍａｘｉｍｕｍｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｒａｔｉｏｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｖａｒｉｏｕｓｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．ＴｈｅｎａｎｉｍｐｒｏｖｅｄＳｔｒａｓｓｅｎｍａｔｒｉｘｉｎｖｅｒｓｉｏｎａｌ⁃ｇｏｒｉｔｈｍｉｓｕｓｅｄｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｔｈｅＭＭＳＥｉｎｖｅｒｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｒｅｃｅｉｖｉｎｇｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｃｏｍｐｕｔａ⁃ｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｉｓｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙｒｅｄｕｃｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＭＩＭＯｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ；ｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＳＶＤ）；ＭＭＳＥ；ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ收稿日期：２０２１－１２－１６论文来源：基于２０２１年华为杯第十八届中国研究生数学建模竞赛Ａ题建模改写，参赛团队获得竞赛一等奖（获奖率约１．１％）及华为专项奖（共１０项）㊂０㊀引言矩阵常常被用于表示无线通信㊁图像视频处理㊁计算机视觉㊁相控阵雷达的数据表示㊂随着用户需求的不断增加，数据规模㊁通信阵列的持续扩大，矩阵的大小和维度也随之快速增加，这给矩阵的数据存储㊁算法计算带来了很大的困难㊂矩阵的关联性是指矩阵数据在某些维度上的相关特性，例如视频中时间相邻的帧具有很强的矩阵关联性㊂因此，充分挖掘矩阵间关联性，以实现低复杂度的计算具有十分重要的价值和意义㊂１㊀问题描述对于所给定复数矩阵Ｈ＝Ｈｊ，ｋ{}，Ｈｊ，ｋɪＭˑＮ，ｊ＝１，２，，Ｊ；ｋ＝１，２，，Ｋ㊂其中，矩阵之间以及同一矩阵的元素之间有一定的相关性，包括：相同ｊ下标㊁不同ｋ下标的矩阵间存在一定的关联，即Ｈｊ，１，Ｈｊ，２，Ｈｊ，３，，Ｈｊ，Ｋ{}间存在关联；且矩阵的各个元素间ｈ（ｊ，ｋ）ｍ，ｎ{}，ｍ＝１，２，，Ｍ；ｎ＝１，２，，Ｎ也存在关联，矩阵Ｈｊ，ｋɪＭˑＮ，ｊ＝１，２，，Ｊ；ｋ＝１，２，，Ｋ可表示为：Ｈｊ，ｋ＝ｈ（ｊ，ｋ）１，１ｈ（ｊ，ｋ）１，２ｈ（ｊ，ｋ）１，３ｈ（ｊ，ｋ）１，Ｎｈ（ｊ，ｋ）２，１ｈ（ｊ，ｋ）２，２ｈ（ｊ，ｋ）２，３ｈ（ｊ，ｋ）２，Ｎ︙︙︙︙ｈ（ｊ，ｋ）Ｍ，１ｈ（ｊ，ｋ）Ｍ，２ｈ（ｊ，ｋ）Ｍ，３ｈ（ｊ，ｋ）Ｍ，Ｎéëêêêêêùûúúúúú㊂（１）此外定义矩阵组Ｈ＝Ｈｊ，ｋ{}的一组数学运算，其中间结果Ｖ＝Ｖｊ，ｋ{}由式（２）给出：Ｖｊ，ｋ＝ｓｖｄ（Ｈｊ，ｋ）Ｈｊ，ｋ＝Ｕｊ，ｋＳｊ，ｋＶＨｊ，ｋＶｊ，ｋ＝ＶＨｊ，ｋ（：，１：Ｌ）ìîíïïïï，（２）式中，ｊ＝１，２，，Ｊ；ｋ＝１，２，，Ｋ，ｓｖｄ（㊃）为矩阵奇异值分解（ＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）中求解右奇异向量的过程；Ｖｊ，ｋ是由Ｈｊ，ｋ的前Ｌ个右奇异向量构成的矩阵，维度为ＮˑＬ㊂为得到最终输出结果Ｗ＝Ｗｊ，ｋ{}，先将不同ｊ下标㊁相同ｋ下标的Ｖｊ，ｋ进行横向的拼接，得到维度ＮˑＬＪ的Ｖｋ＝［Ｖ１，ｋ，Ｖｊ，ｋ，ＶＪ，ｋ］，然后根据式（３）获取Ｗｋ：Ｗｋ＝Ｖｋ（ＶＨｋＶｋ＋σ２Ｉ）－１，（３）式中，σ２为固定常数；Ｗｋ维度同Ｖｋ；Ｉ为单位矩阵，维度为ＬＪˑＬＪ㊂最后将各Ｗｋ按如式（４）进行拆解：Ｗｋ＝［Ｗ１，ｋ，Ｗｊ，ｋ，ＷＪ，ｋ］，（４）式中，Ｗｊ，ｋ为Ｗｋ中顺序排列的子矩阵，维度为ＮˑＬ㊂为了降低计算和储存的复杂度，分析相关矩阵组的关联性，通过建模对输出结果进行估计，建模过程可用式（５）表示：Ｗ＾＝ｆ（Ｈ），（５）式中，Ｗ＾即为对输出结果Ｗ的建模估计㊂该建模过程可拆分为如式（６）的两个步骤㊂Ｖ＾＝ｆ１（Ｈ）Ｗ＾＝ｆ２（Ｖ＾）{，（６）式中，ｆ１（㊃）表示从输入矩阵组Ｈ到中间结果Ｖ的建模过程，Ｖ＾表示中间结果Ｖ的建模估计，ｆ２（㊃）表示从中间结果Ｖ到最终结果Ｗ的建模过程，Ｗ＾表示最终结果Ｗ的建模估计㊂定义Ｗ的建模估计精度为：ρｌ，ｊ，ｋ（Ｗ）＝Ｗ＾Ｈｌ，ｊ，ｋＷｌ，ｊ，ｋ２Ｗ＾ｌ，ｊ，ｋ２Ｗｌ，ｊ，ｋ２，ｌ＝１，２，，Ｌ，（７）式中，㊃２表示矢量的欧几里得范数（即２范数，对于列矢量ａ，ａ２＝ａＨａ），Ｗｌ，ｊ，ｋ表示Ｗｊ，ｋ的第ｌ列㊂上式中，Ｗ＾Ｈｌ，ｊ，ｋＷｌ，ｊ，ｋ为复数标量，此处取其欧几里得范数即获取其模值㊂为描述方便，额外定义Ｗ的最低建模精度为ρｍｉｎ（Ｗ）：ρｍｉｎ（Ｗ）ｍｉｎｌɪ｛１，２，，Ｌ｝ｊɪ｛１，２，，Ｊ｝ｋɪ｛１，２，，Ｋ｝ρｌ，ｊ，ｋ（Ｗ），（８）式中，ｍｉｎｌ，ｊ，ｋ（㊃）表示在ｌ，ｊ，ｋ三个维度上取最小值㊂另外，中间结果Ｖ的建模估计精度ρｌ，ｊ，ｋ（Ｗ）的定义及最低建模精度ρｍｉｎ（Ｗ）的定义与此相同㊂计算复杂度定义为由矩阵组Ｈ计算得到结果矩阵组Ｗ所需要的总计算复杂度㊂复数矩阵运算可拆解为基本的复数运算，而基本的复数运算又可进一步拆解为基本的实数运算㊂例如，复数乘法（ａ＋ｂｊ）（ｃ＋ｄｊ）＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｊ的复杂度为４次实数乘法和２次实数加（减）法㊂实数基本运算的复杂度按照表１计算㊂表１㊀实数基本运算的计算复杂度Ｔａｂ．１㊀Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｂａｓｉｃｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｏｎｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｓ运算类型计算复杂度加（减）法１乘法３倒数２５平方根２５自然指数２５自然对数２５正弦２５余弦２５其他１００２０２１研究生数学建模Ａ题提供的数据集附件（Ｄａｔａ１Ｄａｔａ６）给出的详细数据，包括输入矩阵组㊁标准中间矩阵组和标准输出矩阵组的数据及其维度，其中Ｍ＝４，Ｎ＝６４，Ｌ＝２，Ｊ＝４，Ｋ＝３８４，σ２＝０．０１，数据为十进制格式㊂根据所给数据Ｄａｔａ１Ｄａｔａ６中的Ｍ＝４，Ｎ＝６４，Ｊ＝４，可对应通信模型中共有Ｊ＝４个用户，每个用户的发射天线数为Ｍ＝４，基站的接收天线数为Ｎ＝６４㊂Ｌ＝２表示取信道衰落程度最低的２个信道向量，即对矩阵进行压缩㊂Ｋ表示信道探测时隙数㊂σ２表示信道中高斯白噪声的噪声方差㊂基于给定的所有矩阵数据，本文通过分析数据间的关联性，解决相关矩阵组的低复杂度计算问题，即以减少计算复杂度为目标进行模型优化㊂设计相应的近似分析模型Ｗ＾＝ｆ（Ｈ），在满足ρｍｉｎ（Ｖ）ȡρｔｈ＝０．９９的情况下，使根据表格计算的总计算复杂度最低㊂２　通信模型建立建立基于矩阵的多输入多输出（Ｍｕｌｔｉｐｌｅ⁃ＩｎｐｕｔＭｕｌｔｉｐｌｅ⁃Ｏｕｔｐｕｔ，ＭＩＭＯ）通信模型［１］如图１所示，Ｊ个用户发送信息，信号经过信道Ｈ到达基站，基站有Ｎ根接收天线㊂图１㊀矩阵关系的通信模型建立示意图Ｆｉｇ．１㊀Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｍａｔｒｉｘｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ如图２所示，对于某个用户，拥有Ｍ个天线，各个天线均可与基站天线进行通信㊂其通信信道矩阵Ｈｊ，ｋ＝Ｕｊ，ｋＳｊ，ｋＶＨｊ，ｋ，通过ＳＶＤ分解，将信道矩阵分解成方向酉矩阵和信道随机衰落矩阵的乘积，其中，Ｓｊ，ｋ为随机矩阵，代表波束随机衰落主信道矩阵，Ｕｊ，ｋ和ＶＨｊ，ｋ分别是用户和基站特征向量矩阵的相关矩阵㊂由于ＶＨｊ，ｋ与基站和用户位置相关且各个节点的位置相对固定，可以取信道衰落程度最低的Ｌ个信道向量压缩ＶＨｊ，ｋ矩阵，即Ｖｊ，ｋ＝ＶＨｊ，ｋ（：，１：Ｌ）㊂以上模型建立与式（２）一致㊂图２㊀单个用户和基站的通信示意图Ｆｉｇ．２㊀Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎａｓｉｎｇｌｅｕｓｅｒａｎｄａｂａｓｅｓｔａｔｉｏｎ此时，可使用压缩矩阵Ｖｊ，ｋ来表示Ｈ矩阵㊂进一步，引入最小均方误差（ＭｉｎｉｍｕｍＭｅａｎＳｑｕａｒｅＥｒｒｏｒ，ＭＭＳＥ）的概念来解释题设条件㊂如图３所示的信道模型中，信号ｘ经过信道Ｖ＝Ｖｊ，ｋ，由于白噪声ｎ的影响，接收信号ｙ可表示为：ｙ＝Ｖｘ＋ｎ㊂（９）图３㊀信号传输模型（求解ＭＭＳＥ流程）Ｆｉｇ．３㊀Ｓｉｇｎａｌｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌ（ｐｒｏｃｅｓｓｏｆｓｏｌｖｉｎｇＭＭＳＥ）ＭＭＳＥ的目的是找到一个矩阵Ｗ＝Ｗｊ，ｋ{}，使得Ｗｙ更加接近ｘ㊂得到ｘ＝Ｗｙ与原始发送信号ｘ的差值为：ｅ＝ｘ－ｘ＝Ｗｙ－ｘ㊂（１０）此时的ＭＭＳＥ为：ＭＭＳＥ＝ＥｅＨｅ{}㊂（１１）假设接收到的数据ｙ和误差ｅ是不相关的，即Ｅｅ㊃ｙＨ{}＝０㊂（１２）将式（１０）代入式（１２）可得：Ｅ（Ｗｙ－ｘ）㊃ｙＨ{}＝０㊂（１３）将式（１３）左边进一步展开可得：㊀㊀Ｅ（Ｗｙ－ｘ）㊃ｙＨ{}＝ＥＷｙｙＨ{}－ＥｘｙＨ{}＝ＷＥｙｙＨ{}－ＥｘｙＨ{}㊂（１４）由式（１３）和式（１４）可得：Ｗ＝ＥｘｙＨ{}ＥｙｙＨ{}－１㊂（１５）接下来对ＥｙｙＨ{}和ＥｘｙＨ{}进行处理，首先对于ＥｙｙＨ{}，将其进一步展开：㊀㊀ＥｙｙＨ{}＝Ｅ（Ｖｘ＋ｎ）（Ｖｘ＋ｎ）Ｈ{}＝ＥＶｘｘＨＶＨ＋ＶｘｎＨ＋ｎｘＨＶＨ＋ｎｎＨ{}㊂（１６）此处假设输入信号ｘ和噪声ｎ不相关，则ｎｘＨ与ｎｘＨ值为０，可得：㊀㊀㊀ＥｙｙＨ{}＝ＥＶｘｘＨＶＨ＋ｎｎＨ{}＝ＶＥｘｘＨ{}ＶＨ＋ＥｎｎＨ{}＝Ｖ（Ｐ㊃Ｉ）ＶＨ＋σ２㊃Ｉ，（１７）式中，Ｐ为发送信号ｘ的能量，σ２为噪声ｎ的方差㊂其次对于ＥｘｙＨ{}，展开如下：㊀㊀㊀ＥｘｙＨ{}＝Ｅｘ（Ｖｘ＋ｎ）Ｈ{}＝ＥｘｘＨＶＨ＋ｘｎＨ{}＝ＥｘｘＨＶＨ{}＝ＥｘｘＨ{}ＶＨ＝（Ｐ㊃Ｉ）ＶＨ㊂（１８）得到ＥｙｙＨ{}和ＥｘｙＨ{}后，将其代入式（１５）可得到Ｗ的表达式：㊀㊀Ｗ＝ＥｘｙＨ{}ＥｙｙＨ{}－１＝（Ｐ㊃Ｉ）ＶＨ（Ｖ（Ｐ㊃Ｉ）ＶＨ＋σ２㊃Ｉ）－１＝Ｐ㊃ＶＨ（ＰＶＶＨ＋σ２㊃Ｉ）－１＝ＶＨ（ＶＶＨ＋㊃Ｉ）－１㊂（１９）当发送信号ｘ的能量Ｐ为１时，则可得：Ｗ＝ＶＨ（ＶＶＨ＋σ２㊃Ｉ）－１㊂（２０）综合上述分析，ＭＩＭＯ模型中利用信道数据计算信道的ＭＭＳＥ均衡器接收矩阵的复杂度主要来源于ＳＶＤ分解与式（２０）中的矩阵求逆㊂３㊀相关矩阵组的低复杂度计算由前文可知，Ｈ㊁Ｖ和Ｗ之间的关系可以由图４表示㊂图４㊀Ｈ㊁Ｖ和Ｗ的关系示意图Ｆｉｇ．４㊀ＲｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆＨ，ＶａｎｄＷ３．１㊀利用相关矩阵组的关联性降低计算复杂度利用相关矩阵组的关联性以降低计算复杂度，其具体分析及操作如下㊂３．１．１㊀矩阵数据的关联性对于信道系数复数矩阵Ｈ＝Ｈｊ，ｋ{}，其中Ｈｊ，ｋɪＭˑＮ，ｊ＝１，２，，Ｊ；ｋ＝１，２，，Ｋ㊂因此，该矩阵是一个ＭˑＮˑＪˑＫ维的信道矩阵，其中Ｍ表示接收天线的数量，Ｎ表示发射天线的数量，Ｊ表示用户数量，Ｋ表示时隙个数㊂由前文建立的通信模型，对Ｈ矩阵内在的关联性进行分析㊂首先，Ｈｊ，ｋ内部的关系可表示为不同天线构建出的不同信道之间的相关性㊂在一般高斯白噪声信道条件下，天线阵列之间固定的距离和入射角关系将带来一定的规律，但数据集中未能发现Ｈｊ，ｋ内部可靠的相关特性㊂这可能是由于天线之间的方向性㊁距离之间的差异较大，使得信道在空间上的相关特性不再明显㊂考虑不同ｋ时隙，同一用户ｊ的信道系数情况，即ＭＮ个信道的时间相关性㊂图５给出了ＭＮ个信道在时隙ｋ＝１，２，３情况下的幅度响应和相位响应㊂可以看出，在不同ｋ下的幅度和角度的变化程度不大，这可以理解为在相关时间内，信道的变化很小，这进一步验证通信建模的可行性㊂（ａ）不同信道系数的幅度响应（ｂ）不同信道系数的相位响应图５㊀同ｊ不同ｋ的Ｈ块之间的幅度和相位响应关系Ｆｉｇ．５㊀ＡｍｐｌｉｔｕｄｅａｎｄｐｈａｓｅｒｅｓｐｏｎｓｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｂｌｏｃｋｓＨｗｉｔｈｔｈｅｓａｍｅｊａｎｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｋ基于上述两层分析，得出Ｈｊ，ｋ块在时间维上的相关性㊂而在时间维上利用ＳＶＤ与ＭＭＳＥ求Ｗ矩阵是独立的，无法直接用于算法简化，为此，本文利用时间相关性，并运用插值算法直接估计Ｗ矩阵㊂具体的，由于同ｊ不同ｋ的块在时间维上的相关性，在经过函数Ｗ＾＝ｆ（Ｈ）后，具有相关性的输入Ｈ，与得到的Ｗ之间将保持相关性㊂因此，可以利用同ｊ不同ｋ的Ｗ的相关性，通过插值算法获取某些ｋ值上的Ｗ矩阵㊂这将直接减少ＳＶＤ与ＭＭＳＥ求逆过程的计算数量㊂为了便于理解，将Ｌ维与Ｊ维（用户数）进行合并，因此Ｗ矩阵可以改写为三维矩阵㊂将矩阵按照Ｋ维展开，不同ｋ下标的矩阵可以由二维平面示意，其插值过程如图６所示㊂图６㊀Ｗ矩阵的插值示意图Ｆｉｇ．６㊀ＳｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｏｆＷｍａｔｒｉｘ３．１．２矩阵数据Ｗ的插值算法对于矩阵数据Ｗ的插值算法，采用ｌｉｎｅａｒ插值法㊁ｓｐｌｉｎｅ插值法与Ｐｃｈｉｐ插值法进行建模插值［２－４］㊂此处，引入最大插值比作为评估方法来评价插值性能，参数寻优的过程可以表示为：㊀㊀Ｒａｔｅ＝ｍａｘ１Ｒ{}ｓ．ｔ．ρｍｉｎ（Ｗ）ｍｉｎｌɪ｛１，２，，Ｌ｝ｊɪ｛１，２，，Ｊ｝ｋɪ｛１，２，，Ｋ｝ρｌ，ｊ，ｋ（Ｗ）＞０．９９，（２１）式中，Ｒ表示每隔Ｒ个点进行一次插值运算㊂因此，式（２１）表示插值结果满足最小建模精度的约束下，使得插值数量越多的寻优目标㊂因此，为满足题设对于拟合后Ｗ矩阵对最小建模精度的要求，需选择合适的插值方法并计算最大插值比，为此进一步提出了最大插值比搜索方法，以评估在不同信道条件数据集下可用的插值参数，最大插值比搜索算法的详细过程在算法１中给出，其基本思想为通过给定的初始插值比Ｒａｔｅ，和选定的插值类型，不断迭代和逼近给定插值类型下的满足要求的最大插值比㊂当取得的插值比越大时，意味着Ｗ矩阵的更多部分可以通过在Ｋ维度上的相关性插值得到，不需要通过ＳＶＤ与ＭＭＳＥ求逆过程，这将大大减少计算的复杂度㊂此外，Ｄａｔａ集最大插值比的计算过程可以理解为适应信道的训练过程㊂在后续过程中，在外部信道条件未剧烈改变的情况下，不需要再次执行，因此最大插值比搜索可以在线下执行，不会影响算法的复杂度㊂算法１所提出的最大插值比搜索算法输入：训练数据集Ｄａｔａ，包含通过ＭＭＳＥ计算的标准Ｗ矩阵；初始化：初始插值比Ｒａｔｅ＝１／Ｒ，插值间隔Ｒ的初始值可以设定为Ｒ＝２㊂Ｒ的中止值可以设定为Ｒｍａｘ＝２００选定的插值类型：Ｌｉｎｅａｒ，Ｓｐｌｉｎｅ，Ｐｃｈｉｐ㊂执行过程：ＦｏｒＲ＜Ｒｍａｘ＝２００㊀ＦｏｒｉＮ＝１：Ｎ㊀㊀ＦｏｒｉＬＪ＝１：ＬＪ１．根据选定的插值比Ｒａｔｅ，确定插值点所在的横坐标序列ｘ，其中ｘ＝［１，Ｒ，２Ｒ，，ｐＲ］Ｔ，ｐＲɤＫ＝３８４２．合并Ｊ个用户的Ｗ矩阵，使其降维为ＮˑＬＪˑＫ３．将Ｗ矩阵的第三维度中与ｘ重合的部分置零，新建为Ｗ＾，在Ｍａｔｌａｂ中可采用ｓｅｔｄｉｆｆ函数㊂置零部分准备后续进行插值填充４．执行插值操作Ｗ＾（ｉＮ，ｉＬＪ，１：Ｋ）＝ｉｎｔｅｒｐ１（ｚ，ｙ，１：Ｋ，插值类型）其中ｉｎｔｅｒｐ１表示插值函数，具体使用方法可参考Ｍａｔｌａｂ中对应函数５．评估插值结果ρｌ，ｊ，ｋ（Ｗ）＝Ｗ＾Ｈｌ，ｊ，ｋＷｌ，ｊ，ｋ２Ｗ＾ｌ，ｊ，ｋ２Ｗｌ，ｊ，ｋ２，ｌ＝１，２，，Ｌ若ρｍｉｎ（Ｗ）ｍｉｎｌɪ｛１，２，，Ｌ｝ｊɪ｛１，２，，Ｊ｝ｋɪ｛１，２，，Ｋ｝ρｌ，ｊ，ｋ（Ｗ）＞０．９９，则跳出循环（ｂｒｅａｋ）㊀㊀Ｅｎｄｉｆ㊀ＥｎｄｉｆＥｎｄｉｆ输出：插值类型，最大插值比Ｒａｔｅ表２给出了３种常见插值方法在６个Ｄａｔａ集的最大插值比㊂由于Ｄａｔａ１Ｄａｔａ６来自不同的信道条件，因此同一插值方法在插值过程中计算出的最大插值比有较大区别㊂例如Ｄａｔａ３数据集的最大插值比显著较小，这可以理解为信道的时变性强或受到干扰噪声较大，插值算法在此时难以满足要求，需要降低最大插值比㊂进一步，横向对比３种插值方法，可见在多数的数据集下，Ｌｉｎｅａｒ插值的最大插值比最小，性能最差，这是由于简单的Ｌｉｎｅａｒ插值精度较低㊂Ｓｐｌｉｎｅ插值与Ｐｃｈｉｐ插值的最大插值比性能相近，Ｓｐｌｉｎｅ插值在Ｄａｔａ１与Ｄａｔａ３上表现比Ｐｃｈｉｐ插值较好㊂从原理上分析，可以理解为当基础函数振荡时，Ｓｐｌｉｎｅ比Ｐｃｈｉｐ更好地捕获点之间的移动，后者会在局部极值附近急剧扁平化，这在该场景下带来了更好的插值性能［５－６］㊂表２㊀３种插值方法在６个Ｄａｔａ集的最大插值比Ｔａｂ．２㊀Ｍａｘｉｍｕｍｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｒａｔｉｏｏｆｔｈｅｔｈｒｅｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｉｎ６ｄａｔａｓｅｔｓ最大插值比Ｌｉｎｅａｒ插值Ｓｐｌｉｎｅ插值Ｐｃｈｉｐ插值Ｄａｔａ１１／２０１／１５１／２０Ｄａｔａ２１／３０１／３０１／３０Ｄａｔａ３１／１３０１／１１１１／１１８Ｄａｔａ４１／３１／２１／２Ｄａｔａ５１／９１／９１／９Ｄａｔａ６１／１７１／１０１／１０复数矩阵运算可拆解为基本的复数运算，而基本的复数运算又可进一步拆解为基本的实数运算，实数基本运算的复杂度按照表１计算㊂对于Ｌｉｎｅａｒ插值法，根据上述描述，可得需要加减法６次㊁乘法２次㊁倒数１次，且对于复数，幅度和相位要分别插值，总复杂度是实数插值的两倍㊂然而，特殊的是这里插值点的横坐标是均匀的，因此计算的复杂度可以大大简化，仅需要３次加法㊁２次乘法和１次倒数，因此总复杂度为６８㊂每个插值时刻ｋ，共需要ＮＪＬ次插值，因此需要复杂度６８ＮＪＬ㊂本文的参数取值为Ｎ＝６４，Ｊ＝４，Ｌ＝２，因此计算复杂度为１７４０８㊂对于Ｓｐｌｉｎｅ插值法，其计算步骤为：求三次函数的系数，然后将插值点横坐标代入三次函数，计算又需要６次加法㊁６次乘法㊂且对于复数，幅度和相位要分别插值，总复杂度是实数插值的２倍，因此总复杂度为１２４，每个插值时刻ｋ，计算复杂度１２４ＮＪＬ㊂取本文参数，计算复杂度为３１７４４㊂对于Ｐｃｈｉｐ插值，由于其性能不如Ｓｐｌｉｎｅ且计算复杂度相似，因此不在此处进行考虑㊂３．２㊀降低矩阵求逆的计算复杂度对于求解逆矩阵Ｖｋ（ＶＨｋＶｋ＋σ２Ｉ）－１过程中的计算复杂度，当使用高斯消元法时［７］，求解维度ＬＪˑＬＪ的矩阵的逆矩阵的复杂度近似为Ｏ（（ＬＪ）３）；当矩阵求逆过程中使用的矩阵乘法使用文献［８］中的Ｓｔｒａｓｓｅｎᶄｓ方法时，其提出的矩阵相乘公式将常规的矩阵相乘的运算量减少很多，可以将上述复杂度降低到Ｏ（（ＬＪ）２．８０７）㊂为此，进一步研究矩阵求逆降低复杂度算法，明显看出Ｖｋ（ＶＨｋＶｋ＋σ２Ｉ）－１为Ｈｅｒｍｉｔｅ正定阵［９］，采用了一种改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法［１０］，该算法结合Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆的高效性以及Ｈｅｒｍｉｔｅ正定阵的共轭对称性特点，使得算法运算量小，结构也简化许多㊂首先，对于矩阵分块直接求逆，假设一个Ｎ阶（这里的Ｎ被重新定义）的方阵Ａ，分块如下：Ａ＝［ａ１１］ｎˑｎ［ａ１２］ｎˑｍ［ａ２１］ｍˑｎ［ａ２２］ｍˑｎæèçöø÷ＮˑＮ㊂（２２）设Ａ的逆矩阵分块如下：Ａ＝［ｃ１１］ｎˑｎ［ｃ１２］ｎˑｍ［ｃ２１］ｍˑｎ［ｃ２２］ｍˑｎæèçöø÷ＮˑＮ，（２３）则根据矩阵分块求逆的原理有：ｃ１１＝（ａ１１－ａ１２ˑａ１２１ˑａ２１）－１ｃ１２＝－ｃ１１ˑａ１２ˑａ－１２２ｃ２１＝－ａ－１２２ˑａ２１ˑｃ１１ìîíïïï，（２４）式中，对于ＮˑＮ阶矩阵，需要的矩阵相乘的运算量级为Ｎ３㊂对于ｎ＞１，ｍ＞１，直接分块求逆算法在具体实现中需要利用递归实现，具体的运算量按照复数乘加次数统计，对于上述的直接求逆算法，以乘加次数统计理论运算量，式（２４）各部分运算量：ｃ１１的运算量为４ｍ２ｎ＋４ｍｎ２－ｍｎ，ｃ１２和ｃ２１的运算量相等，均为４ｍ２ｎ＋４ｍｎ２－６ｍｎ，同理，ｃ２２的运算量为４ｍ２ｎ＋４ｍｎ２－ｍ２，为此，矩阵Ａ利用一次分块求逆的总的运算量为：㊀㊀㊀Ｔ（１）（Ｎ）＝Ｔ（ｍ）＋Ｔ（ｎ）＋１６ｍ２ｎ＋１２ｍｎ２－１３ｍｎ－ｍ２＋４ｍ３，（２５）式中，Ｔ（１）（Ｎ）表示利用一次矩阵分块求逆算法计算矩阵求逆的总计算量，Ｔ（ｍ）和Ｔ（ｎ）分别表示对ｍ和ｎ阶复矩阵求逆所需的运算量㊂由式（２４）可知，经过一次分块求逆之后的运算量依然很高，即Ｔ（１）（Ｎ）Ｏ［（ｍａｘ（ｍ，ｎ））３］，同样可知，式（２４）中的（ａ１１－ａ１２ˑａ－１２２ˑａ２１）－１和ａ－１２２可以继续作为需要求逆的复矩阵，利用式（２２）（２４）可以继续分块求逆，所需运算量即式（２５）中Ｔ（ｍ）和Ｔ（ｎ）部分㊂采用改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法，结合式（２２）（２３），Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法应用到求逆运算有如下公式：Ｒ１＝ａ－１１１Ｒ２＝ａ２１ˑＲ１Ｒ３＝Ｒ１ˑａ１２Ｒ４＝ａ２１ˑＲ３Ｒ５＝Ｒ４－ａ２２Ｒ６＝Ｒ－１５ｃ１２＝Ｒ３ˑＲ６ｃ２１＝Ｒ６ˑＲ２Ｒ７＝Ｒ３ˑｃ２１ｃ１１＝Ｒ１－Ｒ７ｃ２２＝－Ｒ６ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï㊀㊀㊂（２６）式中，对于ＮˑＮ阶矩阵，需要的矩阵相乘的运算量级为Ｎｌｏｇ６２＝Ｎ２．５８５，相比于矩阵分块直接求逆，运算量随着矩阵维数将有显著降低㊂按照前面相同的运算量统计方法，根据式（２５），矩阵利用一次分块求逆的总运算量为：㊀㊀㊀㊀Ｔ（１）＝Ｔ（ｍ）＋Ｔ（Ｎ）＋１３ｍ２ｎ＋１１ｍｎ２－４ｍｎ＋３ｍ２㊂（２７）对于ｎ＞１，ｍ＞１，Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法也是利用递归实现的，但因为Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法减少了矩阵复乘次数，所以相比直接分块的常规算法运算量有明显降低㊂又由于ａ１１，ａ２２，ａ－１２２均为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，且ａＨ１２＝ａ２１，代入到式（２４）中得Ｒ３＝ＲＨ２，ｃ２１＝ｃＨ１２，根据Ｈｅｒ⁃ｍｉｔｅ矩阵的共轭对称性，式（２６）可进一步改写为：Ｒ１＝ａ－１１１Ｒ２＝ａ２１ˑＲ１Ｒ３＝ＲＨ２Ｒ４＝ａ２１ˑＲ３Ｒ５＝Ｒ４－ａ２２Ｒ６＝Ｒ－１５ｃ１２＝Ｒ３ˑＲ６ｃ２１＝ｃＨ１２Ｒ７＝ＲＨ２ˑｃ２１ｃ１１＝Ｒ１－Ｒ７ｃ２２＝－Ｒ６ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï，（２８）式中，对于ＮˑＮ阶矩阵，需要的矩阵相乘的运算量级为Ｎ２㊂为了便于比较新求逆算法的性能改善，按照前面相同的运算量统计方法，根据式（２８），矩阵Ａ利用一次分块求逆的总的运算量为：Ｔ（１）（Ｎ）＝Ｔ（ｍ）＋Ｔ（Ｎ）＋８ｍ２ｎ＋８ｍｎ２＋ｍｎ，（２９）式中，Ｔ（１）（Ｎ）表示利用改进算法计算一次矩阵求逆的运算量，Ｔ（ｍ）和Ｔ（ｎ）部分表示对ｍ和ｎ阶复矩阵求逆所需的运算量㊂由式（２８）可知，经过一次分块求逆之后的运算量Ｔ（１）（Ｎ）Ｏ［（ｍａｘ（ｍ，ｎ））３］㊂同样可以得出，式（２８）中的Ｒ－１５可以继续作为需要求逆的复矩阵，利用式（２８）可以继续分块求逆，所需运算量即式（２９）中Ｔ（ｍ）和Ｔ（ｎ）部分㊂和矩阵直接分块求逆算法相比，新的求逆算法虽然增加了一些加减运算，但复乘次数降低㊂对于维数较高的矩阵，其中有大量的复矩阵运算，复乘消耗的运算量将远大于加减法，而这个运算量随着矩阵维数增加将有显著增大，因此新算法对于复乘次数的降低将显著改善求逆运算的实时性能㊂和常规Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法相比，改进的算法由于利用了求逆矩阵的特点，即对Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵进行求逆运算，所以在运算量和算法复杂度上都有明显的降低㊂常规算法计算一次矩阵求逆的计算复杂度如表３所示，改进算法计算一次矩阵求逆的计算复杂度如表４所示㊂表３㊀常规算法计算一次矩阵求逆的计算复杂度Ｔａｂ．３㊀Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｔｈｅｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｉｎｖｅｒｓｉｏｎｏｆａｍａｔｒｉｘ单项乘法次数加法次数其他Ｒ１Ｔ（ｎ）求逆Ｒ２４ｍｎ２４ｍｎ２－２ｍｎＲ３４ｍｎ２４ｍｎ２－２ｍｎＲ４４ｍ２ｎ４ｍ２ｎ－２ｍ２Ｒ５２ｍ２Ｒ６Ｔ（ｍ）求逆Ｒ７４ｍｎ２４ｍｎ２－２ｎ２ｃ１１２ｎ２ｃ２１４ｍ２ｎ４ｍ２ｎ－２ｍｎｃ１２４ｍ２ｎ４ｍ２ｎ－２ｍｎｃ２２ｍ２复杂度合计９ｍｎ（４ｍ＋４ｎ－１）＋３ｍ２＋Ｔ（ｎ）＋Ｔ（ｍ）表４㊀改进算法计算一次矩阵求逆的计算复杂度Ｔａｂ．４㊀Ｉｍｐｒｏｖｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆａｍａｔｒｉｘｉｎｖｅｒｓｉｏｎ单项乘法次数加法次数其他Ｒ１Ｔ（ｎ）求逆Ｒ２４ｍｎ２４ｍｎ２－２ｍｎＲ３Ｒ４４ｍ２ｎ４ｍ２ｎ－２ｍ２Ｒ５２ｍ２Ｒ６Ｔ（ｍ）求逆Ｒ７４ｍｎ２４ｍｎ２－２ｎ２ｃ１１２ｎ２ｃ２１ｃ１２４ｍ２ｎ４ｍ２ｎ－２ｍｎｃ２２ｍ２复杂度合计８ｍｎ４ｍ＋４ｎ－１２()＋３ｍ２＋Ｔ（ｎ）＋Ｔ（ｍ）在本文中，当矩阵维度为８（Ｊ＝４）时，改进算法总共复杂度为４７７６，常规算法总共５２５５，复杂度降低１０．０３％㊂进一步，图７给出了不同用户数量Ｊ时，改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法与常规Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法的复杂度比较㊂可以看出，随着用户数量增加，矩阵求逆时的维度增加，采用改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法对复杂度的降低更加明显㊂图７㊀在不同用户个数Ｊ下，改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法与常规Ｓｔｒａｓｓｅｎ算法的复杂度比较Ｆｉｇ．７㊀ＵｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎｕｍｂｅｒｏｆｕｓｅｒｓＪ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄＳｔｒａｓｓｅｎａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｔｈｅｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌＳｔｒａｓｓｅｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ３．３㊀所提算法对最小建模精度的影响利用改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法求得的Ｗ＾Ｈｌ，ｊ，ｋ与原来的矩阵求逆算法求得的Ｗｌ，ｊ，ｋ进行建模估计精度计算，对于所给的数据集Ｄａｔａ１Ｄａｔａ６，仿真不同数据集的最小建模精度，发现各数据集最小建模精度均为１，如图８所示㊂可见所提改进Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法不会对建模精度带来影响，这是因为该算法采用了分块迭代方法在变换的过程中不会带来计算误差㊂图８㊀采用改进的矩阵求逆算法后对各数据集最小建模精度的影响Ｆｉｇ．８㊀Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍａｔｒｉｘｉｎｖｅｒｓｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｎｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｍｏｄｅｌｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙｏｆｅａｃｈｄａｔａｓｅｔ３．４㊀综合复杂度分析本节分别对插值算法和改进的矩阵求逆的综合复杂度进行分析㊂利用相关矩阵组的关联度降低计算复杂度，即通过Ｓｐｌｉｎｅ插值操作降低ＳＶＤ的总复杂度㊂其中，所需的乘法次数（５ＭＮ２－ＭＮ）㊁加法次数（３ＭＮ２－ＭＮ）㊁除法次数（０．５Ｎ（Ｎ－１）＋２ＭＮ）以及平方根次数（ＭＮ２）㊂最终的复杂度合计为Ｎｉｔｅ（４３ＭＮ２＋７５２Ｎ（Ｎ－１）＋１４８ＭＮ）㊂另外，通过改进的矩阵求逆，即采用改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎᶄｓ矩阵求逆进一步降低矩阵求逆Ｖｋ（ＶＨｋＶｋ＋σ２Ｉ）－１的复杂度，得出了改进后矩阵求逆算法后所需的乘法次数（４ＭＬ２＋４Ｎ２ＬＪ）㊁加法次数（４ＭＬ２＋４Ｎ２ＬＪ－２ＭＬ－２Ｎ２）以及求逆复杂度（４７７６）㊂最终的复杂度合计为２Ｎ２（８ＬＪ－１）＋２ＭＬ（８Ｌ－１）＋４７７６㊂对于不采用插值算法的情况，每个插值时刻ｋ，由Ｈ矩阵到Ｗ矩阵，需要进行Ｊ（Ｊ＝４）次ＳＶＤ和１次ＭＭＳＥ均衡（主要复杂度在于求逆）的计算㊂其中４次ＳＶＤ需要３５７４４００次计算㊂ＭＭＳＥ均衡需要５２１１１２次计算，因此共需要计算复杂度Ｃ１＝４０９５５１２㊂采用Ｓｐｌｉｎｅ插值时，每个插值时刻的复杂度为３１７４４㊂可以计算出每次插值的复杂度收益为Ｃ２＝３５７４４００＋５２１１１２－３１７４４＝４０６３７６８㊂因此采用插值的最终复杂度收益为：ΔＣ＝（Ｃ１－Ｃ２）ˑＫˑＲａｔｅ㊂（３０）假设Ｒａｔｅ＝１／３时，ΔＣ＝５２４２２５５３６㊂可见，插值对于计算复杂度的降低比较明显㊂同样，计算复杂度可以降低为：ΔＲＣ＝Ｃ１（１－Ｒａｔｅ）＋Ｃ２ˑＲａｔｅＣ１㊂（３１）当Ｒａｔｅ＝１／３时，计算复杂度降低为原来的６６．９３％㊂当Ｒａｔｅ＝１／１０时，计算复杂度降低为原来的９０．０８％㊂综上，当采用改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法时，复杂度降低了１０．０３％㊂进一步采用插值算法后，计算复杂度能够在上述的基础上再降低９．９２％（插值比为１／１０）㊁３３．０７％（插值比为１／３）㊂４㊀结论本论文主要解决ＭＩＭＯ场景下的相关矩阵组的低复杂度计算问题，首先利用Ｈ矩阵在时间相关性推导了Ｗ矩阵的相关性，通过对已有Ｗ矩阵的相关性直接插值出部分缺失的Ｗ㊂这使得在接收Ｈ矩阵时，在求取部分Ｗ矩阵后通过相关性重建完整的Ｗ矩阵；也避免了一部分Ｈ矩阵的存储以及这部分Ｈ矩阵计算ＳＶＤ与求逆获得Ｗ矩阵的过程㊂相比ＳＶＤ与求逆的复杂度，插值的复杂度要低得多㊂此外，采用了一种改进的Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆算法来降低求逆过程的复杂度㊂该算法结合了Ｓｔｒａｓｓｅｎ矩阵求逆的高效性以及Ｈｅｒｍｉｔｅ正定阵的共轭对称性特点，结构更简化㊂参考文献［１］㊀ＲＵＳＥＫＦ，ＰＥＲＳＳＯＮＤ，ＬＡＵＢＫ，ｅｔａｌ．ＳｃａｌｉｎｇＵｐＭＩＭＯ：ＯｐｐｏｒｔｕｎｉｔｉｅｓａｎｄＣｈａｌｌｅｎｇｅｓｗｉｔｈＶｅｒｙＬａｒｇｅＡｒｒａｙｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＭａｇａｚｉｎｅ，２０１３（３０）１：４０－６０．［２］㊀蔡锁章，杨明，雷英杰．数值计算方法［Ｍ］．２版．北京：国防工业出版社，２０１６．［３］㊀许小勇，钟太勇．三次样条插值函数的构造与Ｍａｔｌａｂ实现［Ｊ］．兵工自动化，２００６（１１）：７６－７８．［４］㊀陈帅，岳迎春，徐巍，等．小波时间序列对非平稳信号中突变点的辨识与处理［Ｊ］．测绘科学，２０１３，３８（５）：１１－１２．［５］㊀ＤＥＢＯＯＲＣ．ＡＰｒａｃｔｉｃａｌＧｕｉｄｅｔｏＳｐｌｉｎｅｓ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＮｅｗＹｏｒｋＳｐｒｉｎｇｅｒ，１９７８，２７（１４９）：１５７－１５７．［６］㊀ＦＲＩＴＳＣＨＦＮ，ＣＡＲＬＳＯＮＲＥ．ＭｏｎｏｔｏｎｅＰｉｅｃｅｗｉｓｅＣｕｂｉｃＩｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＳｉａｍＪｏｕｒｎａｌｏｎＮｕｍｅｒｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ，１９８０，１７（２）：２３８－２４６．［７］㊀颜志升，郑昱．基于高斯消元的自适应信号处理的实现方法：ＣＮ１１１４２７０１４Ａ［Ｐ］．２０２０－０７－１７．［８］㊀ＳＴＲＡＳＳＥＮＶ．ＧａｕｓｓｉａｎＥｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｉｓＮｏｔＯｐｔｉｍａｌ［Ｊ］．ＮｕｍｅｒｉｓｃｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｋ，１９６９，１３（４）：３５４－３５６．［９］㊀杨忠鹏，林志兴．关于Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ矩阵的特征的注记［Ｊ］．大学数学，２００３，１９（５）：５２－５３．［１０］李瑞，李晓明，董晔．ＳＴＡＰ中的协方差矩阵求逆快速算法研究［Ｊ］．计算机仿真，２０１１，２８（２）：２５－２８．作者简介：㊀㊀施育鑫㊀国防科技大学第六十三研究所博士研究生㊂主要研究方向：通信抗干扰㊁ＯＦＤＭ㊂㊀㊀鲁信金㊀国防科技大学电子科学学院博士研究生㊂主要研究方向：信息论㊁索引调制㊁ｐｏｌａｒ码㊁物理层安全㊁无线通信技术等㊂在各类期刊和会议论文集上发表论文多篇㊂㊀㊀孙艺夫㊀国防科技大学电子科学学院博士研究生㊂主要研究方向：可重构信息超表面㊁通信抗干扰㊁物理层安全㊂㊀㊀雷㊀菁㊀国防科技大学电子科学学院教授，博士生导师㊂主要研究方向：信息论㊁ＬＤＰＣ码㊁物理层安全㊁ｐｏｌａｒ码㊁无线通信等㊂㊀㊀李玉生㊀国防科技大学第六十三研究所正高级工程师，硕士生导师㊂主要研究方向：通信抗干扰㊂。

MIMO技术

有关MIMO技术的标准
3GPP标准（WCDMA系统）
¾ 空时发送分集（Space-Time Transmit Diversity） ¾ 闭环发送分集（Closed Loop Transmit Diversity） ¾分层空时结构（Bell Laboratories Layered
Space-Time） 3GPP2标准（cdma2000系统） ¾ 空时扩频（Space-Time Spreading） ¾ 正交发送分集（Orthogonal Transmit Diversity）
容量为
M
∑ C = log2(1+ ρ* | hi |2) i=1
发送分集（1）
采用多个发送天线，一个接收天线的分集方式，能够抗衰落如果和接收分集保持相同的总的发送功率，则每个发送天线的发送功率为发送分集的 1/M . 分集增益为
(|h1 |2 +| h2 |2 +K+| hM |2)/M
H = [h1, h2 ,K, hM ]
CMN ×MN
¾计算列向量 hNM ×1 = [h1 , h2 ,L , hNM ]T和矩阵
CMN×MN 的乘积，得到列向量 hN′ M ×1
¾将列向量 hN′ M ×1 进行分段，得到矩阵 hN×M ，即为空间相关的MIMO信道
MIMO信道Shannon容量（1）
基于前面所述的信道模型，根据信息论的结论，此 MIMO系统能达到的系统Shannon容量为
在理想情况下，即MIMO信道可以等效为最大数目的独立、等增益、并行的子信道时，得到最大的Shannon容量(为保证系统性能比较是在相同条件下，将发射功率
归一化，每根发送天线的发射功率与 1 M 成比例)当信道列矢量互相正交时可以达到的容量

mimo自由度和信道矩阵的秩的关系

mimo自由度和信道矩阵的秩的关系MIMO系统（Multiple-Input Multiple-Output）是一种利用多个天线进行数据传输的通信系统。

在MIMO系统中，信道矩阵起着重要的作用，它描述了信号在发送天线和接收天线之间的传输过程。

而信道矩阵的秩则决定了系统的自由度。

我们来了解一下MIMO系统的自由度。

自由度是指系统中独立可变的参数的个数，也可以理解为系统中可以同时传输的独立数据流的个数。

在MIMO系统中，自由度是通过增加天线数来提高的。

例如，一个2x2的MIMO系统表示有2个发送天线和2个接收天线，可以同时传输2个独立的数据流，具有2个自由度。

同样，一个3x3的MIMO系统具有3个自由度，可以同时传输3个独立的数据流。

然而，MIMO系统的自由度并不仅仅取决于天线数，还受到信道矩阵的影响。

信道矩阵是一个描述信号在传输过程中经过的路径和衰减情况的矩阵。

它的大小由发送天线数和接收天线数决定，如果一个MIMO系统有m个发送天线和n个接收天线，那么信道矩阵的大小将是n x m。

信道矩阵的秩决定了系统的自由度。

秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

在MIMO系统中，信道矩阵的秩表示了信道中的独立传输路径数，也就是系统的自由度。

如果信道矩阵的秩为r，那么系统的自由度就是r。

信道矩阵的秩受到信道条件的影响。

在理想条件下，信道矩阵的秩将等于发送天线数和接收天线数中的较小值。

然而，在实际情况下，信道可能受到多径衰落、噪声干扰等影响，导致信道矩阵的秩降低。

这就意味着系统的自由度降低，传输性能也会受到影响。

为了提高系统的自由度，可以采取一些技术手段来改善信道条件。

例如，空间分集技术可以利用多个发送天线和接收天线之间的独立传输路径，提高系统的自由度。

此外，调制编码技术、多用户检测技术等也可以在一定程度上提高系统的自由度。

MIMO系统的自由度和信道矩阵的秩密切相关。

信道矩阵的秩决定了系统的自由度，而系统的自由度又决定了系统的传输性能。

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MIMO信道空间相关矩阵RMIMO=RMS RBS 由RMIMO进行Cholesky分解得到 T 一个对称映射矩阵C，RMIMO=CC 一系列复杂的矩阵运算得到MIMO信道的归一化传输矩阵
H R
1 2 MS
HwR
1 2 BS
结束图1 相关矩阵建模法流程图
2 空间参数
• 角度功率谱(PAS,Power Azimuth Spectrum)：是指信号的功率谱密度在角度上的分布。PAS主要服从3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。其中，拉普拉斯分布和实际的信道测量结果比较吻合。 • 角度扩展(AS,Angle Spread)：角度扩展AS是角度功率谱 PAS的二阶中心矩的平方根，在[0,2π]之间分布。它反映了信号功率谱在角度上的色散程度。角度扩展越大，信道的空间相关性就越小，反之则相关性越大。 • 离开角度(AOD,Angel Of Departuer)：指发送信号与发射天线元之间的夹角。 • 到达角度(AOA,Angle Of Arrival)：指接收信号与接收天线元之间的夹角。 • 天线间距(d)：天线间距是指两个相邻天线元之间的距离，天线间距通常用载波的波长兄进行归一化。天线元间距越小则空间相关性就越大，反之则相关性就越小。
20
15
10
移动台：角度扩展(AS)：60° 波达角(AOA)：20° 天线间距(d)：0.5*λ
5
0 -10
-5
0
5 信噪比 SNR/dB
10
15
20
图6 信道容量与天线个数的关系
40 2发 2收（波达角为 60° ） 4发 4收（波达角为 60° ） 8发 8收（波达角为 60° ） 2发 2收（波达角为 0° ） 4发 4收（波达角为 0° ） 8发 8收（波达角为 0° ）
35
30
信道容量 (bps/Hz)
25
20
15
10
5
0 -10
-5
0
5 信噪比 SNR/dB
10
15
20
图7 信道容量与波达角的关系
独立同分布下的信道容量： C log 2 [det(I Nr
12 有相关性 i.i.d. 10

Nt
H w H H w )]
8
信道容量 (bps/Hz)
0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 归一化天线间距 d/λ
3.5
4
4.5
5
图4 相关性与天线间距的关系
1 0.9 0.8 0.7
空间包络相关性
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1π 0.2π 0.3π 波达角 /π 0.4π AS=60° AS=30° AS=15° 0 0.5π
基于相关矩阵的MIMO 信道建模
1 总体描述
设发射信号为
接受信号为
移动台和基站之间的MIMO无线信道矩阵可以表示为：
其中，Al为第l个多径的信道转移矩阵。
其中，表示移动台第m根天线到基站第n根天线之间的信道增益，L表示可分辨的多径数目。
所以，接受信号可以表示成发射信号的函数：
为了进一步考虑相关性对MIMO信道的影响，提出了以下3个假设： 1、同一经下传输系数的平均功率相等，即有：
3.5
4
4.5
5
图3 相关性与天线间距的关系
1 0.9 0.8 0.7
空间包络相关性
AS=60° AS=15° AS=10°
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
比较图3和图4，在天线间距和角度扩展固定的情况下，相关性随到达角度θ 的增加而变大。当信号不是从阵列的法线方向入射时，可以发现，要达到比较小的相关性，则需要更大的天线间距。
主要影响参数： ρ：信噪比 Rt ：基站端相关矩阵 Rr：移动台端相关矩阵 N：天线个数

Nt
R r H w H R t H w )]
40 2发 2收 4发 4收 6发 6收 8发 8收
35
30
信道容量 (bps/Hz)
25
基站：角度扩展(AS)：5° 波达角(AOA)：60° 天线间距(d)：2*λ
实部：
虚部：
3.3 拉普拉斯分布PAS
拉普拉斯分布PAS的表达式为：
同样把上式代入前面两个表达式，可得高斯分布下的相关系数的表达式：
实部：
Hale Waihona Puke 虚部：4 空间参数对相关性和信道容量的影响
4.1 空间参数对相关性的影响
1 0.9 0.8 0.7 AS=60° AS=15° AS=10°
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
3 相关系数计算
相关系数的实部：
相关系数的虚部：
其中，
，
为角度功率谱函数。
3.1 均匀分布PAS
均匀分布PAS的表达式为：
将此式代入前面两式，可以分别求出均匀分布下的相关系数的表达式：
3.2 高斯分布PAS
高斯分布PAS的表达式为：
同样把上式代入前面两个表达式，可得高斯分布下的相关系数的表达式：
之后，定义两组不同天线之间的相关系数为：
根据前面的3个假设，可以证明：
所以，MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端的相关矩阵与接收端的相关矩阵的Kronecker乘积：
有相关性影响下的归一化MIMO信道传输矩阵H：
H R Hw R
12 r
1/2 t
开始 MS侧相关矩阵RMS BS侧相关矩阵RBS
6
基站：角度扩展(AS)：5° 波达角(AOA)：60° 天线间距(d)：2*λ Nt=2 移动台：角度扩展(AS)：60° 波达角(AOA)：20° 天线间距(d)：0.5*λ Nr=2
-5 0 5 信噪比 SNR/dB 10 15 20
4
2
0 -10
图8 i.i.d.与有相关影响的信道容量的比较
由图3可以看出：随着角度扩展Δ减小，即散射环境变弱，相关性的第一个零点所对应的天线间距变大。第一个零点大致位于 d/λ=30/Δ处。还可以看出，在天线间距和到达角度θ 固定的情况下，相关性随着角度扩展的增加而减小。
空间包络相关性
0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 归一化天线间距 d/λ
由图5可以明显看出，空间包络相关性随着波达角的增加而正大。而当波达角一定时，空间相关性随着角度扩展的减小而增大，验证了前面空间相关性与角度扩展之间呈反相关是正确的。
图5 相关性与波达角的关系
2、空间参数对信道容量的影响
考虑相关性影响的信道容量：
C log 2 [det(I Nr
2、信道为广义平稳非相关散射信道，不同的多径下的信道传输系数不相关，即
3、两个接受天线之间的相关性与发射天线是哪一根无关。
定义基站第n1根天线和第n2根天线之间的相关系数为：同样，移动台第m1根天线和第m2根天线之间的相关系数为：
所以，根据这两个式子可以写出基站和移动台的空间相关矩阵分别为：