空间向量及其运算(经典)

§8.5 空间向量及其运算1.空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2.(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是 OP →＝OA →＋t a①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝ OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝__1__. (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × )(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c . ( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0. ( √ ) (6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件.( × )2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的 交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A.x ＝1，y ＝1B.x ＝1，y ＝12C.x ＝12，y ＝12D.x ＝12，y ＝1答案 C解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →).4.同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 解析 设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直于a ，b 的单位向量为⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.5.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点， E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示). 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .题型一 空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →. 思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可. 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 思维升华 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →. (2)OC 1→＝OC →＋CC 1→ ＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、 DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).思维启迪 对于(1)只要证出向量EG →＝EF →＋EH →即可；对于(2)只要证出BD →与EH →共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示. 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面. (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分.故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →). 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0). (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________. 答案 平行解析 取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1， 且EF ⊄平面A 1B 1CD ，DB 1⊂平面A 1B 1CD ， 所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形AB -CD 的各边和对角线的长都等于 a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值.思维启迪 两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a |2＝a ·a 可以求线段长；利用cos θ＝a ·b |a ||b |可求两条直线所成的角.(1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)] ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a .(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算.应该注意的是α∈(0，π2]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解.已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值. 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2). k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)， 且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2 ＝2k 2＋k －10＝0， 得k ＝2或k ＝－52.“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________.易错分析 将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a ·b 方向相同或相反. 解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2，或x ＝1当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ， 两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3. 答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例.方法与技巧1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题. 失误与防范1.向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点. ∴AB ∥CD .2.已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则 ( ) A.O ，A ，B ，C 四点不共线 B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线 D.O ，A ，B ，C 四点不共面 答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面.3.已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A.2，12B.－13，12C.－3,2D.2,2答案 A解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.4.空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系是( ) A.共线B.共面C.不共面D.无法确定 答案 C解析 ∵AB →＝(2,0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4).假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x ，y ，使AD →＝xAB →＋yAC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2y ＝0， ①－3y ＝－3， ②－4x －5y ＝－4， ③由①②得x ＝y ＝1，代入③式不成立，矛盾.∴假设不成立，故四点不共面.5.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( ) A.0 B.12 C.32 D.22 答案 A解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|b |＝|c |，〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，BC →＝c －b ， ∴OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos π3－|a ||b |cos π3＝0， ∴OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题6.已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________.答案 60°解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.7.已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________.答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝ 5⎝⎛⎭⎫t －152＋95，∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355.8.如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于________.答案 12解析 因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以|PC →|＝12.三、解答题9.已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2).(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)?解 (1)∵a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，∴2a ＋b ＝(0，－5,5)，∴|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ－3y ＝－λ－1z ＝－2λ＋4，∴E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，∴OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4).又∵b ＝(－2,1,1)，OE →⊥b ，∴OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，∴λ＝95，∴E (－65，－145，25)， ∴在直线AB 上存在点E (－65，－145，25)，使OE →⊥b . 10.如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值.解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. (1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b)＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A.c ∥dB.c ⊥dC.c 不平行于d ，c 也不垂直于dD.以上三种情况均有可能答案 B解析 由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面.∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面.∴c ⊥d .2.以下命题中，正确的命题个数为 ( ) ①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面.A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由共线向量知a 与b 所在直线可能重合知①错；若a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数x ，y ，使a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )＝y a ＋x b ＋(x ＋y )c ， ∵a ，b ，c 不共面，∴y ＝1，x ＝1，x ＋y ＝0，∴x ，y 无解，∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能构成空间的一个基底，∴②正确；由向量相等的定义知③正确；由共面向量定理的推论知，当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，∴④不正确.故选B.3.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________.答案 25解析 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，∴M (1，12，1)，N (1,1，12)， ∴AM →＝(0，12，1)， CN →＝(1,0，12)， ∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12× 12＋(12)2＝25.4.已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5).(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标.解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1).5.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。