“隐形圆”的探析(教师版)

“圆”形毕露(二)

考纲要求：

江苏省咼考考试说明中圆的方程是C级考点，近几年在各地模考和咼考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题.

考点解读：

在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA PB (或PA2PB2是

定值)，则点P的轨迹是个圆•

小题热身

(1) 平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为__________ .

(2) 从圆O:x2 y2 1外一点P向圆引两条切线，切点分别是A、B,使得/ APB= 60°,则点P

的轨迹方程为 __________ .

(3) 已知两点A(-2,0), B(2,0)，若存在点P,使得/ APB=90°,则点P的轨迹方程为___________

uuu uuu

⑷已知两点A( 2,0),B(2,0),若存在点P,使得APcBP 2 0,则点P的轨迹方程

为 _________ .

(5)已知两点A( 2,0), B(2,0),若存在点P,使得PA2 PB2 10,则点P的轨迹方程

为 _________ .

题型一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆

例1(1)如果圆(x —2a)2+ (y—a —3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值

范围是 __________ .- 6 < a < 0

5

略解；和原点的距离为I的点的轨迹是以原点为鬪心的单位鬪，转化到此单位圆与已知

圆相交求解*

2 (2016南京二模)已知圆O：x2 y2 1,圆M:x a 2 y a 4 2 1 .若圆M上存在

点P,过点P作圆O的两条切线，切点为A,B,使得/ APB = 60°,则a的取值范围

为 _________ .

解：由题意得O 尸=2,所以戶在以O 为圆心2为半径的岡上.即此圆打圆M 有公共 .点* 2-1 <

2 2

题型二 动点P 对两定点代B 张角是90°k p A g

2 2

例2已知圆C ： x 3 y 4 1和两点A( m,0),B(m,0), m 0若圆上存在点P,使得/

APB=90°,则m 的取值范围是 _________ .

题型三两定点代B ,动点P 满足PA PB 确定隐形圆

例3 (2017南通密卷3)已知点A(2,3),点B(6,-3)点P 在直线3x 4y 3 0上若满足等式 uuu uuu

APgBP 2 0的点P 有两个,则实数 的取值范围是 ____________ .

题型四 两定点代B ,动点P 满足PA 2 PB 2是定值确定隐形圆

例4 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C :(X — a)2 + (y — a + 2)2= 1 A(0,2),若圆C 上存在点P, 满足PA 2 PO 2 10,则实数a 的取值范围是 _______________ .

⑵(2017.12南京十校联考12)已知A,B 为直线I :

x 2 y 2 6x 6y 2 0,圆C 上存在点P ,使PA 2 提升练习

(1)(2017苏北四市一模)已知代B 是圆C 1 :x 2 y 2

1上的动点，AB=、、3 , P 是圆

2 2 UJD UUU C 2: x

3 y

4 1上的动点，则PA PB 的取值范围是 ___________ .

略解：取的中点则C|Af-- 所以M 在WGlal 心*半卷为丄的圆上，H

y x 上两动点，且AB 4，圆C : PB 2 10,则线段AB 中点M 的横坐标取 值范围为

■ 14 /14 .[〒T ]

2 2

|丙+岡二2加，转化为两圆上动点的距离的鼓值.

⑵(2017南通市一模)在平面直角坐标系xOy中已知B,C为圆x2 3 y2 4上两点，点

A(1,1),且AB AC,则线BC段的长的取值范围为______________ •

以眩的屜值范围是「点-忑，馬十运］.

一. 阿波罗尼斯圆

2 在直角坐标系中，A 0,3，直线l; y 2x 4，圆C的半径为1,圆心C在I上

圆心C也在直线y x 1上，过A点作作圆C的切线，求切线的方程

(1)圆心C也在直线y x 1上，过A点作圆C的切线，求切线的方程。

(1)若圆C上存在点M，使得MA=2MO,求圆C的横坐标的取值范围。

3 ABC中，AB=2,AC V2B C ,则ABC面积的最大值是 ___________________

二. 动点P满足AP2BP2M，则动点P的轨迹是以AB为中点O为圆心，半径为r (其中2 r2

AO2 M )

2 2

1•在直角坐标系xoy中，已知圆C: x a y a 2 1，点A (0，2)，若圆C上存在点M，满足：MA2 MO210,则实数a的取值范围是________________ 2•在直角坐标系xoy中，已知圆C: x2 y2 4x 0,A -1,0 ,B 1,2

(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点，且MN=AB,求l的方程。

⑵在圆C上存在点P使得PA2PB212 ?若存在，求P点的个数；若不存在，说明理由。

三. 若ABCD为矩形，则PA2 PC2 PB2 PD2

1. 圆O: x2 y2 16，点P1,2,M,N是圆0上的不同的两点，且满足：PM ? PN 0,

若PQ PM PN，则的最小值为_______________________

2. 向量a,b,c，满足：a lb 2‘ic i，且a-c?Do，贝qa b的取值范围是

四. 双重身份

1.在ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC BAC 900, AD 1,CD的取值范围是- ____________

1

五. 若PA?PB m, （A,B为定点），且m」AB2 0,则点P的轨迹是以AB为中点为圆

4

心，r J m」AB2的圆上。其推导：

V 4

1•已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a,b是相互垂直的单位向量，且

a c ? J3

b

c 1，贝U c的最大值是_________________