华东师大版八年级数学上册等腰三角形等腰三角形的性质课件
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为30°， . 30°
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
=180°-30°-90°=60°.
二 等边三角形的性质
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形， 那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等
边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得
∠A＝∠B
A
所以
∠A＝∠B＝∠C，
又由
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由. A
B
D
C
课堂小结
等边对等角 三线合一
等腰三角 形的性质
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线、底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高、中线和底角的平分线不具 有这一性质.
等边三角形
有三条对称轴，每个内角等于 60°.
A C
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C
BD＝CD AD＝AD
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC=90° B D
C
性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线， 互相重合（简称“三线合一”）.
填一填:根据等腰三角形性质完成下列填空.
例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30°.
求解：：（(11)）∵∠AABD=CA的C，大B小D；=D（C2（）已∠知1的）大，小.
A
12
∴AD⊥BC(等腰三角形 “三线合一”).
B
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义).
DLeabharlann C(2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°）， ∠B=30° （已知）， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB
已知：如图，△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C .
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平
分线AD，然后证明△ABD ≌ △ACD.
A
证明：作顶角∠BAC的平分线AD.
在△ABD与△ACD中，
12
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
B
D
C
∴ △ABD ≌ △ACD（S.A.S.），从这里你还可以得到什么结论? ∴ ∠B＝∠C.
A
探究归纳
我们可以得出结论： 1.等腰三角形是轴对称图形. 折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
B 你还有新的发现吗？
D
C
2. ∠B ＝∠C
∠B，∠C 是等腰三角形的 底角 .
所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
从而推出
∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，
并且每一个角都等于60°.
B
C
三条对称轴
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，
也称为正三角形.
例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且
BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（1）找出图中所有相等的角；
A
∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC；
3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边 AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断: ①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C ，就说 ∠C 的度数也是37°;②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找 到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们 认为木桩是垂直横梁的.
2x B
D 2x
C
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
当堂练习
1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
A
A
120° 36°
B
C
B
C
∠B=∠C = 72°
∠B=∠C = 30°
2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为75°, ； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 30°
典例精析
例1 已知：在△ABC中 ，AB=AC，∠ B=80 °，求∠
C和∠ A的大小.
解：Q AB AC (已知）,
C=B 80o (等边对等角）.
又Q A B C=180o(三角形的内角和
等于180o）,
B
A=180o B C (等式的性质）
=180o 80o 80o=20o.
C
底边
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
讲授新课
一 等腰三角形的性质
做一做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角
形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、
AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
C
B
D
C D
在△ABC中， AB=AC时，
A
（1）∵AD是底边上的高，
∴∠__1___ = ∠___2__，_B_D__= _C__D_.
12
(2) ∵AD是中线，
∴_A__D_⊥__B_C_ ，∠___1__ =∠___2__.
(3) ∵AD是角平分线，
B
D
C
∴_A_D__ ⊥_B__C_ ，__B_D__ =__C_D__.
（2）指出图中有几个等腰三角形？
D
△ABC, △ABD, △BCD；
B
C
（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系， ∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A； （4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来.
第13章 全等三角形
13.3 等腰三角形
1.等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性 质解决有关问题.(难点)
导入新课
复习引入
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. A
顶
角
腰
腰
底角
B
底角
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °， ∴x+2x+2x=180 °.
A
⌒
x
D
2x
2x
B
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
A
⌒
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° .
华师大版八年级数学上册《等腰三角形的性质》优课件(共22张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线 和底边上的高互相重合”.
三条边都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都 等于60°.
练习
1.在△ABC中，AB＝AC， (1)若∠A＝72°，其余两角各是多少度？
(2)若有一个角为72°，其余两角各为多少 度？
(3)BD为△ABC的底角平分线，且△ABD也是 等腰三角形，各角的度数可能会是多少？
A
解：
B
D
C
(1) ∵AB = AC，D是BC边上的中点（已知）
∴AD⊥BC, ∠BAD =∠CAD(等腰三角形 “三线合一”)
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义)
(2) ∵∠BAD +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°）
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°
2.等腰三角形各部分的名称是什么？
相等的两条边 腰
A 顶角
两腰的夹角
顶角
第三条边 腰与底的夹角
底
腰
底角
底角
腰 底角
B底 C
3.请大家观察自己所画的等腰三角形，能发现 它有什么特征吗？
实验：请同学们把自己画的等腰三角形剪下 来，再用折纸的方法把它的两腰叠在一起， 从实验中能得到什么结论？
A
A
B
C
B BBB
∵ AB=AC （已知）, B D C
∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）, 此时AD还是什么线?
∴ △ABD≌△ACD（SAS）.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
2022八年级数学上册第13章全等三角形集训课堂测素质等腰三角形的性质与判定课件新版华东师大版4
(2)点P是MN上的一点，且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB. ①求证：△BPM是等腰三角形； 证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC. ∵MN∥BC， ∴∠MPB＝∠PBC， ∴∠PBM＝∠MPB， ∴MB＝MP， ∴△BPM是等腰三角形．
②若△ABC的周长为a，BC＝b(a＞2b)，求△AMN的周长 (用含a，b的式子表示)． 解：由①知MB＝MP，同理可得NC＝NP， ∴△AMN的周长＝AM＋MP＋NP＋AN＝ AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC. ∵△ABC的周长为a，BC＝b， ∴AB＋AC＋b＝a，∴AB＋AC＝a－b， ∴△AMN的周长＝a－b.
3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一10时58分39秒10:58:3921 Marc h 2022
谢谢观赏
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集训课堂 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一上午10时58分39秒10:58:3922.3.21
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月上午10时58分22.3.2110:58March 21, 2022
(2)若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 解：∵BC＝DC，∠BCD＝130°， ∴∠CBD＝∠CDB＝12(180°－∠BCD) ＝12×(180°－130°)＝25°. ∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝50°＋25°＝75°.
18 【 中 考 ·怀 化 】 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， △EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE；
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课件(共28张PPT)
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
的高互相重合，简称“三线合一”
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、 角相等。
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°,
则∠B =
；
（2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B,
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
等腰三角形的性质
性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成等边对等角）
性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
几何语言：
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD 作BC边上的中线AD 作顶角的平分线 AD
归纳总结
A等腰三角形常见辅助线A NhomakorabeaA
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC 的中线AD
八年级数学等腰三角形课件.
∴∠B＝∠C（等边对等角）
第十四页，共24页。
证法欣赏
方法一：作顶角∠BAC的平分线AD。
A ∵AD平分∠BAC
方法二：作底边BC的高AD。
∵AD⊥BC
A
∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中
1
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
2
在△ABD与△ACD中
AB＝AC（已知）
∠ADB ＝∠ADC＝90°
∠1＝∠2（已证） B
分？并指出重合的部分是什么？
（3）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。
第四页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
第五页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2 x
∴∠A+∠ABC+∠C= x 2x 2x 1800
x 360
在△ABC中∠A=36度 ∠ABC=∠C=72度
第十八页，共24页。
基础训练
（1）已知等腰三形的一个顶角为36° ，则它的两个底角
分别为
72° 、72° .
（2）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角
A
B
C
第六页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没
有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
第七页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
人教版八年级数学上册《等腰三角形》(第1课时)课件
底边BC上的高AF，得出AF是顶角∠BAC的
平分线，再证AF∥DE即可. 1
1
2
证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
F
∴AF平分∠BAC，∴∠1＝ ∠BAC.
又∵∠BAC＝∠D＋∠AED，AD＝AE， ∴∠D＝∠AED，∴∠AED＝ 1 ∠BAC.
2 ∴∠1＝∠AED， ∴AF∥DE， ∴DE⊥BC.
20cm或22cm
20 36°或90°
70°或40°
解：设∠A＝x， ∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝x， 又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2x, ∵CD=CB，∴∠B＝∠BDC＝2x， 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA＝2x， 又∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°， ∴∠A＝36°，∠B＝∠BCA＝72°
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的性质. 3.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
重点：等腰三角形的概念和性质及其应用. 难点：等腰三角形的“三线合一”的性质的理解及 其应用.
阅读课本P75-77页内容，了解本节主要内容.
等腰
轴对称 底边上的高（顶角的平分线或底边上的中线） 所在的直线；
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD ＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解析：根据等腰三角形的性质，两底角相 等，利用三角形内角和定理建立方程. 解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°. 在△ABC中, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,x°+2x°+2x°=180°， ∴x＝36°，∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°.
华东师大版数学八年级上册1.等腰三角形的性质PPT
B
D
C
∴ ∠ADC = ∠ADB= 90°
∵ ∠ 1 =180° - ∠A数学教材编写】 13
随堂演练
1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5_° 2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 __3_5_°__,3_5_°
13.3 等腰三角形
1. 等腰三角形的性质
华东师大八年级上册
【根据最新版数学教材编写】 1
新课导入
【根据最新版数学教材编写】 2
推进新课
一.基本概念
等腰三角形
1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC , ABC 就是等腰三角形
顶角
2.等腰三角形的基本要素: 相等的两边叫做腰 另一边叫做底边
合。
【根据最新版数学教材编写】 10
等腰三角形的性质
A
①在ΔABC中，∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
②在△ABC中， AB=AC时， （1）∵AD⊥BC，
∴∠B__A_D_ = ∠C_A__D_，_B_D_= _C_D_ B D C
（2）∵AD是中线，
等腰三角形底边上
的中线和高线、顶
∴_A_D_⊥_B_C_ ，∠_B_A_D_ =∠_C_A_D_ 角的平分线互相重
在半透明的纸上，画一个等腰三角形，把它对折，让两腰 AB，AC重叠在一起，折痕为AD。
A
A
观察后你发现了什么现象？
B D CB
D
C
【根据最新版数学教材编写】 5
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD AD＝AD
新华师大版八年级上册初中数学 课时一 等腰三角形的性质 教案
第十三章全等三角形13.3等腰三角形1.等腰三角形的性质课时一等腰三角形的性质【知识与技能】(1)理解并掌握等腰三角形的性质.(2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算.(3)观察等腰三角形的对称性，发展形象思维.【过程与方法】(1)通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力.(2)通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度与价值观】引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心.等腰三角形的性质及应用.等腰三角形的性质的证明.多媒体课件、剪刀、尺子教师出示一些几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等.让学生抢答哪些是轴对称图形，并且提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形.教师引入：我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.(板书课题)探究：等腰三角形的性质教师让学生完成活动1：如图13-3.1-1，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？图13-3.1-2学生动手操作，观察剪出的△ABC的特点，可以发现AB=AC.然后教师让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角，如图13-3.1-2.并指出：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角.教师让学生继续完成活动2：把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论、交流，从表中总结等腰三角形的性质.接着教师引导学生归纳，并板书：性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).教师归纳：等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.教师让学生完成活动3：你能用所学的知识验证上述性质吗？已知：如图13-3.1-3，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的方法，要证明∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.教师提示：可以作辅助线构造两个三角形.作BC边上的中线AD，证明△ABD 和△ACD全等即可.根据条件，利用“边边边”可以证明.学生给出证明过程：证明：作BC边上的中线AD，如图13-3.1-4，所以BD=CD.所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B=∠C.这样，就证明了性质1.然后教师让学生类比性质1的证明，证明性质2.由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，从而得出AD⊥BC.这就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A且垂直于底边BC.学生通过讨论、交流可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.最后教师拓展补充等腰三角形还有以下性质：(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等.(2)等腰三角形两个底角的平分线相等.(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.教师出示教材P76例1：如图13-3.1-5，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.师生共同分析：根据“等边对等角”的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.把∠A设为x，那么∠ABC，∠C都可以用x来表示.再由三角形的内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角的度数.分析完之后，学生口述过程，教师板书：解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.接着教师让学生独立完成：教材P77练习第1-3题.1.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).注意：等边对等角只限在同一个三角形中运用.2.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).说明：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.【正式作业】教材P81习题13.3第1-3题【家庭作业】《高效课时通》P48-P49。
华师大版八年级上册13.等腰三角形的性质课件
符号语言表示？试一试。
A
注意： 在 一个 三角形中,等边对B 等角。C
用符号语言表示为：
在△ABC中， ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C (等边对等角）
自学指点：
自学课本96页例1是如何求∠C 和∠A的度数的，掌握解题格式。组 内分析后练写解题过程。
例1
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80。
4 等腰三角形的两边长分别为5cm和6cm,则它的周长为 _1_6c_m_或__17. cm
5 如图，在△ABC中，AB=AC，且∠BAC= 120° AD⊥BC ，求
∠B，∠C ∠BAD ∠cAD的度数．
A
1BDC来自谈谈你本节课的收获。还 有哪些需要反思？
A 12
DC
写一写：
自学课本96页例2，书写解 题过程，有问题的组内互帮。
例2
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
A 1
B
D
C
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三 角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系 重物的绳子正好经过三角板底边中点，就 说房梁是水平 的，你知道其中 反应了什么数学 原理?
议一议：
在你所画的等腰三角形上，继续视察 折痕AD所分开的两部分，你还有新的发 现吗？组内讨论。
验一验：
A
画出任意一个等
腰三角形的底角平分
线、腰上的中线和高，
看看它们是否重合？
E
D
F
B
C
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠1___=∠_2__，B__Ｄ__=_C_D__； （2）∵AB=AC，AD是中线， ∴（3∠）1＿∵=A∠B2＿=A，C_A，_D_A_⊥D是_B_C角__平；分线，B ∴_A_D__⊥_B_C__，B__Ｄ__=_C_Ｄ__。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1．等腰三角形的概念：有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ．． (3)等腰三角形是 图形．3．等腰三角形的判定：(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．【例题讲解】例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 相关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否准确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．总结：图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的．相关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．求证：BC 的长等于△DEF 的周长．【课后巩固】1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则DCBAED CBADCB A 3334∠C =__________．2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x－6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ．5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．EDCB A8．如下列图，△MNP 中，∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ．9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC上的点，•AE =•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD =______10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且AD AE =．求EDC ∠的度数．15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． E D C B AP QM N G 35E M DCB A36。
等腰三角形的判定-八年级数学上册课件(沪科版)
1、如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
① △ABC 中，AB=AC；
② △ABC 中，∠B=56°，∠BAC=68°；
③ △ABC 中，AD⊥BC，AD 平分 ∠BAC；
④ △ABC 中，AD⊥BC，AD 平分边 BC．
∴ △ABC 是等腰三角形 “角平分线+平行线 是一种常见的基本图形
等腰三角形”
探究新知
思考 1：如何判断一个三角形是不是等边三角形？
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC 中， ∠ A=∠B=∠C
A
求证：△ABC 是等边三角形
证明：∵ ∠A=∠B (已知)
∴ BC=AC (等角对等边)
请你判断 △ABC 的形状，并说明理由.
解：△ABC 是等腰三角形. 理由如下：
∵ AE是 ∠DAC 的平分线
∴ ∠DAE=∠EAC (角平分线的定义)
∵ AE∥ BC
∴ ∠DAE=∠B (两直线平行，同位角相等)
∠EAC=∠C (两直线平行，内错角相等)
∴ ∠B=∠C
知识拓展：
∴ AB=AC (等角对等边)
拓展练习 2、如图 1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于 O 点，
过 O 点作 BC 平行线交 AB、AC 于 D、E． (1) 请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由 .
拓展练习 2、如图 1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于 O 点，
过 O 点作 BC 平行线交 AB、AC 于 D、E． (2) 如图 2，△ABC 若 ∠ABC 的平分线与 △ABC 的外角平分线