数学人教版八年级下册算术平方根
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案Lesson 1: The Concept of Quadratic Radicals1.Knowledge and Skills: Understand the concept of quadratic radicals and use the meaning of a (a≥0) to answer specific ns。
2.Process and Method: Raise ns for n。
analyze and summarize the concept。
analyze the XXX。
draw important ns。
and use XXX3.ns。
Attitudes。
and Values: Develop students' ability to observe。
analyze。
XXX quadratic radicals。
Learning Focus: XXX in the form of a (a≥0)。
solving specific problems using "a (a≥0)"。
preparing basic XXXXXX-XXX:Analysis of Student n: Students XXX。
Activity Content:1.XXX een positive square roots and negative square roots is that they are expressed as ±a。
2.What is the arithmetic square root of a number。
What is the meaning of a in a (a≥0)。
Review of Knowledge: What is the square root of a number。
人教版八年级数学下册专题01 二次根式的有关概念和性质 题型归纳 (解析版)
专题01 二次根式的有关概念和性质【思维导图】◎考点题型1 求二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =时, ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B 【解析】 【分析】把0x = 【详解】解：把0x =2= 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．变式1．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3 时, ）A ．3B ．－3C ．±3D 【答案】A【分析】把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x ＝－3时3=. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算,正确理解算术平方根的意义是关键. 变式2．（2020·北京·一模）如果31a ,那么代数式21(1)11aa a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 2【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解：原式=()()111a a a a a ÷--+=()()1111a a a a a a-+⨯=+-；当31a时,原式11+=故选：B ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,属于常考题型,熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．变式3．（2020·湖北鄂城· ）A B ．2 C ．22 D ．2±【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方和开方的运算法则进行计算即可． 【详解】2=故答案为：B ．本题考查了开方和乘方的运算问题,掌握乘方和开方的运算法则是解题的关键．◎考点题型2 求二次根式中的参数例．（山东阳谷·,则正整数n的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】,=则6n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：24n=,∴,即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件,二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答变式1．（全国·,最小的正整数n是（）A．6B．3C．4D．2【答案】B【解析】【分析】根据题意,算数平方根是正整数,可得被开方数是能开方的正整数．【详解】是正整数,所以n 的最小正整数是3,故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,利用开方运算是解答本题的关键．变式2．（2020·四川三台·,则正整数n 的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】 【分析】,然后再判断n 的最小正整数值． 【详解】=,,则也是整数； ∴n 的最小正整数值是3； 故选B ． 【点睛】变式3．（2020·江西南丰·20b -=,则2019()a b +的值是（ ）． A ．1 B ．－1C ．2019D ．－2019【答案】B 【解析】 【分析】利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解得到a 与b 的值,代入原式计算即可求出值． 【详解】20b -=,∴3020a b +=⎧⎨-=⎩, ∴32a b =-⎧⎨=⎩, ∴20192019()(32)1a b +=-+=-, 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组,熟练掌握几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零是解本题的关键．◎考点题型3 二次根式有意义的条件例．（2022·河北·在实数范围内有意义,则x 的值可能为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】,可列不等式组10,10x x 得到不等式组的解集,再逐一分析各选项即可. 【详解】解： , 1010x x ①②由①得：1,x ≥ 由②得：1,x ≠- 所以：1,x ≥故A,B,C 不符合题意,D 符合题意, 故选D 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.变式1．（2022·湖南岳阳·,则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥- B ．0x ≠C ．1≥xD ．0x >【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答．解：由题意得10x -≥, 解得1≥x , 故选：C ． 【点睛】此题考查了二次根式的非负数,解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列式进行解答．变式2．（2022·福建惠安·有意义,则x 的取值范围为（ ） A ．1x ≥- B ．1x >- C ．1≥x D ．1x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可． 【详解】, ∴10x +≥ 解得1x ≥- 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,理解被开方数为非负数是解题的关键．变式3中x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥﹣2C ．x ≠2D ．x ≥﹣2且x ≠2【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：20x +≥且20x -≠,解得：2x ≥-且2x ≠； 故选D ．本题主要考查二次根式及分式有意义的条件,熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．◎考点题型4 利用二次根式的性质化简例．（2022·贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（ ）A 2=-B 2=±C ．22= D ．(22=-【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. 2,故错误；B. 2=,故错误；C.22=,正确；D. (22=,故错误；故选C ． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算,解题的关键是熟知二次根式的性质．变式1．（2022·江苏·2x =-成立,则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≥C ．02x ≤≤D ．任意实数【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解． 【详解】22x x =-=-∴x -2≤0故选A ． 【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法． 变式2．（上海奉贤·七年级期末）下列计算错误的是（ ）A 2=-B 2C 2D ．2(2=【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简,进而判断即可． 【详解】解：A 2,故此选项计算错误,符合题意；B 2=,故此选项计算正确,不合题意；C 2=,故此选项计算正确,不合题意；D ．2(2=,故此选项计算正确,不合题意； 故选：A ． 【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则,熟记乘法法则是解题的关键．变式3．（2022·2的结果是（ ） A ．61x -- B ．1-C ．61x +D ．1【答案】D 【解析】 【分析】x 的取值范围,,利用二次根式的性质去根号,然后合并同类项即可． 【详解】0x ≥∴31=+x故原式化简为：3131x x +-=． 故选：D ． 【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质,熟练掌握二次根式的性质,求解该题的关键．◎考点题型5 复合二次根式的化简例．（浙江滨江·八年级期中）对式子,使根号外不含字母m ,正确的结果是（ ）A B ．C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：30m -≥,∴0m ≤∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式1．（河南原阳· ）AB C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值,从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x ＜0∴(11x x x⋅=⋅-故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的化简,理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．变式2．（湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内,得（ ）AB C ． D ．【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得x>2,然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意得： 102x >-,解得：x>2,∴(2x -= 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．变式3．（2018·全国·2得（ ） A ．2 B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,=-a.二次根式2=a,(a≥0).。
二次根式的概念(教学课件)八年级数学下册(人教版)
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
பைடு நூலகம்
32;
(2) 6;
(6)
xy x, y异号 ;
2;
(3)
分析： 是否含二次根号
否
(7)
是
(4)
a 2 1;
-m m≤0 ； (5)
(8)
3
被开方数是
不是非负数
否
不是二次根式
5;
是
(9)
1
;
5
2 3 .
二次根式
判断下列式子，哪些是二次根式？
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽
各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x•2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x= 3
答：矩形的长、宽分别为3 3cm、2 3cm.
1
12．先化简，再求值：(
+
−
2
)
2 +
÷
−2
2.使分式
B．①③
C．①②③
+3
有意义的x的取值范围是（
A． ≥ −3
B． ≥ −3且 ≠ 0
D．①②③⑤
B ）
C． ≠ 0
D． > 0
3.使得 x 3 有意义的x值有（ B ）
2
A.0个
B.1个
C.无数个
D.以上都不对
x 1
x 3 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
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（2）判断
1、5是25的算术平方根；2、36的算术平方根是-6；
3、0的算术平方根是0；4、0.01是0.1的算术平方根.
三、议
组内交流讨论，教师巡视
四、展
学生代表展示学案自学问题
思
(学生自学)
议
(交流讨论)
展
(展示自学
成果)
教学
过程
师生活动
个人复备
这节课我的最大收获是：
我不能解决的问题是：
检
(随堂检测)
47页1
B类：41页练习1、2；47页1
课时练28页8题
C类：41页练习1、2；47页1
课时练28页8题29页题9
课
后
反
思
板书设计
课题：算术平方根
自主学习：例：
自学反馈：
_______的平方是0；正数_______的平方是2.
二、思
认真阅读教材40页的内容，并且独立完成学案上的问题
（自主完成下表）
正方形的面积
9
16
36
1
边长
归纳：什么是一个数的算术平方根？
（1）填空：
1、a的算术平方根(a≥0)表示为_______.
2、32= 9,则9的____________是3,表示为 ______.
讲
(教师精讲)
五、讲
例1求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2） ；（3）0.0001.
针对训练：
1、求下列各数的算术平方根：
(1) 0.0025；(2) 121；(3) 32.
2、求下列各式的值：
提出问题：
1、被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？
2、-4有算术平方根吗？什么数才有算术平方根？
武安二中2015~2016学年第二学期
教学一体化教案
年级
七
学科
数学
主备人
吴利伟邓彦华
审核人
吴利伟、李存英
使用人
吴利伟
课题
算术平方根
课时
1
时间
3月9日
总课时
17
教学
目标
1、理解数的算术平方根的概念，并会用符号表示。
2、会求一些非负数的算术平方根。
重点
难点
算术平方根的概念。
教法
学法
自主学习、合作探究
教具
多媒体课件
教学
过程
师生活动
个人复备
导
(出示目标)
一、导
1、学校要举行庆国庆美术作品比赛，小东想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
2、正数_______的平方是9；正数_______的平方是0.25；
正数_______的平方是64；正数_______的平方是1；