2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则集合A. B. C. R D.2.已知直线：，直线：，若，则A. B. C. D.3.已知复数z满足，则的最小值为A. 2B. 1C.D.4.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论正确的为A. ，，则B. ，，，，则C. ，，，则D. ，，，则5.已知是偶函数，且在上单调递增，则函数可以是A. B.C. D.6.已知圆C：与直线相切，则圆C与直线相交所得弦长为A. 1B.C. 2D.7.已知函数的导函数为，则下列结论中错误的是A. 函数与有相同的值域和周期B. 函数的零点都是函数的极值点C. 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数8.若某单位员工每月网购消费金额单位：元近似地服从正态分布，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为，则的数学期望为参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．A. B. C. D.9.的展开式中系数为A. 180B. 90C. 20D. 1010.已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，且，则的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线E：的左，右焦点分别为，，离心率为e，P在双曲线E的右支上，且，Q为线段，与双曲线E左支的交点，若，则A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程恰好有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是A. B. 0 0，C. D. ，0 0，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足：，，，则向量，的夹角为______．14.已知非负实数x，y满足，则的最大值是______．15.已知直线l经过抛物线C：的焦点F，l与C交于A，B两点，其中点A在第四象限，若，则直线l的斜率为______．16.如图，在三棱锥中，，，，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的首项，其前n项和为，且满足．求证：数列是等比数列；令，求数列的前n项和．18.如图．长方体的底面ABCD为正方形，，，E为棱上一点，，F为棱上任意一点C．求证：；求二面角的余弦值．19.已知平面内动点P与点，连线的斜率之积为．求动点P的轨迹E的方程；过点的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20.某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21.设函数，．若对任意，恒成立，求a的取值集合；设，点，点，直线的斜率为，求证：22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；已知点，点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．23.已知a，b，c是正实数，且．求的最小值；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了描述法、区间的定义，分式不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，或，，．故选：A．2.答案：B解析：解：直线：，直线：，若，则，即，所以，所以．故选：B．根据两直线垂直求出与的关系，计算的值，再求的值．本题考查了直线垂直关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．3.答案：B解析：解：满足的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，表示复数z在复平面内对应的点Z到点的距离，如图所示：由，利用点圆的位置关系，的最小值为，故选：B．满足的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，表示复数z在复平面内对应的点Z到点的距离，再利用数形结合法即可求出结果．本题主要考查了复数的几何意义，以及点与圆的位置关系，是中档题．4.答案：D解析：解：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，，，则或与相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论，故B错误；对于C，若，，，则或与相交，故C错误；对于D，若，，则，又，则，故D正确．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，是偶函数，其导数，在区间上，，为减函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，是偶函数，其导数，在区间上，，为增函数，符合题意；对于C，，其定义域为R，有，是偶函数，有，但，在上不是增函数，不符合题意；对于D，，其定义域为R，有，是偶函数，有，，在上不是增函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意函数奇偶性与单调性的判断方法，属于基础题．6.答案：D解析：解：根据题意，圆C：的半径，圆C：与直线相切，则圆心C到直线的距离为2，直线与平行，两条平行直线的距离，又由圆C与直线相交，则圆心C到直线的距离，则圆C与直线相交所得弦长为；故选：D．根据题意，分析圆C的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C到直线的距离，由平行线间的公式计算直线与之间的距离，分析可得圆心C到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及平行线间的距离以及弦长的计算，属于基础题．7.答案：D解析：解：函数，，对于A，，，两函数的值域相同，都是，周期也相同；A正确；对于B，若是函数的零点，则，；解得，；，，也是函数的极值点，B正确；对于C，把函数的图象向左平移个单位，得，C正确；对于D，时，，是单调增函数，，是单调递减函数，D错误．故选：D．求出函数的导函数，再分别判断、的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．8.答案：C解析：解：，，，，而随机变量，．故选：C．先根据已知数据，求出和，然后利用正态分布曲线的特点得，而随机变量，最后由二项分布的数学期望求解即可．本题考查正态分布曲线的特点与应用、二项分布的数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：展开式的通项公式为；令，解得；令，解得r不存在；故的展开式中系数为：．故选：A．求出展开式的含与项的系数，再计算的展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10.答案：C解析：解：因为，由正弦定理可得，，因为，故，因为A为锐角，故A，由题意可得，，解可得，，则．故选：C．由已知结合正弦定理进行化简可求sin A，进而可求A，结合锐角三角的条件可求B的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，还考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．11.答案：A解析：解：因为，，所以，，不妨设，则，，根据双曲线定义：，，由得，由，得，又因为，即有，所以，在中，，即，代入得，整理得，则，故选：A．设，根据条件得，，结合双曲线性质，，进行整理可得，再由勾股定理，得到即可．本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.答案：C解析：解：当时，，则，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且，，当时，，则，显然，当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，故函数的大致图象如图所示：，令，则关于x的方程化为关于t的方程，，方程有两个不相等的实根，设为，，由韦达定理得：，，不妨设，，关于x的方程恰好有6个不相等的实根，由函数的图象可知：，，设，则，解得：，故选：C．利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，则，由可知方程有两个不相等的实根，设为，，由函数的图象可知：，，设，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题．13.答案：解析：解：，所以，又，，所以，所以，设向量，的夹角为，则，又，所以．故答案为：．根据平面向量的数量积，求出向量、夹角的余弦值，再求夹角大小．本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了夹角大小计算问题，是基础题．14.答案：解析：解：的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA的斜率最大，由，解得则PA的斜率，k的最大值为，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式结合数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：解：的焦点，设直线l的方程为，联立，可得，设A，B的纵坐标分别为，，则，，又，可得，即，由可得，，，，解得，则直线l的斜率为，故答案为：．求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得，的关系，消去，，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：把三棱锥放置在长方体中，如图，，F分别是AB，CD的中点，且平面，可知，，则四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为，则．．当且仅当时上式等号成立．四边形MNPQ面积的最大值为．故答案为：．把三棱锥放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的应用，考查“分割补形法”，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．17.答案：解：证明：，当时，，由一得，，，，，即，．又，，，则也适合，数列是以为首项，公比为2的等比数列；解：由知，．，，由得：，．解析：先由，两式相减得，进而证明结论；由可得，，再利用错位相减法求出即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法求和，属于基础题．18.答案：解：证明：，，在长方体中，，，，即，在长方体中，平面，平面，，又，平面，又无论点F位置如何，平面，；如图所示，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，0，，，设平面的法向量为y，，，即，令，则，，可得平面的一个法向量为，由可知，平面，所以平面的一个法向量，，即二面角的余弦值．解析：先根据勾股定理可得，结合长方体的性质可得，进而可证平面，再由线面垂直的性质得证；建立空间直角坐标系，求出平面及平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．本题主要考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．19.答案：解：设点P的坐标为y，则由，得，整理得，即动点P的轨迹E的方程为；证明：当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，与曲线E的方程联立，消去y得．设，，则．直线AP的方程为，令，得，即，同理．，．．线段MN中点的纵坐标为．故以MN为直径的圆的方程为：．令得：，解得或．此时以MN为直径的圆过点和．当轴时，．则以MN为直径的圆的方程为，也过点D，E．以MN为直径的圆恒过点和．解析：设点P的坐标为y，则由可得关于x，y的关系式，得到动点P的轨迹E的方程；当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，与曲线E的方程联立，得到关于x的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD方程，求得M，N的坐标，结合根与系数的关系得到，求出线段MN中点的坐标，可得以MN为直径的圆的方程，求出以MN为直径的圆过点和验证当轴时成立，可得以MN为直径的圆恒过点和．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：设事件A：只抛掷 1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则，，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件，其概率为．方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，，，则X的分布列为：X31P．方案二：设获得奖励畅销书的本数为Y，，则Y的分布列为：Y50P，，选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解析：设事件A：只抛掷 1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较，，推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．本题考查古典概型概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：令，，，分若时，当时，，不符合题意分若，得，得，在上递增，在上递减分分令，在上递减，在上递增，分，，故a的取值集合为分由题意知，点，点，分由知，当时，，分，分而，分解析：令，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a的取值即可；求出，结合，得到，不等式放缩证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，可得两边平方相加得：，即曲线C的普通方程为：．由可得即直线l的直角坐标方程为．，设点，则点，点M到直线l的距离．当时，的最大值为．即点M到直线l的距离的最大值为，此时点的坐标为解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：，b，c是正实数，且．所以，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为．由柯西不等式可得，即，当且仅当，即，时等号成立，成立．解析：根据a，b，c是正实数，且，可得，然后利用基本不等式求出的最小值即可；由柯西不等式可得，再结合，即可证明成立．本题考查了利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−1≥0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2. 已知直线l 1：xsinα+y −1=0，直线l 2：x −2ycosα+1=0，若l 1⊥l 2，则tanα=( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知复数z 满足|z|=2，则|z +3−4i|的最小值是( )A. 5B. 2C. 7D. 34. 已知命题p ：∀x ≥0，e x ≥1或sinx ≤1，则﹁p 为( )A. ョx <0，e x <1且sinx >1B. ョx <0，e x ≥1或sinx ≤1C. ョx ≥0，e x <或sinx >1D. ョx ≥0，e x <1且sinx >15. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18,S 3−a 1=34，则S 5=( )A. 3132B. 3116C. 318D. 3146. 有两条不同的直线m 、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是( )A. m ⊥α，n//β，且α//β，则m ⊥nB. m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m//nC. m//α，m ⊥α，且α⊥β，则m//nD. m//α，n//β，且α//β，则m//n7. 已知f(x −1)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，下列说法正确的是( )A. f(21x)>f((18)2)>f(log 2(18))B. f((18)2)>f(21x)>f(log 2(18))C. f(21x )>f(log 2(18))>f((18)2) D. f((18)2)>f(log 2(18))>f(21x ) 8. 已知O 是△ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2且∠BAC =60˚，则△OBC 的面积为( ) A. √33B. √3C. √32D. 239. 若直线x −y +2=0与圆O:(x −a )2+y 2=2相切，则a =( )A. 0B. −4C. 2D. 0或−410.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()A. 3π4B. π4C. 0D. −π411.已知抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为π3的直线，则点F到直线l的距离等于()A. 1B. √3C. 2D. 2√312.设函数f(x)为定义域为R的奇函数，且f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，f(x)=sinx，则函数g(x)=|cos(πx)|−f(x)在区间[−3,5]上的所有零点的和为()A. 10B. 8C. 16D. 20二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=1，b⃗ =(1,√3)，(b⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为______．14.设实数x，y满足{x−3y+10≤0x+2≥0x+2y−5≤0，则z=yx的取值范围为________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为______．16.数列{a n}前n项和S n=n2+n+1，则a n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都是2，O是AC与BD的交点，A1O⊥AB，A1O⊥BC．(Ⅰ)证明：BD⊥平面A1CO；(Ⅱ)若BD=2，求点C到平面OBB1的距离．18.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：零件的个数x(个)2345加工的时间y(ℎ) 2.534 4.5(â=y−−b̂x−,b̂=∑x ini=1y i−nx−y−∑x i2ni=1−n(x−)2)(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cosAcosB +ab=2cb，且b=4．(1)求角B；(2)求△ABC周长的最大值．20.已知点Q是圆M：(x+√5)2+y2=36上的动点，点N(√5,0)，若线段QN的垂直平分线MQ于点P．(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程(Ⅱ)若A是轨迹E的左顶点，过点D(−3,8)的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．21.已知函数f(x)=(x−2)e x．(1)求函数f(x)的最小值；,1)，都有x−lnx+a>f(x)，求证a>−4．(2)若∀x∈(1222.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为{x=2+2cosαy=−1+2sinα(α为参数)，直线l的极坐标方程为ρ=√3√3sinθ+cosθ．(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C的交点分别为A，B，点P(0,1)，求1|PA|+1|PB|的值．23.设a，b，c∈R+，求证：a5+b5+c5≥a3bc+b3ca+c3ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，B={x|0<x<4}，∴A∩B=[1,4)．故选：C．本题考查集合的交集，是基础题．求出集合A，再根据交集的定义求解即可．2.答案：B解析：本题考查了直线的一般式方程、两条直线垂直的性质，由题意得，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，根据l1⊥l2，即可得结果．解：由题意得，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，因为l1⊥l2，所以，即，故选B．3.答案：D解析：本题考查复数的模，复数z对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆上，|z+3−4i|表示点z到点(−3,4)的距离，即可求出|z+3−4i|的最小值．解：复数z对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆上，|z+3−4i|表示点Z到点(−3,4)的距离，∴|z+3−4i|的最小值为√(−3−0)2+(4−0)2−2=5−2=3．故选D．4.答案：D解析：本题考查的知识点是全称命题的否定，属于基础题．根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．解：把全称改为特称，再否定结论，所以命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为∃x≥0，e x<1且sinx>1，故选D.5.答案：B解析：解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=18,S3−a1=34，∴{a1q3=18a1(1−q3)1−q−a1=34，解得a1=1，q=12，∴S5=a1(1−q5)1−q =1−1321−12=3116．故选：B．利用正项等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出a1=1，q=12，由此能求出S5的值．本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：A解析：本题考查空间中直线、平面的位置关系，是基础题．逐个选项判断即可．解：对于A ，由m ⊥α，n//β，且α//β得m ⊥n ，故正确； 对于B ，由m ⊥α,n ⊥β,α⊥β得m ⊥n 故错误；对于C ，由m//α，n ⊥β，且α⊥β，得m//n 或m,n 相交或异面，故错误； 对于D ，由m//α，n//β，且α//β得m,n 得关系可以垂直，相交，平行，故错误． 故选A7.答案：C解析：解：∵f(x −1)是偶函数， ∴f(−x −1)=f(x −1)， ∴f(−x)=f(x −2)， ∴f(log 218)=f(−3)=f(1)，∵x >0，21x >1>164，f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(21x)>f(log 2(18))>f((18)2)．故选：C ．利用f(x −1)是偶函数，可得f(−x)=f(x −2)，f(log 218)=f(−3)=f(1)，根据x >0，21x >1>164，f(x)在(0,+∞)上单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知O 是△ABC 内部一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⇔O 为三角形△ABC 的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．据向量的平行四边形法则判断出点O 为三角形的重心，据重心的性质得出△OBC 的面积与△ABC 面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积．此题是个中档题． 解：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴O 是△ABC 的重心， 是S △OBC =13S △ABC ，。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.
1.设集合 ＝ ，集合 ＝ ，则集合 ＝（）
A. B. C. D.
2.已知直线 ＝ ，直线 ＝ ，若 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
3.已知复数 满足 ＝ ，则 的最小值为（）
1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
交集根助运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
直线的较般式划程皮直校的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
复根的务
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
A. B. C. D.
4.命题 ：“ ，都有 ”，则命题 的否定为（）
A. ，都有 B. ，都有
C. ， D. ，
5.已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ＝（）
A. B. C. D.
6.已知 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列结论正确的为（）
A. ， ， ， ，则
B. ， ，则
二、填空题：本大題共4小题•毎小题5分，共20分.
【， 满足： ， ， ，则向量 ， 的夹角为________．
已知非负实数 ， 满足 ，则 的最大值是________．
设 、 为双曲线 的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线 在第一象限交于 点，若 ， ， 构成等差数列，则双曲线 的离心率是________．
【数学】河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试 数学(理)(PDF版含答案)
20
=1
ι 16. {a I a =e2 或 α《 t:.,e ｝
三、解答题
+ + + 17. (1）由条件和正弦定理得 4./3S c2 =2./3ahsinC c2 =a2 b2 , + 即 2./3ahsinC ＝α2 b2 _ c2 .
分 分
+ 将余弦定理 a2 b2 -c2 =2ahcosC
面 ABCD,
CD 上平面 BDEF,
……4 分
CD C平面 CDE,
．． · 平面 CDE i平面 BDEF.
……5分
(2）解：由(1）知，分别以直线 DB，町， DE 为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一
项是符合题目要求的．
阳明型
1.已知集合M二｛.r I .r(x-2)·< O}, N = {-2， 一 1,0,1,2｝，则 M 门 N=
A.{ o, 1}
B.{-2 , - 1-}
C. { 1}
D. { O, 1 ; 2}
的左，右焦点，0 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且
� "ifzll
满足 I F,F2 I= 2 I OP I,tanL三PF2F1 = 4 ，则双曲线C 的离心率为
A.,/5
B. 5
C.工. /ι1 7 3
'
17 9
10.设Jb： ） 是定义在R上的函数，满足条件f(x+ 1) = f(-x+ 1)，且当zζ1时，
根据上述图表信息，下列结论错误的是
2019年1 月份新能源 汽牢销量结构图
河南省洛阳市2020届高三数学第三次统一考试试题 理(含解析)
洛阳市 2020 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 设集合，，则 的子集个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】分析：求出集合 A,B，得到，可求的子集个数........................的子集个数为故选 C. 点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2. 已知复数（ 是虚数单位），则 的共轭复数 对应的点在（ ）A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求 的共轭复数即可．详解：则 的共轭复数 对应的点在第四象限. 故选 A. 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3. “”是“”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 m，n 的大小关系，进而判断出结论．详解：，，∴“”是“”的的充分不必要条件．故选 C．点睛：本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若，则，.A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．详解：∵，∵点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题． 5. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节 的容积之和为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】B【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为公差为 ，由上面 4 节的容积共 3升，下面 3 节的容积共 4 升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出能求出自上而下取第 1，3，9 节，则这 3 节的容积之和．详解：设自上而下各节的容积分别为，公差为 ，∵上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，∴，由此解得，∴自上而下取第 1，3，9 节，则这 3 节的容积之和为：（升）．故选 B． 点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解 能力，考查函数与方程思想，是中档题．6. 将函数的图像向平左移 个单位，得到函数 的图像，则下列说法不．正．确．的是（ ）A.B.在区间上是增函数C.是 图像的一条对称轴 D.是 图像的一个对称中心【答案】D 【解析】分析：利用三角函数的图象平移求得，然后逐一分析四个选项得答案．详解：把函数的图像向平左移 个单位，得到函数图象的解析式故 A 正确；当时，在区间是增函数，故 B 正确；不是 图象的一条对称轴，故 C 正确；，∴是 图像的一个对称中心，故 D 错误．故选 D．点睛：本题考查型函数的图象和性质，是基础题．7. 设双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过 作倾斜角为 的直线与 轴和双曲线的右支分别交于点 、 ，若A. 2 B.C.D.【答案】C【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据，则该双曲线的离心率为（ ） ，可得 为 的中点，根据中点坐标公式求出 的坐标，代入双曲线方程可得，化简整理即可求出详解：∵，∴ 为 的中点，由题意可得直线方程为当 时，设∴即即整理可得即解得。
洛阳市2020年高中三年级第三次统一考试理科数学试卷参考答案
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2020年河南省洛阳市高考（理科）数学三模试卷（解析版）
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x|-1+2＞??}，集合B ＝{x|﹣5≤2x+1≤3}，则集合A ∩B ＝（）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．?2．已知直线l 1：xsin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣ycos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（）A ．-23B ．-43C ．25D ．453．已知复数z 满足|z|＝1，则|z ﹣1+√|的最小值为（）A ．2B ．1C ．√D ．√??4．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（）A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m?α，n?α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（）A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2B ．f （x ）=+??-??2C ．f （x ）＝xsinxD ．f （x ）=13??+cosx 6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y+2√-2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y﹣4＝0相交所得弦长为（）A ．1B ．√??C ．2D ．2√??7．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（）A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（-4，4）上都是增函数8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．A．2.718B．6.827C．8.186D．9.5459．（2x+1）（x+3√）5的展开式中x3系数为（）A．180B．90C．20D．1010．已知锐角三角形△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且b＝2asin B，则cos B+sin C 的取值范围为（）A．（0，√]B．（1，√??]C．（√32，32）D．（12，√32）11．设双曲线E：22-??2??2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e，P在双曲线E的右支上，且PF1⊥PF2，Q为线段PF1，与双曲线E左支的交点，若∠PQF2＝30°，则e2＝（）A．7﹣2√B．1+√??C．2√??-1D．72√??12．已知函数f（x）={-??，≤??++1??，??＞??，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1 +??）B．（﹣2，0 ）∪（0，1+??）C．(-32，2??+12+??)D．（-32，0 ）∪（0，2??+12+??）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量→，→满足：??→=（1，√??），|??→|=√??，（??→-??→）⊥??→，则向量??→，??→的夹角为．14．已知非负实数x，y满足{-??-??≥??+??-??≤??，则??=+1??+1的最大值是．15．已知直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，l与C交于A，B两点，其中点A在第四象限，若→=2→，则直线l的斜率为．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√??，BC＝AD=√??，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且满足S n+1＝2S n+n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）令b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√??，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．19．已知平面内动点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-34．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21．设函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝a （x ﹣1）．（1）若对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值集合；（2）设x n ＝n 2（n ∈N *），点A n （x n ，f （x n ）），点A n +1（x n +1，f （x n +1）），直线A n A n +1的斜率为k n ，求证：k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{=√=（α为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(??+6）=12．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A （2，1），点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 是正实数，且a+b+2c ＝1．（1）求1+1??+1??的最小值；（2）求证：a 2+b 2+c 2≥16．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|-1+2＞??}，集合B＝{x|﹣5≤2x+1≤3}，则集合A∩B＝（）A．[﹣3，﹣2）B．（﹣2，1）C．R D．?【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜﹣2，或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x≤1}，∴A∩B＝[﹣3，﹣2）．故选：A．2．已知直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0，若l1⊥l2，则tan2α＝（）A．-23B．-43C．25D．45【分析】根据两直线垂直求出sinα与cosα的关系，计算tanα的值，再求tan2α的值．解：直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0，若l1⊥l2，则sinα﹣2cosα＝0，即sinα＝2cosα，所以tanα＝2，所以tan2α=21-2??=2×２1-22=-43．故选：B．3．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣1+√|的最小值为（）A．2B．1C．√D．√??【分析】满足|z|＝1的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z﹣1+√|表示复数z在复平面内对应的点Z到点A（1，-√??）的距离，再利用数形结合法即可求出结果．解：满足|z|＝1的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z﹣1+√|表示复数z在复平面内对应的点Z到点A（1，-√??）的距离，如图所示：由OA＝2，利用点圆的位置关系，|z﹣1+√|的最小值为2﹣1＝1，故选：B．4．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（）A．α∥β，m∥α，则m∥βB．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥βC．m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βD．m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．解：对于A，若α∥β，m∥α，则m∥β或m?β，故A错误；对于B，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m与n 相交时，才有结论α∥β，故B错误；对于C，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又α∥β，则n⊥β，故D正确．故选：D．5．已知f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f（x）可以是（）A．f（x）＝x4﹣2x2B．f（x）=+??-?? 2C．f（x）＝xsinx D．f（x）=13??+cosx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝x 4﹣2x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝x 4﹣2x 2＝f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）＝4x 3﹣4x ＝4x （x 2﹣1），在区间（0，1）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，不符合题意；对于B ，f （x ）=+??-??2，其定义域为R ，有f （﹣x ）=????+??-??2=f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）=-??-??2，在区间（0，+∞）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，符合题意；对于C ，f （x ）＝xsinx ，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（﹣x ）sin （﹣x ）＝xsinx ＝f （x ），是偶函数，有f （2）=2＞0，但f （3??2）=-3??2＜0，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D ，（x ）=13+cosx ，其定义域为R ，有f （﹣x ）=13（﹣x ）2+cos （﹣x ）=13????+cosx ＝f （x ），是偶函数，有f （0）＝1，f （3）=227+12＜1，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；故选：B ．6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y+2√-2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y﹣4＝0相交所得弦长为（）A ．1B ．√??C ．2D ．2√??【分析】根据题意，分析圆C 的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C 到直线x ﹣y +2√??-2＝0的距离，由平行线间的公式计算直线x ﹣y+2√??-2＝0与x ﹣y ﹣4＝0之间的距离，分析可得圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4的半径r ＝2，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y+2√??-2＝0相切，则圆心C 到直线x ﹣y +2√??-2＝0的距离为2，直线x ﹣y+2√-2＝0与x ﹣y ﹣4＝0平行，两条平行直线的距离d =|2√2-2-(-4)|√1+1=2+√??，又由圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交，则圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离d ′=√??，则圆C与直线x﹣y﹣4＝0相交所得弦长为2×√??-??=2√??；故选：D．7．已知函数f（x）＝sin x+cosx的导函数为g（x），则下列结论中错误的是（）A．函数f（x）与g（x）有相同的值域和周期B．函数g（x）的零点都是函数f（x）的极值点C．把函数f（x）的图象向左平移2个单位，就可以得到函数g（x）的图象D．函数f（x）和g（x）在区间（-4，4）上都是增函数【分析】求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．解：函数f（x）＝sinx+cosx，∴g（x）＝f'（x）＝cosx﹣sin x，对于A，f（x）=√??sin（x+4），g（x）=-√??sin（x-??4），两函数的值域相同，都是[-√??，√??]，周期也相同；A正确；对于B，若x0是函数g（x）的零点，则x0-4=kπ，k∈Z；解得x0＝kπ+4，k∈Z；，f（x0）=√??sin（kπ+4+??4）＝±√??，∴x0也是函数f（x）的极值点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向左平移2个单位，得f（x+2）＝sin（x+??2）+cos（x+??2）＝cos x﹣sin x＝g（x），∴C正确；对于D，x∈（-4，4）时，x+??4∈（0，??2），f（x）是单调增函数，x-4∈（-??2，0），g（x）是单调递减函数，D错误．故选：D．8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N（1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．A．2.718B．6.827C．8.186D．9.545【分析】先根据已知数据，求出P（500＜X≤1500）和P（0＜X＜2000），然后利用正态分布曲线的特点得P（500＜X＜2000）＝P（500＜X≤1500）+P（1500＜X＜2000）＝0.8186，而随机变量ξ～B（10，0.8186），最后由二项分布的数学期望求解即可．解：∵X～N（1000，5002），∴P（500＜X≤1500）＝0.6827，P（0＜X＜2000）＝0.9545，∴P（500＜X＜2000）＝P（500＜X≤1500）+P（1500＜X＜2000）＝0.6827+0.9545-0.68272=??.?，而随机变量ξ～B（10，0.8186），∴E（ξ）＝10×0.8186＝8.186．故选：C．9．（2x+1）（x+3√）5的展开式中x3系数为（）A．180B．90C．20D．10【分析】求出（x+3√）5展开式的含x2与x3项的系数，再计算（2x+1）（x+3√??）5的展开式中x3的系数．解：（x+3√）5展开式的通项公式为T r+1=?x r?（3√）5﹣r＝35﹣r???????x3??-52；令3??-52=2，解得r＝3；令3??-52=3，解得r不存在；故（2x+1）（x+3√）5的展开式中x3系数为：2×???35﹣3＝180．故选：A．10．已知锐角三角形△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且b＝2asin B，则cos B+sin C 的取值范围为（）A．（0，√??]B．（1，√??]C．（√32，32）D．（12，√32）【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求sinA，进而可求A，结合锐角三角的条件可求B的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．解：因为b＝2asinB，由正弦定理可得，sinB＝2sinA sinB，因为sin B≠0，故sin A=12，因为A为锐角，故A=6，由题意可得，{＜??＜12??＜5??6-??＜12??，解可得，13＜??＜12??，则cosB+sin C＝cosB+sin（5??6-??）=√32+32=√??s in（B+13??）∈(√32，32)．故选：C．11．设双曲线E：22-??2??2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e，P在双曲线E的右支上，且PF1⊥PF2，Q为线段PF1，与双曲线E左支的交点，若∠PQF2＝30°，则e2＝（）A．7﹣2√B．1+√??C．2√??-1D．72√??【分析】设PF2＝m，根据条件得PQ=√??m，QF2＝2m，结合双曲线性质PF1﹣PF2＝2a，QF2﹣QF1＝2a，进行整理可得m＝2（√??-1）a，再由勾股定理PF12+PF22＝F1F22，得到（7﹣2√）a2＝c2即可．解：因为PF1⊥PF2，∠PQF2＝30°，所以PQ=√??PF2，QF2＝2PF2，不妨设PF2＝m，则PQ=√??m，QF2＝2m，根据双曲线定义：PF1﹣PF2＝2a，QF2﹣QF1＝2a，由PF1﹣PF2＝2a得PF1＝2a+m，由QF2﹣QF1＝2a，得QF1＝2m﹣2a，又因为QF1＝PF1﹣PQ，即有2m﹣2a＝2a+m-√??m，所以m＝2（√-1）a，在Rt△PF1F2中，PF12+PF22＝F1F22，即（2a+m ）2+m 2＝4c 2，代入得[2a+2（√-1）a]2+4（√??-1）2a 2＝4c 2，整理得（7﹣2√）a 2＝c 2，则e 2=22=7﹣2√，故选：A ．12．已知函数f （x ）={-??，??≤??++1??，＞??，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣2，1+??）B ．（﹣2，0 ）∪（0，1+??）C ．(-32，2??+12+??)D ．（-32，0 ）∪（0，2??+12+??）【分析】利用导数得到函数f （x ）的单调性和极值，画出函数f （x ）的大致图象，令t＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0，由△＞0可知方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由函数f （x ）的图象可知：＜???＜??+1，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m 的取值范围．解：当x ≤0时，f （x ）＝3x ﹣x 3，则f'（x ）＝3﹣3x 2＝3（1﹣x ）（1+x ），令f '（x ）＝0得：x ＝﹣1，∴当x ∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（﹣1，0）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增，且f （﹣1）＝﹣2，f （0）＝0，当x ＞0时，f （x ）=++1??，则f '（x ）=1-??+-2，显然f'（1）＝0，∴当x ∈（0，1）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f'（x ）＜0，f（x ）单调递减，且f （1）=1+??，故函数f （x ）的大致图象如图所示：，令t ＝f （x ），则关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0化为关于t 的方程t 2﹣mt ﹣1＝0，∵△＝m 2+4＞0，∴方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由韦达定理得：t 1+t 2＝m ，t 1t 2＝﹣1＜0，不妨设t 1＞0，t 2＜0，∵关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，∴由函数f （x ）的图象可知：＜????＜??+1，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{(-)＞??()＜??(+1)＞??，解得：-32＜??＜2??+12+??，故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量→，→满足：??→=（1，√??），|??→|=√??，（??→-??→）⊥??→，则向量??→，??→的夹角为4．【分析】根据平面向量的数量积，求出向量→、→夹角的余弦值，再求夹角大小．解：→=（1，√??），所以|??→|=√??+(√??)??=2，又|→|=√??，（??→-??→)⊥??→⊥??→，所以→→-??→=0，所以→→=??→=2，设向量→，→的夹角为θ，则cos θ＝→→|??→|×|??→|=22×√2=√22，又θ∈[0，π]，所以θ=4．故答案为：4．14．已知非负实数x ，y 满足{-??-??≥??+??-??≤??，则??=+1??+1的最大值是58．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用=+1+1的几何意义进行求解即可．解：=+1+1的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA 的斜率最大，由{-??-??=??+??-??=??，解得A （53，23）则PA 的斜率k=23+153+1=58，k 的最大值为58，故答案为：58．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若→=2→，则直线l的斜率为﹣2√??．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得y1，y2的关系，消去y1，y2，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．解：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2（y1＜0，y2＞0），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①又→=2→，可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2，②由①②可得m＜0，y1＝8m，y2＝﹣4m，﹣32m2＝﹣4，解得m=-√24，则直线l的斜率为﹣2√，故答案为：﹣2√．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√??，BC＝AD=√??，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为√32．【分析】把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN|+|PQ|＝|AB|＝2．求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．解：把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，如图，∵E，F分别是AB，CD的中点，且平面MNPQ⊥EF，可知MN∥PQ，PN∥QM，则四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN|+|PQ|＝|AB|＝2．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为60°，则∠NPQ＝60°．∴S四边形MNPQ＝|PN|?|PQ|?sin60°≤√32(||+||2)=√32．当且仅当PN|＝|PQ|＝1时上式等号成立．∴四边形MNPQ面积的最大值为√32．故答案为：√32．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且满足S n+1＝2S n+n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）令b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）先由S n+1＝2S n+n+1?S n＝2S n﹣1+n，两式相减得a n+1＝2a n+1，进而证明结论；（2）由（1）可得a n+1＝2n，∴b n＝n?2n，再利用错位相减法求出T n即可．解：（1）证明：∵S n+1＝2S n+n+1①，∴当n≥2 时，S n＝2S n﹣1+n②，由①一②得，a n+1＝2a n+1，n≥2，∴a n+1+1＝2a n+1+1，n≥2，即a n+1+1＝2（a n+1），n≥2．又a1+a2＝2a1+2，a1＝1，∴a2＝3，则a2+1＝2（a1+1）也适合，∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知a n+1＝2n，∴b n＝n?2n．∴T n＝1×21+2×22+3×23+4×24+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n③，∴2T n＝1×22+2×23+3×24+4×25+（n﹣1）?2n+n?2n+1④，由③﹣④得：﹣Tn＝1×21+1×22+1×23+…+1×2n﹣n?2n+1＝（1﹣n）?2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）?2n+1+2．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√??，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．【分析】（1）先根据勾股定理可得BE⊥B1E，结合长方体的性质可得BE⊥B1C1，进而可证BE⊥平面B1C1E，再由线面垂直的性质得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CB1E及平面B1C1E的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：∵AE＝1，A1E＝2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1E=√????+??????=??√，BE=√+??=√??，∴??=????????+BE2，即BE⊥B1E，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面A1ABB1，BE?平面A1ABB1，∴BE⊥B1C1，又B1E∩B1C1＝B1，∴BE⊥平面B1C1E，又无论点F位置如何，EF?平面B1C1E，∴BE ⊥EF ；（2）如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1（√??，√??，3），E （√??，0，1），C （0，√??，0），B （√??，√??，0），→=（√??，0，3），?→=（??，√??，2），设平面CB 1E 的法向量为→=（x ，y ，z ），∴{→??→=??→??→=??，即{√+=??√+=??，令=√??，则x ＝﹣3，y ＝﹣2，可得平面CB 1E 的一个法向量为→=(-??，-??，√??)，由（1）可知，BE ⊥平面B 1C 1E ，所以平面B 1C 1E 的一个法向量→=(??，-√??，??)，∴＜→，??→＞=→，→|→|?|??→|=3√2√3×√15=√105，即二面角C ﹣B 1E ﹣C 1的余弦值√105．19．已知平面内动点P 与点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率之积为-34．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F （1，0）的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由?=-34可得关于x ，y 的关系式，得到动点P 的轨迹E 的方程；（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，得到关于x 的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD 方程，求得M ，N 的坐标，结合根与系数的关系得到|MN |，求出线段MN 中点的坐标，可得以MN 为直径的圆的方程，求出以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．验证当PQ ⊥x 轴时成立，可得以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由=-34，得+2????-2=-34，整理得24+??23=1（x ≠±2），即动点P 的轨迹E 的方程为24+??23=1（x ≠±2）；证明：（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x ﹣4k 2﹣12＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=8??23+4??2，??????=4??2-123+4??2．直线AP 的方程为1=??+2??1+2，令x ＝4，得??=6??11+2，即??(??，6??1??1+2)，同理??(??，6??2??2+2)．∴||=6??22+2-6??1??1+2＝6|[(2-1)(??1+2)-(??1-1)(??2+2)]1??2+2(??1+??2)+4|=|??(??2-??1)??1??2+2(??1+??2)+4|，|x 2﹣x 1|=√(????+????)-??????=√64??2(3+4??2)2-??×4??2-123+4??2=12√1+??23+4??2|?????+??(????+????)+??|=|4??2-123+4??2+??×8??23+4??2+??|=36??23+4??2．∴|MN |=6√1+??2|??|．线段MN 中点的纵坐标为12（6??11+2+6??2??2+2）=?(1-11+2+??2-1??2+2）=-3．故以MN 为直径的圆的方程为：（x ﹣4）2+(??+3)=9(1+??2)2．令y ＝0得：（x ﹣4）2＝9，解得x ＝1或x ＝7．此时以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．当PQ ⊥x 轴时，(，32)，??(??，-32)，??(??，??)，??(??，-??)．则以MN 为直径的圆的方程为（x ﹣4）2+y 2＝9，也过点D ，E ．∴以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．【分析】（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较E（X），E（Y），推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解：（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则()=16，??(??)=16×16+16×16=118，??(??)=16×16×16=1216，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A+B+C，其概率为P（A+B+C）=16+118+1216=49216．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，P（x＝3）=18，P（x＝1）=78，则X的分布列为：X31P187 8E（X）＝3×18+??×78=54．方案二：设获得奖励畅销书的本数为YP（X＝5）=18，P（x＝0）=78，则Y的分布列为：Y 5P1878E （Y ）＝5×18+??×78=58，∵E （X ）＞E （Y ），∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．21．设函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝a （x ﹣1）．（1）若对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值集合；（2）设x n ＝n 2（n ∈一、选择题*），点A n （x n ，f （x n ）），点A n+1（x n+1，f （x n +1）），直线A n A n+1的斜率为k n ，求证：k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．【分析】（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a 的取值即可；（2）求出k n ，结合ln （1+2??+12）＜2??+1??2，得到k 1+k 2+?+????＜112+122+?12??，不等式放缩证明即可．解：（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），F （x ）＝lnx ﹣a （x ﹣1），F ′（x ）=1-a =1-??，……（1分）若a ≤0时，当x ＞1 时，lnx ﹣a （x ﹣1）＞0，不符合题意……若a ＞0，F ′（x ）＞0得＜??＜1，F ′（x ）＜0得??＞1??，∴F （x ）在(??，1)上递增，在（1，+∞）上递减……∴F （x ）max ＝F （1）＝ln1??-??(1??-??)=-+??-??≤????令?（x ）＝﹣ln ??+??-??，??′(??)=-1+1=??-1??，∴?（x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增∴?（x ）≥?（1）＝0，∴?（a ）≥0……∴?（a ）＝0，a ＝1，故a 的取值集合为{1}……（2）由题意知，点A n （n 2，lnn 2），点A n+1（（（n+1）2，ln （n+1）2），k n =(??+1)2-2(??+1)2-??2=(1+2??+12)2??+1??由（1）知，当a ＝1时，lnx ≤x ﹣1（x ＞0），∴ln （1+2??+12）＜2??+1??2?∴＜2??+122??+1=12，∴k 1+k 2+?+????＜112+122+?12????而112+122+132+?+1??2≤11+11×２+12×３+?+1(??-1)??＝1+（1-12）+（12-13）+…+（1??-1-1??）＝2-1??＜2，……∴k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{=√=（α为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(??+6）=12．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A （2，1），点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{=√=（α为参数），可得{√3==两边平方相加得：(√3)+y 2＝1，即曲线C 的普通方程为：23+y 2＝1．由(??+6)=12可得√32+12=12即直线l 的直角坐标方程为??+√-=??．（2）A （2，1），设点B (√，)，则点M (2+√32，1+2)，点M 到直线l 的距离=|2+√32+√3(1+)2-1|2=|√32+√32+√322=|√62(??+??4)+√32|2．当(??+4)=??时，的最大值为√6+√34．即点M 到直线l 的距离的最大值为√6+√34，此时点的坐标为(√62，√22）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1．（1）求1+1??+1??的最小值；（2）求证：a2+b2+c2≥16．【分析】（1）根据a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1，可得1+1??+1??=（1??+1??+1??）（a+b+2c），然后利用基本不等式求出1+1??+1??的最小值即可；（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a2+b2+c2）≥（a+b+2c）2，再结合a+b+2c＝1，即可证明a2+b2+c2≥16成立．解：（1）∵a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1．所以1+1??+1??=（1??+1??+1??）（a+b+2c）=+????+2????+????+2????+????+??≥??+??√??，当且仅当=??=√，即=??=2-√22，??=√2-12时等号成立，∴1+1??+1??的最小值为+??√??．（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a2+b2+c2）≥（a+b+2c）2＝1，即+????+????≥16，当且仅当1=1??=2??，即??=??=16，??=13时等号成立，∴a2+b2+c2≥16成立．。
河南省许昌市、洛阳市2020届高三数学第三次质量检测试题(含解析)
许昌市·洛阳市2020年高三年级第三次质量检测试卷数学试卷（理）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.一、选择题：.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式确定B中元素x的取值范围，再求.【详解】由，，所以,得.故选A.【点睛】本题考查集合的交集运算，能够确定集合中元素的取值或范围，往往利用数轴或韦恩图进行研究.2.已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题。
【详解】设，因为，所以，所以，解得：，所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题。
3.已知向量，，且与的夹角为，则（）A. 5B.C. 7D. 37【答案】B【解析】【分析】求出，从而求得，将等价变形为，整理即可得解。
【详解】由题可得：，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量模的坐标运算、向量的数量积概念，考查转化能力及计算能力，属于基础题。
4.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的表达式即可判断在上递减，利用单调性可得：，解不等式即可。
【详解】函数在各段内都是减函数，并且，所以在上递减，又，所以解得：，故选：A.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，考查计算能力及转化能力，属于中档题。
5.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”.已知正整数被除余，被除余，被除余，求的最小值.执行该程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正整数n被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n的最小值．详解：正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被8除余5，得n=8l+5，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。
河南省洛阳市2020届高三数学第三次统一考试试题 理(含解析)
洛阳市2020学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（）A. -4B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知求出复数z,再求及其虚部得解.【详解】由题得，所以，所以的虚部为.故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轭复数的概念，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】，，则或，则，【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20 【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.在等比数列中，已知，则（）A. 6B.C. -8D. 8【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，所以，则，选D.5.已知向量，点，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【解析】分析：运用向量的加减运算可得=（5，5），运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方向上的投影为，即可得到所求值．详解：，点C（﹣1，0），D（4，5），可得=（5，5），•=2×5+1×5=15，| |=5，可得向量在方向上的投影为：=．故选：C．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可．【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：．【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积．7.执行如图所示的框图，若输入的是7，则输出的值是（）A. 720B. 120C. 5040D. 1440 【答案】C【解析】【分析】直接模拟程序框图运行程序即得解.【详解】由题得k=1,p=1,p=1,1＜7，k=2,p=2,2＜7,k=3,p=6,3＜7,k=4,p=24,4＜7,k=5,p=120,5＜7,k=6,p=720,6＜7,k=7,p=5040,7≥7，输出P=5040.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图和循环结构，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【详解】如图所示：，，．故选：B【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．9.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为（）A. B. C. D. 4 【答案】A【解析】解：设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则：，由弦长公式可得：，三角形的面积为： .本题选择A选项.10.若，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，再求出，利用幂函数的性质比较得解. 【详解】设，所以所以，，，因为函数y=在（0，+∞）单调递减，且，所以.故选：A【点睛】本题主要考查对数指数运算，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于函数以下说法正确的是（）A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为奇函数C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】B【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点P(x,y)是函数图像上的任意一点，则点Q在函数y=f(x)的图像上，，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是，所以图象不关于直线对称，所以该选项是错误的；对于选项B,，所以函数g(x)是奇函数，解，,所以函数在上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为，解所以函数图像的对称中心为,所以该选项是错误的.故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数,则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，所以函数在为增函数，在为减函数，作函数的图象与直线，由其位置关系得：，解得，得解.【详解】设，则当时，，当时，，所以函数在为增函数，在为减函数，的解集为等价于的解集为，即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方，函数的图象与直线的位置关系如图所示，由图可知：，解得：，故选:【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和图像，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若，则的展开式中，含项的系数为__________．【答案】【解析】【分析】先根据求出n=6,再求的的系数，最后求含项的系数.【详解】由题得，所以，设的通项为，当该项系数为,当该项的系数为,所以含项的系数为135-2×1215=-2295.故答案为：-2295【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_________．【答案】乙【解析】【分析】推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙丙团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长．【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长．故答案为：乙．【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题．15.若数列满足，且对于任意的都有，则__________．【答案】【解析】【分析】先利用累加法求出数列的通项，再利用裂项相消法求解.【详解】由题得所以，适合n=1.所以，所以.故答案：【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．【答案】【解析】如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，且分别是棱的中点，，截面的周长为，故答案为.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，已知内角，，所对的边分别为，，，向量，，且，为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】 （1）由得，再化简得到角的大小；（2）先利用正弦定理得，且.再利用三角函数的图像和性质求的面积的最大值. 【详解】（1）∵，，且.∴，.∴. 因为B 为锐角，所以,所以所以.（2）由（1）知，在中，由正弦定理得. 所以，且.所以.当且仅当即时面积有最大值.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA 底面ABCD ，AC=,PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC 。
河南省洛阳市2020届高考(文科)数学三模试卷 (解析版)
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．453．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√24．命题p ：“∀x ≥0，都有e x ≥﹣x +1”，则命题p 的否定为（ ） A ．∀x ≥0，都有e x ＜﹣x +1 B ．∀x ＜0，都有e x ≥﹣x +1 C ．∃x 0≥0，ex 0＜−x 0+1 D ．∃x 0＜0，ex 0＜−x 0+15．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则S 4＝（ ）A ．116B ．18C ．3116D ．1586．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β7．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ）A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x8．已知O 是△ABC 内部一点，OA →+OB →+OC →=0→，AB →•AC →=2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为（ ） A ．√33B ．12C ．√32D ．239．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√210．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）﹣1（ω＞0，φ∈（0，π））与x 轴的两个交点最短距离为π3，若将函数f （x ）的图象向左平移π12个单位，得到的新函数图象关于y 轴对称，则φ的可能取值为（ ）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π1211．设F 为拋物线C ：y 2＝4x 的焦点，其准线l 与x 轴的交点为M ，过点F 且倾斜角为60°的直线交拋物线C 于A ，B 两点，则△AMB 的面积为（ ）A ．8√33B ．4√33C ．8D ．412．函数y =x 2+x+1x与y ＝3sin πx 2+1的图象有n 个交点，其坐标依次为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、…、（x n ，y n ），则y 1+y 2+…+y n ＝（ ） A ．0B ．2C ．4D ．2n二、填空题：本大題共4小题•毎小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为 ．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 ．15．设F 1、F 2为双曲线C ：x 2a −y 2b =1的左，右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于P 点，若|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|构成等差数列，则双曲线C 的离心率是 ． 16．已知数列{a n }的首项a 1＝m ，其前n 项和为S n ，且满足S n +S n +1＝2n 2+3n ，若数列{a n }是递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题.本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。