二项式定理及展开式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式二项式定理是高中数学中的重要内容之一，它描述了任何一个二项式的展开形式。
在这篇文章中，我将介绍如何展开形如xyn的二项式，并提供具体的计算步骤和示例。
二项式定理是由数学家牛顿提出的，它的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ...+ C(n,r)a^(n-r) b^r + ... + C(n,n)a^0 b^n其中，a和b是实数，n是非负整数，C(n,r)表示组合数，计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!).现在，我们的目标是展开形如xyn的二项式。
首先，我们可以把xyn表达为(x+y)^n的形式，其中a=x，b=y。
根据二项式定理，我们可以得到展开公式：(x+y)^n = C(n,0)x^n y^0 + C(n,1)x^(n-1) y^1 + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)x^0 y^n然而，这仍然不是我们想要的形式。
我们希望展开结果中只包含x和y的幂次，而不带组合数C(n,r)。
为了达到这个目的，我们需要引入组合恒等式：C(n,r) = C(n,r-1) * (n-r+1) / r利用这个恒等式，我们可以对展开公式中的组合数进行简化，得到：(x+y)^n = x^n + C(n,1)x^(n-1) y + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)y^n现在，我们已经成功地将xyn展开为了一系列含有x和y的幂次的项。
下面，我将以具体的示例来说明展开过程。
假设我们要展开的二项式是(x+y)^4，根据上面的公式，展开式为：(x+y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4展开过程中，我们通过计算并应用组合恒等式，逐项得到展开式中各项的系数。
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项展开公式
二项展开公式（原创实用版）目录1.二项式定理的概述2.二项展开公式的推导3.二项展开公式的应用4.结论正文1.二项式定理的概述二项式定理，也叫做二项式公式，是组合数学中的一个重要定理。
它是一种用于展开二项式幂的数学方法，可以方便地计算二项式幂的特定项的值。
二项式定理可以描述为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n)b^n，其中，a 和 b 是任意实数或复数，n 是任意非负整数，C(n,k) 表示组合数，即从 n 个元素中取 k 个元素的组合数。
2.二项展开公式的推导二项式定理的推导过程比较简单。
我们假设有一个二项式 (a+b)^n，我们要展开这个二项式。
首先，我们可以将这个二项式看作是 a 的 n 次方与 b 的 0 次方的和，即 a^n + 0*b^0。
然后，我们可以将这个和式中的每一项都乘以 b，得到 a^n*b + 0*b^1。
接着，我们再将这个和式中的每一项都乘以 b 的平方，得到 a^n*b^2 + 0*b^2。
我们依次类推，直到将这个和式中的每一项都乘以 b 的 n 次方，得到的和式就是二项式定理的展开式。
3.二项展开公式的应用二项式定理在实际应用中有广泛的应用，例如在概率论、统计学、组合数学等领域都有重要的应用。
其中，二项式定理的一个最常见的应用就是计算二项式幂的特定项的值。
例如，如果我们要计算 (3+2)^5 的第四项，我们可以直接套用二项式定理的公式，得到第四项的值为C(5,3)*3^2*2^3 = 10*9*8 = 720。
4.结论二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它可以方便地用于展开二项式幂，计算二项式幂的特定项的值。
二项式定理所有公式
二项式定理所有公式二项式定理啊，这可是高中数学里挺重要的一部分呢！咱们先来说说二项式定理到底是啥。
二项式定理就是指$(a+b)^n$ 展开后的式子。
这里面就有一系列的公式。
比如说，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3$ 。
那如果是更高次幂呢，像$(a+b)^4$ 、$(a+b)^5$ 等等，展开就会更复杂一些。
咱们来具体看看二项式定理的通项公式：$T_{r+1} = C_{n}^r a^{n-r}b^r$ 。
这里的 $C_{n}^r$ 叫做二项式系数，计算方法是 $C_{n}^r =\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
给大家讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次我在课堂上讲二项式定理，有个学生就特别迷糊，怎么都弄不明白这个系数是怎么来的。
我就给他举了个例子，说假如咱们要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这其实就和二项式系数的计算是一个道理。
咱们先算5 的阶乘，就是 5×4×3×2×1，然后 2 的阶乘是 2×1，3 的阶乘是 3×2×1，用 5 的阶乘除以 2 的阶乘和 3 的阶乘的乘积，就能得到从 5 个里选 2 个的组合数，这就和二项式系数的计算是一样的思路。
这学生听了之后，恍然大悟，后来做这类题就很少出错啦。
再来说说二项式定理的性质。
二项式系数具有对称性，就是说$C_{n}^r = C_{n}^{n-r}$ 。
而且二项式系数的和是 $2^n$ ，也就是当$a = b = 1$ 时，$(1 + 1)^n = 2^n$ 。
在解题的时候，二项式定理用处可大啦。
比如求展开式中的特定项，或者求系数之和等等。
咱们拿个具体的题目来看看。
比如说求 $(2x - 1)^6$ 展开式中$x^3$ 的系数。
那咱们先根据通项公式，$T_{r+1} = C_{6}^r (2x)^{6-r} (-1)^r$ ，要得到 $x^3$ ，那 $6 - r = 3$ ，所以 $r = 3$ 。
二项式定理与多项式展开
二项式定理与多项式展开二项式定理和多项式展开是高中数学中的重要概念，它们在代数学习中扮演着极为重要的角色。
二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的和的规律，而多项式展开则是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
本文将详细介绍二项式定理和多项式展开的概念、公式及应用。
一、二项式定理的概念与公式二项式是指由两个项构成的代数式，常写成(a+b)^n的形式，其中a和b为实数，n为非负整数。
二项式定理是指将(a+b)^n展开成一系列项的和的规律。
根据二项式定理，当n为非负整数时，展开的式子将由多个组合而成的项组成，而每个组合项的系数则和展开式中的位置有关。
二项式定理可以表示为以下公式：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ … + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)在展开式中，每一项的次数和系数满足以下规律：- 当k为偶数时，系数为正整数。
- 当k为奇数时，系数为负整数。
二项式定理可以用于求解二项式的幂及其性质，例如二次方、三次方等。
二、多项式展开的概念与公式多项式是指由多个项构成的代数式，其中每个项包含变量的幂和系数。
多项式展开是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
多项式展开涉及到各种计算方法，比如乘法法则、分配率等。
下面以一个简单的示例来说明多项式展开。
假设我们有一个多项式表达式为(a+b)^3，按照展开的规则，我们可以将其展开为：(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3在展开的过程中，我们需要运用乘法法则和分配率，逐步计算得到每个项的系数。
多项式展开不仅可以用于简化多项式的形式，还能帮助我们解决实际问题。
二项分布展开式公式
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
p^k表示成功的概率p乘以k次，q^(n-k)表示失败的概率q乘以(n-k)次。
通过计算不同的k值，可以得到二项分布的概率分布情况，即不同成功次数的概率。
二项分布展开式公式
二项分布展开式是项式定理在离散概率分布中的应用。假设有一次试验，成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p，进行n次独立的重复试验，X表示成功的次数。那么，X服从二项分 布B(n, p)。
二项分布展开式的公式如下：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
二项分布展开式公式
需要注意的是，二项分布展开式只适用于离散的二项分布情况，且试验之间是独立的。
展开式公式 二项式定理
展开式公式二项式定理一、二项式定理内容。
1. 二项式定理表达式。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，C_n^k也被称为二项式系数。
2. 展开式的特点。
- 项数：展开式共有n+1项。
- 次数：各项中a与b的次数之和为n，其中第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n -kb^k中a的次数为n - k，b的次数为k。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 二项式系数C_n^k = C_n^n - k，这反映在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)最大；- 当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n + 1)/(2)最大。
- 二项式系数先增大后减小，由C_n^k=(n(n - 1)·s(n - k + 1))/(k!)，随着k的增大，当frac{C_n^k+1}{C_n^k}=(n - k)/(k + 1)>1时，二项式系数增大；当(n - k)/(k+1)<1时，二项式系数减小。
3. 二项式系数之和。
- ∑_k = 0^nC_n^k=2^n，即(1 + 1)^n = 2^n。
- 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2^n-1，即∑_k = 0^⌊(n)/(2)⌋C_n^2k=∑_k = 0^⌊(n - 1)/(2)⌋C_n^2k + 1=2^n-1。
三、二项式定理的应用。
1. 求二项展开式中的特定项。
- 求指定项：例如求(x+(1)/(x))^10的展开式中的常数项。
- 首先写出通项公式T_k + 1=C_10^kx^10 - k((1)/(x))^k=C_10^kx^10 - 2k。
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1 1 1 1 2 3 3 1 1
当n是奇数时，中间的两
项
Cn 和 C
n 1 2
n 1 2 n
1
1
4
6
4
1
1 1
相等，
1
5 10 10 5
且同时取得最大值。
6 15 20 15 6
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( A ).
3 3
6
0 1 3 4 2 C4 C4 C C C4 4 4
3 5 1 C50 C5 C54 C5 C52 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6
5 10 5 6 15 20 15 6
二项式系数的性质
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
(a b) 2 (a b) 3 (a b) 4 (a b) 5 (a b)
（2） 数学思想：函数思想 （3） 数学方法 ： 赋值法
作业:
书P114习题10.4
4(3)(4),9,10
0 n 2 n 1 n 3 n
n 1
练习
1.C C
1 n 2 n 1 11 3 11 5 11
2 1 C _____;
n n
n
C C C C C C
7 11 9 11
11 11
_____ . 2
10
2.在 2 x 3 y
10
展开式中
1024
(1)求二项式系数的和;
0 n 1 n 2 n r n n n
赋值法
1 1 1 2
1 1
4 1
也就是说, 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1
(a+b)n的
1
1 4
3 3
6
1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
1
例2
证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C C C 2
x
3r 由8 5可得r 2 2
5
的系数为 ( 1) C 28
2 2 8
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2
1 C10 C1
1 1
1 2
0 1 2 C2 C2 C2
1 3 C30 C3 C32 C3
1 1
4 1 1 1
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1
1 1 1 4
C C C
r n 1
一
r 1 n
r n
一 一 六
一 一
十五
二十 十五 六
杨辉三角 表中除“1”以外的每一个数都等于
它肩上的两个数之和。
性质1：对称性
C C
m n
nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质2：增减性与最大值 先增后减
n 2
当n是偶数时,中间的一项 C n
取得最大值 ；
1 18 4 4 x 3 x
4
性质3：各二项式系数的和
(1 x) C C x C x C x (n N )
n 0 n 1 n r r n n n n *
C C C ... C ... C ？ 2n
r n
nr
r
1 8 ) 的展开式中 例 已知 ( x x 系数为__________
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 (1) C8 x x 3 r r 8 2 r (1) C8 x
r 8 r 8 r
1 2 r
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
1 x 4 3 展开式中只有第10 例1 已知 x
n
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n 1 10, n 18, 2
T5 T41 C
4 18
4
3060 x .
X
复习回顾: 二项式定理及展开式:
( a b)
n
C a C a b C a b C b (n N )
0 n n n n n *
1 n 1 n
r nr r n
二项式系数 通 项
C (r 0,1, , n)
r n
Tr 1 C a b
(2)各项系数的和;
1
(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和;
练习
3.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
3
10
1 10 ( 3 1) 2
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a b)
6
这样的二项式系数表，早在我国南宋数 学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一 书里就已经出现了，在这本书里，记载着类 似下面的表： 一
一 一 二 三 四 五 十 六 十 三 四 一 一 一 五 一 一
变式练习：
已知(2x+1)10=
a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值
3
10
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
1 10 ( 3 1) 2
小结:
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和