完整版初一下培优面积问题
初中数学培优专题学习专题25 图形面积的计算
专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.FEPQDCBA能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.FOEDCB A（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCBA（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。
七年级数学培优专题 专题25 图形面积的计算_答案
专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △SSS =S △SSS −S △SSS =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例 2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48SS =484SS =12SS =12SS. 设△ABC 底边DE 上的高为S 1，△BDE 底边DE上的高为S 2，则h =S 1+S 2.∴S △SSS +S △SSS =12∙SS ∙S 1+12∙SS ∙S 2=12∙SS ∙（S 1+S 2）=12∙SS ∙S=12∙SS ∙12SS=6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5S −12S (5+S )=95S =30，解得DE =2.例454提示：2S CES EA==丙甲,2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AEC ABC S S ==V V，1133BGF ABC S S ==V V .设=x PEC S V ，=y PFC S V 则=3x PBC S V ，=3y PCA S V于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S Y ，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a 4ADE ABF S S ==V V .∴APD BEPF S S =V 四边形.如图，连接EF,DF ，则a a ==82AEF ADF S S V V ，.所以a18=a 42EP PD =. 设xAEP S =V ，则=4xADP S V .由APD BEPFS S =V 四边形得ax=4x 4-. ∴a x=20. ∴a a 4=205APD S =⨯V . 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQ ACQS S =V V ， ∴a 5ACQ ADQ S S +=V V . ∴a a 3=a 2510CDQ S =-V .连接PB ，则a =20EBP AEP S S=V V . 由1=a 2ABP CDP S S +V V ， 得a a a 3a a 22101010CPQ ABP CDQ S S S =--=--=V V V .∴aPQ 110=3a 310CPQCDQS DQ S ==V V ，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQ APD S S =V V .于是a a 3a==201020APQ CPQ APCQ S S S +=+V V 梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S Y 梯形.A 级 1.14提示：POC AOE S S =V V ,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABG S S =V V ,EFH DHC S S =V V .10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEK ADE CDG PKG FHK ABCD BEFG EHPF S S S S S S S S =++----V V V V V 正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GED GEB S S =V V ，同理GE ∥FK ，得GEK GEF S S =V V .∴16DEKGED GEK GEB GEF BEFG S S S S S S =+=+==V V V V V 正方形.B 级 1.2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b -c -，DF=a -d ，c=12b ，d= 15a ，cd=8.3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴KH=12AE=7.111474922AKE S AE KH =••=⨯⨯=V .8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可.9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOB CBO AOD BCDA S S S S =+-V V V 梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABO S =V . 11.14AMD AMC S S ==V V . ∵AMG S V 为公共部分, ∴AGD CMG S S =V V .又因为△AMG与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMGOMG AMDMCD S S MGS S MD==V V V V ,即141142CMGCMGS S -=V V ，解得：1=6CMG S V .∴11=2=63S ⨯阴影.连BG ，设ABC S S =V ,x DOG S =V ，y BGF S =V .则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩同理可得：121.EAH FBI S S S ==V V 又13ADC BEA S S ==V V S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHI S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭V 故17GHI ABC S S =V V .。
初一数学培优经典试题及答案
初一数学培优经典试题及答案试题一：有理数的加减法题目：计算下列有理数的和：\[ 3 + (-2) + 4 + (-1) \]答案：首先，我们可以将正数和负数分别相加：\[ 3 + 4 = 7 \]\[ -2 + (-1) = -3 \]然后，将两个结果相加：\[ 7 + (-3) = 4 \]所以，最终结果是4。
试题二：绝对值的计算题目：求下列数的绝对值：\[ |-5|, |-(-3)|, |0| \]答案：绝对值表示一个数距离0的距离，不考虑正负号。
因此：\[ |-5| = 5 \]\[ |-(-3)| = |3| = 3 \]\[ |0| = 0 \]所以，这三个数的绝对值分别是5, 3, 和0。
试题三：一元一次方程的解法题目：解下列方程：\[ 2x - 3 = 7 \]答案：首先，将方程中的常数项移到等号的另一边：\[ 2x = 7 + 3 \]\[ 2x = 10 \]然后，将等式两边同时除以2，得到x的值：\[ x = \frac{10}{2} \]\[ x = 5 \]所以，方程的解是x = 5。
试题四：代数式的值题目：当a=3，b=-2时，求代数式\( ab + a - b \)的值。
答案：将给定的a和b的值代入代数式中：\[ ab + a - b = 3 \times (-2) + 3 - (-2) \]\[ = -6 + 3 + 2 \]\[ = -1 \]所以，代数式的值是-1。
试题五：几何图形的周长和面积题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的周长和面积。
答案：长方形的周长是长和宽的两倍之和：\[ 周长 = 2 \times (长 + 宽) \]\[ 周长 = 2 \times (10 + 5) \]\[ 周长 = 2 \times 15 \]\[ 周长 = 30 \] 厘米长方形的面积是长乘以宽：\[ 面积 = 长 \times 宽 \]\[ 面积 = 10 \times 5 \]\[ 面积 = 50 \] 平方厘米结束语：以上是初一数学培优的经典试题及答案，希望同学们能够通过这些题目加深对数学概念的理解和应用。
圆的周长与面积(典型问题)培优专项50练(含解析)完美打印版
圆的周长与面积(典型问题)培优专项50练(含解析)完美打印版圆的周长与面积培优专项50练（含解析）一、选择题（共15小题）1.如果 c = 28.26 米，圆的面积是多少？A。
20.25 平方米B。
14.13 平方米C。
63.585 平方米D。
64.85 平方米2.用一根长 6.28 米的绳子刚好能围一棵树的树干 2 圈。
如果树干的横截面为圆形，那么它的面积是多少？A。
12.56 平方米B。
3.14 平方米C。
1.57 平方米D。
0.785 平方米3.一个圆的半径扩大 2 倍，那么面积和周长会发生什么变化？A。
面积和周长扩大 2 倍B。
面积扩大 4 倍，周长扩大 2 倍C。
周长扩大 4 倍，面积扩大 2 倍4.把一张圆形纸片沿半径平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。
这个长方形的周长与圆的周长相比会怎么样？A。
等于圆的周长B。
大于圆的周长C。
小于圆的周长D。
无法比较5.一个长方形和一个圆的周长相等。
已知长方形的长是 9 分米，宽是6.7 分米，圆的面积是多少？A。
31.4 平方分米B。
78.5 平方分米C。
314 平方分米D。
68.8 平方分米6.如果把圆的半径按 1:3 缩小，那么新的圆与原来的圆的面积比是多少？A。
3:1B。
1:3C。
1:9D。
9:17.一个环形的玉环，外直径为 8 厘米，内直径为 6 厘米，这个玉环的面积是多少？A。
12.56 平方厘米B。
18.84 平方厘米C。
21.98 平方厘米D。
31.4 平方厘米8.用 2019 厘米长的铁丝先围成一个圆，再用这根铁丝围成了一个正方形。
圆和正方形周长相比会怎么样？A。
一样长B。
圆的周长更长C。
正方形的周长更长9.如图，把圆分成若干等份，拼成近似的长方形后，周长增加了 8 dm。
原来的这个圆的面积是多少？A。
12.56 平方分米B。
25.12 平方分米C。
50.24 平方分米10.两个圆的周长相等，那么它们的面积会怎么样？A。
也相等B。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题25 图形面积的计算_答案[精品]
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专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △AGW =S △AGF −S △GWF =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48BC =484CF =12CF =12DE. 设△ABC 底边DE 上的高为ℎ1，△BDE 底边DE 上的高为ℎ2，则h =ℎ1+ℎ2.∴S △ADE +S △BDE =12∙DE ∙ℎ1+12∙DE ∙ℎ2=12∙DE ∙（ℎ1+ℎ2）=12∙DE ∙ℎ=12∙DE ∙12DE =6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5ℎ−12ℎ(5+x )=95ℎ=30，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲, 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例5 1133AEC ABC S S == ，1133BGF ABC S S ==.设=x PEC S，=y PFC S则=3x PBC S，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF S S =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS=⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQSS+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPDS S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFSS=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 12481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGDCMGS S=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADC BEAS S == S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练18 多项式乘多项式中的图形面积
专题18 多乘多与图形面积【例题讲解】如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类），长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为()()22a b a b ++，画出图形，并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2256a ab b ++， ①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_____________；(3)如图③，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y >，观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=，其中正确的是____________． 【解答】（1）解：拼图如图所示：所以（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2，故答案为：2a 2+5ab +2b 2；（2）①a 2+5ab +6b 2即用A 型的1张，B 型的5张，C 型的6张，故答案为：6 可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ），故答案为：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）；（3）由图③可知，m =x +y ，n =x -y ，故②符合题意；因此有m +n =2x ，m -n =2y ，2222,444m n m n m n x y xy 故①符合题意；mn =（x +y ）（x -y ）=x 2-y 2；故③不符合题意；22222,222m n m n m n x y xy 故④不符合题意；故答案为：①②．【综合解答】1．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）A ．（a +b ）（a +2b ）=a2+3ab +2b2B ．（a +b ）（2a +b ）=2a2+3ab +b2C ．（a +b ）（a +2b ）=2a2+3ab +b2D ．（a +b （2a +b ）=a2+3ab +2b22．如图，在长为32a +，宽为21b -的长方形铁片上，挖去长为24a +，宽为b 的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）A ．634ab a b -+B ．432ab a --C ．6382ab a b -+-D ．4382ab a b -+-3．如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是：_____．4．(1)【观察、填空】七（1）班数学学习兴趣小组的同学在研究课本第九章的“数学活动”《拼图、公式》时，利用如图所示的正方形纸片A 类，正方形纸片B 类和长方形纸片C 类若干张（如图1），拼成一个长为(2)a b +、宽为()a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式．()()2a b a b ++=________，2232a ab b ++=________．(2)【拼图、填空】①请你根据上述方法，用这三类卡片在下面的方框内拼出面积为2234a ab b ++的长方形，画出拼好后的图形．（画图痕迹用2B 铅笔加粗加黑，并仿照①中图2，标出边长及各个小图形对应名称A 、B 、C ）；②观察拼图，通过拼图直接写出分解因式结果2234a ab b ++=________．5．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a ，b 的长方形．(1)选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B 型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为()a b +的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；(2)请用这3种卡片拼出一个面积为2243a ab b ++的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；(3)选取1张A 型卡片，4张C 型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为1S ，2S ．若21S S S =-，则当a 与b 满足____时，S 为定值，且定值为______．（用含b 的代数式表示）6．将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，1号正方形的边长为x ，2号正方形的边长为y ．(1)求5号长方形的面积（用含x ，y 的代数式表示）；(2)若图1中长方形的周长为24．①若2号正方形与1号正方形的面积差为3，求5号长方形的面积；②将图1中的1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________．7．提出问题：怎么运用矩形面积表示(y +2)(y +3)与2y +5的大小关系（其中y >0）？几何建模：（1）画长y +3，宽y +2的矩形，按图方式分割（2）变形：2y +5=(y +2)+(y +3)（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y +2)(y +3)；阴影部分面积可以表示为(y +3)×1，画点部分的面积可表示为y +2，由图形的部分与整体的关系可知：(y +2)(y +3)＞(y +2)+(y +3)，即(y +2)(y +3)＞2y +5归纳提炼：当a >2，b >2时，表示ab 与a +b 的大小关系．根据题意，设a =2+m ，b =2+n (m >0，n >0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）8．（1）探究：我们小学时学过乘法分配律a （b +c ）＝ab +ac ．下面我们用等积法证明乘法分配律：如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为a ，另一边长为（b +c ），所以长方形ABCD 的面积为a （b +c ）； 方法二，长方形ABFE 的面积为ab ，长方形CDEF 的面积为ac ，所以长方形ABCD 的面积为（ab +ac ），所以a （b +c ）＝ab +ac ．我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．（2）应用请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：（a +b ）（c +d ）＝ac +ad +bc +bd ；（3）拓展请直接写出（a +b ）（c +d +e ）＝ ．9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：____________________；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，求222a b c ++的值；（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)a b a b ++长方形，请画出图形并根据图形回答：x y z ++=__________；（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：__________．10．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2a +b )(a +2b )长方形，则x +2y +z = ．（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．11．数学活动活动材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．活动要求用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图②，我们有()()22322a ab b a b a b ++=++或()()22232a b a b a ab b ++=++．问题：（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出一个如图③的长方形，计算它的面积，并写出相应的等式；（2）试借助拼图的方法，把二次三项式2223a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．（3）将2223b ab a -+分解因式（直接写出结果，不需要画图）．12．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1；A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a ，b 的长方形．（1）选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B 型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为()a b +的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为2256a ab b ++的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A 型卡片，4张C 型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为1S ，2S ．若21S S S =-，则当a 与b 满足______时，S 为定值，且定值为________．（用含a 或b 的代数式表示）13．【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图2，我们可以得到22(32)()2a ab b a b a b ++=++，或22(2)()32a b a b a ab b ++=++．【问题解决】(1)选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的等式______；(2)尝试借助拼图的方法，把二次三项式2223a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内．(3)将2223b ab a -+分解因式：______（直接写出结果，不需要画图）．14．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）＝a 2+3ab+2b 2．（1）由图2，可得等式 ；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c ＝11，ab+bc+ac ＝38，求a 2+b 2+c 2的值．（3）如图3，将两个边长为a 、b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长a 、b 如图标注，且满足a+b ＝10，ab ＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a 、b 的小正方形纸片和两边长分别为a 、b 的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a 2+5ab+2b 2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a 、b ；②研究①拼图发现，可以分解因式2a 2+5ab+2b 2＝ ．15．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：22(2)()32a b a b a ab b ++=++（1）图③可以解释为等式：．（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示块，块，块．（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长(x＞y)，观察图案，以下关系式正确的是(填序号)．①224m nxy-=，②x y m+=，③22x y m n-=⋅，④22222m nx y++=16．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）图③可以解释为等式：．（2）图④中阴影部分的面积为．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是．（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b 的代数式表示）②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．17．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据如图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用如图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（4）两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图4．请你根据如图中图形的关系，写出一个代数恒等式，并写出推导过程．18．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图①，可得等式(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.(1)由图②，可得等式_________________________________________________；(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；(3)利用图③中的纸片(足够多)画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a ＋2b)；(4)小明用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张邻边长分别为a，b的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为____________．19．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2．请回答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式：_____________．(2)利用(1)中所得的结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2＋5ab＋2b2；②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2＋5ab＋2b2分解因式，即2a2＋5ab＋2b2＝________．专题18 多乘多与图形面积【例题讲解】如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类），长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为()()22a b a b ++，画出图形，并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2256a ab b ++， ①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_____________； (3)如图③，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y >，观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=，其中正确的是____________．【解答】（1）解：拼图如图所示：所以（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2， 故答案为：2a 2+5ab +2b 2；（2）①a 2+5ab +6b 2即用A 型的1张，B 型的5张，C 型的6张， 故答案为：6 可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）， 故答案为：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）；（3）由图③可知，m =x +y ，n =x -y ，故②符合题意； 因此有m +n =2x ，m -n =2y ，2222,444m n m nm n x y xy 故①符合题意；mn =（x +y ）（x -y ）=x 2-y 2；故③不符合题意；22222,222m n m nm n x y xy 故④不符合题意；故答案为：①②．【综合解答】1．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）A ．（a +b ）（a +2b ）=a2+3ab +2b2B ．（a +b ）（2a +b ）=2a2+3ab +b2C ．（a +b ）（a +2b ）=2a2+3ab +b2D ．（a +b （2a +b ）=a2+3ab +2b2 【答案】A【分析】根据图形，大长方形面积等于三个小正方形面积加上三个小长方形的面积和，列出等式即可．【解答】解：∵长方形的面积=（a +b ）（a +2b ） 长方形的面积=a 2+ab +ab +ab +b 2+b 2= a2+3ab +2b2， ∴（a +b ）（a +2b ）= a 2+3ab +2b 2 故选：A ．【点评】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．2．如图，在长为32a +，宽为21b -的长方形铁片上，挖去长为24a +，宽为b 的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）A ．634ab a b -+B ．432ab a --C ．6382ab a b -+-D ．4382ab a b -+-【答案】B【分析】根据长方形的面积公式分别计算出大长方形、小长方形的面积，再进行相减即可得出答案． 【解答】解：(32)(21)(24)a b b a +--+ 634224ab a b ab b =-+---432ab a =--，故剩余部分面积是432ab a --， 故选B ．【点评】本题考查了多项式乘多项式、整式的混合运算，解题的关键是掌握长方形的面积公式． 3．如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是：_____．【答案】()()2232325a b a b a b ab ++=++【分析】先利用长乘以宽表示大长方形的面积，再利用3个边长为a 的小正方形、2个边长为b 的小正方形、5个长宽分别为b 和a 的长方形面积和表示即可得到等式． 【解答】解：长方形的面积可以表示为()()32a b a b ++， 长方形的面积还可以表示为22325a b ab ++，∴()()2232325a b a b a b ab ++=++.故答案为：()()2232325a b a b a b ab ++=++．【点评】本题考查了用代数式表示图形的面积，解题关键是理解整体与局部的关系，即局部面积之和等于整体面积．4．(1)【观察、填空】七（1）班数学学习兴趣小组的同学在研究课本第九章的“数学活动”《拼图、公式》时，利用如图所示的正方形纸片A 类，正方形纸片B 类和长方形纸片C 类若干张（如图1），拼成一个长为(2)a b +、宽为()a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式．()()2a b a b ++=________，2232a ab b ++=________．(2)【拼图、填空】①请你根据上述方法，用这三类卡片在下面的方框内拼出面积为2234a ab b ++的长方形，画出拼好后的图形．（画图痕迹用2B 铅笔加粗加黑，并仿照①中图2，标出边长及各个小图形对应名称A 、B 、C ）；②观察拼图，通过拼图直接写出分解因式结果2234a ab b ++=________．【答案】(1) 2232a ab b ++ ()()2a b a b ++ (2)①见解析；②()()3a b a b ++【分析】（1）根据长方形的面积公式可以写出长方形的面积，六个图形的面积之和也等于长方形的面积，即可得出答案；（2）①根据2234a ab b ++为3个边长为a 的正方形、4个长方形和1个边长为b 的正方形的面积之和，用这些图形拼成一个大长方形即可；②根据拼成的长方形的长和宽表示出长方形的面积，即可得出结果． (1)解：∵大长方形由１个正方形Ａ、三个长方形Ｃ和２个正方形Ｂ组成， ∴大长方形的面积为：2232S a ab b =++，∴()()2223a b a b a ab b ++=++；()()2232a ab b a b a b ++=++．故答案为：2232a ab b ++；()()2a b a b ++． (2)①∵大长方形的面积为2234a ab b ++，∴大长方形由3个A ，4个C 和1个B 组成，如图所示：②根据上图可知，大长方形的长为3a b +，宽为a b +，面积为()()3a b a b ++，∴()()22343a ab b a b a b ++=++．故答案为：①见解析；②()()3a b a b ++．【点评】本题主要考查了用图形法分解因式，根据示例和多项式的特点构建几何图形，拼接大长方形是解题的关键．5．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a ，b 的长方形．(1)选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B 型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为()a b +的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；(2)请用这3种卡片拼出一个面积为2243a ab b ++的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；(3)选取1张A 型卡片，4张C 型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为1S ，2S ．若21S S S =-，则当a 与b 满足____时，S 为定值，且定值为______．（用含b 的代数式表示） 【答案】(1)()2a b +＝222a ab b ++ (2)见解析(3)2a b =时，24S b【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；（2）由a 2+4ab +3b 2可得A 型卡片1张，B 型卡片3张，C 型卡片4张，根据题意画出图形即可； （3）设DG 的长为x ，求出S 1，S 2即可解决问题． (1)解：方法1：大正方形的面积为（a +b ）2， 方法2：图中四部分的面积和为a 2+2ab +b 2， ∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2， 故答案为：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2； (2)解：如图3，(3)解：设DG 的长为x ，∵S 1=a [x -（a +2b ）]=ax -a 2-2ab ，S 2=2b （x -a ）=2bx -2ab ， ∴S =S 2-S 1=2bx -2ab -（ax -a 2-2ab ） =（2b -a ）x +a 2， 若S 为定值，则2b -a =0， ∴a =2b ，∴当a 与b 满足a =2b 时，S 为定值，且定值为24b ， 故答案为：a =2b ，24b ．【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键．6．将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，1号正方形的边长为x ，2号正方形的边长为y ．(1)求5号长方形的面积（用含x ，y 的代数式表示）； (2)若图1中长方形的周长为24．①若2号正方形与1号正方形的面积差为3，求5号长方形的面积；②将图1中的1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 【答案】(1)2223xy y x +- (2)①2223xy y x +-；②34【分析】（1）表示出5号长方形的长和宽即可；（2）①根据2号正方形与1号正方形的面积差为3，以及图1中长方形的周长为24可以列方程求出x 、y 的值，代入第（1）问式子中计算即可； ②表示出阴影部分周长，最后整体代入求值即可 (1)由图形可知：3号正方形的边长为：x y +， 4号正方形的边长为：2x y +5号长方形的长为：3x y +，宽为：y x -∴5号长方形的面积为：22(3)()23+-=+-x y y x xy y x (2)①∵长方形的长为：232+++=+x y x y x y ，宽为：2++=+x y y x y 又长方形的周长为24， ∴2(322)24+++=x y x y ， ∴3x y +=∵2号正方形与1号正方形的面积差为3， ∴223y x -=， ∴()()3+-=y x y x ∵3x y +=， ∴1y x -=，∴12x y =⎧⎨=⎩把1,2x y ==代入2223xy y x +-得5号长方形的面积为5 ②∵图1中长方形的周长为24 ∴2(322)24+++=x y x y ， ∴3x y +=如图，可得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD 的周长，∵()(2)()23BC x y x y y x x y =++++-=+ 且图2的大长方形周长为40，∴()402AB x y BC +++=， ∴20()17AB BC x y -+=+=∴四边形ABCD 的周长为2()34AB BC +=【点评】本题考查整式加减的应用，设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题是关键． 7．提出问题：怎么运用矩形面积表示(y +2)(y +3)与2y +5的大小关系（其中y >0）？ 几何建模：（1）画长y +3，宽y +2的矩形，按图方式分割 （2）变形：2y +5=(y +2)+(y +3)（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y +2)(y +3)；阴影部分面积可以表示为(y +3)×1，画点部分的面积可表示为y +2，由图形的部分与整体的关系可知： (y +2)(y +3)＞(y +2)+(y +3)，即(y +2)(y +3)＞2y +5 归纳提炼：当a >2，b >2时，表示ab 与a +b 的大小关系．根据题意，设a =2+m ，b =2+n (m >0，n >0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）【答案】ab ＞a +b ．见解析【分析】画长为2+m ，宽为2+n 的矩形，并按图方式分割．图中大矩形面积可表示为（2+m ）（2+n ），阴影部分面积可表示为2+m 与2+n 的和．由图形的部分与整体的关系可知ab ＞a +b ． 【解答】解：（1）画长为2+m ，宽为2+n 的矩形，并按图方式分割． （2）变形：a +b =（2+m ）+（2+n ）（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m ）（2+n ）；阴影部分面积可表示为2+m 与2+n 的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m ）（2+n ）＞（2+m ）+（2+n ），即ab ＞a +b ．【点评】本题主要考查了作图-应用与设计作图及整式的混合运算，解题的关键是利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系． 8．（1）探究：我们小学时学过乘法分配律a （b +c ）＝ab +ac ．下面我们用等积法证明乘法分配律：如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为a ，另一边长为（b +c ），所以长方形ABCD 的面积为a （b +c ）； 方法二，长方形ABFE 的面积为ab ，长方形CDEF 的面积为ac ，所以长方形ABCD 的面积为（ab +ac ），所以a （b +c ）＝ab +ac ．我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．（2）应用请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：（a +b ）（c +d ）＝ac +ad +bc +bd ；（3）拓展请直接写出（a +b ）（c +d +e ）＝ ．【答案】（2）证明见解析；（3）ac ad ae bc bd be +++++【分析】（2）画出图形，并仿照（1）的说理方法证明即可；（3）根据（1）的方法画出图形，进行计算即可．【解答】（2）如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为()a b +，另一边长为()c d +，所以长方形ABCD 的面积为()()a b c d ++；方法二，长方形AGOE 的面积为ac ，长方形EODH 的面积为ad ，长方形GOFB 的面积为bc ，长方形OFCH 的面积为bd ，所以长方形ABCD 的面积为（ac ad bc bd +++），所以()()a b c d ac ad bc bd ++=+++．（3）如图，同理可得：方法一可得长方形ABCD 的面积为()()a b c d e +++，方法二可得长方形ABCD 的面积为ac ad ae bc bd be +++++∴()()a b c d e ac ad ae bc bd be +++=+++++故答案为：ac ad ae bc bd be +++++【点评】本题考查了多项式乘法与图形面积的关系，数形结合是解题的关键．9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：____________________；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，求222a b c ++的值；（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)a b a b ++长方形，请画出图形并根据图形回答：x y z ++=__________；（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：__________．【答案】（1）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（2）30；（3）9；（4）x 3−x ＝（x ＋1）（x −1）x 【分析】（1）依据正方形的面积＝（a ＋b ＋c ）2；正方形的面积＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，可得等式；（2）依据（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，进行计算即可；（3）依据画出图形，即可得到x ，y ，z 的值，进而即可求解；（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a ＋b ＋c ）2；正方形的面积＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，∴（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（2）∵（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，∵10a b c ++=，35ab ac bc ++=，∴102＝a 2＋b 2＋c 2＋2×35，∴a 2＋b 2＋c 2＝100−70＝30；（3）如图所示：∴x ＝2，y ＝2，z ＝5，∴x ＋y ＋z ＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x 3−1×1•x ＝x 3−x ，新几何体的体积＝（x ＋1）（x −1）x ，∴x 3−x ＝（x ＋1）（x −1）x ．故答案为：x 3−x ＝（x ＋1）（x −1）x ．【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．10．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2a +b )(a +2b )长方形，则x +2y +z = ．（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．【答案】（1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）30；（3）11；（4）3(1)(1)x x x x x -=-+【分析】（1）依据正方形的面积=(a +b +c )2；正方形的面积=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，可得等式；（2）依据a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2-2ab -2ac -2bc ，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab ，而(2a +b )(a +2b )=2a 2+4ab +ab +2b 2=2a 2+5b 2+2ab ，即可得到x ，y ，z 的值．（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积可表示为(a +b +c )2，正方形的面积也可表示为a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，故答案为：(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（2）∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，∵a +b +c =10，ab +ac +bc =35，∴102=a 2+b 2+c 2+2×35，∴a 2+b 2+c 2=100-70=30，故答案为：30；（3）由题意得：(2a +b )(a +2b )=xa 2+yb 2+zab ，∴2a 2+5ab +2b 2=xa 2+yb 2+zab ，∴x =2，y =2，z =5，∴x +2y +z =11，故答案为：11；（4）∵原几何体的体积=x 3-1×1•x =x 3-x ，新几何体的体积=(x +1)(x -1)x ，∴x 3-x = x (x +1)(x -1)．故答案为：x 3-x = x (x +1)(x -1)．【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．11．数学活动活动材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．活动要求用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图②，我们有()()22322a ab b a b a b ++=++或()()22232a b a b a ab b ++=++．问题：（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出一个如图③的长方形，计算它的面积，并写出相应的等式；（2）试借助拼图的方法，把二次三项式2223a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．（3）将2223b ab a -+分解因式（直接写出结果，不需要画图）．【答案】（1）2243a ab b ++，()()22343a b a b a ab b ++=++或()()22433a ab b a b a b ++=++；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++，作图见解析；（3）()()22232b ab a b a b a -+=--．【分析】（1） 根据图形分析，正方形、长方形硬纸片8块拼成了一个大长方形的面积，利用面积相等即可求得等式；（2）根据题意得这个图形有6块纸片构成，2个小正方形，1个大正方形，3个长方形，拼成一个大长方形，画出长方形即可；（3）依据代数式画出图形，注意式子中有一个减号，所以拼出来的图形是一个长方形，减去了一部分，然后根据图形可以分解因式．【解答】解：（1）由图③的，共有8块硬纸片拼成，其中1个小正方形，3个大正方形，4个长方形，所以面积为：2243a ab b ++，∴()()22343a b a b a ab b ++=++或()()22433a ab b a b a b ++=++；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++，所拼图形如图：。
七(下)培优训练(三)平面直角坐标系综合问题(压轴题)
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）一、坐标与面积：【例1】如图，在平面直角坐标中,A (0，1)，B (２，0）,C (2，１.５). (1)求△AB Ｃ的面积;（2)如果在第二象限内有一点Ｐ(a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ＡBOP 的面积;(3)在(2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ＡＢOP 的面积与△ＡB Ｃ的面积相等?若存在，求出点P 的坐标，若不存在,请说明理由．yxPOCBA【例2】在平面直角坐标系中,已知A （-3,0)，B （－2，－2),将线段AB 平移至线段CD .图1y xDO CB A图2y xDOCB AyxOBAyxOBA(1）如图1,直接写出图中相等的线段,平行的线段；(2）如图2，若线段ＡB 移动到ＣD ,C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标;（3）若点C 在y 轴的正半轴上,点Ｄ在第一象限内，且Ｓ△ＡCD =5,求Ｃ、D 的坐标；(4）在y 轴上是否存在一点P ,使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、Ｐ、Q 构成的四边形是平行四边形面积为１０，若存在,求出P 、Ｑ的坐标,若不存在,说明理由;【例3】如图，△ＡＢC 的三个顶点位置分别是A (1，０)，B (-2，３),C (－3,0）.（1)求△ＡBC 的面积；（2)若把△AB Ｃ向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到△A B C ''',请你在图中画出△A B C '''； （3）若点Ａ、Ｃ的位置不变,当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCS S=；(4)若点B 、Ｃ的位置不变,当点Ｑ在x 轴上什么位置时,使2BCQABCS S=．【例４】如图1,在平面直角坐标系中,A (a ，0）,C (ｂ,２），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于Ｂ.（1）求三角形ABC 的面积;（２)若过Ｂ作BD ∥AC 交y 轴于Ｄ,且AE ,D Ｅ分别平分∠ＣA Ｂ,∠ODB ，如图2,求∠ＡE Ｄ的度数；(３）在y 轴上是否存在点P ,使得三角形ABC 和三角形A ＣP 的面积相等,若存在,求出P 点坐标;若不存在，请说明理由.【例５】如图,在平面直角坐标系中，四边形AB ＣD 各顶点的坐标分别是Ａ(0，0)，Ｂ（７，0）,C （９，５）,D （2,７)(1)在坐标系中,画出此四边形; (２)求此四边形的面积;（3)在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △ＰBC =50， 若能,求出P 点坐标,若不能，说明理由.【例6】如图,Ａ点坐标为(－２， 0）, B 点坐标为（0， －3). (１)作图，将△ＡＢＯ沿ｘ轴正方向平移4个单位, 得到△ＤEF , 延长ED 交y 轴于Ｃ点, 过Ｏ点作O Ｇ⊥C Ｅ， 垂足为G ;（2) 在(1)的条件下, 求证: ∠C ＯG =∠E ＤF ； （3)求运动过程中线段A Ｂ扫过的图形的面积．【例7】在平面直角坐标系中,点B （0,４)，Ｃ(-5,4），点A 是ｘ轴负半轴上一点，Ｓ四边形A ＯBC =24.图1yxHOFEDAC B（1)线段B Ｃ的长为 ,点Ａ的坐标为 ；(2）如图１，EA 平分∠CAO ,DA 平分∠CA Ｈ,ＣF ⊥A Ｅ点Ｆ，试给出∠ＥCF 与∠ＤAH 之间满足的数量关系式,并说明理由;(3)若点P 是在直线C Ｂ与直线AO 之间的一点,连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ＯＮ平分AOP ∠,ＢN 交ON 于Ｎ，请依题意画出图形,给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式,并说明理由. 【例８】在平面直角坐标系中,ＯＡ＝４,O Ｃ=8,四边形ＡＢC Ｏ是平行四边形．A(-2,0)B(0,-3)y x 0（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；(2)若点P 从点Ｃ以2单位长度／秒的速度沿ＣO 方向移动,同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒,△AQ Ｂ与△ＢPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间,使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值,若不存在，试说明理由；(３）在（2）的条件下,四边形Q ＢPO 的面积是否发生变化,若不变，求出并证明你的结论，若变化,求出变化的范围.【例9】如图,在平面直角坐标系中，点A ，Ｂ的坐标分别为（－1，0)，(3,０）,现同时将点Ａ,B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位,分别得到点Ａ,B 的对应点Ｃ,D 连结AC ,B Ｄ. (1)求点C ,D 的坐标及四边形ABD Ｃ的面积S 四边形ABDC ；（2)在ｙ轴上是否存在一点P ,连结P A ,PB ，使S △ＰＡB =S △明理由；(3)若点Ｑ自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段ＡＢ上移动,运动到Ｂ点就停止，设移动的时间为t 秒,(1)是否是否存在一个时刻,使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？(4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一?【例10】在直角坐标系中,△ＡB Ｃ的顶点A (—2，0）,B （2，4),C (5，0）． (1）求△ＡＢC 的面积(2)点D 为ｙ负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=?若存在，请求出点D 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）点F （5,n ）是第一象限内一点,，连ＢF ，CF ,G 是ｘ轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）二、坐标与几何：【例1】如图,已知A （0,ａ），B （０，b)，C （m ，b)且(a －4)2＋|ｂ+３|=0,S △ABC ＝１4. （1）求Ｃ点坐标（2)作DE ⊥ＤC,交y 轴于Ｅ点,EF 为∠AED 的平分线，且∠DF Ｅ=900.求证：FD 平分∠ADO;(3)E 在y 轴负半轴上运动时，连E Ｃ,点Ｐ为A Ｃ延长线上一点，EM 平分∠AEC,且ＰM ⊥ＥM,PN ⊥x 轴于Ｎ点，PQ 平分∠ＡＰＮ，交ｘ轴于Ｑ点,则E 在运动过程中,错误!的大小是否发生变化,若不变，求出其值．【例2】如图，在平面直角坐标系中,已知点A(-5,0),B(5.0)，D(2,7)， (1)求Ｃ点的坐标；（２)动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿ＢA 方向运动，同时动点Ｑ从C 点出发也以每秒1位的速度沿ｙ轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时,两点都停止运动)。
七年级(下)数学培优试题(一)含答案
七年级（下）数学培优试题（一）含答案一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项符合题意）1.下列各式计算正确的是（ ）A.3332x x x ⋅= B ．235()x x = C ．358x x x += D ．444()xy x y =2.下列能用平方差公式计算的是（ ）A.)y x )(y x (-+- B .)x 1)(1x (--- C.)x y 2)(y x 2(-+ D.)1x )(2x (+-3.如图1，已知∠1=110°，∠2=70°，∠4=115°，则∠3的度数为( ) A .65º B .70º C .97º D .115º4.2011世界园艺博览会在西安浐灞生态区举办，这次会园占地面积为418万平方米，这个数据用科学记数法可表示为（保留两个有效数字）( ) 图1A.4.18×106平方米B. 4.1×106平方米 C . 4.2×106平方米 D.4.18×104平方米5.某校组织的联欢会上有一个闯关游戏：将四张画有含30°的直角三角形、正方形、等腰三角形、平行四边形这四种图形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形就可以过关，那么翻一次就过关的概率是（ ）A.1/4B. 1/2 C . 1/3 D.16.如图2，一块实验田的形状是三角形(设其为△ABC )，管理员从BC 边上的一点D 出发，沿DC →CA →AB →BD 的方向走了一圈回到D 处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（ ）A.转过90° B .转过180° C.转过270° D.转过a b c d2 4 1360°7. 如图3所示，在△ABC 和△DEF 中，BC ∥EF ，∠BAC ＝∠D ，且AB ＝DE ＝4，BC ＝5，AC ＝6，则EF 的长为( )．A ４B .５C .６ D.不能确定8.地表以下的岩层温度y 随着所处深度x 的变化而变化，在某个地点 y 与x 的关系可以由公式2035+=x y 来表示，则y 随x 的增大而（ ） 图3A 、增大B 、减小C 、不变D 、以上答案都不对9. 如图4，图象描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是（ ） .A.第3分时汽车的速度是40千米/时B.第12分时汽车的速度是0千米/时C .从第3分到第6分，汽车行驶了120千米D.从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时10. 下列交通标志中，轴对称图形的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二．填空题：（每空3分，共36分）11．代数式3234155a x a x x -+是___ ____项式，次数是__ ___次 图4124︒78︒ED CB A12.计算：2--+-=___________x x x(1)(23)(23)13. 如图5，DAE是一条直线，DE∥BC，则∠BAC＝_____.图514.北冰洋的面积是1475.0万平方千米，精确到___ __位，有___ _个有效数字15.某七年级（2）班举行“建党九十周年”演讲比赛，共有甲、乙、丙三位选手，班主任让三位选手抽签决定演讲先后顺序，从先到后恰好是甲、乙、丙的概率是．图616. 如图6，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =17. 如图7，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90°，AB＝DC，则图中有全等三角形对．18.一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且图7每挂1千克就伸长0.5厘米，则当挂物体质量为10千克，弹簧长度为________厘米，挂物体X（千克）与弹簧长度y(厘米)的关系式为_______.(不考虑x的取值范围)19.如图8，D，E为AB，AC的中点，DE//BC，将△ABC沿线段DE 折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=______.图8三．解答题（共54分）20. 计算：（每小题5分，共10分）①3b－2a2－（－4a＋a2＋3b）＋a2②（4m3n－6 m2n2＋12mn3）÷2mn21.（7分）先化简，再求值：22+---÷，其中10xy xy x y xy[(2)(2)2(2)]()x=，1y=-．2522．（8分）小明家的阳台地面，水平铺设着仅颜色不同的18块黑色方砖（如图10所示），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上.（1）分别求出小皮球停在黑色方砖和白色方砖上的概率；（2）要使这两个概率相等，可以改变第几行第即列的哪块方砖颜色？怎样改变？23.（9分）公园里有一条“Z ”字型道路ABCD ，如图，其中AB ∥CD ，在AB 、BC 、CD 三段路旁各有一只石凳E 、M 、F ，M 恰为BC 的中点，且E 、F 、M 在同一直线上，在BE 道路中停放着一排小汽车，从而无法直接测量B 、E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．图1024. （10分）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校. 以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米？（2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？（3）小明在书店停留了多少分钟？（4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？0 2 4 6 8 10 12 14 时间（分家25.(10分)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结CD,AB AC∴=，AE AD=．请找出图②中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）；C图图七年级（下）数学期末试题评分标准及参考答案2011.6 命题：李丹（教研室） 检测：史晓锋（龙泉中学）一、单项选择题（每小题3分，计30分）1.D2.B3.D4.C5.B6.B7.B8.A9.C 10.B二、填空题（每空3分，计36分）11. 三，五 12.－3x 2－2x ＋10 13. 46° 14. 千，五 15. 61 16. 74° 17.318. 18，y=13+0.5x 19. 80°三、解答题（共54分）20. ①解:原式=3b －2a 2＋4a －a 2－3b ＋a2 （3分） =－2a 2＋4a （5分）②解:原式=4m 3n÷2mn －6m 2n 2÷2mn ＋12mn 3÷2mn （2分） =2m 2－3mn ＋6n 2（5分）21. 解：原式2222(424)()x y x y xy =--+÷22()x y xy xy =-÷=-．（5分） 当10x =，125y =-时，原式1210255⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭．（7分） 22. 解:(1)P （黑色方砖）=95，P （白色方砖）=94；(6分)（2）要使这两个概率相等，可将其中的一块黑色方砖换为白色方砖，所改变的黑色方砖所在的行、列数答案不唯一，只要写准确即可得分.（8分）23.解：能．在图中连结E 、M 、F ．(1分)理由：AB ∥CD →⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠∠=∠CM BM C B FMC EMB （4分）∴△EBM ≌△FCM （ASA ）（7分）∴BE=CF ．因此测量C 、F 之间的距离就是B 、E 之间的距离．（9分）24. 解：（1）1500米； （2分）（2）12-14分钟最快，速度为450米/分. （5分）（3）小明在书店停留了4分钟. （7分）（4）小明共行驶了2700米，共用了14分钟. （10分）25. 解：图2中ABE ACD △≌△.(2分)理由如下： ABC △与AED △都是直角三角形∴90BAC EAD ∠=∠= （4分）BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠即BAE CAD ∠=∠ （6分）又∵AB=AC,AE=ADABE ACD ∴△≌△ （10分。
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面积的计算和面积法
一、计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面 积有关的重要知识：
1•常见图形的面积公式；
2. 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；
3. 夹在平行线间的距离处处相等
4. 等比定理：
(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于等于对应高Z 比；同高(或等高)的两 个三角形面积Z 比等于等于对应底之比.
(2)相似三角形的面积之比等于对应线段Z 比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：
S2 s>
S3
二、用面积法解题的基本思路是： 对某一平面图形面积， 釆用不同方法或从不同角度去计算, 就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果. 下列情况可以考虑用面积法:
(1)涉及三角形的高、垂线等问题；
(2)涉及角平分线的问题
面积法：
1、如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为
1, 3, 5,则 这个等边三角形的高为 _________________ 求证：ZBGC = ZDGC.(到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上)
2、
如图，在口ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE= DF,
BE 与DF 交于G,
计算图形的面积
3、如图，AABC内三个三角形的面积分别为5, 8, 10,四边形AEFD的面积为X ,则火=
4、如图所示，ABC、BCD、27和14,则AOD的面积为多少？CDA的面积分别为49、
5 •如图所示，在矩形ABCD中，E是AD中点，F是CE中点，S BDF6cm 2 ,则矩形ABCD
的面积为多少
?
例1图
B C
6、如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，且S PAB 5 ,S PAD
S PAC ______________
7、如图，矩形 ABCD 屮，点E 、F 、G 、H 、分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上。
点P 在矩形ABCD
8、如图，在厶ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且 =6,那么
四边形BCDE 的面积二
那么AABC 的面积=
练习：
1.如图，已知 △ BOF, △ AOF , △ BOD, △ COE 的面积分别为 30, 40, 35,则 A ABC 的面积为 .
内，在若 AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm, 为
四边形AEPH 的面积
的面积为 cm
C
例2图
A M B
ABCD边AB的中点，CM交BD于点E,则图屮阴影部分面积与ABCD
的面积之比为（）
1115
A • 6B・4C・3 D. 12
4、如图，点D、E分别是△ ABC的边AC、AB上的点，直线BD与CE交于点F,已知△ CDF,
ABFE, ABCF的面积分别是3, 4, 5则四边形AEFD的面积是______________________
2.如图，已知M是
3、如图，△ ABC的面积是60, BE : CE 1 : 2, AD : CD3 : 1 ,求四边形ECDF的面积.
A B
第3题图。