拟合实例 数学建模
数学建模第四讲(下)：拟合模型
切比雪夫（Chebyshev）多项式
切比雪夫多项式
在 [-1, 1] 上带权 (x)= 1 的正交多项式称为 切比雪夫多项式
1 x2
记号：T0 , T1 , T2 , ...
Tn ( x) cos(n arccos x), x 1,
若令x cos ,则Tn ( x) cos n , 0 .
n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn i 1
正实数 1, 2, , n 称为加权系数
内积
例：Cn 上的内积：
n
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
i 1
加权内积 n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
式 记号：P0 , P1 , P2 , ...
P0 ( x) 1,
Pn (
x)
1 2n n!
dn dx n
( x2
1)n
x [-1, 1]，n = 1, 2, …
l
Pn (x) 的首项
xn
的系数为：2 n( 2 n
1) ห้องสมุดไป่ตู้n 2n n!
1)
(2n)! 2n ( n !)2
l
令
Pn( x)
n! (2n)!
函数逼近
最佳一致逼近
f
(x)
P
*(x)
min
PH n
f (x) P(x)
最佳平方逼近
f ( x) P * ( x) min f ( x) P( x)
2 PHn
2
正交多项式
定义 设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，
数学建模Matlab数据拟合详解
刀具厚度 y/cm 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0 拟合曲线为: 拟合曲线为 y=-0.3012t+29.3804
一个15.4cm×30.48cm的混凝土柱在加压实验中的 例3 一个 × 的混凝土柱在加压实验中的 应力-应变关系测试点的数据如表所示 应力 应变关系测试点的数据如表所示
用切削机床进行金属品加工时, 例2 用切削机床进行金属品加工时 为了适当地调整 机床, 需要测定刀具的磨损速度. 机床 需要测定刀具的磨损速度 在一定的时间测量刀 具的厚度, 得数据如表所示: 具的厚度 得数据如表所示 切削时间 t/h
0 1 2 3 4 5 6 7 8
刀具厚度 y/cm 30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 切削时间 t/h
已知应力-应变关系可以用一条指数曲线来描述 已知应力 应变关系可以用一条指数曲线来描述, 即假设 应变关系可以用一条指数曲线来描述
σ = k1ε e
k 2ε
式中, 表示应力, 表示应变. 式中 σ 表示应力 单位是 N/m2; ε 表示应变
σ 令 z = ln , a0 = k2 , a1 = ln k1 , 则 z = a0ε + a1 ε
σ = k1ε e
k 2ε
式中, 表示应力, 表示应变. 式中 σ 表示应力 单位是 N/m2; ε 表示应变 选取指数函数作拟合时, 在拟合前需作变量代换, 指数函数作拟合时 解 选取指数函数作拟合时 在拟合前需作变量代换 化为 k1, k2 的线性函数 的线性函数.
σ 于是, 于是 ln = ln k1 k2ε ε σ 令 z = ln , a0 = k2 , a1 = ln k1 ε
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得
到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）将1994～2022岁婴儿的性别比设为2022，预测性别比例为2022～2022。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各
年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）根据时间分布分析城镇、城镇的生育率，以时间为自变量，以生育率为因变量，拟合城镇、城镇的生育率，并将生育率从2022预测到2022。
（4）将某年的城镇化水平pu(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
Karmeshu（1992）发现，自20世纪50年代以来，随着经济发展水平的提高，发达国
家城市人口的增长速度一直快于农村地区。
但是，随着城市化水平的提高，达到100%，速度将会放缓。
城市化水平的增长曲线粗略地表现为“S”型Logistic曲线〔4〕，对中国
人口1%的调查数据进行了曲线拟合，从附录2中给出了2001～2022的数据，得到了曲线，并绘制了城市化水平从2001到2050的曲线。
2.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中
的数据，完成下列问题
（1）以城区采样点为插值节点，绘制城区地形图和等高线图；（2）绘制城区8种
重金属浓度的空间分布图。
并指出最高和最低浓度点的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、shepard插值等。
工具可用matlab，也可
用surfer软件实现。
数学建模课件--最小二乘法拟合
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合 我们知道， 用作图法求出直线的斜率a 和截据b ， 可以确定这条直线所对应的经验公式， 但用作图法拟合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分散时， 对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因此是一种粗略的数据处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据， 用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。
显然， 关键是如何求出最佳的 a 和b 。
(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略， 则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b 是最理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、dn 为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。
数学建模参数拟合题目：玉米种植施肥量
数学建模参数拟合题目：玉米种植施肥量
引言
本文旨在通过数学建模的方法，对玉米种植施肥量进行参数拟合。
玉米种植施肥量是指在农田中适当施加肥料以提高玉米产量的一种农业实践。
通过拟合施肥量与其他影响因素之间的关系，可以为玉米种植提供科学的指导和决策依据。
数据收集
首先，我们需要收集相关的数据来进行建模和拟合。
这些数据可以包括以下内容：
- 玉米产量：记录不同施肥量下的玉米产量数据；
- 土壤质量：记录不同土壤质量指标的数据，如含水量、有机质含量等；
- 气候因素：记录不同气候因素对玉米生长的影响，如温度、光照等。
建立模型
在收集到足够的数据后，我们可以通过建立合适的数学模型来拟合施肥量与其他因素之间的关系。
常见的模型包括多项式回归模
型、指数函数模型等。
在选择模型时，需要考虑模型的适应性、拟
合效果和计算复杂度等因素。
参数拟合
一旦选择了合适的模型，我们可以使用参数估计的方法对模型
进行拟合。
通过最小二乘法等统计方法，可以估计模型中的参数值，使得模型与实际数据的拟合误差最小。
结果分析
拟合出的模型可以用于预测不同施肥量下的玉米产量，并为农
民提供种植决策的参考。
此外，还可以通过对模型的敏感性分析，
了解不同因素对施肥量的影响程度，提供更全面的决策支持。
结论
通过数学建模参数拟合的方法，我们可以建立一个科学、准确
的玉米种植施肥量模型。
该模型可以为农民提供科学的施肥建议，
最大限度地提高玉米产量。
但需要注意的是，模型的建立依赖于收
集到的数据的质量和数量，因此在实际应用中仍需谨慎使用。
数学建模实验报告8拟合
数学建模试验报告（八）姓名学号班级.问题：.（拟合）用给定的多项式，y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
如果作2或4次多项式拟合，结果如何？问题的分析和假设：这道多项式拟合题可从两个方面入手。
已给定多项式y=x3-6x2+5x-3 x为了便于观察计算可取1-10依次求解。
yi利用rand产生（0,1）均匀分布的随机干扰与yi取和求出结果进行比较建模：分别建立。
M文件与主程序。
先求出多项式产生的数据，再求出添加rand（0,1）干扰后的数据。
用所得出新数据分别进行3、2、4次拟合。
求解的Matlab程序代码：(1).m文件function f=fun(x)f=x^3-6*x^2+5*x-3主程序：for n=1:10fun (n);end(2).m文件for n=1:10y=fun(n)+rand;endx=1:10;y=[-2.942 -8.6471 -14.1868 -14.9901 -2.8611 27.2028 81.197 165.6038 285.2722 447.1988] A=polyfit(x,y,3)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’,x,z,’r’)(3)for n=1:10y=fun(n)+rand;endx=1:10;y=[-2.942 -8.6471 -14.1868 -14.9901 -2.8611 27.2028 81.197 165.6038 285.2722 447.1988] A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’,x,z,’r’)(4)for n=1:10y=fun(n)+rand;endx=1:10;y=[-2.942 -8.6471 -14.1868 -14.9901 -2.8611 27.2028 81.197 165.6038 285.2722 447.1988] A=polyfit(x,y,4)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’,x,z,’r’)计算结果与问题分析讨论：f=-3 f=-9 f=-15 f=-15 f=-3 f=27 f=81 f=165 f=285 f=447值为xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yi -3 -9 -15 -15 -3 27 81 165 285 447添加随机干扰后的值y1 =-2.942 y 2=-8.6471 y 3=-14.1868 y 4=-14.9901 y 5=-2.8611 y 6=27.2028y 7=81.197 y8 =165.6038 y 9=285.2722 y10 =447.1988拟合结果A=1.0015 -6.0272 5.1422 -2.9055与原系数比较差异不大2次拟合多项式系数A=10.4977 -71.0725 83.02384次拟合多项式系数A=-0.0039 1.0863 -6.6475 6.8373 -4.2277。
曲线拟合
数模俱乐部
曲线拟合
现在我们使用上面求得的系数产生 y： y = (0.1032)x - 28.4909 图像为如图：
如何改善这种状况呢？我 们可以尝试拟合更高阶的多项式。让我们使用一个二次多项式看看。
数模俱乐部
曲线拟合
使用下面的步骤来做： >> p = polyfit(sqft,price,2); 这次有三个系数产生。次数设为 2的 polyfit 函数使用下面的形式给我们返 回系数： y = p1x + p2x + p3 我们把它们提取出来放进变量中并绘图： >> a = p(1); >> b = p(2); >> c = p(3); >> x = [1200:10:4000]; >> y = a*x^2+ b*x + c; >> plot(x,y,sqft,price,'o'), xlabel('房子平方英尺数'),ylabel('平均售价'), ... title('欢乐谷的房子平均售价与平方英尺数的关系'), axis([1200 4000 135 450])
数模俱乐部
曲线拟合
图象如图 所示。 虽然 4000 平方英尺的 房子的价格看起来有点 偏离正常，其它的数据 还是基本上一个直线的 周围的，让我们找出这 条最拟合这些数据的直线。 在我们尝试求出 y = mx + b 的过程中， 房子的 SQFT（平方英尺数）充当 x的角色而平均售价充当 y 的角色。使用 polyfit 找出我们需要的系数，我们只需把数据传递给它并告知它我们在求一 次的多项式。
曲线拟合
-数学建模-数据拟合
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟 合． 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同 的． 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
超定方程组一般不存在解的矛盾方程组．
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1
则称a为上述超定方程组的最小二乘解．
线性最小二乘法的求解 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题． Ra=y r 1 ( x1 ) 其中 R 1 ( xn ) r （3） rm ( x1 ) a1 y1 , y , a rm ( xn ) am yn
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数
40
60
80
100
拟 合 问 题 引 例 2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
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2
拟 合 问 题 引 例 2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形
即要求 出二次多项式:
f ( x) a1x 2 a2 x a3
中 的 A (a1 , a2 , a3 ) 使得:
2 [ f ( x ) y ] i i i 1 11
最小
8
解法1．用解超定方程的方法
此时 x12 R x2 11 1 x11 1 x1
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
(2)
5
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
10
2
MATLAB(aa1)
10
1
c(t ) c0 e
kt
c, k为待定系数
0 2 4 6 8
3
10
0
曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + +
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
4
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： （1）
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
6
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： f=a1+a2x + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + +
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
-bx f=ae + +
+ +
+ + +
+
+ +
7
例 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi yi 0.1 1.978 0.2 3.28 0.4 6.16 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.58 0.8 9.48 0.9 1
9.30 11.2
f ( x) 9.8108x 2 20.1293x 0.0317
9
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1 r12 a2 r1m am y1 ( n m) r a r a r a y nm m n n1 1 n 2 2
r11 R 其中 rn1 r 12 rn 2
1）输入以下命令： x=0:0.1:1;
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2)' x' ones(11,1)]；
MATLAB(zxec1)
A=R\y'
2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
nБайду номын сангаас
即 Ra=y
r1m a1 y1 , y , a rnm am yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1
拟 合
1. 拟合问题引例 2.拟合的基本原理
1
拟 合 问 题 引 例 1
0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 温度 t( 已知热敏电阻数据：
电阻R() 765 求600C时的电阻R。
1100 1000 900 800 700 20
826
873
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数