高考二轮复习考前增分训练数学(理) 大题规范练3 “17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(三) “17题～19题＋二选
一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足a ＝3b cos C .
(1)求tan C
tan B 的值；
(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．
[解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R 及a ＝3b cos C 可得2R sin A ＝3×2R sin B cos C ， 即sin A ＝3sin B cos C .
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C ，
∴cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴cos B sin C sin B cos C ＝2，故tan C
tan B ＝2.
(2)法一：(直接法)由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3， 即tan B ＋tan C 1－tan B ·tan C ＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得 3tan B 1－2tan 2B
＝－3，解得tan B ＝1或tan B ＝－
1
2. 根据tan C ＝2tan B ，得tan C ，tan B 同号， 又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2，
∴sin B ＝22，sin C ＝255，sin A ＝310
10， 由正弦定理可得
331010＝b
22
，∴b ＝5， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×5×25
5＝3.
法二：(整体代入法)由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3， 即
tan B ＋tan C
1－tan B ·tan C
＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得
3tan B
1－2tan 2B
＝－3，
解得tan B ＝1或tan B ＝－1
2.根据tan C ＝2tan B 得tan C ，tan B 同号，又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2.
又∵a ＝3b cos C ＝3，∴b cos C ＝1，∴ab cos C ＝3， ∴ab cos C tan C ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝1
2×6＝3.
18．如图6，在四棱锥S -ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角
形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.
图6
(1)证明：SD ⊥平面SAB ；
(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
[解] (1)证明：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则D (1,0,0)，A (2,2,0)，B (0,2,0)．
设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0，
且AS
→＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )． 由|AS
→|＝|BS →|，得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝1.
由|DS →
|＝1，得y 2＋z 2＝1. ① 由|BS
→|＝2，得y 2＋z 2－4y ＋1＝0. ②
由①②，解得y ＝12，z ＝3
2.
∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝
⎛⎭⎪⎫
0，12，32，
∴DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0， ∴DS ⊥AS ，DS ⊥BS ， ∴SD ⊥平面SAB .
(2)设平面SBC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥BS →，n ⊥CB →，∴n ·BS →＝0，n ·CB →＝0. 又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，
∴⎩⎨
⎧
x 1－32y 1＋32z 1＝02y 1＝0
，取z 1＝2，
得n ＝(－3，0,2)． ∵AB
→＝(－2,0,0)， ∴cos 〈AB →
，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－2×(－3)7×2＝217.
故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为21
7.
19．春节期间，甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏，六人轮流发红包，每次
10元，分4个红包，每个红包分别为1元、2元、3元、4元，每人每次最多抢一个红包，且每次红包全被抢完．统计五轮(30次)的结果，甲、乙所抢红包的情况如下：
(1)
(2)将频率视为概率，甲在接下来的一轮抢红包游戏中，没有抢到红包的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
[解] (1)甲所抢红包金额的平均数为x 甲＝6＋2×3＋3×4＋4×730＝26
15，
乙所抢红包金额的平均数为x 乙＝
9＋2×6＋3×6＋4×430＝11
6
，
由于116＞26
15，所以乙的手气更好．
(2)由题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
从30次统计结果看，甲抢到红包的频率为6＋3＋4＋730＝2
3，甲没有抢到红包
的频率为1－23＝13，且每次抢红包相互独立，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
236
＝64729，
P (X ＝1)＝C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫235⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝64
243， P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫234
⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝80243， P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233
⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝160729， P (X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝20243
， P (X ＝5)＝C 56
⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝4243
， P (X ＝6)＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫136
＝1729. 所以X 的分布列为
E (X )＝6×1
3＝2.
(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos φ
y ＝sin φ(其中φ为参数)．以
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0＜α＜π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标．
[解] (1)∵⎩⎨⎧
x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.
由⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1. (2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t cos α
y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．
设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)，
将⎩⎨⎧
x ＝t cos αy ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2
＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α
1＋3sin 2α，
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝
8|sin α|1＋3sin 2α＝83|sin α|＋1|sin α|
≤823
＝433(当且仅当sin α＝
3
3时取等号)，
当sin α＝33时，∵0＜α＜π，且α≠π2，∴cos α＝±6
3， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13，
∴|AB |的最大值为
433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
±423
，13.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|x ＋1|＋m |x －1|(m ∈R )． (1)当m ＝2时，求不等式f (x )＜4的解集； (2)当m ＜0时，f (x )≥2m 恒成立，求m 的最小值. [解] (1)当m ＝2时，
f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎨⎧
1－3x ，x ＜－1，
3－x ，－1≤x ≤1，
3x －1，x ＞1.
由f (x )的单调性及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
53＝f (－1)＝4，
得f (x )＜4
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1＜x ＜5
3
. (2)由f (x )≥2m ，得|x ＋1|≥m (2－|x －1|)， 因为m ＜0，
所以－1
m |x ＋1|≥|x －1|－2，
在同一直角坐标系中画出y ＝|x －1|－2及y ＝－1
m |x ＋1|的图象，如图所示，根据图象可得－1
m ≥1，所以－1≤m ＜0， 故m 的最小值为－1.。