在图形的全等变换中有旋转变换

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(课题)平面图形的全等变换

（课题）平面图形的全等变换
学习目标：1、知识目标：探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。

2、能力目标：①经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画
图等过程，掌握画图技能。

②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并在此基础上达到巩固旋
转的有关性质。

3、情感体验点：培养学生的观察能力和审美能力，激发学生学习数学的兴趣。

学习重点：图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）
学习难点：综合利用各种变换关系观察图形的形成
学习方法：新授课在教师引导下，以学生的分组讨论、合作交流为主展开教学
学具准备：学案
学时安排：1
第一学时。

全等三角形旋转模型知识点总结附解析

全等三角形旋转模型知识点总结附解析一、全等三角形旋转模型1．（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．（问题初探）线段AB 绕点O 顺时针旋转得到线段CD ，其中点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB 、CD 所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB 与直线CD 所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．（运用拓广）运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AB ＝BC ，CD ＝3，BD ＝19，求AD 的长．解析：（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（310【分析】（1）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOB COD SSS ，可得B D ∠=∠，由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOBCOD SSS ，可得B D ∠=∠，由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，由旋转的性质可得BF BD =，3AF CD ==，由三角形内角和定理可求90FAD ∠=︒，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，α=︒，60∴∠=︒，60BOD线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，AB CD=，BO DO∴=，OA OCAOB COD SSS，()B D∴∠=∠，∠=∠，OED BEF，B DBFE EOD，60故答案为：60︒；（2）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补，理由如下：如图2，延长AB，DC交于点E，线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，=，BO DO∴=，OA OCAB CDAOB COD SSS，()ABO D，ABO EBO，180D EBO，180360EBO E D BOD，E BOD，180∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，延长FA ，DC 交于点E ，∴旋转角60ABC ∠=︒，BCD BAF ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，3AF CD ==，BD BF =，30ADC ∠=︒，90FAD AED ADC ，又60FBD ABC ，BF BD =， BFD ∴∆是等边三角形，BF BD DF ，∴在Rt DAF 中，2219910ADDF AF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．发现规律：（1）如图①，ABC 与ADE 都是等边三角形，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求BFC ∠的度数（2）已知：ABC 与ADE 的位置如图②所示，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．若ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=，求BFC ∠的度数应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0,0)，点M 的坐标为(3,0)，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60得到线段MK ，连接NK ，OK ，求线段OK 长度的最小值答案：A解析：（1）BFC ∠的度数为60︒；（2）BFC ∠的度数为180αβ︒--；（3）线段OK 长度的最小值为32 【分析】（1）通过证明BAD CAE ≅△△可得ABD ACE ∠=∠，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABC ADE 可得BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE=，可证ABD ACE ，可得ABD ACE ∠=∠，由外角性质可得BFC BAC ∠=∠，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK △是等边三角形，可得MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒，如图③将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ ，可得60OMQ ∠=︒，OK =NQ ，MO =MQ ，则当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵ABC 与ADE 是等边三角形∴AB=AC ，AD=AE ，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴()BAD CAE SAS ≅ ∴ABD ACE ∠=∠∵60ABD DBC ABC ∠+∠=∠=︒∴60ACE DBC ∠+∠=︒∴18060BFC DBC ACE ACB ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）∵ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=∴ABC ADE∴BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE= ∴BAD CAE ∠=∠，AB AD AC AE = ∴ABD ACE ∴ABD ACE ∠=∠ ∵BHC ABD BAC BFC ACE ∠=∠+∠=∠+∠ ∴BFC BAC ∠=∠ ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴180BFC αβ∠++=︒∴180BFC αβ∠=︒--；（3）∵将线段MN 绕点M 逆时针旋转60︒得到线段MK∴MN MK =，60NMK ∠=︒∴MNK △是等边三角形∴MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒如下图，将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ∴MOK MQN ≅，60OMQ ∠=︒∴OK =NQ ，MO =MQ∴MOQ △是等边三角形∴60QOM ∠=︒∴30NOQ ∠=︒∵OK =NQ∴当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值 ∵点M 的坐标为(3,0)∴3OM OQ ==∵QN y ⊥轴，30NOQ ∠=︒∴1322NQ OQ == ∴线段OK 长度的最小值为32．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．3．如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝6，过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点，且BE ＝BF ，连接AF 交BD 于点Q ，过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ，交AC 于点H ．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）3263351022+．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线∴12BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==， ∴32AQ FQ =，∵AF ===∴35AQ AF ==∴5QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线， ∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌， ∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点，可得1322BM EF == ∴322NH =， ∴N 点在以H 点为圆心，322为半径的圆上，如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，为NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=，∴HR AR ===，∴22NR HR =-=， ∵AC == ∴CR AC AR =-=∴CN AN === ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴MN ==∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=，∴2MC ==∴MC MN CN ++=∴△CMN+．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等． 4．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，BD =，即可得出结论；（3）先判断出BD =，再求出AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽， 2BD CE ∴＝，在Rt ABC 中，25AC ＝，2210AB AC ∴＝＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4，综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．5．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝（用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．6．探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN 上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC 时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是．答案：D解析：（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由见解析（3）ACD；CBE；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC＝∠CEB，进而判断出△ACD≌△CBE，得出S△ACD＝S△CBE，再求出S△ADE＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝28°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝68°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．7．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究 Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．8．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

2022年教学教材《《图形的全等》》优秀教案

图形的全等一、说教材1教材的地位与作用：本节课是在学生已学习了图形的平移、旋转、翻折等知识的根底上，引入图形的全等通过本节课的学习可让学生学会观察全等的图形，动手操作并认识全等图形〔多边形、三角形〕的特征，使学生养成动手动脑的习惯本节课的知识内容是第15章的结尾局部，是图形变换的延伸，也是将来进一步研究全等知识的根底，对三角形全等知识的学习起着导航的作用2教学目标:根据新课标和本节课教材特点，结合学生实际情况，我确定的三维教学目标如下：〔1〕知识目标：通过实例，使学生了解图形全等的概念，能识别全等多边形〔三角形〕中的对应元素，知道全等多边形〔三角形〕的对应边、对应角分别相等〔2〕能力目标：经历探究图形全等的过程，体会图形的三种变换与图形全等的关系，培养学生观察能力、动手操作能力以及合作交流能力〔3〕情感目标：通过对图形的欣赏与分析，体会数学与生活的联系，培养学生细心观察的习惯和创新的意识3教学的重点、难点:根据本节课教材特点和以上所定的教学目标，我确定本节课的教学重点和难点如下〔1〕教学重点：能识别全等的图形，掌握全等图形的特征〔2〕教学难点：全等图形的特征及其识别4课程资源的开发及有机整合：结合教材内容查找多种全等图形的图片，利用多媒体展示，引导学生观察图形，留心图形的形状与大小要求学生能通过图片的观察，能用自己的语言表达看法，能通过操作得到结论，并能简单地运用二、说学法指导为了讲清本节课的重难点，使学生能到达本节课设定的教学目标，我主要对学生进行以下学法指导：1学情分析：八年级学生具有一定的自学和探究能力，求知欲强，但还是好动，注意力易分散，爱发表见解抓住这些学生特点，采用生动多样的教学方法和学生积极主动参与的学习方式，能激发学生兴趣，有效地培养学生能力，促进学生个性开展在教学中教师要创造条件和时机，让学生动手操作，引发学生的兴趣，使他们的注意力集中到课堂上，同时引导学生自主探索、合作交流，发挥学生学习的主动性2心理调节的方法指导：八年级学生处于智力开展的重要阶段，学生思维正在迅速开展课堂上教师指导学生要善于观察发现、勇于探索、动手实验，主动获取知识，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体教师应充分调动学生学习的积极性，激发学生的学习动力3知识建构的方法指导：在知识掌握上，学生原有的知识是图形的翻折、平移和旋转，大多数学生还是记忆犹新，所以结合学生的阅读，进行新课的探究对于新的知识，局部学生不易理解，教学中教师应加强分析，让学生形成自己的知识体系三、说教学方法及教学手段针对学生已有的认知结构及本节课的教材特点，根据教学根本原那么和规律，为实现以上教学目标，突出重点，突破难点，我准备采用以下的教学方法和教学手段进行教学1教学方法：坚持“以学生为主体，以教师为主导〞的原那么，在教师启发引导下，根据本节的教学内容和教学目标，以及学生的认识规律，我采用引导法，探究法，演示法，类比法，讨论交流法相结合的教学方法启发、引导学生积极思考，共同探讨，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，表达学生的主体作用2灵活教法及促进学生开展的实效性：运用问题解决式教学法，采用师生交谈，引导探索、自主学习法，演示法，类比法，讨论交流法等，有效地开发各层次学生的潜能，力求使每个学生都有所收获同时通过课堂练习和课后作业，让发学生学以致用，落实教学目标3教学手段：根据本节内容的特点，为了更有效地完本钱节课的教学目标，利用多媒体辅助教学及教具演示，增强教学的直观性，可以激发学生的学习兴趣，也有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率4教具、学具：全等图形的图片、三角板、方格纸、剪刀等四、说教学程序设计为到达本节课的教学目标，充分发挥学生的主体作用，最大限度地激发学生学习的主动性、自觉性，本节课教学程序设计如下：生活中处处有数学，数学处处可以表现生活，从而使学生感到学习数学的乐趣，并积极主动的参与通过学生阅读，屡次的操作与讨论，意在培养学生的探究意识、合作能力及概括归纳问题的能力这样的课堂教学设计表达了活动性、开放性、探究性、合作性，较好地表达了“数学教学主要是数学活动的教学〞的教育理念，符合教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原那么附：板书设计。

【几何模型】“全等模型”与“旋转全等模型”

全等变换
说明：
旋转全等模型
说明：
旋转半⾓的特征是相邻等线段所成⾓含⼀个⼆分之⼀⾓，通过旋转将另外两个和为⼆分之⼀的⾓拼接在⼀起，成对称全等。

⾃旋转模型
构造⽅法：
遇60度旋60度，造等边三⾓形
遇90度旋90度，造等腰直⾓
遇等腰旋顶点，造旋转全等
遇中点旋180度，造中⼼对称
共旋转模型
说明：模型变形
说明：
模型变形主要是两个正多边形或者等腰三⾓形的夹⾓的变化，另外是等腰直⾓三⾓形与正⽅形的混⽤。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三⾓形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三⾓形证全等。

中点旋转：
说明：
两个正⽅形、两个等腰直⾓三⾓形或者⼀个正⽅形⼀个等腰直⾓三⾓形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直⾓三⾓形。

证明⽅法是倍长所要证等腰直⾓三⾓形的⼀直⾓边，转化成要证明的等腰直⾓三⾓形和已知的等腰直⾓三⾓形（或者正⽅形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三⾓形证明倍长后的⼤三⾓形为等腰直⾓三⾓形从⽽得证。

几何形的全等变换

几何形的全等变换几何学中的全等变换指的是通过一系列变换操作，使得一个图形与另一个图形完全重合。

全等变换是几何学中非常重要的内容，它有助于我们理解和分析各种几何形态，并在解决问题时提供了便利。

本文将介绍几何形的全等变换，包括平移、旋转、翻转和对称。

1. 平移：平移是指在平面上沿着某个方向将一个图形整体移动一定的距离。

平移保持原图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。

平移变换可用矢量表示，如向量AB表示从点A到点B的平移向量。

在平移过程中，所有点都按照相同的方向和距离移动。

2. 旋转：旋转是指围绕某个点为中心，按照一定的角度将一个图形旋转。

旋转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。

旋转变换可用角度表示，如逆时针旋转θ度表示为Rθ。

在旋转过程中，图形中的所有点都按照相同的角度进行旋转。

3. 翻转：翻转是指将一个图形关于某条直线翻转，形成一个关于这条直线对称的新图形。

翻转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向发生了改变。

翻转有两种形式：水平翻转和垂直翻转。

水平翻转可用词可矩阵表示，如对于点P(x, y)的水平翻转变换为(-x, y)。

垂直翻转同理可得。

4. 对称：对称是指将一个图形关于某个中心点进行对称，形成与原图形相似但相反方向的新图形。

对称变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。

对称有两种形式：轴对称和中心对称。

轴对称是指围绕一条直线对称，中心对称是指围绕一个中心点对称。

几何形的全等变换在很多领域有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，平移变换用于设计建筑的布局和平面图的布置；旋转变换用于设计圆形的柱体和建筑物的旋转平面；翻转变换用于设计对称的立面和对称的建筑物；对称变换用于制作左右对称的室内控制装饰。

此外，全等变换在计算机图形学、模式识别等领域也得到了广泛应用。

通过运用全等变换，可以将一个图像或图形与另一个进行匹配，从而实现目标检测、图像配准等任务。

全等变换还被用来设计游戏角色和动画效果，增强视觉体验。

初中数学知识点精讲精析平面图形的全等变换

第五节平面图形的全等变换要点精讲1．全等图形的定义两个图形重叠在一起的时候，无论是顶点、边、角都与对应的顶点、边、角完全吻合，而且大小也要完全相同．2．图形重叠的方式（1）平行移动以固定的方向移动，也就是所谓的平行移动在平面上透过平行移动或垂直移动，使原对象的位置产生移动的现象．（2）旋转移动设一个定点为中心然后旋转，称为旋转移动，平面上透过旋转活动产生位移，而图形与所呈现的图像不变，只是观看的角度变得不一样．（3）翻转将平面图形翻转180°，使图形产生位移，此时图的形状并未改变，但图像会从原来的正面转为反面，可以透过从背面看或用镜子反射的方式进行翻转活动，让学生易于理解．相关链接1．在全等变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C 三点的简比AC：BC不变．2．在全等变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．典型解析1．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了_______度．【答案】60．【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°．又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置．∴旋转角为60°．中考案例1．（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为__________．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称． ∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P ．由图知，P （﹣1，﹣1）．或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（），即（﹣1，﹣1）．针对训练1．如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．122．将点A （－3，＋2）先沿轴向上平移5个单位，再沿轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是___________．3．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为___________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ABO 是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△Al BlO ，则过A1, B 两点的直线解析式为___________．y x5．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是___________．6．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=___________．7．如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．8．长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为______．参考答案3y x 32=+﹣1．【答案】C【解析】根据平移的基本性质作答．根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD=CF=1个单位，AB+BC+AC=8；AB+BC+CF+DF+AD=10．故其周长为10．2．【答案】（－7，3）【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案：∵点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点A′，∴A′的坐标是（－3－4，－2＋5），即：（－7，3）．3．【答案】10【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4．∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20．∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5．∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．4．【答案】y=3x＋5【解析】设A（a，0），∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5．∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5．即A（－5，0）．∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）．设过A1 、B 两点的直线解析式为y=kx＋b，则，解得．∴过A 、B 两点的直线解析式为y=3x＋5．5．【答案】19【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE．∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10．∴AE＋AD=AC=10．又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形．∴DE=BD=9．∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19．6．【答案】70°【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．7．【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）．【解析】当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3．∴点A（2，0），B（0，3）．∴OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）．综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．8．【答案】12或15【解析】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．扩展知识认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案设计（能画）．应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的．。

【中考模拟】53

中考模拟53一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．32-的绝对值是 ( ▲ ) A ．23 B. 23- C. 32 D. 32-2．下列计算正确的是 ( ▲ )A ．(a 2)5＝a 10B ．a 2＋a 5＝a7C ．(－2)2＝－2 D ．65·25＝12 53. 函数11+=x y 中自变量x 的取值范围是（ ▲ ) A ．x >-1 B ．x <- 1 C ．x =- 1 D ．x ≠-l4．下列右图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的正视图是（ ▲ ）5．抛物线y = (x －3)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ▲ ）Ａ．开口向上；直线x =－3；(－3,5) B ．开口向下；直线x ＝3；(－3, －5) C ．开口向上；直线x ＝3；(3, 5) D ．开口向下；直线x ＝－3；(3, －5) 6．下列说法正确的是（ ▲ ）A ．一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏一定会中奖；B ．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8；C ．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式；D ．甲组数据方差20.01S =甲，乙组数据方差20.1S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定．7．某同学设计如下了四种正多边形的瓷砖图案，其中不能铺满地面的是 ( ▲)8．函数xk1y -=的图象与直线x y =没有交点，那么k 的取值范围是 ( ▲ ) A ．1k -< B. 1k < C.1k -> D. 1k >9. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD的周长为（ ▲ ） A ．4a B ．8a C ．12a D ．16a第10题图A ．B ．C ．第9题图10．如图，正方形ABCD 的面积为12， M 是AB 的中点，连接AC 、DM ，则图中阴影部分的面积是（ ▲ ）A ．6 B. 4.8 C. 4 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。

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在图形的全等变换中有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换一次数学活动课上老
在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，
老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组的同学发现，在如图
1－1的矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，Rt △ADC 可以由Rt △ABC 经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程是
．（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF （如
图2－1）；再沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC 的大小，你知道∠B'GC 的大小是多少吗？请写出求解过程．
（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC ，其中BA ＝BC ，
将△ABC 沿着直线AC 的方向依次进行平移变换，每次均移动AC 的长度，得到了△CDE 、△EFG 和△GHI ，如图3－2．已知AH ＝AI ，AC 长为a ，现以AD 、AF 和AH 为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于
1515，请你帮助该小组求出a
可能的最大整数值． E F
A
D B C
E
F A D
B C B'
G （图2－1）（图2－2）
A B C
D
O （图1－1）
（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'与3的大小关系．
参考答案
A
C'
B
O
A' C
B' （图4－1）。