分式基础知识讲解
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
初一下数学-分式的加减(基础)知识讲解+巩固练习
分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 【典型例题】类型一、同分母分式的加减1、计算：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-； （2）222422x x x x x+-+--； 【答案与解析】 解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab++--+===； （2）222224242222x x x x x x x x x x +-+-+=-----()222224222x x x x x x -+--===--【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三： 【变式】计算：（1）22a b b ab a a b b a++----； （2）xx x x x x x x +---+--+++35223634222. 【答案】 解：（1）22a b b a b a a b b a ++----22a b b a b a b a b a +=-----221a b b a b a b a b a+---===--． （2）22246225333x x x x x x x x+----+-+++ ()222462253133x x x x x x x x ++-----+===++ 类型二、异分母分式的加减2、计算：（1）21132a ab +；（2）2312224x x x x +-+--；（3）211a a a ---． 【答案与解析】 解：（1）原式2222323666b a b aa b a b a b+=+=； （2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)xx x x x =-++--+3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-===-+-++； （3）原式222222211(1)111111111a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算． 举一反三： 【变式】计算：（1）212293m m ---；（2）112323x y x y++-. 【答案】 解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()112323232323232323x y x yx y x y x y x y x y x y -++=++-+-+- ()()2223234232349x y x y xx y x y x y -++==+--. 类型三、分式的加减运算的应用3、（ •青海）先化简再求值：，其中．【答案与解析】 解：原式=×=×=a ﹣2，当a=2+时，原式=2+﹣2=．【总结升华】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．举一反三：【变式】（ •北仑区一模）先化简分式（﹣）÷，再在﹣3＜x≤2中取一个合适的x ，求出此时分式的值． 【答案】解：原式=•=•=2x+4，根据﹣3＜x≤2，当x=2时，原式=8． 类型四、分式的混合运算4、计算：（1）22111a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭； （2）22111a b a b a b⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭． 【答案与解析】 解：（1）22111a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭1()()()()()()a b a ba b a b a b a b a b a b ⎡⎤-+=÷+⎢⎥+-+-+-⎣⎦12()()()()aa b a b a b a b =÷+-+- 1()()1()()22a b a b a b a b a a+-==+-．（2）22111a b a b a b⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭111()()a b a b a b a b ⎛⎫=+÷ ⎪+-+-⎝⎭ 11()()a b a b a b a b ⎛⎫=++- ⎪+-⎝⎭11()()()()a b a b a b a b a b a b =+-++-+-2a b a b a =-++=．【总结升华】解决此类题的方法：首先观察混合运算的特点，当分式的加减法运算作为除式时，一定要先运算加减法，再参与乘除运算，当分式的加减运算作为因式或被除式时，可把乘除法统一为乘法并根据特点恰当运用运算律简化运算．【巩固练习】 一.选择题 1．已知=++=/xx x x 31211,0（ ） A ．x 21 B ．x61 C ．x65 D ．x611 2．3333x a a y x y y x +--+++等于（ ） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22x y +3．b c aa b c-+的计算结果是（ ） A ．222b c a abc-+B ．222b c ac a b abc--C ．222b c ac a b abc-+D ．b c aabc-+ 4.（ •山西）化简﹣的结果是（ ）A. B. C. D.5．313---a a 等于（ ) A ．2261a a a +--B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a -16．21111xx x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n x B ．11-n x C ．21x D ．1二.填空题 7.分式2222,39a bb c ac的最简公分母是______． 8．（ •闸北区二模）化简﹣的结果是 ．9．计算aa -+-329122的结果是____________．10.=-+abb a 6543322____________． 11.211a a a-+=+_________. 12．若ab ＝2，a b +＝3，则ba 11+＝______． 三.解答题13.（ •保康县模拟）化简：+．14．已知2222222xy x y M N x y x y+==--、，用“＋”或“－”连结M 、N ，有三种不同的形式：M ＋N 、M －N 、N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2．15．已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】D ； 【解析】111632112366x x x x x++++==. 2. 【答案】A ；【解析】333333x a a y x y x y y x x y+---+=+++. 3. 【答案】C ；【解析】222222b c a b c ac a b b c ac a ba b c abc abc abc abc-+-+=-+=.4. 【答案】A ； 【解析】解：原式=﹣=﹣==，故选A ．5. 【答案】A ；【解析】2233332326311111a a a a a a a a a a+--++---=-==----. 6. 【答案】D ；【解析】1131112311n n n n n n n x x x x x x x x +-+++++--++==.二.填空题7. 【答案】229ab c ； 8. 【答案】．【解析】解：﹣==，故答案为：．9. 【答案】23a -+； 【解析】()()()()221223231222939333a a a a a a a a -+--+===----+-+. 10.【答案】22891012b a aa b+-； 【解析】222235891034612b a aa b ab a b+-+-=.11. 【答案】11a+； 【解析】22211111a a a a a a a --+=-=+++11a+. 12.【答案】32； 【解析】1132a b a b ab ++==. 三.解答题13.【解析】 解：原式=+=+=．14.【解析】解：M －N ＝()()()2222222222222x y xy x y xy x y x yx y x y x y x y x y x y-+----==-=----+-+.因为x ∶y ＝5∶2，设52x k y k ==， 所以原式＝523527k k k k --=-+.15. 【解析】解：()22222221(1)(1)1111x x x x x x x x x ---+=+-+--因为22x=所以原式()2222221(1)21221 111xx x x xx x x---++-=+== ---.。
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理：1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA做分式。
A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0.2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.3.分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0 ；（2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义.2．填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- ； ()21a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；224488a ba b-=- ；223265a a a a ++=++ ；()()x y a y x a --322= . 5.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数：0.010.50.30.04x y x y -=+ ；y x y x 6.02125.054-+= ；=-+b a ba 41323121 . 6.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正数：（1）2211x x x y +++-= ； （2）343223324x x x x -+---= .7.（1）已知：34y x =，则2222352235x xy y x xy y-++-= . （2）已知0345x y m==≠，则x y m x y m +++-= . 8.若||x x x x -+-=+123132成立，则x 的取值范围是 . （二）、选择题：9.在下列有理式221121a x x m n x y x y ya b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410.把分式xx y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 11．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a ba b a b--=++12.与分式a ba b-+--相等的是 （ ）A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a ba b--+ 13．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =14．不改变分式的值，使21233xx x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ．22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 15．将分式253xyx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ）A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x yx y-+16．下列各式正确的是 （ ）A ．c c a b a b -=-++ B ．c c a b b a -=-+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c ca b a b-=-+- 17．不改变分式的值，分式22923a a a ---可变形为 （ ）A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31a a -+ 18．不改变分式的值，把分式23427431a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）A ．23437431a a a a a a -++-+- B ．23347413a a a a a a -+--++C ．23434731a a a a a a +-+--+-D ．23347413a a a a a a -++--++19.已知a b ，为有理数，要使分式ab的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，20.已知113a b-=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4（三）、解答题：21.已知：3x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值.22.已知：x x 210--=，求x x441+的值. 23.化简：x x x x x x 32325396512++-++-. 24.把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？25. 已知：x y y y +=--=22402，，求y xy-的值.26. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b()()()1111113++++++的值. 27.已知：,ac zc b y b a x -=-=-求z y x ++的值.28.已知：,0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求222222cz b y a x ++的值.。
分式必考知识点
分式是数学中的一个重要知识点，也是许多学生在学习数学过程中较为困惑的部分。
本文将从基础概念、分式的基本运算、简化分式以及分式方程等方面，逐步介绍分式的必考知识点。
一、基础概念1.分式的定义：分式是指一个整体被分为若干等份，每份的大小用分母表示，总份数用分子表示。
分子在上，分母在下，二者之间用一条水平线隔开，如：1/2。
2.分子和分母：在分式中，分子表示被分割的整体中的一份，分母表示整体被分割成的份数。
3.分式的值：分式的值等于分子除以分母的结果。
例如，1/2表示整体被分为2份，其中的1份。
二、基本运算1.分式的加减法：分式的加减法要求分母相同，通过找到分式的最小公倍数，将分式的分母转换为相同的数，然后对分子进行加减。
例如，1/3 +1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12。
2.分式的乘法：分式的乘法要求将分子与分母分别相乘。
例如，1/2 ×2/3 = (1 × 2)/(2 × 3) = 2/6 = 1/3。
3.分式的除法：分式的除法可以转化为乘法的倒数运算。
将除法转换为乘法，并将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘。
例如，1/2 ÷ 2/3 = 1/2 × 3/2 = 3/4。
三、简化分式1.约分：将分式的分子与分母同时除以它们的最大公约数，得到一个等价的最简分式。
例如，4/8可以约分为1/2，因为4和8的最大公约数是4。
2.整数部分化为分数：将整数转化为分数形式，分子为整数，分母为1。
例如，2可以表示为2/1。
四、分式方程1.分式方程的定义：分式方程是含有分式的等式。
分式方程的求解过程与一元一次方程类似。
2.分式方程的求解步骤：–对分式方程的两边进行通分，将分式方程转化为整式方程。
–将方程两边的分式化为最简分式。
–化简方程两边的整式，并合并同类项。
–通过移项和合并同类项，将方程化为一元一次方程。
–求解方程，得到未知数的值。
分式知识点的总结及复习
分式知识点的总结及复习分式是数学中的一个重要概念，对于理解和解决各种问题非常有帮助。
分式的概念、性质以及操作都是数学中的基础知识点，非常值得我们重视和复习。
下面给出分式的总结及复习，希望能对大家有所帮助。
一、分式的定义和表示方法1.分式是由两个整数用除号连接起来的表达式，形如a/b，其中a和b都是整数，b不等于0。
a被称为分子，b被称为分母。
分子和分母都可以为正整数、负整数或零。
2.分式也可以表示为a÷b，即a除以b。
二、分式的化简1.如果分式的分子和分母都可以被同一个非零整数整除，则可以进行约分。
约分后得到的分式与原分式的值相等。
2.两个分数相加（减）时，要先找到它们的公共分母，然后将分子相加（减），再写上公共分母。
3.两个分数相乘时，将分子相乘，分母相乘。
4.两个分数相除时，将除号转为乘号，即分子乘以分母的倒数。
5.分子和分母同时乘以一个非零整数不改变分数的值。
这也是化简分式中常用的方法。
三、分式的乘除混合运算1.分式的乘法：把分子与分子相乘，分母与分母相乘。
然后可以进行约分。
2.分式的除法：用除号变成乘号，然后求倒数，即分子和分母交换位置。
然后进行乘法运算，可以进行约分。
四、分式的加减混合运算1.分式的加法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相加，写上公共分母。
最后可以进行约分。
2.分式的减法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相减，写上公共分母。
最后可以进行约分。
五、分式的化简与方程的解1.在代数中，分式经常出现在方程的求解中。
如果方程中含有分式，我们需要对方程进行化简，使得分母消失，然后求解方程。
2.常用的化简方法有通分、去括号、移项等。
六、分式的应用1.在实际生活中，分式的应用非常广泛。
比如：计算机网络中的带宽分配、物资的平均分配等都涉及到分式的应用。
2.分式在商业计算、金融投资等领域也有广泛应用。
七、分式的习题练习1.简化下列分式：(a)12/30(b)-18/12(c)40/802.求下列分式的值：(a)1/4+3/8(b)5/6-2/3(c)2/3×3/4(d)1/2÷2/33.解方程：2/(x-1)-3/(x+2)=1/(x+1)以上是分式知识点的总结及复习，对于掌握分式知识以及应用都有一定的帮助。
《分式》复习课
《分式》复习课一.基础知识1. 分式的概念：如果A 、B 表示两个整式，且B 中 ，那么式子A B 叫做分式. 2. 分式有意义：分式的 不能为0，即AB 中， 时，分式有意义.3. 分式的值为0的条件：（ ）为0，且（ ）不为0，对于A B ，即00=≠⎫⎬⎭（ ）（ ）时，0A B =. 4. 分式的基本性质分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的 不变.A B==（ ）（ ）（M 为≠0的整式） 5. 分式通分应注意（1）通分的依据是 . （2）通分后的各分式的 相同.（3）通分后的各分式分别与原来的分式 . （4）通分的关键是确定 .6. 分式通分的步骤（1）确定最简公分母①取各分母系数的 ②凡出现的字母（或式子）的因式都要取.③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最 的.④当分母中有多项式时，要先将多项式 .（2）将各分式化成相同分母的分式.7. 分式的约分（1）约分的依据： （2）约分后不改变分式的 .（3）约分的结果：使分子、分母中没有 ，即化为最简分式.8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变.用式子表示为：9. 分式的乘除法则（用符号表示）乘法法则： .除法法则： .10. 分式的加减（用符号表示）（1）同分母分式相加减， .（2）异分母分式相加减， .11.分式方程定义：分母中含有 的方程叫分式方程.12. 解分式方程方法二、基础练习㈠、选择题1．在式子1a ，2xy π，2334a b c ，56x +，78x y +，2123x x =-+中，分式的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．如果把分式2x x y+的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值应 ( ) A ．扩大2倍 B ．不变 C ．扩大4倍 D ．缩小到原来的 3．下列约分正确的是（ ）A 、326x x x =；B 、0=++y x y x ；C 、x xy x y x 12=++；D 、214222=y x xy 4．分式233a a b -、222b ab-与3358c a bc -的最简公分母是 ( ) A ．24a 2b 2c 2 B ．24a 6b 4c 3 C ．24a 3b 2c 3 D ．24a 2b 3c 35．若分式22325x x -+的值是负数，则x 的取值范围是 ( ) A ．23x > B ．23x < C ．x ＜0 D ．不能确定 6．下列各分式中，最简分式是 ( )A ．()()3485x y x y -+B ．22y x x y -+C ．2222x y x y xy ++ D ．()222x y x y -+ 7．已知0≠x ，xx x 31211++等于（ ） A 、x 21 B 、x 61 C 、x 65 D 、x611 8．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米／时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米／时，则可列方程 ( )A ．9696944x x +=+- B ．4848944x x+=+- C ．4849x += D ．4848944x x +=+- ㈡填空题 9．当≠x 时，分式x -13有意义；分式392--x x 当x __________时分式的值为零. 10．①())0(,10 53≠=a axy xy a ②()1422=-+a a 。
分式压轴题解析
分式【知识脉络】【基础知识】1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
;a c ac a c a d adb d bd b d bc bc •=÷=•=()n n n a a b b =A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a +•=；（2）幂的乘方：()m n mn a a=; （3）积的乘方：()n n nab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)； （5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
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分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a -=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：ac ad ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）.要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.分式全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义.2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.。