高三试卷—北京2018西城区高三(上)期末数学(文)试题及答案
数学试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．A
2．B
3．D
5．C
6．B
7．C
4．C 8．B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． 0
10． x2 y2 1 3
12．1； 13
x y 1≥ 0.
x2 x, 2 ≤ x ≤ c,
14．已知函数
f
(x)
1 x
,
若 c 0 ，则 f (x) 的值域是____；若 f (x) 的值域是[ 1 , 2] ，则实数 c 的
c x ≤ 3.
4
取值范围是____． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（A）{x | 1 x 3} （C）{x | 0 x 2}
（B）{x | 1 x 0} （D）{x | 2 x 3}
2．在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 1i
（A） (1,1)
（B） ( 1,1)
（C） ( 1, 1)
（D） (1, 1)
3．下列函数中，在区间 (0,) 上单调递增的是
[ 6 分]
依
次
为
：
(ab, cde), (ac, bde), (ad , bce), (ae, bcd ), (bc, ade), (bd , ace), (be, acd ), (cd , abe),
(ce, abd),(de,abc) ．
[ 8 分]
所以“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为 6 3 ． 10 5
表1
图2
（Ⅰ）已知该市高中学生共 20 万人，试估计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；
（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45,50,55,75,85 ．从这 5 人中随机选取 2 人组成甲组，另外 3 人组 成乙组，求“甲、乙两组各有 1 名 B 类学生”的概率；
（Ⅲ）在这10000 名学生中，男生占总数的比例为 51% ， B 类女生占女生总数的比例为 k1 ， B 类男生占男生总数 的比例为 k2 ．判断 k1 与 k2 的大小．（只需写出结论）
[14 分]
20．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）函数 f (x) x2 ln x 2x 的定义域是 (0,) ，
导函数为 f (x) 2xln x x 2 ． 所以 f (1) 1 ， 又 f (1) 2 ， 所以曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y x 1． （Ⅱ）由已知 f (2) f (1) 4ln 2 2 ． 所以只需证明方程 2xln x x 2 4ln 2 2 在区间 (1, 2) 有唯一解． 即方程 2xln x x 4ln 2 0 在区间 (1, 2) 有唯一解． 设函数 g(x) 2xln x x 4ln 2 ， 则 g(x) 2ln x 3 ． 当 x (1,2) 时， g(x) 0 ，故 g(x) 在区间 (1, 2) 单调递增． 又 g(1) 1 4ln 2 0 ， g(2) 2 0 ，
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．若函数 f (x) x(x b) 是偶函数，则实数 b ____．
10．已知双曲线 x2 y2 1的一个焦点是 F(2,0) ，其渐近线方程为 y 3x ，该双曲线的方程是____． a2 b2
[ 2 分]
所以 A 类学生所占比例为 40% ．
[ 3 分]
因为全市高中学生共 20 万人，
所以在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为 8 万人．
[ 4 分]
（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a,b,c, d,e ）中， B 类学生有 2 人（不妨设为 b, d ）．
将他们按要求分成两组，分组的方法数为10 种．
13． 2 2
注：第 12，14 题第一空 2 分，第二空 3 分.
11． 4
14．[ 1 , ) ；[1 ,1]
4
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) 2sin2 x cos(2x π) 3
6．一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的
三视图如图所示，则截．去．
（C）四棱锥
（D）四棱柱
7．函数 f (x) sin(x ) 的图象记为曲线 C．则“ f (0) f (π) ”是“曲线 C 关于直线 x π
2 对称”的
（A）充分而不必要条件
ABC
A1B1C1
的体积为V
.若 V1 V
1 6
，求
BF BC
的值.
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 过 A(2,
0) ， B(0,1) 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x y 4 0 上是否存在点 P ，使得四边形 PAQB 是平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
2
3
33
[ 5 分] [ 7 分] [ 8 分] [10 分]
所以 sin(2x π)≥sin( π) 3 ，
3
32
所以 f (x)≥ 1 ． 2
[12 分] [13 分]
16．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）因为 a2 6 是 a1 和 a3 的等差中项，
所以 2(a2 6) a1 a3 ．
（A） y x 1
（B） y (x 1)2 （C） y sin x
4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
（A） 2 （B） 6 （C） 30 （D） 270 5．若 log2 a log1 b 2 ，则有
2
（D）
y
x
1 2
（A） a 2b
（B） b 2a
（C） a 4b
（D） b 4a
所以 BF 1 ． BC 4
[10 分]
[11 分] [12 分] [13 分] [14 分]
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意得， a 2 ， b 1 ． 所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ． 4 设椭圆 C 的半焦距为 c ，则 c a2 b2 3 ， 所以椭圆 C 的离心率 e c 3 ． a2
20．（本小题满分 13 分） 已知函数 f (x) x2 ln x 2x ．
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的 x0 (1, 2) ，使得曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率为 f (2) f (1) ；
[ 6 分] [ 8 分] [10 分]
[11 分]
整理得 5t2 28t 36 0 ，
解得 t 18 ，或 t 2 ． 5
[13 分]
此时 P(18 , 2) ，或 P(2, 2) ．经检验，符合四边形 PAQB 是平行四边形， 55
所以存在 P(18 , 2) ，或 P(2, 2) 满足题意． 55
因为三棱锥 B1 ABF 与三棱柱 ABF A1B1E 同底等高，
所以 V2 1 ， V3 3
所以 V1 1 V2 2 .
V3
V3 3
因为 V1 1 ， V6
所以 V3 1 3 1 . V 62 4
因为 三棱柱 ABF A1B1E 与三棱柱 ABC A1B1C1 等高，
所以 △ ABF 与△ ABC 的面积之比为 1 ， 4
18．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB 平面 AA1C1C ，AA1 AC .过 AA1 的平面交 B1C1 于点 E ，交 BC 于点 F .
（Ⅰ）求证： A1C 平面 ABC1 ；
（Ⅱ）求证： A1A // EF ；
（Ⅲ）记四棱锥
B1
AA1EF
的体积为V1 ，三棱柱
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
8．已知 A ， B 是函数 y 2 x 的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线 y 1 的距离相等， 2
则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是
（A） (, 1)
（B） (, 2)
（C） (, 3)
（D） (, 4)
是女生．等级为 A1 和 A2 的学生统称为 A 类学生，等级为 B1 和 B2 的学生统称为 B 类学生．整理这10000 名学生的得 分数据，得到如图 2 所示的频率分布直方图．
类别
得分 (x)
B
B1 80 ≤ x ≤90
B2 70 ≤ x 80
A
A1 50 ≤ x 70
A2 20 ≤ x 50
1 cos 2x (cos 2x cos π sin 2x sin π)
3
3
[ 4 分]
3 sin 2x 3 cos 2x 1
2
2
3 sin(2x π) 1 ， 3
所以 f (x) 的最小正周期 T 2π π ．
2
（Ⅱ）因为 0 ≤ x ≤ π ，所以 π ≤ 2x π ≤ 2π ．
[10 分]
（Ⅲ） k1 k2 ．
[13 分]
18．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ） 因为 AB 平面 AA1C1C ，所以 A1C AB ．
[ 2 分]
在三棱柱 ABC A1B1C1 中，因为 AA1 AC ，所以 四边形 AA1C1C 为菱形，
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1（D ）1-7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）2- （B ）12- （C）（D8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P（A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()ln f x x =的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____； 双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}na 的公差不为0，21a，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率； （Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5-110x ±= 12．313．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列， 所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+，[ 4分]解得2d =，或d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >．[12分]使35nS 成立的n的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-， 解得12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅-[ 6分]21cos cos 2x x x =+-12cos22x x =+[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以 ()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以02ππ7π326x =+=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=． 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ．[ 4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点， 所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以//EF HD． [ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD． [ 5分]（Ⅱ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E=，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE⊥．[ 6分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分]所以1CO A O⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥， 所以 CO ⊥平面1A OB， [ 9分] 所以平面1A OB ⊥平面1A OC．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG． [11分]否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分]在 △EOC 中，因为OC GE⊥，所以 EO EC =，这显然与1EO =，EC 矛盾！ 所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222ab c =+．[ 3分]解得2a =，b 所以椭圆C的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将 2242m n -=代入上式， 得2(2)()24m m t m ---+=．[10分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<， 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分] 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x x f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 3分]解得a =．[ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )x g x a x x=⋅++，所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x xx x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分] 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设221()ln h x a xx x=+-+，[ 7分]则223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<， 故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下： 所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增． 所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 02012ln x a x x -+=，所以第 18 页 共 4 页 000002012()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。
北京市西城区2018-2019学年度高三第一学期期末考试
北京市西城区2018-2019学年度高三第一学期期末考试语文试题（2019.1）一、本大题共7小题，共22分。
阅读下面的材料，完成1-7题。
材料一超级计算机（以下简称“超算”），是具有超强计算能力的计算机，能够执行个人电脑无法处理的大资料量与高速运算，是计算机中功能最强、运算速度最快、存储容量最大的一类。
从技术角度简要而言，家用电脑一般只有一颗CPU，每颗CPU内通常只有2-8个物理核心。
而一般的超算有成千上万颗CPU，每颗CPU通常有几十个物理核心，这么大数量的CPU是为了通过并行计算，完成繁重的计算任务的。
一些复杂的问题，如果用单个CPU核心计算，可能要花上几个月甚至是几年的时间才能得到结果。
毫无疑问，这么长的计算时间是难以接受的，所以人类需要用多个CPU核心并行计算以提高效率，集成大量CPU于一身的超级计算机就应需而生了。
超算多用于国家高科技领域和尖端技术研究，被誉为计算机中的“珠穆朗玛峰”。
超算的研制水平，长久以来一直被当作一个国家综合国力及创新能力的象征，制造强大的超算，已被视为衡量一国科研实力的重要指标。
尤其是在大数据和移动互联网发展迅猛的当今时代，现代传播体系发生了本质性的改变，而超算则是未来超级传播的引擎动力。
超算能够深度推进时下风头正劲的人工智能改革。
例如，智能交通传播方面，预计无人驾驶汽车将于2020年在中美等大国被广泛使用。
2017年10月，美国的英伟达公司推出了专门针对level5无人驾驶的超算Pegasus，Pegasus每秒可完成320万亿次浮点计算。
这台超算虽然只有车牌大小，但其AI性能可以抵得上一百台数据服务器，英伟达公司由此成为首个提供完整level4/level5自动驾驶堆栈的厂商。
超算还能够支撑物联网传播的实现。
物联网的核心，一是传感器，二是物联网连接的网络技术，三是应用。
传感器能够源源不断地向互联网虚拟的大脑中枢传送世界各个方面的神经信号和感觉信息，并将其普遍连接，形成一张物联网，而要将这样巨大的物联网与互联网整合起来，必须通过超算强大的数据处理能力才能实现。
北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末文科数学试卷及答案
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << (D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为 （A)(1,1)（B)(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 (A)1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A ）2 (B ）6 (C ）30 （D)2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D)4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去．．的几何体是 （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 (C ）四棱锥 (D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f ="是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 (A ）(,1)-∞- (B)(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-(D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数,则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为3y x =±，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格的边长为1,那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334,则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____;若()f x 的值域是1[,2]4-,则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分)已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．(Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生"的概率；(Ⅲ）在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ， B类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．(只需写出结论）类别得分()xB1B8090x ≤≤ 2B7080x <≤ A1A5070x <≤ 2A2050x <≤18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F 。
2018年度北京西城区高三数学(文科)模拟测试 与参考答案
（B）[1 ,3] 2
（C）[1, 2]
（D） [2, 3]
8．地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安
全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
A，B B，C C，D D，E A，E
疏散乘客时间（s）
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是
则判断其患有这种职业病；若检测值小于 X0 ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随 机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．
18．（本小题满分 14 分） 如图，梯形 ABCD所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直， AB // CD // EF ，
AB AD ， G 为 AB 的中点． CD DA AF FE 2 ， AB 4 ． （Ⅰ）求证： DF // 平面 BCE ； （Ⅱ）求证：平面 BCF 平面 GCE ； （Ⅲ）求多面体 AFEBCD 的体积．
a 2x , x ≤1,
14．已知函数
f
(x)
1
其中 a R .如果函数 f (x) 恰有两个零点，那么 a 的取值范
2 x a, x 1,
围是____．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）
在等差数列{an}和等比数列{bn} 中， a1 b1 1， a2 b2 ， 2 a4 b3 ． （Ⅰ）求{an}和{bn} 的通项公式； （Ⅱ）求数列{an bn }的前 n 项和 Sn ．
1．C
2．A
3．D
5．D
2018年北京市西城区高三第一学期期末数学试题及答案
第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．若会合A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单一递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．履行以下图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y知足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]能够为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不一样的产品摆成一排．若此中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左边，则不一样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获得一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试预计这天的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择互相独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的散布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60全部升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中全部升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只要写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，此中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)知足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对随意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，此中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中全部切合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其余正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）因为 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3所以 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）因为0 ≤ x ≤ π，2所以π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获得最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]所以 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9所以 X 的散布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获得X ~ B(2, 1) ，所以 E(X)2 1 2 ，相同给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 AB平面AA 1C 1C ，所以 A 1C AB ． [1 分 ] 因为三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，所以 四边形 AA 1C 1 C 为菱形，所以 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 所以 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）因为A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，所以 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 因为 平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，所以 A 1 A//EF ．[6 分 ]因为 平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，所以 A 1E //AF ．[7 分 ] 所以 四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．因为 AB平面 AA 1C 1C ，如图成立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．因为 BF2，所以 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4所以 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，所以 n ( 2,1,3) ．[11分 ]所以 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，所以二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，所以f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]因为f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]所以曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]因为a0，所以 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a所以存在独一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的状况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘所以因为且所以f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单一递加，在区间(x 0 , π) 上单一递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3， 所以 c 3 ．[2 分 ]a2因为 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 所以 b1，[4 分 ]所以 椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]所以 直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，所以 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21所以 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k因为 | PA| |MN |， 所以( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经查验均切合0 ，但 k3时不知足 PAMN 是平行四边形，舍去．2所以 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获得 ② 或只获得 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数挨次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假定 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对随意 s t2），与已知矛盾，所以q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假定 q2 1 ，则存在独一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等） ，与已知矛盾，所以q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]所以 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数挨次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获得的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下边证明 B n 知足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，①假如 a i a j 1 或 a i a j 2018，因为q1= 4, q2018= 4，所以切合条件；②假如 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，因为 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，所以也成立；③假如 a i1,a j 2 ，则可选用 a s2,a t a j 1 ；相同的，假如a i2017,a j 2018 ，则可选用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④假如1a i ≤a j2018 ，则可选用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这类状况每个数最多被选用了一次，所以也成立．综上，对随意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，此中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．所以B n知足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分 ]。
高三数学-2018西城答案 精品
北京市西城区抽样测试高三数学（文科）答案及评分标准2001 .5一、ACDCBCBACC DD 二、（13）1010-；（14）22；（15）1：10；（16）①②⑤. 三、解答题：其它解法仿此给分.（17）解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项又01>a 显然11112na na ≠q ≠1 ………………………………………………2分 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 …………………………………4分 依题意221211)1(111)1(qq q a q q a n n --⋅=-- 解之101=q ……………………………………………………………………6分 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+， ………………………………………8分依题意4212111)1(q a q q a =+，将101=q 代入得101=a …………………10分 n n n a --=⋅=2110)101(10………………………………………………………12分 （18）解：由题设知20,πβαβ<<<==且x b tg x a tga …………………………………4分 ∴xabx a b tg tg tg tg tg +-=+-=-βααβαβ1)( …………………………………………6分 ∵ab xab x x ab x =⋅>>且0,0为定值…………………………………………9分 所以，当且仅当x ab x =即ab x =时，xab x +取得最小值ab 2………11分 此时)(αβ-tg 取最大值ab a b 2- ……………………………………………12分 （19）解：（Ⅰ）证明；已知C C F A E B B E A 1111,⊥⊥于于 F ，∵B B 1∥C C 1，∴F A B B 11⊥ ……………………………………………1分 又A F A E A =⋂11.∴EF A B B 11平面⊥所以，平面111BCC B EF A 平面⊥ ………………………………………3分（Ⅱ）因为1111111111,45C A B A C C A AC A AB A B B A =︒=∠==∠=∠，又2.90111111=︒=∠=∠B A FC A EB A∴E B A Rt 11∆≌F C A Rt 11∆，∴211==F A E A∴E B1F C 1，∴EF =211=C B∴22121EF F A E A =+∴EF A 1∆为等腰直角三角形……5分取EF 的中点N ，连N A 1，则EF N A ⊥1，所以111BCC B N A 平面⊥ ………………………………………………………………6分 所以N A 1为点1A 到平面11BCC B 的距离。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学文科试题答案
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．D 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i --10．22(2)2x y -+=11．答案不唯一，如2()f x x =1213．14；11(,)4214．D注：第13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos (sin )2f x x x x =+-……………… 2分2sin cos x x x =-1sin 22x x=……………… 4分 πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以()f x 的最小正周期 πT =． ……………… 7分（Ⅱ）由（Ⅰ），知π()sin(22)3f x a x a +=++，因为直线πx =为函数()f x a +图象的一条对称轴， 所以(π)f a +为函数()f x a +的最大值或最小值，即ππ(π+)sin(2π2)sin(2)133f a a a =++=+=±， ……………… 10分所以ππ2π32k a ++=，其中k ∈Z ， 解得ππ212k a =+，k ∈Z ． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由4536a a a +=，得3421116a q a q a q +=， ……………… 2分 又因为10a ≠，0q ≠，所以260q q +-=，解得3q =-（舍），或2q =， ……………… 4分 由2114a a q ==，得118a =. ……………… 5分 所以1412n n n a a q --==. ……………… 7分 （Ⅱ）设2log n nb a =，则42log 24n n b n -==-. ……………… 9分 所以{}n b 是首项为3-，公差为1的等差数列. ……………… 10分 故当4n <时，0n b <；当4n =时，0n b =；当4n >时，0n b >. ………… 12分 所以3n =或4时，n S 取到最小值346S S ==-. ……………… 13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， ………… 2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 5分 （Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40,45]的产品”为事件M ， ……………… 6分 记质量指标值在[15,20)内的2件产品样本分别为12,A A ，质量指标值在[40,45]内的 2件产品样本分别为12,B B ，则从乙企业样本里的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，即12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，12(,)B B ，而事件M 的结果有4种，它们是11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，……8分所以42()63P M ==.即从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品指标值属于[40,45]的产品的概率为23. ……………… 10分（Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考方案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， 所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高. ……………… 13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ， 所以AB BC ⊥． ……………… 2分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥，又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ………… 5分（Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，． ……………… 6分由M ，N 分别为11A B ，AC 的中点，得//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =，QC 1B 1AMBA 1CN故四边形1A MQN 为平行四边形，所以1//A N MQ ． ……………… 8分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 10分（Ⅲ）连结1A B ．根据棱柱和棱锥的体积公式，得三棱锥111B A B C –的体积11111111033B A BC A B C ABC V V ==––.……………… 12分又因为M 为11A B 的中点，所以棱锥11C BB M -的体积11111111523C BB M B B C M B A B C V V V ---===． …………… 14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分 解得2a =，c =所以椭圆C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分 设(0,)P m ，由点P 在椭圆C的内部，得m 又因为(2,0)A -， 所以直线AM的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈.……………… 6分 （Ⅱ）由题意F ，设1(0,)Q y ，00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分 令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 由90PFQ ∠=，得0FP FQ ⋅=，所以102()()02y y x ⋅=+， ……………… 9分 即 0102202y y x +⨯=+，解得0102x y y +=-，所以02(0,)x Q y +-. …………… 10分 因为002BM y k x =- ，0022AQ x k y +=-， ……………… 12分 所以22000000002240222(2)BM AQy x y x k k x y x y ++--=+==--， 故BM AQ k k =，即//AQ BM . ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 3分 （Ⅱ）由题意，()ln ln 2e f x x x =-+，令函数()()ln 2ln 2e F x f x x x x =-=-+， ……………… 4分求导，得112()2-'=-=xF x x x， 由()0'=F x ，解得12=x ，当x 变化时，()'F x 与()F x 的变化情况如下表所示：所以函数()F x 在1(0,)2上单调递增，在(,)2+∞上单调递减， ……………… 6分故当12=x 时，max11()()ln 1ln 2022F x F ==-+=e ， 所以任给(0,)∈+∞x ，()()0F x f x x =-≤，即()f x x ≤. ……………… 7分（Ⅲ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x， 因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同. …… 8分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x . 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--；max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 10分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分。
2018年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(文)
北京市西城区2018年第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ） （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2 （C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞-2．复数5i 2i=+（ ） （A ）12i +（B ）12i -+ （C ）12i -- （D ）12i -3．执行如图所示的程序框图，则输出S=（ ）（A ）2（B ）6（C ）15（D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（ ） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）35．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．3C ．54D ．2 6．考察下列函数：①()sin f x x x =-；②2()32f x x =--；③2()2x f x x =-；④()ln 2cos f x x x =- 其中有三个零点的函数是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④7．已知α∈(2π,π)，sin α=35,则tan(4πα+)等于 A. －17 B. 17C. 7D.－7 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积是A ．3π BC ．D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．正视图 俯视图 侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分） 已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的两个顶点．||AB =直线AB 的斜率为12-． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n =； （Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．。
西城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
西城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域是（）(){,|,,1A x y x y x y =--}AA ．B ．C ．D ．2． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
AB C D3． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣24． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）A ．9B ．11C ．13D ．155． i 是虚数单位，i 2015等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i6．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（）A．（0，1）B．（2，1）C．（2，0）D．（0，2）7．函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）8．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）A．B．C．或D．39．已知2a=3b=m，ab≠0且a，ab，b成等差数列，则m=（）A．B．C．D．610．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种B．22种C．24种D．36种11．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．412．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A．B．C．πD．2π二、填空题13．若曲线f（x）=ae x+bsinx（a，b∈R）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b﹣a= ．14．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ．15．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．16．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）17．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且，双曲线：1C x y 42=F P 3||=PF 2C 12222=-by a x （，）的渐近线恰好过点，则双曲线的离心率为 .0>a 0>b P 2C 【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.18．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN= m ．三、解答题19．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；（2）若f （x ）=（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．18．已知函数f （x ）=是奇函数．20．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）．（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；（2）已知函数g （x ）=log，当x ∈[，]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．21．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA 和正△CED．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．23．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．24．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g （x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．西城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】考点：二元一次不等式所表示的平面区域.2．【答案】B【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。
数学---北京市西城区2018届高三(上)期末试卷(文)(解析版)
北京市西城区2018届高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sin x D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形P AQB是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2ln x﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【参考答案】一、选择题1．A【解析】∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．B【解析】===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B3．D【解析】对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．C【解析】模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．C【解析】，得，即a=4b．故选：C．6．B【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．C【解析】若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sin x，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C8．B【解析】不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题9．0【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．x2﹣=1【解析】∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．4【解析】向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．1【解析】△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为ab sin C=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2ab cos C=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．【解析】画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．[﹣，+∞）[，1]【解析】c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题15．解：（Ⅰ）因为===，所以f（x）的最小正周期．（Ⅱ）因为，所以．所以，所以．16．解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，解得a1=27．所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．17．解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，所以A类学生所占比例为40%．因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（Ⅲ）k1＜k2．18．（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．所以A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，所以A1A∥平面BB1C1C．因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，所以．因为，所以．因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，所以．19．解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．所以椭圆C的方程为．设椭圆C的半焦距为c，则，所以椭圆C的离心率．（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．若P AQB是平行四边形，则，所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形P AQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．20．解：（Ⅰ）函数f（x）=x2ln x﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2x ln x+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2x ln x+x﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2x ln x+x﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）=2x ln x+x﹣4ln2，则g'（x）=2ln x+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣1）=x2ln x﹣x+1，则h'（x）=x+2x ln x﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2x ln x＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．。