北师大版九年级数学上册第四章图形的相似学案
4.1 成比例线段第1课时 线段的比与比例的基本性质掌握比例的基本性质，并能进行简单应用【学习目标】1．结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比．2．结合实际情境了解比例线段的概念．3．理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用．【学习重点】理解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段的比及判断线段是否成比例．【学习难点】掌握比例的基本性质，并能进行简单应用．情景导入 生成问题1．如图：，则线段AB 与CD 的比为AB ∶CD ＝3∶8．2．已知线段AB ＝2cm ，线段CD ＝2m ，则线段AB ∶CD ＝1∶100．自学互研 生成能力知识模块 探索线段的比与比例的基本性质先阅读教材P 76－78页的内容，然后完成下面的问题：1．线段比的定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝m n，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把m n 表示成比值k ，则AB CD＝k 或AB ＝kCD. 2．求两条线段的比时，应保持两条线段的长度单位相同．3．比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b＝c d，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 4．比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么ad ＝bc ；(2)如果ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝c d．在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？归纳结论：(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关． 典例讲解：1．见教材P 78例1.2．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？(1)a ＝16cm ，b ＝8cm ，c ＝5cm ，d ＝10cm ；(2)a ＝8cm ，b ＝5cm ，c ＝6cm ，d ＝10cm .解：(1)a b ＝2，d c ＝2，则a b ＝d c，所以a 、b 、d 、c 成比例；(2)由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例．对应练习：1．已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b ＝9∶4．2．下列各组线段(单位：cm )中，成比例线段的是 ( D )A ．1，2，2，3B ．1，2，3，4C ．1，3，2，4D ．1，2，2，43．如图所示，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是( B )A ．32cm 2B ．16cm 2C ．8cm 2D ．4cm 24.如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，AC ＝1cm ，CD ＝2cm ，DB ＝3cm ，找出图中能成比例的四条线段，并用比例式表示．解：∵AC CD ＝12，BD AB ＝36＝12，∴AC CD ＝BD AB.(答案不唯一) 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流 “生成新知”．知识模块 探索线段的比与比例的基本性质检测反馈 达成目标1．如图，线段AB ∶BC ＝1∶2，那么，AC ∶BC 等于( D )A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶1D ．3∶22．等边三角形的一边与这边上的高的比是( C )A .3∶2B .3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 33．下列线段中，能成比例的是( D )A ．2cm ，3cm ，4cm ，5cmB ．1.5cm ，2.5cm ，4cm ，5cmC ．1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4.4cmD ．1cm ，2cm ，3cm ，6cm4．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且a ＝6，c ＝4，d ＝2，则b ＝__3．5．如图，已知矩形ABCD(AB ＜BC)，AB ＝1.将矩形ABCD 对折，得到小矩形ABFE ，如果AE AB 的值恰好与AB AD的值相等，求原矩形ABCD 的边AD 的长． 解：设AD 长为x ，则AE ＝12x ，由AE AB ＝AB AD ，得12x 1＝1x ，即12x 2＝1，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝ 2.∴AD ＝ 2.课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4.2 平行线分线段成比例【学习目标】1．理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用．2．通过应用，培养识图能力和推理论证能力．【学习重点】平行线分线段成比例定理和推论及其应用．【学习难点】平分线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式．情景导入 生成问题图(1)1．如图(1)，∵AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝BC ，则DE ＝EF ．2．如图(1)，若AD ∥BE ∥CF ，则AB BC ＝DE EF成立吗？ 解：AB BC ＝DE EF 成立，∵AB ＝BC ，DE ＝EF ，∴AB BC ＝DE EF＝1. 自学互研 生成能力知识模块一 探索平行线分线段成比例定理及其推论先阅读教材P 82－83页的内容，然后解答下列问题：1．平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等．2．平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．3．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．探究活动一：见教材P 82页的内容．归纳结论：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．教师提问：1.如何理解“对应线段”？2．平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？答：若a ∥b ∥c ，则A 1A 2A 2A 3＝B 1B 2B 2B 3. 3．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？答：由比例的性质还可以得到：A 1A 2A 1A 3＝B 1B 2B 1B 3，A 2A 3A 1A 2＝B 2B 3B 1B 2，A 2A 3A 1A 3＝B 2B 3B 1B 3等． 探究活动二：见教材P 83“做一做”的内容．归纳结论：推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 知识模块二 平行线分线段成比例定理及推论的应用完成下面两个小题：1．已知：如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AB ＝4，BC ＝6，DE ＝3，则EF 为( B )A ．2B ．4.5C ．6D ．8(第2题图)2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AE ＝4，EC ＝2，则AD ∶AB 的值为23．典例讲解：见教材P 83页例题．目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解．对应练习：1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为( B )A ．9B ．6C ．3D ．42．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于G ，则AG AD ＝12．3．已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长．解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，即3BC ＝24.∴BC ＝6.∴AC ＝AB ＋BC ＝3＋6＝9. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索平行线分线段成比例定理及其推论知识模块二 平分线分线段成比例定理及推论的应用检测反馈 达成目标1．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，如果AB ∶BC ＝2∶3，DE ＝4，则EF 的长是( B )A .103B ．6C ．4D ．252．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，交CD 于F ，若AE ＝2，BE ＝3，CD ＝4，则FC ＝2.4，DF ＝1.6．3．已知，如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．解：∵EG ∥BC ，∴AE EB ＝AG GC .又∵GF ∥DC ，∴AG GC ＝AF FD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD.∴FD ＝4.∴AD ＝10.课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4.3 相似多边形【学习目标】1．了解相似多边形的概念和性质．2．在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似．3．会用相似多边形的性质解决简单的几何问题．【学习重点】相似多边形的定义和性质．【学习难点】如何判断两个多边形相似．情景导入 生成问题1．如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是( B )A .AD AB ＝AE AC B .AC EC ＝AB ADC .AD DB ＝AE EC D .AC EC ＝AB BD2．如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB ＝2∶3，则DF ∶DG 为( D )A ．5∶2B ．4∶1C ．2∶1D ．3∶5自学互研 生成能力知识模块 相似多边形的有关概念与判定先阅读教材P 86－87页的内容，然后解答下面的问题：1．相似多边形的定义：(1)从图形上讲：一般而言，形状相同的图形称为相似图形；(2)从边、角上讲：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比；(3)相似多边形的记法：用“∽”符号表示相似，如四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，记为“四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1”．2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．内容：例：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？(1)正三角形ABC 与正三角形DEF ；(2)正方形ABCD 与正方形EFGH.,(1)) ,(2))(一)例题讨论及讲解1．要求学生根据题目提出的问题结合所学的知识，画出图形、小组讨论，得出结果．(组内互相交流协商、教师给予适当帮助)2．各小组派出代表将自己的结论进行相互比较，从而得出正确的结论．(教师给与提示)(二)提出新问题，由特殊向一般问题转化通过刚才的讨论和学习，你认为其他形状相同的多边形，他们的对应角也相等吗？对应边也成比例吗？(归纳相似多边形的本质特征)板书：解：(1)由于正三角形每个内角都等于60°，所以∠A ＝∠D ＝60°，∠B ＝∠E ＝60°，∠C ＝∠F ＝60°；由于正三角形三边相等，所以AB DE ＝BC EF ＝CA FD；(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A ＝∠E ＝90°，∠B ＝∠F ＝90°，∠C ＝∠G ＝90°，∠D ＝∠H ＝90°；由于正方形四边相等，所以AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE. 归纳结论：1.各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；2.相似多边形对应边的比叫做相似比；3.相似用 “∽”表示，读作“相似于”．(这里要提醒学生注意：在用相似符号记两个多边形时，之所以把表示对应角顶点的字母写在对应位置上，是因为可以一目了然的知道他们的对应边和对应角，与全等形的记法类似)典例讲解：设四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，且A 与A 1、B 与B 1、C 与C 1、D 与D 1是对应点，已知AB ＝12，BC ＝18，CD ＝18，AD ＝9，A 1B 1＝8，求四边形A 1B 1C 1D 1的周长．分析：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A 1B 1C 1D 1的其他边的长，就可求得周长．解：∵四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，∴AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝DA D 1A 1.又∵AB ＝12，BC ＝18，CD ＝18，AD ＝9，A 1B 1＝8，∴128＝18B 1C 1＝18C 1D 1＝9D 1A 1，∴B 1C 1＝12，C 1D 1＝12，D 1A 1＝6，∴四边形A 1B 1C 1D 1的周长＝8＋12＋12＋6＝38.对应练习：1．下列结论不正确的是( A )A ．所有的矩形都相似B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似2．在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm 变成了4cm ，那么这个多边形的另一条边由原来的4cm 变成了( C )A ．4cmB ．8cmC ．16cmD ．32cm3．如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是( B ),甲) ,乙) ,丙)A ．甲和乙B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙4．已知四边形ABCD ∽四边形EFGH ，相似比为12，若BC ＝4，则FG ＝8． 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 相似多边形的有关概念与判定检测反馈 达成目标1．如图，在下面的三个矩形中，相似的是( C )A ．甲、乙和丙B ．甲和乙C ．甲和丙D ．乙和丙2．如果一个矩形对折后所得到的矩形与原矩形相似，则此矩形的长边长与短边长的比是( C )A ．2∶1B ．4∶1C .2∶1D ．1∶ 23．如图，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为8．,(第3题图)) ,(第4题图))4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，并且EF 将梯形ABCD 分成的梯形AEFD 和梯形EBCF 相似，若AD ＝4，BC ＝9，求EF 的长．解：∵梯形AEFD ∽梯形EBCF.∴AD EF ＝EF BC，∴EF 2＝AD·BC ＝4×9＝36，∴EF ＝6. 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4.4探索三角形相似的条件第1课时三角形相似的判定定理1【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(C) A．1对B．2对C．3对D．4对2．如图，D是直角三角形ABC直角边AC上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1＝S2＋S3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC如：证明：∵∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠EDC.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.(答案不唯一)课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时 两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题． 【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．情景导入 生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似． 2．下列说法中正确的个数是( C )①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4 自学互研 生成能力知识模块一 探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容，然后解答下列问题： 1．两角对应相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． (2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P 91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P 91页的例2. 2．完成教材P 92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD ∽△ACE.求证：△ABC ∽△ADE.分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD ＝∠CAE ，因此∠BAC ＝∠DAE ，再进一步证明BA AD ＝CAAE，则问题得证． 证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE.又∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE.∵△ABD ∽△ACE ，∴AB AD ＝ACAE .在△ABC 和△ADE中，∵∠BAC ＝∠DAE ，AB AD ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE.对应练习：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADEC .AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB ∽△EAC.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE ，∴AB CE ＝DBAB，即AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三角形相似的判定定理2 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用检测反馈 达成目标 1．下列条件能判断△ABC 和△A′B′C′相似的是 ( C ) A .AB A ′B ′＝AC A ′C ′B .AB A′B′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠C′ C .AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠A′ D .AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠B ＝∠B′2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC 相似的是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )3．已知：如图，在△ABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC.求证：△AEF ∽△ACB. 证明：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠CEA ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB ，∴AE AC ＝AF AB ，∴AE AF ＝ACAB，又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB. 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第3课时 三边成比例的两个三角形相似【学习目标】1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法． 2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题． 【学习重点】掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”． 【学习难点】会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．情景导入 生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2．下列说法正确的是( C )A ．有一个角相等的两个等腰三角形相似B ．所有的直角三角形相似C ．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D ．所有的等腰三角形相似3．已知△ABC 如图所示，则与△ABC 相似的是图中的( C ),) ,A ) ,B ),C ) ,D )自学互研 生成能力知识模块一 探索三边成比例的两个三角形相似师：我们上两节课学过什么定理？师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．画△ABC 与△A′B′C′，使AB A ′B ′、BC B ′C ′和CAC ′A ′都等于给定的值k.(1)设法比较∠A 与∠A′的大小．(2)△ABC 与△A′B′C′相似吗？说说你的理由． 改变k 值的大小，再试一试．生：按照上面的步骤进行，这里的k 由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k 值，不同的组取不同的k 值．内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A ＝∠A′，△ABC ∽△A ′B′C′，理由是：∠A ＝∠A′，AB A ′B ′＝CAC′A′.根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC ∽△A′B′C′. 师：其他组的同学的结论相同吗？ 生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法． 师：(演示课件)判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似． 知识模块二 判定定理3的应用1．自学自研教材P 94页的例3. 2．完成教材P 94的随堂练习．师：幻灯片展示：如图，△ABC 与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？生：先独立思考，然后小组合作交流． 解：△ABC ∽△A′B′C′.判断方法有：1.三边成比例的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；4.定义法．目的：巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课：相似三角形的判定定理1、2，与本课知识：相似三角形的判定定理3的内容系统的掌握．对应练习：1．教材P 95页习题4.7第1题．解：∵86＝43，107.5＝43，129＝43.∴86＝107.5＝129，∴这两个三角形相似．2．教材P 95页习题4.7第2题．答：△ABC ∽△EFG .利用判定定理3.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三边成比例的两个三角形相似 知识模块二 判定定理3的应用检测反馈 达成目标 1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( D )A .AE AC ＝ADAB，∠CAE ＝∠BAD B ．∠B ＝∠ADE ，∠CAE ＝∠BAD C .AD AB ＝AE AC ＝DE BC D .DE BC ＝ADAB，∠C ＝∠E2．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )3．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试用三边对应成比例的方法说明△ABC ∽△DEF.证明：计算得AC ＝2，BC ＝10，AB ＝4，DF ＝22，EF ＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BCEF ＝ABDE＝2，∴△ABC ∽△DEF. 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第4课时 黄金分割【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用． 【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．情景导入 生成问题1．如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是( B )A ．△EFB B ．△DEFC ．△CFBD ．△EFB 和△DEF2．如图，在边长为1的正方形网格中有点P ，A ，B ，C ，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB ∽△CPA ．自学互研 生成能力知识模块 黄金分割的有关概念先阅读教材P 95－96页的内容，然后解答下列问题：1.黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点， AC 与AB 的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.(1)过B 作BD ⊥AB 使BD ＝12AB ；(2)连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ；(3)在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 即为线段AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段AC 、BC 的长度，然后计算AC AB 与BC AC，它们的值相等吗？教学说明：学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．归纳结论：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．计算黄金比：见教材P 96页例4.3．探究教材P 96页“想一想”．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC BE ＝AB BC. 提出问题：点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由BC BE ＝AB BC ，可以得到BC AB ＝BE BC 即AE AB ＝BE AE.所以点E 是AB 的黄金分割点． 对应练习：1．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列等式成立的是( C )A ．AB 2＝AC·CB B ．CB 2＝AC·ABC ．AC 2＝CB·ABD ．AC 2＝2AB·BC2．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是( A ) A .5－12 B .3－52 C .5＋12 D .3＋523．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为( D ) A .5－12 B .3－52 C .5＋12 D . 5－12或3－52交流展示 生成新知。
北师大版九年级上册第四章 图形的相似(一)学案
练1. 一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线段的比. 2、比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等(如dcb a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【例题】如图，一块矩形绸布的长AB = a m ，宽AD =1m ，按照图中所表示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE ADAD AB=，那么a 的值应当是多少？总结：如果a cb d=，那么ad bc =. 如果ad bc =（a,b,c,d 都不等于0），那么a cb d=. 练1.在△ABC 中，△B =90°，AB =BC =10cm ；在△DEF 中， ED =EF =12cm ，DF =8cm ，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比.练2.如图，在△ABC 中， AB = 12cm ， AE =6cm ，EC =5cm ，且AD AEDB EC=，求AD 的长.3. 比例性质如果(0)a c m b d n b d n ===+++≠，那么a c m b d n ++=+++a b【例3】在△ABC 与△DEF 中，已知34AB BC CA DE EF FD ===，且△ABC 的周长为18cm. 求△DEF 的周长.练1. 已知2(0)3a c b d b d ==+≠，求a cb d++的值.练2.如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比.4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.【例】如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？练1．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图，求x的值.练2．如图，已知l1∥l2∥l3. AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长.练3、如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且5,3AB AC AB BE EC AC ==，求ABBD.练4．）如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且DE △BC ，EF △AB ，AD :DB =2:3，BC =20cm ，求BF 长.练5．已知：如图，若DE ∥BC ， D 在AB 上，E 在AC 上， AD : DB =2 : 3，BC =20.求：DE 的长.练6、已知：如图，四边形AEDF 为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD 、DC 及AF 的长。
北师大版九年级数学上册第四章相似图形导学案
第四章 图形的相似 4.1成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1.了解线段的比、比例线段的概念.2.掌握比例的基本性质，会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题.阅读教材P76-78，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似； 自学反馈 学生独立完成后集体订正1.线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（ratio ）AB:CD =m:n ,或写成nmCD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的 和 .如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB=,或AB=k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.2.四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a/b=c/d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称 .3.比例的基本性质 如果,a cb d=,那么 = . 如果ad=bc(a,b,c,d 都不等于零)，那么 =.研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即AE ADAD AB=,那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB=a m ，AE=13a m ，AD=1 m. 由AE AD AD AB =，得1131a a=，即2113a =.2 3.a ∴=开平方，得.a =两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1 C.2∶3 D.1∶32.把mn pq =写成比例式，写错的是（ ） A ．m q p n = B ．p n m q = C ．q n m p = D ．m pn q= 3.下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ） A.1，2，3，4 B.1，2，2，4 C.3，5，9，13 D.1，2，2，34.如果d c b a ::=，则下列成立的等式是（ ） A ．a b c d b c ++= B ．a c b d c b --= C ．a c b d c d ++= D ．a c b da d--=5.在比例尺为1：900000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4cm ，这两地的实际距离是（ ）A.2250厘米B.3.6千米C.2.25千米D.36千米6.若a=3,b=4,c=6，四条线段a 、b 、c 、d 成比例，则d 的长是 .7.如果32a b =，那么________a b b-=． 8.A 、B 两地之间的高速公路为120km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB=11∶1，AC ∶CD=2∶9，则C 、D 间的距离是 km. 9.已知=≠0，求代数式的值．10.如图，已知=，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长．活动3 课堂小结1.线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k；2.两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位；3.两条线段的比在实际生活中的应用.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.前项后项2.比例线段3.ad bc abcd【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.D3.B4.C5.D6.87.128.909.∵=≠0，∴2b=3a.∴===．10.∵=，∴=.解得AE=5.6cm．则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8cm．第2课时 等比性质1.理解并掌握等比性质.2.运用等比性质解决有关问题.自学反馈 学生独立完成后集体订正 阅读教材P79-80，自学“例2”，理解并掌握等比性质，能运用等比性质进行相关的计算.(0),a cma c mb d n b dnb d n +++===++≠+++等比性质：如果那么= .要注意运用等比性质时，分母b+d+……+n ≠0 .活动1 小组讨论 例解：同教材P80例2解答过程活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.已知，且a+c+e=8，则b+d+f 等于（ ）A ．4B ．8C ．32D ．22．若a b b c c ac a b+++== =k ，则k 的值为（ ） A ．2 B ．-1C ．2或-1D ．不存在 3.已知，则= ．4.（2015·兰州）如果===k （b+d+f ≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k= ．5.已知===，b+2d ﹣3f ≠0，求的值．活动3 课堂小结教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈ab【合作探究】活动2 跟踪训练1.D2.C3.4.35.∵===，b+2d﹣3f≠0，∴===. ∵b+2d﹣3f≠0，∴=．4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例定理.2.会用平行线分线段成比例定理解决实际问题.阅读教材P82-83，自学“例”，掌握平行线分线段成比例定.自学反馈学生独立完成后集体订正①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.活动1 小组讨论例1如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
北师大初中九年级数学上册《第四章图形的相似》教案
第四章图形的相似第一课时 成比例线段学习目的：1、知道线段的比的概念。
理解成比例线段的概念2、会计算两条线段的比。
3、掌握成比例线段的判定方法。
重点：线段的比与成比例线段的概念。
教学过程： 一、自主预习（一）阅读课本 ，思考并回答下列问题：1、一般地，如果选用 量得两条线段AB ，CD 的长度分别为m,n ，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB ∶CD=m:n,或写成其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么。
（1）在比或∶中，是 ，是 。
⑵两条线段的 要统一 。
⑶在同一单位下线段长度的比与选用的 无关。
⑷线段的比是一个没有 的数。
（二）比例尺1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。
,nmCD AB =n m CD k AB k CDAB∙==或,2、比例尺为1：50000，意思为： 。
（三）成比例线段的概念1、一般地，在四条线段中，如果 等于 的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
（举例说明）如：2、四条线段成比例，记作：其中a,d 叫比例外项，b,c 叫比例内项。
3、四条线段a,b,c,d 成比例，有顺序关系。
即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：a:b=c:d ；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：a:b=d:c4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析：例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。
例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。
求⑴，⑵ 四、巩固练习1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？BC AB ABAC2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？3、已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d的长。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 全章学案(新版)北师大版
第四章 图形的相似1．第1课时 线段的比学习目标：1、了解线段的比概念。
2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。
学习重点：理解线段的比的概念及其求解。
学习难点：求线段的比，要注意线段的长度单位一致。
学习过程：一、认识线段的比：线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比AB:CD =m:n ,或写成nmCD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB=,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。
想一想：两条线段长度的比与采用的长度单位有没有关系？例如：数学课本长为21cm ，宽为15cm ，则长与宽的比为______________;如果把单位改为mm ，则数学课本长与宽的比为________________;如果把单位改为m ，则数学课本长与宽的比为________________.结论：两条线段长度的比与采用的长度单位_________. 【基础练习一】1、 线段a=5cm,b=50cm,则a:b=_____.2、 线段a=3cm,b=12mm,则a:b=_____.3、 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB=2:5,则AB:PB=_____,AP:AB=___ 二、比例线段：（1）什么是比例线段？ 四条线段中，如果其中两条线段的比________另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（2）若a 、b 、c 、d 是比例线段，则________ 【基础练习二】1、下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A 3cm,4cm,5cm,6cm B 4cm,8cm,3cm,5cm C 5cm,15cm,2cm,6cm D 8cm,4cm,1cm,3cm2、四条线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a 的长度是多少？如果改成四条线段b 、c 、d 、a 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a 的长度是多少？三、比例的基本性质： （1）如果dcb a =,那么ad =bc （2）如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dc b a = 【基础练习三】（1）、如果b a 452=， 则ab=____________.（2）、如果3a=7b, 则=ba____________. （3）、如果2c=15b, 则=c b ____________.（4）、如果a 2=bc, 则=ca ___________.例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值应当是多少？随堂测试：1、在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离是 千米。
九年级数学北师大版上册第四章图形的相似第7节相似三角形的性质教学设计
-提高题：培养学生运用相似三角形性质解决实际问题的能力；
-拓展题：激发学生的思维，提高学生的创新能力。
6.注重课堂小结，引导学生总结相似三角形的性质及其应用，培养学生的概括能力。
-通过让学生复述、总结相似三角形的性质，检查学生对知识的掌握程度。
7.课后布置适量的作业，巩固学生对相似三角形性质的理解，并关注学生的作业反馈，及时调整教学策略。
4.引导学生运用数形结合的思想，将几何问题转化为代数问题，提高学生的解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、追求真理的情感，激发学生对几何学的兴趣。
2.培养学生严谨、务实的科学态度，使学生认识到数学在现实生活中的重要性。
3.引导学生感受几何图形的美，培养学生对美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生团结协作、互帮互助的精神，使学生学会尊重他人、倾听他人意见。
通过引导学生观察、思考，自然过渡到相似三角形的性质的学习。
2.教学目标：激发学生的学习兴趣，引导学生关注相似三角形在实际生活中的应用。
（二）讲授新知
1.教学内容：相似三角形的定义、判定方法及其性质。
-相似三角形的定义：两个三角形，如果对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
-相似三角形的判定方法：AA（角角相似）、SSS（边边边相似）、SAS（边角边相似）。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用。
2.教学活动设计：
-将学生分成小组，针对相似三角形性质的应用进行讨论；
-教师提供一些具有挑战性的问题，引导学生运用相似三角形的性质解决问题；
-各小组展示讨论成果，分享解题思路和方法。
3.教学目标：培养学生合作交流、解决问题的能力，提高学生对相似三角形性质的理解。
北师大九年级上第四章图形的相似4
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探索，让学生发现相似多边形的基本性质，培养他们的观察能力和动手操作能力。
2.引导学生运用类比、归纳、推理等数学思想，从特殊到一般，发现并掌握相似多边形的性质。
3.引导思考：通过观察和比较，引导学生发现这些图形的对应角相等，对应边成比例。
4.导入新课：根据学生的发现，引出相似多边形的定义，即对应角相等、对应边成比例的多边形。
（二）讲授新知，500字
1.讲解相似多边形的定义，强调对应角相等、对应边成比例的特点。
2.举例说明相似多边形在实际生活中的应用，如建筑图纸的放大与缩小、地图的制作等。
4.学生的学习兴趣和动机，教师应结合生活实例，激发学生的学习兴趣，提高他们学习几何学的积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似多边形的定义、性质及其应用。
2.难点：
（1）理解相似多边形的定义，并能运用到实际问题中；
（2）掌握相似多边形的性质，如对应角相等、对应边成比例；
（3）运用相似多边形的性质解决几何问题，如求相似多边形的周长、面积等。
3.归纳拓展：引导学生将相似多边形的知识与之前学过的几何知识进行联系，拓展几何思维。
4.激发兴趣：鼓励学生在课后继续探索相似多边形的性质和应用，培养他们学习几何的兴趣。
5.布置作业：根据本节课的学习内容，布置适量的作业，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的相似多边形的知识，培养学生的几何思维和解决问题的能力，特布置以下作业：
3.例题讲解，巩固知识
选择具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用相似多边形的性质解决问题，巩固所学知识。
北师大版九年级上数学第4章图形的相似4.4.3-三角形相似条件应用(教案)
此外，在学生小组讨论环节，我注意到有些学生发言不够积极，可能是因为他们对主题不够熟悉或者自信心不足。为了鼓励这些学生，我将在今后的教学中更加关注他们的表现，多给予肯定和鼓励，帮助他们建立自信。
-学会运用三角形相似性质解决实际问题，如求三角形的未知边长、面积等。
-能够运用相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，进行相关计算和证明。
举例：讲解如何利用已知相似三角形的比例关系，求解未知三角形的边长或面积。
2.教学难点
-理解相似三角形的证明过程，特别是如何通过已知条件推导出相似关系。
-灵活运用相似三角形的性质解决复杂问题，如涉及多个相似三角形的综合应用题。
4.课后及时进行教学反思，不断调整和改进教学方法，以提高教学质量。
3.理解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等；
4.通过实际案例分析，使学生能够灵活运用三角形相似条件，培养其解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，使其能够运用三角形相似察和思考解决实际问题中的相似三角形问题；
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
4.培养学生团队合作精神，通过小组讨论和问题探究，提高沟通交流能力；
5.激发学生数学学习兴趣，使其在探索相似三角形的过程中，体验数学的奥妙和美感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握三角形相似的条件，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
北师大版 九年级上册 第四章 《图形的相似》1学案
《图形的相似》1（成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形判定、黄金分割）教学目标1、掌握比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.重点难点1、线段的比、成比例线段和比例的基本性质；2、相似三角形的判定知识解析知识点一：● 两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m ：n ，或写成.其中，线段AB 和CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k ，那么=k ，或AB=k ·CD 。
两条线段的比实际上就是两个数的比。
● 成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。
● 比例线段的性质： ①比例的基本性质：②合比性质：nmCDABd c b a =)0都不等于,,,(d c b a bc ad d cb a =⇔=d dc b b ad c b a ±=±⇒=③等比性质：知识点二：平行线分线段成比例基本事实及其推论平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
知识点三：相似多边形（1）各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
注意：相似多边形的条件缺一不可，也就是说只有各角分别相等的两个多边形不相似，只有各边对应成比例的多变性也不相似。
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比。
知识点四：相似三角形的定义三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.如果△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 综合导学案
第4章：图形的相似 综合复习教案知识总结：1、定义：形状相同的图形叫做相似图形（最简单的是相似三角形）。
相似三角形（多边形）对应边的比叫做相似比四条段a ，b ，c ，d 满足dc b a =则称这四条线段成比例 如果d c b a =（b ，d 不为0），那么d b c a d c b a ±±==，d d c b b a ±=±。
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2、判定：☆ 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
☆ 三边成比例的两个三角形相似。
☆ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
☆ 两角分别相等的两个三角形相似。
3、性质：☆ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
☆ 相似三角形对应线段的比等于相似比。
（对应高，对应中线，对应角平分线，周长）☆ 相似三角形面积比等于相似比的平方。
4、应用：利用相似测量高度与距离。
1）利用阳光、影子测高度。
2）利用标杆测高度。
3）利用平面镜测高度。
4）利用相似测距离。
5、位似：1) 定义：如果两个三角形（多边形）不仅相似而且对应顶点的边线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比也称为位似比。
2）做法：（略)基础例题讲解例题1、如图，四边形ABCD 与四边形1111D C B A 相似，AB ＝12，CD=15，911=B A 。
求11D C 的长。
例题2、已知线段a,b,c,d,m,n 满足d ＋m ＋n ＝4，且2===nc m bd a ，求a ＋b ＋c 例题3、如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E 。
1）在不添加辅助线的情况下，与△ABC 相似的三角形有（ ）。
2）如果32=ED AD ，BF ＝4，求CD 的长。
例题4、如图，在Rt △ABC 中,AB ＝AC ，D 是AB 上的动点，以CD 为边做Rt △CDE ，且ED ＝EC ，连接AE ，求证：AE ∥BC例题5、如图，已知AD.AB ＝AF.AC ，求证：△DEB ∽△FEC例题6、例题7、例题8、例题9、例题10、综合题目讲解例题11、例题12、例题13、例题14、例题15、。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件教案
4.4 探索三角形相似的条件教案 第1课时 利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝70°，∠C ′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：由三角形的内角和是180°， 得∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－80°－70°＝30°， 所以∠A ＝∠A ′，∠C ＝∠C ′.故△ABC ∽△A ′B ′C ′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，求证：AF BF ＝EFDF .解析：要证明AF BF ＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AEF ＝∠BDF ＝90°. 又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴△AFE ∽△BFD ，∴AF BF ＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC ，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ， 所以四边形DFCE 是平行四边形， 所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B . 又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ， 所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.第2课时利用两边及夹角判定三角形相似1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）一、情景导入画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？二、合作探究探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（）A.AB·CD＝BD·BCB.AC·CB＝CA·CDC.BC2＝AC·DCD.BD2＝CD·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即CDCB＝CBAC或BC2＝AC·DC.故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.解析：欲求厚度x，而x＝a－AB2，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB 的比例式，解之即可.解：因为OA ：OC ＝OB ：OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ， 故AB CD ＝OAOC＝n ，可得AB ＝bn ， 所以x ＝a －bn2.方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解析：要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似.（1）当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC . 此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似； （2）当BP BC ＝BQBA 时，△PBQ ∽△CBA .此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似.综上可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似.易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关.第3课时利用三边判定三角形相似教案1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）一、情景导入如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点一：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510，所以△ABC与△DEF相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.解：∠B＝∠AED.理由如下：由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，AC AD＝93＝3，ABAE＝186＝3，CBDE＝155＝3，所以ACAD＝ABAE＝CBDE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.解：由甲图可知AC＝12＋12＝2，BC＝2，AB＝12＋33＝10.同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.。