上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题

上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知集合{}22(,)|1A x y x y +==，(){}|,B x y y x =
=-，则A B 中元素的个数是__________．
2．平面α外的直线a 与平面α所成的角是θ，则θ的取值范围是______.
3．已知(0,1,2)AM =，(1,0,2)CN =，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是__________．
4．在北纬45°圈上有A 、B 两点，若该纬度圈上A 、B
两点间的劣弧长为
4
R （R 为地球的半径），则A 、B 两点间的球面距离是__________． 5．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最大值是__________．
6．不等式220mx mx --<对任意x ∈R 恒成立的充要条件是m ∈__________． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M 在正（主）视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧（左）视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为__________．
8．有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A B C D ''''是直角梯形（如图所示），其中45A B C '''=︒，B C C D ''''⊥，1A D D C ''''==，则原四边形ABCD 的面积为__________．
9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，E 为1BB 中点，若点P
满足
AP PD λ→→=，且//BP 平面1AED ，则λ=__________．
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，给出下面四个命题：
①()221111113()A A A D A B A A ++=；②1AD 与1A B 夹角为120∘；③110AC C D ⋅=；④正方体的体积是1AB BC CC ⋅⋅，则正确的命题是__________．
11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．
12．在三棱锥A BCD -中， 10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P
在侧面ACD 上，且到直线AB PB 的取值范围是__________． 13．已知直线n ⊂平面α，则//m n 是//m α的（ ）
A ．充要条件
B ．充分非必要条件件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为56
，正确的有（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③④ 16．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243
A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ ）
A ．3
B ．5
C ．9
D ．21 17．设函数()22)lg(3f x x x =+-的定义域为集合A ，函数1()||g x a x x =+
-在[-3，-1]上存在零点时的a 的取值集合B ．
（1）求A B ；
（2）若集合2{}0|C x x p =+≥，若x C ∈是x A ∈充分条件，求实数p 的取值范围． 18．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为2，1O 是11A C 中点.
（1）求证：1//AO 平面1DBC ；
（2）设1BB 的中点为M ，过A 、1C 、M 作一截面，求出截面面积．
19．设一正方形纸片ABCD 边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH PQ ⊥，O 为正四棱锥底面中心．，
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形APQ 的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积表示为x 的函数，并求S 范围．
20．如图，在Rt SOA 中，6OSA π
∠=，斜边4SA =，半圆H 的圆心H 在边OS 上，
且与SA 相切，现将Rt SOA 绕SO 旋转一周得到一个几何体，点B 为圆锥底面圆周上一点，且90AOB ∠=︒．
（1）求球H 的半径；
（2）求点O 到平面SAB 的距离；
（3）设Р是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围． 21．设集合A 的元素均为实数，若对任意a A ∈，存在b B ∈，c C ∈．使得b c a +=且1b c -=，则称元素最少的B 和C 为A 的“孪生集”；称A 的“孪生集”的“孪生集”为A 的“2级孪生集”；称A 的“2级孪生集”的“孪生集”为A 的“3级孪生集”，依次类推．．．．．．． （1）设{}3,5,7A =，直接写出集合A 的“孪生集”；
（2）设元素个数为n 的集合A 的“孪生集”分别为B 和C ，若使集合
()BUC B C ⋂中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：A 中所有元素之和为3n ；
（3）若(){}
121,1,*k k A a a a k k n k N ==+-≤≤∈，请直接写出A 的“n 级孪生集”的个数，设A 的所有“n 级孪生集”的并集为Ω，若123M M M Ω=⋃⋃；求有序集合组()123,M M M ,的个数．。