几何辅助线之截长补短 总结+例题

截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。

补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。

即延长a ，得到b ，证：c b a =+。

②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。

即延长a ，得到c ，证：a c b -=。

【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =，若140BED ∠=︒，则BFD ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案．【解答】解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=，在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中， DG DHDE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆，DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=︒， 180BFD BED ∴∠+∠=︒，BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒，故选：A ．2. 已知，如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，12∠=∠，求证：AB AC CD =+．【分析】在AB 上截取AE AC =，由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆，可证DE DC =，C AED ∠=∠，可证B BDE ∠=∠，可得BE DE DC ==，即结论可得． 【解答】证明：如图，在AB 上截取AE AC =，AE AC =，12∠=∠，AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=，C AED ∠=∠， 2C B ∠=∠，AED B BDE ∠=∠+∠，B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==，AB AE BE =+， AB AC DC ∴=+。

3. 如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠，DCE ECB ∠=∠．求证：CD AD BC =+．【分析】延长DE 交CB 的延长线于M ，根据平行线的性质和已知求出CDE M ∠=∠，推出CD CM =，根据等腰三角形性质求出DE EM =，证ADE BME ∆≅∆，求出AD BM =即可． 【解答】证明：延长DE 交CB 的延长线于M ，//AD BC ，ADE M ∴∠=∠， ADE CDE ∠=∠， CDE M ∴∠=∠， CD CM ∴=， DCE ECB ∠=∠，DE EM ∴=，在ADE ∆和BME ∆中 ADE M DE EMAED BEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADE BME ∴∆≅∆， AD BM ∴=，即CD CM AD BC ==+．4. 如图所示，在五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证：DA 平分CDE ∠．【分析】连接AC ，延长DE 到F ，使EF BC =，连接AF ，易证ABC AEF ∆≅∆，进而可 以证明ACD AFD ∆≅∆，可得ADC ADF ∠=∠即可解题 ． 【解答】解： 连接AC ，延长DE 到F ，使EF BC =，连接AF ，BC DE CD +=，EF DE DF +=，CD FD ∴=，180ABC AED ∠+∠=︒，180AEF AED ∠+∠=︒， ABC AEF ∴∠=∠，在ABC ∆和AEF ∆中， AB AE ABC AEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC AEF SAS ∴∆≅∆，AC AF ∴=，在ACD ∆和AFD ∆中， AC AF CD FD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ACD AFD SSS ∴∆≅∆ADC ADF ∴∠=∠，即AD 平分CDE ∠．5. 如图，已知ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，35C ∠=︒，且AB BH HC +=，求B ∠度数．【分析】在CH 上截取DH BH =，通过作辅助线，得到ABH ADH ∆≅∆，进而得到CD AD =，则可 求解B ∠的大小． 【解答】解：在CH 上截取DH BH =，连接AD ，如图BH DH =，AH BC ⊥，ABH ADH ∴∆≅∆，AD AB ∴= AB BH HC +=，HD CD CH += AD CD ∴=C DAC ∴∠=∠，又35C ∠=︒70B ADB ∴∠=∠=︒．6.如图，正方形ABCD中，F是CD边的中点，E是BC边上一点，且AF平分DAE∠．（1）若4BE=，求EF的长；AD=，3（2）求证：AE EC CD=+．【分析】（1）由条件可知90C ∠=︒，2CF =，1CE =，根据勾股定理就可以求出EF 的值． （2）作FG AE ⊥于G ，由AF 平分DAE ∠可以得出AD AG =，DF GF =，90AGF ∠=︒， 通过证明FGE FCE ∆≅∆，可以得出GE CE =，进而可以得出结论AE EC CD =+． 【解答】（1）解：在正方形ABCD 中，4DC BC AD ===，90C D ∠=∠=︒，F 是CD 边中点，122CF CD ∴==，1CE BC BE =-=，在Rt EFC ∆中，由勾股定理得222EF EC CF =+， 5EF =．（2）证明：过点F 作垂线FG 垂直AE 与点G ，90FGA ∠=︒，AF 平分DAE ∠， DAF GAF ∴∠=∠，在ADF ∆和AGF ∆中， 90D FGA DAF GAF AF AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADF AGF AAS ∴∆≅∆，AG AD DC ∴==，GF DF =， GF CF ∴=，在Rt FGE ∆和Rt FCE ∆中， GF CFEF EF =⎧⎨=⎩()FGE FCE HL ∴∆≅∆，EG EC ∴=AE GE AE EC CD ∴=+=+．7. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+．【分析】首先在AE 上截取AM AD =，连接CM ，再证明AMC ADC ∆≅∆，可得3D ∠=∠，再根据 180B D ∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，可以证出4B ∠=∠，根据等角对等边可证出CM BC =， 再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到M E BE -， 再利用等量代换可证出AE AD BE =+．【解答】证明：在AE 上截取AM AD =，连接CM ，AC 平分BAD ∠，12∴∠=∠，在AMC ∆和ADC ∆中12AC ACAD AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMC ADC SAS ∴∆≅∆，3D ∴∠=∠，180B D ∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，4B ∴∠=∠， CM CB ∴=， CE AB ⊥，ME EB ∴=（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）， AE AM ME =+， AE AD BE ∴=+．8. 如图1，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，若AB AC CD =+，那么ACB ∠与ABC ∠有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：在BA 边上取点E ，使AE AC =，连接DE ．经过推理能使问题得到解决：请回答：（1）有一个角是_______︒的等腰三角形是等边三角形． 参考小明思考问题的方法，解决问题：（2）如图2，四边形ABDE 中，C 是BD 边中点，AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，找出 线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系，并加以证明；（3）如图3，四边形ABDE 中，C 是BD 边中点，AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠， 120ACE ∠=︒，找出线段AE 、AB 、DE 、BD 的长度满足的数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据等边三角形的判定可得；（2）在AE 上取一点F ，使AF AB =，及可以得出ACB ACF ∆≅∆，就可以得出BC FC =，ACB ACF ∠=∠，就可以得出CEF CED ∆≅∆．就可以得出结论；（3）在AE 上取点F ，使AF AB =，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ED =，连结CG ．可以求得CF CG =，CFG ∆是等边三角形，就有12FG CG BD ==，进而得出结论； 【解答】解：（1）有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形 ∴答案为：60（2）AE AB DE =+；理由：在AE 上取一点F ，使AF AB =，AC 平分BAE ∠， BAC FAC ∴∠=∠．在ACB ∆和ACF ∆中， AB AF BAC FAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACB ACF SAS ∴∆≅∆，BC FC ∴=，ACB ACF ∠=∠． C 是BD 边的中点．BC CD ∴=， CF CD ∴=． 90ACE ∠=︒，90ACB DCE ∴∠+∠=︒，90ACF ECF ∠+∠=︒ ECF ECD ∴∠=∠．在CEF ∆和CED ∆中， CF CD ECF ECD CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CEF CED SAS ∴∆≅∆，EF ED ∴=． AE AF EF =+， AE AB DE ∴=+；（3）猜想：12AE AB DE BD =++．证明：在AE 上取点F ，使AF AB =，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ED =，连结CG ．C 是BD 边的中点，12CB CD BD ∴==． AC 平分BAE ∠， BAC FAC ∴∠=∠．在ACB ∆和ACF ∆中， AB AF BAC FAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACB ACF SAS ∴∆≅∆，CF CB ∴=， BCA FCA ∴∠=∠．同理可证：CD CG =，DCE GCE ∴∠=∠． CB CD =， CG CF ∴=120ACE ∠=︒，18012060BCA DCE ∴∠+∠=︒-︒=︒． 60FCA GCE ∴∠+∠=︒． 60FCG ∴∠=︒． FGC ∴∆是等边三角形．12FG FC BD ∴==． AE AF EG FG =++．12AE AB DE BD ∴=++．【核心考点2】半角模型相关截长补短9.如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是DC上一点，45∠=︒．EAF （1）如图1，若1∆的面积；==，求ECFBE DF（2）如图2，求证：BE DF EF+=；（3）如图3，点E为CB延长线上一点，点F为DC延长线上一点，45EAF∠=︒．请直接写出线段BE、DF、EF的数量关系．【分析】（1）如图，延长EB 至H ，使1BH BE ==，连接AH ，由“SAS ”可证ADF ABH ∆≅∆，可得AF AH =，DAF BAH ∠=∠，由“SAS ”可证AEF AEH ∆≅∆，可得2HE EF ==，由勾股定理和三角形面积公式可求解；（2）将ADF ∆绕着点A 按顺时针方向旋转90︒，得ABF ∆'，可得ABF D ∠'=∠，AF AF '=，BAF DAF '∠=∠，由“SAS ”可证△AF E AFE '≅∆，可得EF EF '=，可得结论；（3）在DC 上截取DH BE =，连接AH ，由“SAS ”可证ADH ABE ∆≅∆，可得DAH BAE ∠=∠，AE AH =，由“SAS ”可证AEF AHF ∆≅∆，可得EF HF =，可得结论．【解答】解：（1）如图，延长EB 至H ，使1BH BE ==，连接AH ， 四边形ABCD 是正方形，AD AB BC CD ∴===，90ABC ADF C ∠=∠=∠=︒，1DF BE BH ===， EC CF ∴=，2HE =，BH DF =，ABH ADF ∠=∠，AB AD =，()ADF ABH SAS ∴∆≅∆，AF AH ∴=，DAF BAH ∠=∠， 45EAF ∠=︒，45DAF BAE BAH BAE HAE EAF ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠=∠，又AE AE =，()AEF AEH SAS ∴∆≅∆，2HE EF ∴==， 90C ∠=︒，EC CF =，2224CF EC EF ∴+==， 22CE ∴=，ECF ∴∆的面积2112EC ==；（2）将ADF ∆绕着点A 按顺时针方向旋转90︒，得ABF ∆'， 则ABF D ∠'=∠，AF AF '=，BAF DAF '∠=∠， 四边形ABCD 是正方形， 90D ABC ∴∠=∠=︒， 90ABF ∴∠'=︒， 180F BC ∴∠'=︒，F ∴'、B 、E 在一直线上，45EAF ∠=︒，45DAF BAE F AB BAE F AE EAF '∴∠+∠=︒=∠+∠=∠'=∠，又AE AE =，∴△()AF E AFE SAS '≅∆，EF EF '∴=，EF F E BE DF ∴='=+；（3）如图3，在DC 上截取DH BE =，连接AH ，AB AD =，90ABE ADH ∠=∠=︒，BE DH =，()ADH ABE SAS ∴∆≅∆，DAH BAE ∴∠=∠，AE AH =，45AEF ∠=︒，45BAE BAF DAH BAF ∴∠+∠=︒=∠+∠， 9045FAH DAH BAF EAF ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠，又AF AF =，AE AH =，()AEF AHF SAS ∴∆≅∆，EF FH ∴=，EF FH DF DH DF BE ∴==-=-．10. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．【分析】可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．目的 就是要证明三角形AGE 和三角形AEF 全等将EF 转换成GE ，那么这样EF BE DF =+了， 于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE 和AEF 中， 只有一条公共边AE ， 我们就要通过其他的全等三角形来实现， 在三角形ABG 和AFD 中， 已知了一组直角，BG DF =，AB AD =，因此两三角形全等， 那么AG AF =，12∠=∠，那么113232EAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=∠．由此就构成了三角形ABE 和AEF 全等的所有条件()SAS ，那么就能得出EF GE =了 ．【解答】证明：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒，AB AD =， ABG ADF ∴∆≅∆． AG AF ∴=，12∠=∠．113232EAF BAD ∴∠+∠=∠+∠=∠=∠．GAE EAF ∴∠=∠．在AEG ∆与AEF ∆中 AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEG AEF ∴∆≅∆． EG EF ∴=． EG BE BG =+．EF BE FD ∴=+．11.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作MDN∠，交边AC、BC于M、N．（1）若30∠=︒，当MDNMDN∠绕点D旋转时，AM、MN、BN三条ACD∠=︒，60线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当90∠+∠=︒时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明ACD MDN你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可；（2）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可．【解答】（1）AM BN MN +=，证明：延长CB 到E ，使BE AM =， 90A CBD ∠=∠=︒， 90A EBD ∴∠=∠=︒，在DAM ∆和DBE ∆中 AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DAM DBE ∴∆≅∆，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =，60MDN ADC ∠=∠=︒， ADM NDC ∴∠=∠， BDE NDC ∴∠=∠， MDN NDE ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MDN EDN ∴∆≅∆， MN NE ∴=，NE BE BN AM BN =+=+， AM BN MN ∴+=．（2）AM BN MN +=，证明：延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ， 90A CBD ∠=∠=︒， 90A DBE ∴∠=∠=︒，90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒， MDN CDA ∴∠=∠， MDN BDC ∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠，CDM NDB ∠=∠，在DAM ∆和DBE ∆中 AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DAM DBE ∴∆≅∆，BDE MDA CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =， 90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒， NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠， ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠， CDM NDB ∠=∠ MDN NDE ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中 DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BE BN AM BN =+=+， AM BN MN ∴+=．（3）BN AM MN -=，证明：在CB 截取BE AM =，连接DE ， 90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒， MDN CDA ∴∠=∠， ADN ADN ∠=∠， MDA CDN ∴∠=∠， 90B CAD ∠=∠=︒， 90B DAM ∴∠=∠=︒，在DAM ∆和DBE ∆中 AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DAM DBE ∴∆≅∆，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =， ADC BDC MDN ∠=∠=∠， MDN EDN ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中 DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MDN EDN ∴∆≅∆， MN NE ∴=，NE BN BE BN AM =-=-， BN AM MN ∴-=．【核心考点3】截长补短之“补短”12.已知，ABC∠=︒，在ADADB∆中，AB AC=，D是CB延长线上的一点，连接AD，60上取一点E使AE CD=，求证：BDE∆为等边三角形．【分析】首先延长DC 到F ，使CF BD =，连接AF ，易得ABD ACF ∆≅∆，继而可得ADF ∆是 等边三角形，DEB ∆是等边三角形． 【解答】证明：延长DC 到F ，使CF BD =，连接AF ，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠， ABD ACF ∴∠=∠，在ABD ∆和ACF ∆中， AB AC ABD ACF BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD ACF SAS ∴∆≅∆，AD AF ∴=，又60ADB ∠=︒，ADF ∴∆是等边三角形， AD DF ∴=，AD AE DE =+，DF DB BC CF =++，又AE CD =，且60ADB ∠=︒DEB ∴∆是等边三角形．13.已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，135∠=︒．证EAF 明：BE DF EF+=．【分析】延长DC 到G 点，使DG BE =，连接AG ，GE ，利用SAS 可以证明AEB AGD ∆≅∆，可得 AE AG =，DAG EAB ∠=∠，再利用SAS 可以证明AEF AGF ∆≅∆，得出GF EF =，可证结论． 【解答】证明：如图，延长DC 到G 点，使DG BE =，连接AG ，GE ， 在AEB ∆和AGD ∆中， 90BE DG ABE ADG AB AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEB AGD SAS ∴∆≅∆， AE AG ∴=，DAG EAB ∠=∠， 135EAF ∠=︒，90BAD ∠=︒， 135EAB FAD ∴∠+∠=︒， 135FAG ∴∠=︒，在AEF ∆与AGF ∆中， 135AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，BE DF EF ∴∴+=．。