安徽省六安市皖西中学2020-2021学年高一年级秋学期期中考试数学试卷
范围是
三、解答题（共 70 分）
17、（10 分）已知集合 A {x (x 2)(x 3) 0} ， B {x k 1 x 3 k} . （1）当 k 1 时，求 A B ； （2）若 A B B ，求实数 k 的取值范围.
18、（12 分）（1）已知函数 f (x) 的定义域为 (0, 2) ，求 f (x 3) 的定义域； （2）已知函数 f (x 2) x2 4x 8 ，求 f (x) 的解析式，并求出函数 f (x) 在区间[2, 7] 上的最大
D.{1,5, 6}
2、“ x 1, x2 1 ”的否定是（ ）
A. x 1, x2 1
B. x 1, x2 1
C. x 1, x2 1
D. x 1, x2 1
3、已知函数
f
(x)
x2
x,
x
1
1
1
x
,
x
1
，则
f
(
f
(2))
的值为（
）
A. 2 9
B. 1 5
1
C.
D. 6
3
4、已知 a<b<0,则下列不等式成立的是（ ）
A. a2 b2
B. 1 1 ab
C. ab b2
5、“a>c 且 b>d”是“a+b>c+d”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D. b ຫໍສະໝຸດ abD.既不充分也不必要
6、幂函数 y f (x) 的图像经过点 (8, 2 2) ，则 f (x) 的图像大致为（ ）
子集的个数为
14、已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x 2 ，则当 x 0 时， f (x) =
15、函数 f (x) x 2 x 1 的值域为 16、若定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 (, 0) 单调递增，且 f (1) 0 ，则满足 xf (x 2) 0 的 x 的取值
7、函数 y x2 3x 2 的单调递增区间为（ ）
A. (, 3] 2
B.[ 3 , ) 2
8、下列各组函数中，表示同一函数的是（
C.[ 3 , 2] 2
）
D.[1, 3] 2
A. y x 2 x 2 与 y x2 4 C. y x 与 y x2
B. y x 与 y 3 x3 D. y x 与 y x0
21、已知函数
f
(x)
(a
2)x2 x 1 x2
b
1
是定义在
R
上的奇函数.
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）证明： f (x) 在 (1, ) 上是减函数；
（3）求不等式 f (1 3x2) f (2x x2 5) 0 的解集.
22、（12 分）已知定义在 (, 0) (0, ) 上的函数 f (x) 满足：① x, y (, 0) (0, ) ， f (xy) f (x) f ( y) ；②当 x 1 时， f (x) 0 且 f (2) 1. （1）是判断函数 f (x) 的奇偶性； （2）求函数 f (x) 在区间[4, 0) (0, 4] 上的最大值； （3）求不等式 f (3x 2) f (x) 4 的解集.
值与最小值.
19、（12 分）已知 x 0, y 0 ， 4x y 3 . （1）求 xy 的最大值； （2）求 3 12 的最小值.
xy
20、（12 分）已知集合 A {x 1 x 2} ， B {x x2 2mx m2 1 0} . （1）命题 p ： x A ，命题 q ： x B ，且 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）若 x A, x2 m 4 3x 恒成立，求实数 m 的取值范围.
D.当
x
3 2
时，
2x
1
4 2x
3
2
11、已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (x) 在[0, ) 上是增函数，若 f (a 1) f (3) ，则 a
的取值范围是（ ）
A. (, 4]
B.[2, )
C.[4, 2]
D. (, 4] [2, )
12、已知函数
f
(x)
x2 4ax, x 1
皖西中学 2020 年高一年级秋学期期中考试
数学试卷
一、选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分）
1、已知全集U {x N 1 x 9} ，集合 A {1, 2,3,5} ， B {2,3,5, 6} ，则图中阴影部分所表示
的集合是（ ）
A.{1, 6}
B.{2, 6}
C.{1, 2, 6}
x
9、若不等式 x2 1 2mx 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. (, 1) (1, )
B. (, 1] [1, )
C. [1,1]
D. (1,1)
10、下列命题中错误的是（ ）
A.当 x 0 时， x 1 2 x
B.当 x 2 时， x 1 2 x
C.当 0 x 4 时， x(4 x) 2
(2a
3)
x
4a
5,
x
1
，若
f
(x)
在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（
）
A.[1 ,1] 2
C.[1 , +） 2
B.[1 , 3] 22
D.[1, 2]
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、定义集合运算：A B {z z x y, x A, y B} ，设 A {0,1}，B {2,3} ，则集合 A B 的
2020-2021学年安徽省高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年安徽省高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. (1,−2)B. (−1,−2)C. (1,2)D. (2,−2)2. 已知复数z =3−i1−i ，则z ⋅z −=( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥． 其中正确的命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知向量m⃗⃗⃗ =(2,−1)，n ⃗ =(x,6)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗⃗ ⋅(n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ )=( ) A. −2 B. −8 C. −10 D. −125. 已知某平面图形的直观图如图所示，A′B′//C′D′，∠D′O′A′=135°，A′B′=4，C′D′=D′O′，若原平面图形的面积为12，则D′O′=( )A. 6B. 4C. 2√2D. 26. 已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC +∠BCD =180°，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3−x)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABCD =( )A. 14B. 13C. 23D. 347. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是( )A. 点C ∈直线GHB. CD 与EF 是共面直线C. AB//EFD. GH 与EF 是异面直线8.已知水的密度为1g/cm3，冰的密度为0.9g/cm3，一水平放置的圆柱形桶内有一个半径为10cm的冰球，待冰球完全融化后测得桶内水面高为3cm，则桶的底面半径为()A. 20cmB. 18cmC. 15cmD. 10cm9.伯乐树是中国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量，在点A处测得树干底部在西偏北30°的方向上，沿直线向西前进3.4m后，在点B处测得树干底部在西偏北40°的方向上，此时树干顶部的仰角为60°，则该伯乐树的高度为()(sin10°=0.17)A. 10√3mB. 10√2mC. 8√3mD. 7√3m10.在△ABC中，点D为AC边上靠近点C的三等分点，点E为AB边的中点，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12CE⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14CE⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14CE⃗⃗⃗⃗⃗ D. −14BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CE⃗⃗⃗⃗⃗11.已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，则b2+c2a2取值范围是()A. (54,3] B. (0,3] C. (54,2] D. (53,2]12.已知三棱锥A−BCD的侧棱AB，AC，AD两两垂直，CD=2，AC=AD，若该三棱锥的外接球体积为32π3，则该三棱锥的表面积为()A. 2+√6+√13B. 2√6+√13C. 1+2√6+√13D. 1+4√13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆.鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为110cm，宽为79cm，壁厚6cm.若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为0.5cm，则灰的体积为______ cm2．14.已知−1−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则n=______ ．15.已知半径为1的球在一个圆锥内部，该组合体的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的表面积为______ ．16.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C=30°，边c=2，且a2cos2B+b2cos2A=2abcosAcosB，则a=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(−3,1)．(Ⅰ)若c⃗=(x,6)，且|c⃗|=2|2a⃗+b⃗ |，求x的值；(Ⅱ)若a⃗+b⃗ 与m a⃗+b⃗ 的夹角大小为π，求m的值．418.当实数m满足什么条件时，在复平面内表示复数z=(m2+2m−3)+(m2−4m−5)i的点分别满足下列条件？(Ⅰ)位于第三象限；(Ⅱ)位于第二象限或第四象限；(Ⅲ)位于直线y=2x+17上．19.如图所示为一段环形跑道，中间的两段AB，CD为直跑道，且AB=CD=100m，两端均为半径为30m的半圆形跑道，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形.甲、乙两人同时从CD的中点O处开始以7m/s的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点O的位移分别用向量s甲，s乙表示．(Ⅰ)当甲到达AD⏜的中点处时，求s甲⋅s乙；(Ⅱ)求20s后s甲，s乙的夹角的余弦值．注：π的值取3．20.在四边形ABCD中，AB//CD，AB=4，AD=2，BD=2√7，cosC=−√2．2 (Ⅰ)求角A；(Ⅱ)求BC的长．21.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的高为√3，底面边长为2，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(Ⅰ)在棱AC，A1C1上是否存在点D，D1使得平面BC1D//平面AB1D1？请说明理由．(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求几何体ABB1C1D1D的体积．22. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA +2sinB =√3sin(A +π2)，其中B ∈(0,π2).(Ⅰ)若a =√2，c =√3，求b ；(Ⅱ)若a =2，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求△ABC 的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(−1,−2)−(2,4)=(−1,−2)． 故选：B ．根据BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后进行向量坐标的减法和数乘运算即可． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量坐标的减法和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数z =3−i1−i ， ∴z ⋅z −=3−i 1−i⋅3+i 1+i=32+1212+12=5．故选：A ．利用复数的运算性质即可得出．本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确； ④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确； 故选：B ．利用几何体的结构特征，几何体的定义，判断选项的正误即可．本题考查命题的直角的判断与应用，几何体的定义，结构特征的判断，是基础题．4.【答案】C【解析】解：向量m⃗⃗⃗ =(2,−1)，n ⃗ =(x,6)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， 可得2x −6=0，解得x =3，所以m ⃗⃗⃗ ⋅(n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ )=(2,−1)⋅(−1,8)=−10． 故选：C ．通过向量垂直求解x ，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量垂直关系的应用，向量的数量积的运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据平面图形的直观图画法规则，把直观图还原出原图形，是梯形ABCD ，如图所示：在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =A′B′=4，CD =C′D′，高DO =2D′O′， 根据题意设C′D′=D′O′=x ，(x >0)， 则原平面图形的面积为(x +4)×2x ÷2=12， 整理得x 2+4x −12=0，解得x =2或x =−6(舍去)， 所以D′O′=2． 故选：D ．根据平面图形的直观图画法规则，把直观图还原出原图形，根据原图形是梯形，计算梯形的面积从而求出D′O′的长．本题考查了平面图形的直观图画法与应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC +∠BCD =180°，所以AB//CD ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x −3=0，即x =3，所以ABCD =13．故选：B．画出图形，结合已知条件，转化求解x，即可得到结果．本题考查平面向量基本定理的应用，向量共线是解题的关键，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由图可知，还原正方体后，点C与G重合，∴C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故只有C错误．故选：C．把展开图还原为原正方体，数形结合得答案．本题考查空间中点、线、面间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：设桶的底面半径为rcm，∵冰球的半径为10cm，冰球完全融化后桶内水面高为3cm，且水的密度为1g/cm3，冰的密度为0.9g/cm3，π×103×0.9=π×r2×3×1，由冰球与水的体积相等，可得43解得r=20cm．故选：A．设桶的底面半径为rcm，由题意以冰球与水的体积相等列式求解r即可．本题考查球与圆柱体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：如图所示，GH为树干，△ABH中，∠AHB=40°−30°=10°，AB=3.4，由正弦定理可得，BH sin30∘=ABsin10∘，BH =3.4sin30°sin10∘=3.4×120.17=10，Rt △BGH 中，∠GBH =60°，所以GH =BHtan60°=10√3， 所以该伯乐树的高度为10√3m. 故选：A ．根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理和直角三角形的边角关系求出伯乐树的高度． 本题考查了正弦定理的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意可知，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y CE⃗⃗⃗⃗⃗ 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{−x +12y =1223x −y =−23，解得x =−14，y =12，即DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，考查了推理的能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为A =π3， 由正弦定得b 2+c 2a 2=sin 2B+sin 2Csin 2A ，=43(sin 2B +sin 2C)=43(sin 2B +sin 2C)， =43[sin 2B +sin 2(2π3−B)]，=43[1−cos2B 2+1−cos(4π3−2B)2] =43[1+12sin(2B −π6)]，因为{0<B<π20<2π3−B<π2，所以π6<B<π2，π6<2B−π6<5π6，故12<sin(2B−π6)≤1，所以53<43[1+12sin(2B−π6)]≤2，即b2+c2a2取值范围是(53,2]．故选：D．由已知结合正弦定理，二倍角及辅助角公式先进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理与三角恒等变换，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：如图，∵CD=2，AC=AD，且AB，AC，AD两两垂直，∴AC=AD=√2，设AB=ℎ，依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为√2，√2，h的长方体中，可得其外接球的半径r=√2+2+ℎ22=√4+ℎ22，又由43πr3=32π3，解得r=2，故√4+ℎ22=2，即ℎ=2√3．∴该三棱锥的表面积为S=12×√2×√2+2×12×√2×2√3+12×2×√13=1+2√6+√13．故选：C．由题意可把三棱锥置于一个长、宽、高分别为√2，√2，h的长方体中，由三棱锥的外接球的体积列式求解h，则三棱锥的表面积可求．本题考查几何体的体积与表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题．13.【答案】3283【解析】解：由题意，容器内灰体的长度为110−12=98，灰体的宽度为79−12=67，又高度为0.5，∴灰的体积为98×67×0.5=3283cm2．故答案为：3283．由已知求出灰体的长度与宽度，由长方体体积公式求解．本题考查长方体体积的求法，是基础的计算题．14.【答案】2【解析】解：−1−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则：−1+i也是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则n=(−1+i)(−1−i)=(−1)2+12=2，故答案为：2．由−1−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，可得：−1+i也是关于x 的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，根据根与系数的关系即可得出．本题考查了复数的运算性质、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】9π【解析】解：由题意知，球是圆锥的内切球，作圆锥的轴截面，如图所示：设轴截面三角形ABC的内切圆圆心为O，圆O与边AB的切点为D，连接OB、OD，在Rt△BOD中，OD=1，BD=√3，所以AB=2√3，所以圆锥的底面半径为√3，母线长为2√3，×2√3π×2√3=9π．所以圆锥的表面积为S=π⋅(√3)2+12故答案为：9π．由题意知球是圆锥的内切球，画出圆锥的轴截面，结合图形求出圆锥的底面半径和母线长，计算出圆锥的表面积．本题考查了圆锥的内切球与表面积的计算问题，也考查了数形结合与运算求解能力，是基础题．16.【答案】√2+√6【解析】解：因为a 2cos 2B +b 2cos 2A =2abcosAcosB ， 所以(acosB −bcosA)2=0，即acosB −bcosA =0， 由正弦定理得sinAcosB −sinBcosA =sin(A −B)=0， 所以A =B =75°， 由正弦定理得a =csinA sinC=2sin75°12=4sin(45°+30°)=√2+√6．故答案为：√2+√6．由已知结合正弦定理及和差角公式可求A ，B ，然后结合正弦定理即可求解． 本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)2a ⃗ +b ⃗ =2(1，1)+(−3，1)=(−1，3)，∵|c ⃗ |=2|2a ⃗ +b⃗ |，∴x 2+36=4×10，∴x =±2． (Ⅱ)∵a ⃗ +b ⃗ =(−2，2)，m a ⃗ +b ⃗ =(m −3,m +1)，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅(m a ⃗ +b ⃗ )=8， ∵|a ⃗ +b ⃗ |=√(−2)2+22=2√2，|m a ⃗ +b ⃗ |=√(m −3)2+(m +1)2=√2m 2−4m +10， ∴cos π4=2√2×√2m 2−4m+10=√22， 即m 2−2m −3=0，∴m =3或−1．【解析】(Ⅰ)先求出向量2a ⃗ +b ⃗ 的坐标，再利用向量的求模公式即可求解．(Ⅱ)先求出两个向量a ⃗ +b ⃗ ，m a ⃗ +b ⃗ 的坐标，再求出它们的数量积和模，利用向量的夹角公式即可求解．本题考查向量数量积的坐标运算，求模，夹角公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，复数z =(m 2+2m −3)+(m 2−4m −5)i ，若复数z 表示的点位于第三象限，则有{m 2+2m −3<0m 2−4m −5<0，解得−1<m <1，即m 的取值范围为(−1,1)．(Ⅱ)若复数z 表示的点位于第二象限或第四象限， 则有(m 2+2m −3)(m 2−4m −5)<0，即(m +3)(m −1)(m +1)(m −5)<0， 解得−3<m <−1或1<m <5， 即m 的取值范围为(−3,−1)∪(1,5)．(Ⅲ)若复数z 表示的点位于直线y =2x +17上， 则有m 2−4m −5=2(m 2+2m −3)+17， 变形可得m 2+8m +16=0，解得m =−4， 故m =−4．【解析】(Ⅰ)根据题意，由复数的几何意义可得{m 2+2m −3<0m 2−4m −5<0，解可得m 的取值范围，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由复数的几何意义可得(m 2+2m −3)(m 2−4m −5)<0，变形解可得m 的取值范围，即可得答案；(Ⅲ)根据题意，分析可得m 2−4m −5=2(m 2+2m −3)+17，解可得m 的值，即可得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)如图，以点O 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，当甲到达AB⏜的中点处时，乙到达BC ⏜的中点处， 设此时甲的位置为点E ，乙的位置为点F ， 则E(−80,30)，F(80,30)，s 甲=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−80,30)，s 乙=OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(80,30)，∴s 甲⋅s 乙=(−80,30)⋅(80,30)=−6400+900=−5500．(Ⅱ)20s 后甲、乙的路程均为20×7=140m ， AD⏜、BC ⏜的长度分别到达点A ，B 处， ∴s 甲=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−50,60)，s 乙=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(50,60)，设s 甲，s 乙的夹角为θ， 则cosθ=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=11006100=1161，∴20s 后s 甲，s 乙的夹角的余弦值为1161．【解析】(Ⅰ)以点O 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，当甲到达AB⏜的中点处时，乙到达BC ⏜的中点处，设此时甲的位置为点E ，乙的位置为点F ， 则E(−80,30)，F(80,30)，s 甲=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−80,30)，s 乙=OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(80,30)，由此能求出s 甲⋅s 乙． (Ⅱ)20s 后甲、乙的路程均为140m ，AD⏜、BC ⏜的长度分别到达点A ，B 处，s 甲=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−50,60)，s 乙=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(50,60)，由此能求出20s 后s 甲，s 乙的夹角的余弦值． 本题考查平面向量的数量积、向量夹角的余弦值的求法，考查向量夹角的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(I)△ABD 中，由余弦定理得cosA =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=16+4−282×2×4=−12，由角A 为三角形内角得A =2π3．(II)因为AB//CD ， 所以∠ABD =∠BDC ，△ABD 中，由正弦定理得，AD sin∠ABD =BDsin∠A ，即2sin∠ABD =√7√32，所以sin∠ABD =sin∠BDC =√2114，因为cosC =−√22，所以sinC =√22，△BCD 中，由正弦定理得BCsin∠BDC =BD sin∠C，即√2114=√7√22，所以BC =√6．【解析】(I )由余弦定理可求cos A ，进而可求A ；(II)由正弦定理先求出sin∠ABD ，结合已知角关系及正弦定理再求BC ． 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1，由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O 为A1B的中点，∵平面BC1D//平面AB1D1，且平面BC1D//平面AB1D1= BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O，∴BC1//D1O，同理AD1//DC1，∴A1D1D1C1=A1OOB，A1D1D1C1=DCAD，又∵A1OOB =1，∴A1D1D1C1=DCAD=1．即D为AC的中点，D1为A1C1的中点，故当D、D1分别为棱AC，A1C1的中点时，平面BC1D//平面AB1D1；(Ⅱ)V三棱柱ABC−A1B1C1=12×2×√3×√3=3，V三棱锥A−A1B1D1=V三棱锥C1−BCD=13×12×1×√3×√3=12．∴V几何体ABB1C1D1D =3−2×12=2．【解析】(Ⅰ)连接A1B交AB1于O，连接OD1，由平行线截线段成比例结合平面BC1D//平面AB1D1可得D、D1分别为棱AC，A1C1的中点；(Ⅱ)由棱柱体积减去两个三棱锥的体积即可．本题考查平面与平面平行的性质定理及几何体的体积计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(I)因为sinA+2sinB=√3sin(A+π2)=√3cosA，所以2sinB=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)，即sinB=sin(π3−A)，所以B=π3−A或B+π3−A=π，因为B∈(0,π2)，所以A+B=π3或B−A=2π3(舍)，所以C=2π3，由余弦定理得cosC=−12=a2+b2−c22ab=2+b2−32√2b，解得b =√6−√22．(II)由CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8得accosB =8， 因为a =2，所以ccosB =4①， 由正弦定理asinA =csinC 及A +B =π3，C =2π3，a =2得2sin(π3−B)=√32，所以csin(π3−B)=√3，即√3c 2cosB −c2sinB =√3②，①②联立得csinB =2√3，△ABC 的面积S =12acsinB =12×2×2√3=2√3．【解析】(I)由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简可得A ，B 关系，然后结合三角形内角和可求C ；(II)由CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8结合向量数量积定义可求ccosB =4，再由正弦定理进行化简可得csin(π3−B)=√3，联立可求c sin B ，然后结合三角形面积公式可求． 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，属于中档题．。
2023-2024学年安徽省六安二中河西校区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省六安二中河西校区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x （x +3）＜0}，B ＝{x |x ＜﹣1}，则图中阴影部分表示集合（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}B ．{x |﹣3＜x ＜0}C ．{x |x ＞0}D ．{x |x ＜﹣1}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x +3＜0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x 2﹣2x +3≥0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＜0 C ．∃x ∉R ，x 2﹣2x +3＜0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x +3≥03．对于实数a 、b 、c 有如下命题①若a ＞b 则ac ＞bc ；②若ac 2＞bc 2则a ＞b ；③若a ＜b ＜0则a 2＞ab ＞b 2；④若a ＞b ，1a＞1b 则a ＞0，b ＜0．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．设函数f(x)={x −3，x ≥10f(f(x +4))，x ＜10，则f （9）＝（ ）A ．6B ．7C ．9D ．105．定义运算a ⊕b ={b ，a ≤b a ，a ＞b，则函数f （x ）＝x 2⊕|x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]7．不等式1−x x+2≥0的解集为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，1]C ．（﹣∞，﹣2）D ．[1，+∞）8．若两个正实数x ，y 满足4x+1y =1，对这样的x ，y ，不等式x 4+y ＞m 2−3m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ） A ．f(x)=√x 2，g(x)=√x 33B ．f(x)=√x ⋅√x +1，g(x)=√x 2+xC ．y ＝x 0，y =1x 0D ．y =(√x +2)2与y ＝x +2（x ≥﹣2）10．∀x ∈R ，关于x 的不等式x 2﹣ax +a ＞0恒成立，则实数a 的值可以是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解集可能为（ ） A ．∅B ．（﹣1，a ）C ．（a ，﹣1）D ．（a ，+∞）12．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，且对任意的x 1、x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （1023）＝0C ．f （x ）的图象关于（1，0）对称D ．f(−32)＞f(7)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．当x ∈（0，2）时，x （2﹣x ）的最大值为 ．14．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上的解析式为f （x ）＝x ﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0）上的解析式为 ． 15．已知函数f(x)={x 2+2ax +5，x ＜1a(x −2)，x ≥1在区间（﹣∞，+∞）上是减函数，则整数a 的取值为 ．16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y ＝D （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题，其中真命题的序号为 ．A．D（D（x））＝0；B．对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；C．任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；D．存在三个点A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，非空集合B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2+3m﹣9）x m﹣1（m∈R）为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若(2−a)m2+3＞(2a−1)m2+3，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（2x+1）＝4x2+2x+2．（1）求f（x）的解析式；（2）试判断函数g(x)=f(x)x在(√2，+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．20．（12分）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为y＝﹣x2+12x﹣9（x≤11，且x∈N*）．（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？21．（12分）已知函数f（x）＝2x2﹣2ax+3．（1）当a＝2时，求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的值域；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（a），求g（a）．22．（12分）已知函数f（x）在定义域R上恒为正，f(2)=12，对任意的a，b∈R，都有f（a）f（b）＝f （a+b），当x＜0时，f（x）＞1．（1）求f（0），f（8）的值；（2）用定义证明：f（x）为R上的减函数；（3）求不等式f(5t2−6t)＞116的解集．2023-2024学年安徽省六安二中河西校区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，A＝{x|x（x+3）＜0}，B＝{x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示集合（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜﹣1}解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、B的公共部分，即A∩B，又由A＝{x|x（x+3）＜0}＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|x＜﹣1}，则A∩B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：A．2．命题“∃x∈R，x2﹣2x+3＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+3≥0B．∀x∈R，x2﹣2x+3＜0C．∃x∉R，x2﹣2x+3＜0D．∀x∈R，x2﹣2x+3≥0解：命题“∃x0∈R，x02−2x0+3＜0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0．故选：D．3．对于实数a、b、c有如下命题①若a＞b则ac＞bc；②若ac2＞bc2则a＞b；③若a＜b＜0则a2＞ab＞b2；④若a＞b，1a ＞1b则a＞0，b＜0．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①若a＞b，当c≤0时，ac＞bc不成立；②若ac2＞bc2，则a＞b，正确；③若a＜b＜0，由不等式的性质：a2＞ab，ab＞b2，可得a2＞ab＞b2；④∵1a ＞1b，∴b−aab＞0，又a＞b，∴ab＜0因此a＞0，b＜0．其中正确的有②③④．故选：C．4．设函数f(x)={x−3，x≥10f(f(x+4))，x＜10，则f（9）＝（）A．6B．7C．9D．10解：根据题意，函数f(x)={x −3，x ≥10f(f(x +4))，x ＜10，则f （9）＝f （f （9+4））＝f （f （13））＝f （10）＝7， 故选：B ． 5．定义运算a ⊕b ={b ，a ≤b a ，a ＞b，则函数f （x ）＝x 2⊕|x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由已知给出的运算定义知，f （x ）＝x 2⊕|x |={x 2，x ≤−1或x ≥1|x|，−1＜x ＜1，∴选项B 符合题意．故选：B ．6．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]， ∴由﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， ∴f （2x ﹣1）的定义域是[0，1]， 故选：A ． 7．不等式1−x x+2≥0的解集为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，1]C ．（﹣∞，﹣2）D ．[1，+∞）解：由不等式1−x x+2≥0，可化为x−1x+2≤0，解得﹣2＜x ≤1，即不等式的解集为（﹣2，1]．故选：B ．8．若两个正实数x ，y 满足4x+1y=1，对这样的x ，y ，不等式x4+y ＞m 2−3m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） 解：由x4+y =(x4+y)(4x+1y)=2+4y x+x 4y≥2+2=4，当且仅当“x ＝4y ”时取等号，故m 2﹣3m ＜4，解得﹣1＜m ＜4， 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ） A ．f(x)=√x 2，g(x)=√x 33B ．f(x)=√x ⋅√x +1，g(x)=√x 2+xC ．y ＝x 0，y =1x 0D ．y =(√x +2)2与y ＝x +2（x ≥﹣2）解：f(x)=√x 2，g(x)=√x 33，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以不是相同函数． f(x)=√x ⋅√x +1，g(x)=√x 2+x ，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数． y ＝x 0，y =1x 0，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同函数． y =(√x +2)2与y ＝x +2（x ≥﹣2），两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同函数． 故选：CD ．10．∀x ∈R ，关于x 的不等式x 2﹣ax +a ＞0恒成立，则实数a 的值可以是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：∀x ∈R ，关于x 的不等式x 2﹣ax +a ＞0恒成立， 所以Δ＝a 2﹣4a ＜0，解得0＜a ＜4， 对照选项知实数a 的值可以是1，2，3． 故选：BCD ．11．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解集可能为（ ） A ．∅B ．（﹣1，a ）C ．（a ，﹣1）D ．（a ，+∞）解：二次不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0对应的方程为（x ﹣a ）（x +1）＝0，两根为a 和﹣1， 当a ＞﹣1时，不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解为﹣1＜x ＜a ， 则一元二次不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解集为（﹣1，a ）， 当a ＝﹣1时，不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0化为（x +1）2＜0，无解， 则一元二次不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解集为∅，当a ＜﹣1时，不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解为a ＜x ＜﹣1， 则一元二次不等式（x ﹣a ）（x +1）＜0的解集为（a ，﹣1）；故选：ABC ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，且对任意的x 1、x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （1023）＝0C ．f （x ）的图象关于（1，0）对称D ．f(−32)＞f(7)解：因为f （x +1）为奇函数，所以f （﹣x +1）＝﹣f （x +1），即函数f （x ）关于（1，0）对称， 故函数f （x ）不是奇函数，故选项A 错误，选项C 正确； 由函数f （x ）关于（1，0）对称知f （﹣x ）＝﹣f （2+x ），又因为f （x +2）为偶函数，所以f （﹣x +2）＝f （x +2），即函数f （x ）关于x ＝2对称， 则f （﹣x ）＝f （4+x ），所以f （4+x ）＝﹣f （x +2），即f （x +2）＝﹣f （x ）， 所以f （4+x ）＝﹣f （x +2）＝f （x ），所以f （x ）是周期为4的周期函数，所以f （1023）＝f （255×4+3）＝f （3）＝﹣f （1），又f （3）＝f （1），所以f （1）＝﹣f （1）， 所以f （1）＝0，所以f （1023）＝0，故选项B 正确； 对任意的x 1、x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以函数f （x ）在（1，2）上单调递增，又f(−32)=f(52)=f(32)，f(7)=f(3)=f(1)，所以f(32)＞f(1)， 所以f(−32)＞f(7)，故选项D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．当x ∈（0，2）时，x （2﹣x ）的最大值为 1 ．解：法（i ）因为x ∈（0，2），所以2﹣x ∈（0，2），则√x(2−x)≤x+(2−x)2=1，当且仅当x ＝2﹣x ，即x ＝1时，等号成立，即x （2﹣x ）≤12＝1，所以x （2﹣x ）的最大值为1．法（ii ）设y ＝x （2﹣x ）＝﹣x 2+2x ，开口向下，对称轴x ＝1∈（0，2）， 所以x ＝1时y max ＝﹣12+2×1＝1． 所以x （2﹣x ）的最大值为1． 故答案为：1．14．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上的解析式为f （x ）＝x ﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0）上的解析式为 f（x ）＝x +1 ．解：因为f （x ）是奇函数，当x ＜0时，﹣x ＞0，所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x ﹣1）＝x +1， x ＜0时，f （x ）＝x +1． 故答案为：f （x ）＝x +1．15．已知函数f(x)={x 2+2ax +5，x ＜1a(x −2)，x ≥1在区间（﹣∞，+∞）上是减函数，则整数a 的取值为 ﹣2或﹣1 ．解：函数f(x)={x 2+2ax +5，x ＜1a(x −2)，x ≥1在区间（﹣∞，+∞）上是减函数，则{−a ≥1a ＜01+2a +5≥−a ，解得﹣2≤a ≤﹣1，故整数a 的取值为﹣1或﹣2．故答案为：﹣2或﹣1．16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y ＝D （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题，其中真命题的序号为 BCD ． A ．D （D （x ））＝0；B ．对任意x ∈R ，恒有D （x ）＝D （﹣x ）成立；C ．任取一个不为零的有理数T ，D （x +T ）＝D （x ）对任意实数x 均成立；D ．存在三个点A （x 1，D （x 1）），B （x 2，D （x 2）），C （x 3，D （x 3）），使得△ABC 为等边三角形． 解：A 选项：若x 为有理数，则D （x ）＝1为有理数，D （D （x ））＝1，若x 为无理数，则D （x ）＝0为有理数，D （D （x ））＝1，A 选项错误；B 选项：若x 为有理数，则﹣x 为有理数，D （x ）＝D （﹣x ）＝1，若x 为无理数，则﹣x 为无理数，D （x ）＝D （﹣x ）＝0，B 选项正确；C 选项：若x 为有理数，则x +T 为有理数，D （x +T ）＝D （x ）＝1，若x 为无理数，则x +T 为无理数，D （x +T ）＝D （x ）＝0，C 选项正确；D 选项：对任意有理数x ，存在三个点A(x ，1)，B(x −√33，0)，C(x +√33，0)是边长为2√33的等边三角形的三个顶点，D 选项正确； 故答案为：BCD ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≤0}，非空集合B ＝{x |m ﹣3≤x ≤3m +3}． （1）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意，x 2﹣2x ﹣8≤0，解得﹣2≤x ≤4， ∴A ＝{x |﹣2≤x ≤4}，由“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，得A ⊆B ，则{m −3≤−23m +3≥4，解得13≤m ≤1，故实数m 的取值范围为{m|13≤m ≤1}；（2）由题意，B ≠∅得m ﹣3≤3m +3，即m ≥﹣3，由A ∩B ＝∅，得m ﹣3＞4或3m +3＜﹣2，解得m ＞7或m ＜−53， ∴−3≤m ＜−53或m ＞7，综上所述，实数m 的取值范围为[−3，−53)∪(7，+∞)．18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2+3m ﹣9）x m ﹣1（m ∈R ）为偶函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若(2−a)m 2+3＞(2a −1)m2+3，求实数a 的取值范围． 解：（1）由于函数f （x ）＝（m 2+3m ﹣9）x m ﹣1是幂函数，故m 2+3m ﹣9＝1，解得m ＝2或m ＝﹣5，当m ＝2时，f （x ）＝x 不是偶函数，不合题意； 当m ＝﹣5时，f （x ）＝x ﹣6是偶函数，符合题意．故f （x ）＝x ﹣6．（2）由（1）知m ＝﹣5，则原不等式化为(2−a)12＞(2a −1)12，结合幂函数y =x 12在[0，+∞）上为增函数，得{2−a ≥02a−1≥02−a ＞2a −1， 解得12≤a ＜1，即实数a 的取值范围为[12，1)． 19．（12分）已知函数f （2x +1）＝4x 2+2x +2． （1）求f （x ）的解析式；（2）试判断函数g(x)=f(x)x 在(√2，+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（1）f （2x +1）＝4x 2+2x +2＝（2x +1）2﹣（2x +1）+2，所以f （x ）＝x 2﹣x +2． （2）g(x)=f(x)x =x +2x−1， g （x ）在(√2，+∞)上单调递增，证明如下： 设√2＜x 1＜x 2，g(x 1)−g(x 2)=x 1+2x 1−1−(x 2+2x 2−1) =x 1−x 2+2x 1−2x 2=(x 1−x 2)x 1x 2x 1x 2+2(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−2)x 1x 2， 其中x 1﹣x 2＜0，x 1x 2﹣2＞0，x 1x 2＞0，所以g （x 1）﹣g （x 2）＜0， 所以g （x 1）＜g （x 2），所以g （x ）在(√2，+∞)上单调递增．20．（12分）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润y （单位：万元）与运转时间x （单位：年）的函数解析式为y ＝﹣x 2+12x ﹣9（x ≤11，且x ∈N *）． （1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ （2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 解：（1）y ＝﹣x 2+12x ﹣9＝﹣（x ﹣6）2+27，因为x ≤11，且x ∈N *，所以当x ＝6时，y ＝﹣x 2+12x ﹣9取得最大值，为27， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元，． （2）设年平均利润为w ，则w =yx =−x −9x +12=12−(x +9x )≤12−2√x ⋅9x =6，当且仅当x =9x ，即x ＝3时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2x 2﹣2ax +3．（1）当a ＝2时，求函数f （x ）在区间[﹣1，2]上的值域；（2）若函数f （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值记为g （a ），求g （a ）． 解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝2x 2﹣4x +3，函数f （x ）的图象对称轴为x ＝1， 则f （x ）＝2x 2﹣4x +3在[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 于是f （x ）min ＝f （1）＝1，f （x ）max ＝f （﹣1）＝9， 所以函数f （x ）在区间[﹣1，2]上的值域为[1，9]． （2）函数f （x ）＝2x 2﹣2ax +3图象的对称轴为x =a2，当a2≤−1，即a ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，1]上单调递增，则g （a ）＝f （﹣1）＝5+2a ；当−1＜a 2＜1，即﹣2＜a ＜2时，f （x ）在[−1，a 2)上单调递减，在(a 2，1]上单调递增，则g(a)=f(a2)=第11页（共11页） −a 22+3；当a 2≥1，即a ≥2时，f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，则g （a ）＝f （1）＝5﹣2a ， 所以g(a)={5+2a ，a ≤−2−a 22+3，−2＜a ＜25−2a ，a ≥2． 22．（12分）已知函数f （x ）在定义域R 上恒为正，f(2)=12，对任意的a ，b ∈R ，都有f （a ）f （b ）＝f （a +b ），当x ＜0时，f （x ）＞1．（1）求f （0），f （8）的值；（2）用定义证明：f （x ）为R 上的减函数；（3）求不等式f(5t 2−6t)＞116的解集． 解：（1）令a ＝b ＝0，则[f （0）]2＝f （0），又f （0）＞0，所以f （0）＝1． 因为f(2)=12，所以f(8)=f(2)f(6)=f(2)f(2)f(4)=[f(2)]4=116．（2）证明：设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2+x 2）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2）f （x 2）﹣f （x 2）＝f （x 2）[f （x 1﹣x 2）﹣1]， 又x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，所以f （x 1﹣x 2）＞1，又f （x 2）＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）为R 上的减函数．（3）由（1）知f(8)=116，则f(5t 2−6t)＞116即f （5t 2﹣6t ）＞f （8）， 又f （x ）在R 上单调递减，所以5t 2﹣6t ＜8，解得−45＜t ＜2，所以不等式f(5t 2−6t)＞116的解集为(−45，2)．。
安徽省六安中学高一数学下学期期中试题新人教A版
高一期中考试数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1 ( ) A 、22sin 15cos 15︒︒+ B 、2sin15cos15︒︒C 、22cos 15sin 15︒︒- D 、22sin 151︒-2、已知向量(1,2),(5,)a b k =-=，若//a b ，则实数k 的值为 ( )A 、5B 、5-C 、10D 、10-3、数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）A 、()2111+--=n n a B 、()2111+-+=n n a C 、()211--=n na D 、()211nna ---=4、在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A 、钝角三角形.B 、直角三角形.C 、锐角三角形.D 、不能确定.5、设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为 ( ) A 、-3 B 、-1 C 、1 D 、36、已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为A 、-7，2B 、5，2C 、-7，52 D 、5，527、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于( ) A 、21-B 、21C 、2-D 、28、函数21()cos 2f x x =-的周期为 （ ）Ａ、4π Ｂ、2πＣ、2π Ｄ、π 9、在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A 、1:2:3B 、3:2:1C 、D 、2 10、在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆ 为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形. 上述命题正确的是 （ ）BACA 、①② B、①④ C、②③ D、②③④ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11、已知()*1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=4a . 12、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算 出,A B两点的距离为 .13．在△ABC 中，||＝3，|AC |＝2，与AC 的夹角为60°，则|-AC |＝________ 14、设a 与b 为非零向量，给出下列结论：①若a 与b 平行，则a 与b 向量的方向相同或相反；②若,, AB a CD b ==a 与b 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；③若a 与b 共线，则a b a b +=+；④若a 与b 反向，则a a b b=-其中正确的结论是 .（填序号）答题卡二、填空题：11、________ 12、________ 13、________ 14、________三、解答题：(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15、已知：→a 、→b 、→c 是同一平面内的三个向量，其中→a =（1，2） （8分） （1）若|→c |=25，且→c ‖→a，求→c 的坐标（2）若|→b |=25，且→a +2→b 与2→a -→b 垂直，求→a 与→b 的夹角的大小。
安徽省六安市高一下学期期中数学试卷(创新班)
安徽省六安市高一下学期期中数学试卷（创新班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.填空题 (共14题；共17分)1. （2分） (2017高二下·西城期末) 已知非空集合A，B同时满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5}；②A∩B=∅；③card（A）∉A；④card（B）∉B．注：其中card（A）、card（B）分别表示A、B中元素的个数．如果集合A中只有一个元素，那么A=________；如果集合A中有3个元素，请写出一对满足条件的集合A，B：________．2. （1分） (2019高二下·常州期中) 若集合， ,则图中阴影部分所表示的集合为________．3. （1分） (2015高一上·霍邱期末) 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10cm，则扇形的面积是________ cm2 ．4. （2分）设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（x+y，xy），则A中（1，﹣2）的象是________，B中（1，﹣2）的原象是________．5. （1分） (2016高一上·武清期中) 函数f（x）= +lg（2﹣x）的定义域为________．6. （2分） (2019高一上·嘉兴期中) 计算： =________；=________．7. （1分）设是方程的解，且，则 ________.8. （1分） (2017高一上·山东期中) 若 = 则 =________.9. （1分） (2017高一下·广州期中) 已知角α的终边经过点P（，），则cosα的值是________．10. （1分） (2016高一上·常州期中) 已知函数f（x）= 是R上的增函数，则a的取值范围是________．11. （1分） (2016高一上·东海期中) 用二分法求函数f（x）=3x﹣x﹣4的一个零点，其参考数据如下：f（1.6000）=0.200f（1.5750）=0.067f（1.5625）=0.003f（1.5563）=﹣0.029f（1.5500）=﹣0.060据此数据，可得方程3x﹣x﹣4=0的一个近似解（精确到0.01）是________．12. （1分）(2016·淮南模拟) 已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．13. （1分）(2017高二下·河北期末) 用表示，中的最小值，已知函数，，设函数（），若有个零点，则实数的取值范围是________．14. （1分） (2017高一上·徐汇期末) 已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B=________．二、综合题 (共6题；共55分)15. （10分） (2019高二下·常州期中) 已知集合（）, .（1）若，求；（2）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围．16. （10分） (2019高三上·西湖期中) 已知函数（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合；（2）若为锐角，，求的值.17. （5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对∀a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），且当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）若f（3）=﹣1，解不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2．18. （5分） (2018高一上·天门月考) 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A商品金额（万元）123456获纯利润（万元）0.65 1.39 1.852 1.84 1.40投资B商品金额（万元）123456获纯利润（万元）0.250.490.761 1.26 1.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一下资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大利润（结果保留两个有效数字）．19. （15分） (2017高一上·孝感期中) 已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）用单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．20. （10分） (2019高二上·潜山月考) 设是上的奇函数，，当时， .（1）求的值；（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.参考答案一、一.填空题 (共14题；共17分)1-1、2、答案：略3、答案：略4、答案：略5、答案：略6、答案：略7-1、8、答案：略9、答案：略10、答案：略11、答案：略12、答案：略13-1、14、答案：略二、综合题 (共6题；共55分)15、答案：略16、答案：略17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20、答案：略。
皖西中学高一数学试卷理(B)
皖西中学高一数学试卷理（B ）时间：120分钟 分数：150分同学们，当你拿到此试卷，本场考试开始，请你将答案写在答题卷上，祝大家考个好成绩一、 选择题：()06512'='⨯1．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，则直线AB 和D A 1的距离为（ ） A ．1 B ．21 C ．22D ．2 2．下列命题正确的是 （ ）A ．四边形确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．三点确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面 3．已知三条直线,,a b l 及平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若,b a α⊂∥b ,则a ∥α B ．若,,a b αα⊥⊥则a ∥bC ．若,a b ααβ⊂⋂=，则a ∥b D ．.若,,,,a b l a l b αα⊂⊂⊥⊥则l α⊥4．在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则练习 数数，数到2008时对应的指头是（ ） A 、大拇指 B 、食指 C 、中指 D 、无名指5．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，则这个几何体可能是()A ．圆柱B ．三棱柱C ．圆锥D ．圆台 6．已知0,10a b <-<<，则下列不等式中成立的是 A ．2a ab ab >> B ．2abab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时二面角C BD A --的大小为为（ ）A ．090 B ．060 C ．045 D ．0308．正方体''''D C B A ABCD -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与A CCN 所成的角是（ ）A ． 0B ． 45C ． 60D ．909．下列说法不正确的．．．．是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.10．下列各式中，对任何实数．．．．x 都成立．．．的一个式子是（ ） A ．()2lg 1lg2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x +≥11．如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则这圆锥的侧面积与全面积的比是（ ）A ．1:2B ．2:3 C． D．12．已知圆柱的体积是20πcm 3，侧面积是40πcm 2，那么它的高是（ ） A ．24 cm B ．20cm C ．16cm D ．8cm 二、填空题（6144'='⨯）13．不等式x x x2522>--的解集是________．14．三视图都为圆的几何体是_________ __15．正方体''''D C B A ABCD -中，AC 与'BD 所成角_______________16.已知正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ，且AP=2,则PC ＝ ；答 题 卷一、选择题：()06512'='⨯二、填空题（6144'='⨯）13． 14． 15 16三、解答题()47'17()21'．如图，在四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行 四边形，求证：MN ∥平面PAD 。
安徽省六安市皖西中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
安徽省六安市皖西中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}*19U x N x =∈≤≤，集合{}1,2,3,5A =，{}2,3,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}1,6B ．{}2,6C ．{}1,2,6D ．{}1,5,62．“1x ∀<，21x <”的否定是（ ） A ．1x ∀<，21x ≥ B ．1x ∀≥，21x ≥ C ．1x ∃<，21x ≥D ．1x ∃≥，21x ≥3．已知函数2,1()1,11x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()2f f -的值为（ ）A ．29-B ．15-C ．13D ．64．已知0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b <B ．11a b< C ．2ab b <D ．b a a b< 5．“a c >且b d >”是“a b c d +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．幂函数y ＝f （x）的图象经过点(8,，则f （x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数y =的单调递增区间为（ ） A ．(-∞，32] B ．[32，+∞) C ．[32，2] D ．[1，32] 8．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y =y =B ．y x =与y =C ．y x =与y =D ．xy x=与0y x = 9．若不等式212x mx +>在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．(][),11,-∞-+∞ C ．[]1,1-D ．()1,1-10．下列命题中错误的是（ ）A ．当0x >2≥ B ．当2x >时，12x x+≥C ．当04x <<2≤D ．当32x <时，421223x x -+≤-- 11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(3)f a f +≥-，则a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞-B ．[2,)+∞C ．[4,2]-D ．(,4][2,)-∞-+∞12．已知函数24,1()(23)45,1x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨+-+>⎩，若f (x )在R 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A ．(12，1] B ．[12，32] C ．(12，+∞) D ．[1，2]二、填空题13．定义集合运算：{},,A B z z x y x A y B ⊗==+∈∈，设{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的子集的个数为______．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =+，则当0x <时，()f x =______．15．函数()f x x =+______．16．若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递增，且(1)0f =，则满足(2)0xf x -<的x 的取值范围是______．三、解答题17．已知集合{}(2)(3)0A x x x =+-<，{}13B x k x k =-<<-． （1）当1k =-时，求A B ；（2）若AB B =，求实数k 的取值范围．18．（1）已知函数f (x )的定义域为(0，2)，求f (x +3)的定义域；（2）已知函数f (x +2)=x 2-4x +8，求f (x )的解析式，并求函数f (x )在区间[-2，7]上的最大值与最小值.19．已知x >0，y >0，4x +y =3. （1）求xy 的最大值； （2）求312x y+的最小值. 20．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}22210B x x mx m =-+-≤．（1）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若x A ∀∈，243x m x +≥+恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数22(2)1()1a x x b f x x-+++=+是定义在R 上的奇函数. （1）求f (x )的解析式；（2）证明：f (x )在(1，+∞)上是减函数； （3）求不等式f (1+3x 2)+f (2x -x 2-5)>0的解集. 22．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①,(,0)(0,)x y ∀∈-∞⋃+∞，()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x >且(2)1f =．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值；（3）求不等式(32)()4f x f x -+≥的解集．参考答案1．A 【分析】分别求出集合A 和B 的交集和并集，可得阴影部分所表示的集合． 【详解】{}2,3,5A B =，{}1,2,3,5,6A B ⋃=则图中阴影部分所表示的集合是{}1,6 故选：A 2．C 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可． 【详解】“1x ∀<，21x <”的否定是“1x ∃<，，21x ≥” 故选：C 3．B 【分析】 先求()2f -，代入()()2f f -计算可得答案．【详解】()()()22226f -=---=，则()()()1126165f f f -===-- 故选：B 4．D 【分析】利用不等式的性质逐一判断选项，可得答案． 【详解】0a b <<，220a b ∴>>，110a b>>，A 错误，B 错误； 0b <，2ab b ∴>，C 错误；110,0a b b a ->->->->，0a bb a∴>>，D 正确； 故选：D5．A 【分析】结合不等式的性质，分别讨论充分性与必要性，即可选出答案. 【详解】当a c >且b d >时，根据不等式的性质，可得a b c d +>+；当a b c d +>+时，不能推出a c >且b d >，比如取2,2a b ==，1,3c d =-=. 所以“a c >且b d >”是“a b c d +>+”的充分不必要条件. 故选：A. 6．D 【分析】先根据幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(8,，求得幂函数解析式，然后根据函数的图象和性质判断. 【详解】 设幂函数a y x =因为幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(8,，所以8a =，即33222a ==，所以332a =， 解得12a =所以幂函数12y x ==[0,)+∞，在[0,)+∞上递增越来越慢，故选：D 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和图象与性质，属于基础题. 7．D 【分析】先求得函数的定义域，然后再利用二次函数，结合复合函数的单调性求解. 【详解】令2320t x x =-+-≥，解得12x ≤≤，所以函数的定义域为[1，2]，因为t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减且y=()0,∞+上递增，所以函数的单调递增区间为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D 【点睛】方法点睛：求复合函数y ＝f [g (x )]单调性的方法：若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数； 若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 8．D 【分析】根据两函数为同一函数的要求分别判断两函数的定义域和解析式是否相同，从而得到结果. 【详解】A 选项：y ={}2x x ≥；y ={2x x ≤-或}2x ≥ ∴两函数不是同一函数B 选项：y x =与y 定义域均为R ；y x ==，可知两函数解析式不同∴两函数不是同一函数C 选项：y x =与y =R ；y x ==，可知两函数解析式不同∴两函数不是同一函数D 选项：x y x =与0y x =定义域均为：{}0x x ≠；01x y x x===，可知两函数解析式相同 ∴两函数是同一函数本题正确选项：D 【点睛】本题考查同一函数的判断，关键是明确两函数为同一函数要求两函数的定义域和解析式都相同，属于基础题. 9．D由一元二次不等式在R 上恒成立，可得∆<0，求解即可. 【详解】由题意，一元二次不等式2210x mx -+>在R 上恒成立， 所以()2240m ∆=--<，解得()1,1m ∈-.故选：D. 10．B 【分析】利用基本不等式可判断选项A ；利用对勾函数的性质可判断选项B ；利用基本不等式可判断选项C ；利用基本不等式可判断选项D ． 【详解】对于A ，当0x >2≥=，当且仅当1x =时取等号，正确； 对于B ，当2x >时，115222x x +>+=，错误；对于C ，当04x <<2≤=，当且仅当4x x =-，即2x =时取等号，正确； 对于D ，当32x <时，230x -<，44212324222323x x x x -+=-++≤-+=---，当且仅当12x =时取等号，正确； 故选：B 11．D 【分析】由()f x 是偶函数以及在[0,)+∞上是增函数，列不等式解出a 的取值范围即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，则(1)(3)f a f +≥-即(1)(3)f a f +≥- ()f x 在[0,)+∞上是增函数，则13a +≥，即13a +≥或13a +≤-解得2a ≥或4a ≤-12．B 【分析】根据函数24,1()(23)45,1x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨+-+>⎩，f (x )在R 上是增函数，则每一段都为增函数，且1x =左侧的函数值不大于右侧的函数值求解. 【详解】因为函数24,1()(23)45,1x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨+-+>⎩，f (x )在R 上是增函数，所以2123014(23)145a a a a a ≥⎧⎪+>⎨⎪-+≤+⨯-+⎩，解得1322a ≤≤， 故选：B 13．8 【分析】根据A B ⊗的定义即可求出{}2,3,4A B ⊗=，从而得出子集的个数． 【详解】∵{}2,3,4A B ⊗=含有3 个元素 ∴集合A B ⊗的子集为个数为328=个． 故答案为：8． 14．2x - 【分析】当0x <时，0x ->，利用()f x 是定义在R 上的奇函数求解即可． 【详解】当0x <时，0x ->，则()()2f x x f x -=-+=- 即()f x =2x - 故答案为：2x -15．[)1,+∞ 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设)0t t =≥，则21x t =+，所以原函数可化为：()2210y t t t =++≥，由二次函数的知识可得221y t t =++在[)0,+∞上单调递增，所以当0t =时min 1y =所以值域为：[)1,+∞ 故答案为： [)1,+∞ 16．()()1,22,3⋃ 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递增，且(1)0f =，()f x ∴在(0,)+∞单调递增，且(1)0f -=，当0x =时，不等式(2)0xf x -<不成立，当0x >时，不等式(2)0xf x -<等价为(2)0f x -<，即021x <-<，解得23x <<； 当0x <时，不等式(2)0xf x -<等价为(2)0f x ->，即120x -<-<，解得12x <<，舍去；综上，实数x 的取值范围是()()1,22,3⋃ 故答案为：()()1,22,3⋃ 17．（1）{}|24A B x x =-<<；（2）0k ≥．【分析】（1）分别化简集合A ，B ，利用并集定义求解即可；（2）AB B =即B A ⊆，分B φ=和B φ≠两种情况，分别列出不等式，可得实数k 的取值范围． 【详解】（1）集合{}{}(2)(3)0|23A x x x x x =+-<=-<< 当1k =-时，{}24B x x =-<<，则{}|24A B x x =-<<；（2）AB B =即B A ⊆若B φ=，则13k k -≥-，解得2k ≥，符合题意；若B φ≠，则131233k k k k -<-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得02k ≤<综上可得，实数k 的取值范围是0k ≥18．（1）(3,1)--；（2）2()820f x x x =-+，()max 40f x =，min ()4f x =.【分析】（1）函数f (x )的定义域为(0，2)，令032x <+<求解. （2）令2t x =+，则2x t =-，代入2(2)48f x x x +=-+求解，然后利用二次函数的性质求最值. 【详解】 （1）()f x 的定义域为(0,2)，02x ∴<<，∴032x <+<，31x ∴-<<-，即()f x 的定义域为(3,1)--. （2）令2t x =+，则2x t =-.∵2(2)48f x x x +=-+，∴2()(2)4(2)8f t t t =---+2820t t =-+， ∴2()820f x x x =-+.()f x 的对称轴为直线4x =，开口方向向上，()f x ∴在[]2,4-上递减，在[]4,7上递增，∴当4x =时，min ()(4)4f x f ==，()426743--=>-=，()max (2)f x f ∴=-，当2x =-时，()240f -=.()max 40f x ∴=.19．（1）916；（2）16. 【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值； （2）对312x y +变形为：312332413x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝=⎝+⎭⎭，然后运用基本不等式求解即可. 【详解】（1）4x y +≥，3≥ 当且仅当4x y =时取等号，即33,82x y ==时取等号. 916xy ≤， 所以xy 的最大值为916. （2）因为413x y+=，所以312416881633x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫++=++≥=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当16x y y x=时取等号，即33,82x y ==时取等号. 所以312x y+的最小值为16.【点睛】方法点睛：条件4x +y =3可变形为413x y+=， 根据“1”的变形使用，可得312332413x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝=⎝+⎭⎭，即可运用均值不等式求解. 20．（1）[]0,1；（2）254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）求出集合B ，由题意可得出B A ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（2）由参变量分离法可知，不等式234m x x ≥-++对任意的[]1,2x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质求出函数234y x x =-++在区间[]1,2-上的最大值，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）解不等式22210x mx m -+-≤，即()21x m -≤，解得11m x m -≤≤+， 所以，{}11B x m x m =-≤≤+.由于p 是q 的必要非充分条件，则B A ，所以1112m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01m ≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]0,1；（2）由x A ∀∈，都有243x m x +≥+，得234m x x ≥-++，[]1,2x ∈-，令223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈-，当32x =时，y 取最大值为254，所以，254m ≥. 因此，实数m 的取值范围是254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围，同时也考查了利用一元二次不等式在区间上恒成立求参数，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解． 21．（1）2()1xf x x =+；（2）证明见解析；（3）{}|21x x -<<. 【分析】（1）根据奇函数定义列关系，求参数即得解析式； （2）利用单调性定义证明即可；（3）先移项，再利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】解：（1）∵函数()2221()1a x x b f x x -+++=+为定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =，(1)(1)f f -=-，即()()1021121122b a b a b +=⎧⎪⎨--++-+++=-⎪⎩， 解得2,1a b ==-，∴2()1xf x x =+； （2）证明：设12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()()()()()2212211212222212121111111+-+--==++++x x x x x x x x x x x x ， ∵120x x -<，2110x +>，2210x +>，1210x x -<，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >∴()f x 在(1,)+∞上是减函数； （3）由()()2213250f xf x x++-->，得()()221325f x f x x +>---.∵()f x 是奇函数，∴()()221325f x f x x +>-+.又∵2131x +>，2225(1)41x x x -+=-+>，且()f x 在(1,)+∞上为减函数，∴221325x x x +<-+，即22240x x +-<，解得21x -<<， ∴不等式()()2213250f x f x x++-->的解集是{}|21x x -<<.【点睛】已知奇偶性求解析式时，可以通过特殊值代入列关系求参数，但是证明奇偶性时必须对定义域内的任一x ,证明()()f x f x -=-.利用奇偶性和单调性解不等式的关键是脱去f ，列关系即可.22．（1）()f x 为偶函数；（2）最大值为(4)(4)2f f =-=；（3）{2x x ≤-∣或83x ⎫≥⎬⎭． 【分析】（1）先用赋值法求(1)(1)0f f =-=，再令1y =-，得到()()f x f x -=，从而得到函数()f x 的奇偶性；（2）由奇偶性和单调性，求得函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值； （3）将不等式转化为[(32)](16)f x x f -≥，根据奇偶性和单调性，再转化为|(32)|16x x -≥，求出解集.【详解】（1）令1x y ==，则(1)0f =；令1x y ==-，则[(1)(1)](1)(1)f f f -⋅-=-+-，得(1)0f -=． 由()()()f x y f x f y ⋅=+，令1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-， ∴()()f x f x -=．又函数()f x 的定义域关于原点对称， ∴函数()f x 为偶函数．（2）∵(4)(22)(2)(2)f f f f =⨯=+，且(2)1f =，∴(4)2f =． 又由（1）知函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上是偶函数， 以下证明()f x 在()0,+∞上是增函数： 任取12,x x ∈()0,+∞，不妨设12x x >，则()()()()()111122222222x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120x x >>，121x x ∴>，120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()120f x f x ->， 故()f x 在()0,+∞上是增函数∴函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为(4)(4)2f f =-=．（3）∵(32)()[(32)]f x f x f x x -+=-，422(4)(4)(16)f f f =+=+=， ∴原不等式等价于[(32)](16)f x x f -≥，又函数()f x 为偶函数，且函数()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴原不等式又等价于|(32)|16x x -≥， 即(32)16x x -≥或(32)16x x -≤-， 得232160x x --≥或232160x x -+≤， 得2x -≤或83x ≥， ∴不等式(32)()4f x f x -+≥的解集为{2x x ≤-∣或83x ⎫≥⎬⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性与最值，考查抽象函数解不等式，解决本题的关键是先由赋值法，得出4(4)(4)(16)f f f =+=，再由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为|(32)|16x x -≥，并去掉绝对值解出不等式，可得不等式的解集，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．。
2021-2022学年安徽省六安市高一下学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省六安市高一下学期期中数学试题一、单选题1．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是,αβ（ ）A ．若，则B ．若，则//,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m nC ．若，则D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m αB【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性//m n ,m n 质可判断； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的//m n //αβ,αβ位置关系可判断或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而//m αα//l m l β//，故，故B 正确；//l n //m n C ：若，则或相交，故C 错误；//,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误.//,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．在△ABC 中，若其面积为S ，且=，则角A 的大小为（ ）AB ACA ．30°B ．60°C ．120°D ．150°A【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.【详解】因为，而，所以1sin 2S AB AC A =⋅⋅cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅，所以.1cos sin 2AB AC A AB AC A⋅⋅=⨯⋅⋅tan A =30A ︒=故选：A4．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A B C ．D ．2+1C【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.1S 1S =【详解】等腰梯形的面积()11111cos 45211sin 4522S =+⨯︒⨯+⨯⨯︒=+则原平面图形的面积12S ==故选：C.5．如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E 是BC 的中点，111 ABC A B C -111A B C 则下列叙述正确的是（ ）A ．直线与直线是异面直线B ．直线与直线AE 是共面直线1CC 1B E 1CC C ．直线AE 与直线是异面直线D ．直线AE 与直线是共面直线11B C 1BB C【分析】根据异面直线的判定定理求解即可.【详解】由于与均在平面内，不是异面直线，故A 错误；1CC 1B E 11BCC B 平面，平面，点不在直线上，所以和是异面1CC ⋂ABC C =AE ⊂ABC C AE 1CC AE 直线，故B 错误；平面， 平面，点不在直线上，则与是AE ⋂11BCC B E =11B C ⊂11BCC B E 11B C AE 11B C 异面直线，故C 正确；平面， 平面，点不在直线上，则与是AE ⋂11BCC B E =1B B ⊂11BCC B E 1B B AE 1B B 异面直线，故D 不正确.故选：C方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.6．直三棱柱的6个顶点在球的球面上.若，.，111ABC A B C -O 3AB =4AC =AB AC ⊥，则球的表面积为（ ）112AA =O A ．B ．C ．D ．1694π169π288π676πB【分析】由于直三棱柱的底面为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -ABC 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直111ABC A B C -径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体，则球是长方体1111ABEC A B E C -O 的外接球.所以体对角线的长为球的直径.因此球的外接圆直径1111ABEC A B E C -1BC O O为，故球的表面积.213R ==O 24169R ππ=故选：B.本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：ABCDEFGH ||1OA →=图1 图2①与的夹角为；②；③；④在OA→OH→3πODOF OE→→→+=|||OA OC DH→→→-=OA→（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为OD→ee→OD→（）A．①B．②C．③D．④C【分析】根据图形的特征进行判断即可.【详解】由图:正八边形，ABCDEFGH因为与的夹角为，故①错误；OA→OH→4π因为，故②错误；OD OF→→→+=因为,故③正确；|||||OA OC CA DH→→→→-==因为在上的投影向量与向量反向，故④错误；OA→OD→OD→故选：C本题主要考查向量的加减法及向量的投影向量等，属于简单题.8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，ABC120A=︒，且，和的面积分别为，，对于给定的正数m，AB AD⊥AD m=ACD△ABD△1S2S当取得最小值时，等于（）b c+12SSABCD．34A【分析】由，即ABCABD ACDS S S =+ 2bm cm =+21b c +不等式，结合“乘1法”即可求出取到最小值时，化简得解.b c +b 【详解】由题可知，由三角形面积公式可得：ABC ABD ACDS SS =+ ，即111sin120sin 30222bc cm bm =+ 2bm cm =+21b c +==，b c +()b c +21c b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭23b bc c ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭()33⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭当今当即时能取到最小值，此时=2=c b b c b b c +12S S 1sin 30212=2c bm cmb故选：A .二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．若，，，则x y R ∈22x yi i +=+2x y ==B ．若复数，满足，则1z 2z 22120z z +=120z z ==C ．若复数为纯虚数，则z 22z z =D ．若复数满足，则的最大值为z 12z -=z i+2AD【分析】A 由复数相等条件即可判断正误；B 、C 应用特殊值法，代入验证即可；D 根据的几何含义：以为圆心2为半径的圆，求为该圆上的点到12z -=(1,0)maxz i +最大距离，判断正误.(0,1)A -【详解】A ：由复数相等知：，有，正确；22x yi i +=+2x y ==B ：若，有，错误；121,z z i==22120z z +=C ：若时，，错误；z i =2211z z =≠=-D：令，则为圆O ：，而表示圆O 上的点到z x yi =+12z -=22(1)4x y -+=maxz i +的最大距离，所以，正确.(0,1)A -max 2||2z i OA +=+=故选：AD.10．下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）A ．若，则a b= a b =B ．已知，，则a b ∥b c ∥ a c ∥C ．若非零向量，，，满足，则a b ca b a c ⋅=⋅ b c= D ．若，则且a b =a b= a b∥ABC【分析】A 选项，当且方向相同，才有，故A 错误，D 正确；B 选项a b=,a b a b =可以举出反例，C 选项利用向量的数量积推导出，故C 错误.cos ,cos ,b a b c a c= 【详解】A 选项，，但向量方向可能不同，故A 错误；a b= 若，则满足，，但可能不平行，故B 错误；0b =a b ∥b c ∥ ,a c 若，即，因为，，均为非零向量，所以a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c⋅=⋅ a b c ，故不一定成立，C 错误；cos ,cos ,b a b c a c= b c = 若，则且，D 正确.a b = a b=a b∥故选：ABC11．下列说法正确的是（ ）A ．在中，是的充要条件ABC sin sin A B <BC AC <B ．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象sin 2y x =6πsin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．存在实数，使得等式成立x 3sin cos 2x x -=D ．在中，若，则是钝角三角形ABC 222sin sin sin A B C +<ABC ABD【分析】根据正弦定理，余弦定理，可判断A 、D 的正误；根据图象平移原则，可判断B 的正误；根据辅助角公式及正弦型函数的性质，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由正弦定理可得，sin sin BC ACA B =因为，所以，sin sin A B <BC AC <同理，若，则有，BC AC <sin sin A B <所以是的充要条件，故A 正确；sin sin A B <BC AC <对于B ：将函数的图象向右平移个单位长度，sin 2y x =6π可得，故B 正确；sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于C ：，3sin cos 42x x x π⎛⎫--≤<⎪⎝⎭所以不存在x ，满足，故C 错误；3sin cos 2x x -=对于D ：在中,因为，由正弦定理可得，ABC 222sin sin sin A B C +<222a b c +<所以，所以，为钝角，故D 正确.222cos 02a b c C ab +-=<,2C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：ABD.12．如图，直三棱柱中，，，，侧面111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=中心为O ，点E 是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）11AA C C 1BBA ．直三棱柱侧面积是B ．直三棱柱体积是4+13C ．三棱锥的体积为定值D ．的最小值为1E AA O-1AE EC +ACD【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A 与B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱中，，，111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+ABC 111A B CA 正确；24=+直三棱柱的体积为，故B 不正确；1111212ABC V S AA ∆==⨯⨯⨯=由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定1BB ∴1E AA O-，2，故C 正确；114AA O S ∆=∴1E AA O V -=1316设BE ＝x，则B 1E ＝2﹣x ，在和中，∴＝[]0,2∈Rt ABC ∆11Rt EB C ∆1AE EC +即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，D 正确．E 1BB=故选：ACD ．本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题．三、填空题13．已知向量，，则与夹角的余弦值是______．()2,1a =()1,1b =a ab +【分析】求出向量的坐标，利用平面向量夹角的坐标表示可求得结果.a b + 【详解】由已知可得，所以，.()3,2a b +=()cos,a a b a a b a a b⋅+<+>===⋅+ 故答案为14．在中，已知，则________________．ABC 3,2,AB AC BC ===AB BC ⋅=152-【分析】先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．cos B【详解】解：222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⨯⨯ ．∴||||cos()||||cos 3215AB BC AB BC B AB BC B π⋅=⋅-=-⋅=-=-故．152-15．如图，在中，已知，ABC 2AB =，，，，线段AM ，BN 相交于点P ，则6AC =60BAC ∠=︒2BC BM =3AC AN =的余弦值为___________.MPN∠【分析】依次算出、、，然后可得答案.BN AM ⋅ ||AM BN【详解】由已知，，，，得，2AB =2AN =60BAC ∠=︒2BN =又由得1()2AM AB AC =+ ||AM == 因为，13BN AC AB=- 所以2211111()()||||||||cos 60232623BN AM AC AB AB AC AC AB AB AC ⋅=-⋅+=--︒=所以cos cos ,||||BN AM MPN BN AMBN AM ⋅∠=〈〉==16．如图，长方体中，分别为1111ABCD A B C D -112AD DD AB ===，，,,E F G 中点，点P 在平面内，若直线平面，则线段长度11,,AB BC C D ABCD 1//D P EFG 1D P 的最小值是___________.【分析】首先找出过点且与平面平行的平面，然后在所作的平面内找线段1D EFG 长度的最小值即可.1D P 【详解】连接，11,,D A D C AC因为分别为中点，,,E F G 11,,AB BC C D 所以，又因为面，面，所以面，//AC EF EF ⊄1ACD AC ⊂1ACD //EF 1ACD 同理面，//EG 1ACD 又因为，所以面面，EG EF E = //EFG 1ACD 因为直线平面，所以点在直线上，且当时，线段的长1//D P EFG P AC 1D P AC⊥1D P 度最小，在中，，1ACD △1AD=2AC =1CD =所以，1cos D AC ∠=1sin D AC∠=所以，1122ACD S =⨯=在中，设边上的高为，1ACD △AC h 则，即线段1122ACD S h =⨯⨯= h =1D P 故答案为四、解答题17．已知复数是方程的解.12,z z 210z z -+=(1)求的值；1211z z +(2)若复平面内表示的点在第四象限，且为纯虚数，其中，求的值.1z ()1i z a ⋅+a R ∈a (1)1(2)【分析】（1）由求根公式求得；12zz==12111z z+=（2）由（1）得到，求得，根据为纯112z=()1iz a⋅+=()1iz a⋅+虚数，得到，即可求解.a=【详解】(1)解：由题意，复数是方程的解，12,z z210z z-+=由求根公式，可得.12z z==12111z z+==(2)解：由（1）且表示的点在第四象限，所以.1z112z=又由，()1iz a⋅+=因为为纯虚数，则，解得()1iz a⋅+0a=a=18．在中，，为边上一点，且．ABC1AB=D BCπ3ADB∠=(1)若为边上的中线，求边的最大值；AD BC AC(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．AD BAC∠ABCAC(2)(22，AC∈【分析】（1）在与中分别用余弦定理，再应用基本不等式即可求解ABD△ACD△的最大值；AC（2）设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定BAD CADθ∠=∠=θABD△ACD△理，得到与的关系求解即可.AC tanθ【详解】(1)设，，又为边上的中线，所以，DA m=DB n=AD BC DC n=在中，由余弦定理得，，又，ABD△222π2cos3DA DB DA DB AB+-⋅⋅=1AB=所以，①221m n mn+-=在中，由余弦定理得，，ACD△2222π2cos3DA DC DA DC AC+-⋅⋅=即，②222m n mn AC++=由①＋②得，222+12()AC m n=+又由①得（当且仅当时取等号），2222112m n m n mn ++=++≤=1=m n 所以，222m n +≤所以，即2+1AC ≤4AC 综上，当且仅当时，边1m n ==AC (2)因为为的平分线，AD BAC ∠所以可设，则，，BAD CAD θ∠=∠=2π3B θ=-π3C θ=-因为为锐角三角形，所以，ABC 2032022ππθπθ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以.ππ64θ<<在中，由正弦定理得，③ABD △π2πsin sin()33AB ADθ=-在中，由正弦定理得，④ACD △2ππsin sin()33AC AD θ=-④÷③得，2πsin()3πsin()3AC AB θθ-==-1AB =所以，又，AC tan t θ=ππ64θ<<所以，所以在上为增函数，t ∈AC1=-所以．(22AC ∈，19．如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、1111ABCD A B C D -1A C 1BDC O AC 交于点， 为的中点，为的中点．求证：BD M E AB F 1AA(1)三点共线；1C O M 、、(2)、、、四点共面；E C 1D F (3)、、三线共点．CE 1D F DA (1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）可证、、三点在平面与平面内，从而可证三点共线.1C O M 11ACC A 1BDC （2）可证，从而可得四点共面.1//EF CD （3）设与交于一点P ，可得P 在上，从而可得三线共点.CE 1D F DA 【详解】(1)∵平面，∴，平面；1A C 1BDC O =1O A C ∈O ∈1BDC 又∵平面，∴平面；1AC ⊂11ACC A O ∈11ACC A ∵、交于点M ，∴，；AC BD M AC ∈M BD ∈又平面，平面，AC ⊂11ACC A BD ⊂1BDC ∴平面，平面；M ∈11ACC A M ∈1BDC 又平面，平面；1C ∈11ACC A 1C ∈1BDC ∴、、三点在平面与平面的交线上，1C O M 11ACC A 1BDC ∴、、三点共线；1C O M (2)连接，EF∵E 为的中点，F 为的中点，∴，AB 1AA 1//EF BA 又∵，，∴四边形是平行四边形，11//BC A D 11BC A D =11BCD A ∴；∴，∴E 、F 、C 、D1四点共面；11//BA CD 1//EF CD (3)∵平面平面，ABCD 11ADD A AD=设与交于一点P ，则：，平面，CE 1D F P CE ∈CE ⊂ABCD ∴平面，同理，平面，P ∈ABCD P ∈11ADD A ∴平面平面，P ∈ABCD 11ADD A AD=∴直线、、三线交于一点P ，即三线共点.CE 1D F DA20．已知函数．()21sin cos 222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若对任意，都有成立，求的取值范围；,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x a ≥a （2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向()y f x =左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间内的所6π()y g x =()13y g x =-[],3ππ-有零点之和．(1) .(2) 1a ≤-6π【分析】(1)先由倍角公式以及两角和的正弦公式进行化简，再求出函数的最小值即可求出a 的范围；(2)根据函数图像的对称性即可求出结果.【详解】（1）.()1cos2sin 226fx x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭若对任意，都有成立，则只需即可,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x a ≥()min f x a ≥∵，∴，32x ππ-≤≤552666x πππ-≤-≤∴当，即时， 有最小值，故.262x ππ-=-6x π=-()f x 1-1a ≤-（2）依题意可得，由得，()sin g x x =()103g x -=1sin 3x =由图可知，在上有4个零点： ，1sin 3x =[],3ππ-1234,,,x x x x 根据对称性有，34125,2222x x x x ππ++==从而所有零点和为.12346x x x x π+++=本题主要考查三角函数的值域以及函数图像的对称性，熟记两角和与差的正弦公式等以及图像的变换即可，属于常考题型.21．如图四棱锥P -ABCD 的底面为平行四边形，E 是PB 的中点，过A ，D ，E 的平面α与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：平面PAD ；∥l (2)求平面α截四棱锥P -ABCD 所得的上、下两部分几何体的体积之比．(1)证明见解析(2)3:5【分析】（1）由，得到平面，根据平面与平面的交线为，AD BC ∥AD ∥PBC αPBC l 结合线面平行的性质定理，即可证得平面；∥l PAD （2）设l 与PC 交于点F ，则F 为PC 的中点，连接DF ，DE ，DB ，EC ，设四棱锥P -ABCD 的体积为V ，得到，，进而求得平面截四棱锥4E ABD E BDC VV V --==8D EFC V V -=αP -ABCD 所得的下面部分的几何体的体积，求得上、下两部分几何体的体积之比．【详解】(1)证明：因为，且平面，平面，所以AD BC ∥AD ⊄PBC BC ⊂PBC 平面，AD ∥PBC 又平面与平面的交线为，且平面，则，αPBC l AD ⊂αAD //l 又平面，平面，故平面.l ⊄PAD AD ⊂PAD ∥l PAD (2)解：设l 与PC 交于点F ，则F 为PC 的中点，连接DF ，DE ，DB ，EC ，设四棱锥P -ABCD 的体积为V ，则．4E ABD E BDC V V V --==又由，则，2D BEC E BDC D EFCV V V ---==8D EFC V V -=所以平面截四棱锥P -ABCD 所得的下面部分的几何体的体积为，α54488V V V V ++=所以上面部分几何体的体积为，38V故平面截四棱锥P -ABCD 所得的上、下两部分几何体的体积之比为．α3:522．“精准扶贫，修路先行”，为解决城市A 和山区B 的物流运输问题，方便B 地的农产品运输到城市A 交易，计划在铁路AD 间的某一点C 处修建一条笔直的公路到达B地．示意图如图所示，千米，．已知农产品的AB =BD =45BDA ∠=︒铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B 到A 的总运费为百元．为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设y y 千米；方案2：设．AC x =BCD θ∠=（1）试将分别表示为关于、的函数关系式和；y x θ()y f x =()y g θ=（2）请只选择一种方案，求出总运费的最小值以及此时的长度．y AC（1）；；（2）()120)f x x x =+<<6030cos ()90(0135)sin g θθθθ-=+︒<<︒选择见解析；90AC =-90+【分析】（1）分别利用余弦定理及正弦定理求解即可；（2）利用判别式法求出方案一的最值，再利用正弦函数的有界性求解方案二的最值，比较即可求解.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得，2222cos 45AD AD =+-⨯⨯︒得，或(舍去)26090080AD AD --⨯=120AD =60-方案①：在△ABD sin A =，(0,)2A π∈cos A =在△ABC 中，设，由余弦定理，AC x =22222cos 1809000BC x x A x x =+-⨯⋅=-+∴()2120)f x AC BC x x =+=+<<方案②：在△BCD 中，由正弦定理，sin 45BC ︒30sin BC θ=又，得，sin 45sin(135)BC CD θ=︒︒-30(sin cos )sin CD θθθ+=30cos 12090sin AC CD θθ=-=-∴6030cos ()290(0135)sin g AC BC θθθθ-=+=+︒<<︒（2）若选择方案①，令y x =+22()4(1809000)y x x x -=-+整理得，2232(360)490000x y x y +-+⨯-=由得，，得舍)0∆≥218090600y y -+⨯≥90y ≥+90y ≤-∴min 90y =+360903yx -==-即90AC =-90+若选择方案②，令，则，2cos sin y θθ-=sin cos 2y θθ+=()2θϕ+=，得，又，∴sin()1θϕ+=≤23y ≥0y >y ≥令，得，，时，2cos sin θθ-sin(30)1θ+︒=0135θ︒<<︒60θ=︒miny此时min ()90g θ=+90AC =-总运费的最小值为90+。
安徽省六安市城南中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题
安徽省六安市城南中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．选择题：（每题5分，共12题，计60分）2N,0N ,3,5Q Z +-∈∈∈-∈1.已知：，其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知全集{1,0,1,2,3}U =-，{0,1}A =，则C U A =（ ）A ．{01}，B ．{2,3}C ．{1,2,3}-D ．{1,0,2,3}-3．已知集合{}03A x x =<<，集合{}260B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}23x x <<B ．{}04x x <<C ．{}33x x -<<D ．{}4x x <4．已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（ ） A ．“1x ∃<，使21x >.” B ．“1x ∃<，使21x ≤.” C ．“1x ∀≥，都有21x >.” D ．“1x ∀≥，都有21x ≤.”6.函数的定义域为 ( )（A ）），（21 （B ）]2,1[ （C ）(][)+∞∞-,21, （D ）),2()1,(+∞-∞ 7. 函数则f (f (1)) = ( )（A ）3 （B ）-2 （C ）0 （D ）1 8.若()0,2x ∈，则()2x x -的最大值是（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29.若1)x 2++=ax x f （在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A ．1(,]4-∞B ．(]4-，∞C ．[)∞+，4D ．1[,)4+∞10.已知不等式220ax bx -+<的解集为{}2|1x x <<，则a b +=（ ）A.1B.2C.3D.411.已知0x >，0y >，且64=xy ，求x y +的最小值（ ） A.16 B.14C.12D.1012.设函数f （x ）＝{)0(24)022≤++>x x x x （，则关于x 的方程f （x ）＝x 的解的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 二．填空题：（每题5分，共4题，计20分） 13.集合{}3,2,1=A 的真子集的个数是_________． 14.已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==，则AB =________．15．函数y=f(x)的定义域为[-2,3]，则函数f(x-2)定义域为________．16．已知集合{}11A x x =-<<，{}23B x a x a =≤≤+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．三．解答题：（共6题，计70分） 17．(本小题满分10分) 设0x y <<，试比较()()22x y x y ++与()()22xy x y --的大小18.(本小题满分12分)已知集合{}28|A x x =≤≤，B ={x |a +1<x <2a -1}，U =R .（1）若a ，6=BA A C C u u )(,求（2）若φ=B A ，求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知f (x )为一次函数，且满足f (x －1)+f (x )＝4x . （1）求f (x )的解析式；（2）求)()(x f x x g ⋅=的最值及单调区间.20.(本小题满分12分)已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数， （1）比较)0(f 与）（21f 的大小（2）若(1)(21)f m f m ->-，求m 的范围．21. (本小题满分12分).某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.22.(本小题满分12分)已知函数()mf x xx=+，且此函数图象过点(1,5)．（1）求实数m的值；（2）判断函数()f x在(0,2)上的单调性？并证明你的结论．高一秋学期期中考试数学试卷参考答案：二．选择题：（2）-6 A C C A D B 7--12 C B C D A C三．填空题： （3） 7 14. {}1,3,5 15. [0,5] 16. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2四．解答题:17.2222()()()()x y x y x y x y ++---222()[()]x y x y x y =++--2()xy x y =+........................................6分∵0x y <<，∴0xy >，0x y +<...................................8分 ∴2()0xy x y +<..........................................9分∴2222()(()()x y x y x y x y +-<-+..........................................10分 18. （1）{}1176〈〈==x x B a 时，当}{82〉〈=x x x A C u 或，}{118)(〈〈=x x B A C u .......................................6分（2）当121a a +≥-，即2a ≤时，φ=B ，满足φ=B A .当121a a +<-，即2a >时，φ≠B.由于2a >，所以13a +>.由于φ=B A ，所以187a a +≥⇒≥.综上所述，a 的取值范围是2a ≤或7a ≥..........................................12分19. （1）设）（0)(≠+=k b kx x fxb kx b x k 4)1(=+++-，12,1,2+===x x f b k ）（即......................................6分（2）x x x x x xf x g +=+==22)12()()(81)41(2)(2-+=x x g81)(g 41min -=-=x x 时，当....................................10分.,41)(),41,()(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞---∞的单调增区间为的单调减区间为x g x g ....................................12分20. （1）()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，0<21所以)21()0(f f 〉.......................5分（2）解：根据题意，()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(1)(21)f m f m ->-，则有1211111211m m m m -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解可得：213m <<，即m 的取值范围为2(3，1)； (12)分21.由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解析式y ＝kx ，又因过点（100，40），得解析式为y ＝x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝×50＝20元.....................................6分（2）当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60. 则有解得所以解析式为y ＝x ＋20，故所求函数关系式为y ＝.................................12分22.解：（1）根据题意，函数()mf x x x=+，函数图象过点(1,5)， 则有511m=+，解可得4m =，.................................4分 （2）根据题意，由（1）的结论，4()f x x x=+，函数()f x 在(0,2)上为减函数； 证明：设1202x x <<<， 则121212121212121244444()()()()()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+-+=-+-=-，又由1202x x <<<，则120x x -<，1240x x -<，则12()()0f x f x ->，故函数()f x 在(0,2)上为减函数．.................................12分。
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
六安2023年秋学期高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A.1x ∃≤，20x x ->B.1x ∀>，20x x -≤C.1x ∃>，20x x -≤D.1x ∀≤，20x x ->【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是1x ∃>，20x x -≤.故选：C.2.若12162x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B =I ð（）A.{}14x x <≤ B.{}14x x ≤< C.{}14x x << D.{}14x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合A 与集合B ，再由补集和交集知识进行求解即可.【详解】由12162x ≤≤，得14222x -≤≤，∵2x y =在R 上单调递增，∴解得14x -≤≤，∴{}1216142x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，又∵501x x -≥-()()51010x x x ⎧--≥⇔⎨-≠⎩，解得1x <或5x ≥，∴501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭{1x x =<或}5x ≥，∴{}15B x x =≤<R ð，又∵{}14A x x =-≤≤，∴(){}14A B x x ⋂=≤≤R ð.故选：D.3.已知p ：12a >，q ：指数函数()()32xf x a =-是增函数，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出命题q 中a 的范围，判断两个命题间的充分性与必要性即可.【详解】因为指数函数()()32xf x a =-是增函数，所以3211a a ->⇒>，又p ：12a >，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：C4.若0.62a =，30.6b =，0.63c =，则它们的大小关系是（）A.c a b >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数0.6y x =和0.6x y =的单调性即可比较.【详解】因为0.6y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.60.60.6123<<，即1c a >>又0.6x y =在R 上单调递减，所以300.60.6<，即1b <，综上，c a b >>.故选：A5.若,x y 满足0,0,3x y xy x y >>=+，则3x y +的最小值为（）A.10+B.10+C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为3xy x y =+，0,0x y >>，两边同除xy 得131x y+=，所以()133********y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当4x y ==时等号成立，故选：D .6.已知函数()x f x a b =+的图象如图所示，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数()x f x a b =+的图象可求得,a b 的范围，再根据二次函数的图象即可得解.【详解】函数()x f x a b =+的图象是由函数x y a =的图象向下或向上平移b 个单位得到的，由函数()x f x a b =+的图象可得函数为单调递减函数，则01a <<，令0x =得()11,0b +∈-，则()2,1b ∈--，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为A 选项.故选：A .7.设定义在()2,2-上的函数()2112x f x x +=-，则使得()()121f x f x +>-成立的实数x 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C.()0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】()()()211=2x f x x x f -+=---，且定义域是()2,2-，所以()f x 为偶函数，且2112,x y x y +=-=在()0,2均为增函数，所以()f x 在()0,2为增函数，且()f x 为偶函数，所以()()121f x f x +>-，即1212122212x x x x ⎧+>-⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩，解得01x <<.故选：C8.已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y +=++（,R x y ∈），当0x >时，()10f x +>且()12f =，若当[]1,3x ∈时，()()221f ax x f x ++<有解，则实数a 的取值范围为（）A.9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.8,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.(),2-∞- D.82,9⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】证明函数单调递增，变换得到()()231f ax x f +<，根据单调性得到231ax x +<，计算函数最值得到答案.【详解】设12x x <，故()2110f x x -+>，则()()()()()2121112110f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-+>，函数单调递增，()()221f ax x f x ++<，即()222f ax x x ++<，即()()231f ax x f +<，即231ax x +<在[]1,3x ∈有解，即221313924a x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭，2max1398249x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫--=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，故8,9a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C.不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭D.0a b c ++>【答案】AC 【解析】【分析】由题意可得3,4-是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，然后利用根与系数的关系表示出,b c ，再逐个分析判断即可.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为(][),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；且方程20ax bx c ++=的两根为－3、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩.对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，因为12b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，所以21210x x -->，解得14x <-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确.故选：AC .10.以下从M 到N 的对应关系表示函数的是（）A.R M =，R N =，1:f x y x→=B.R M =，{}0N y y =≥，:f x y x →=C.{}0M x x =>，R N =，:f x y →=D.*{|2,N }M x x x =≥∈*{|0,N },N y y y =≥∈2:22f x y x x →=-+【答案】BD 【解析】【分析】判断从M 到N 的对应关系是否表示函数，主要是判断集合M 中的每一个元素在集合N 中是否都有唯一的元素与之对应即可.【详解】对于A 选项，因0,M ∈而0没有倒数，故A 项错误；对于B 选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应，故B 项正确；对于C 选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M 中的每个元素在集合N 中都有两个元素与之对应，故C 项错误；对于D 选项，因2222(1)1,y x x x =-+=-+当*2,N x x ≥∈时，即有*,2,N y y ∈≥且每个x 对应唯一的y 值，故必有y N ∈成立,故D 项正确.故选：BD.11.已知函数()33f x x =--，下列说法正确的是（）A.()f x 定义域为[)(]3,00,3-B.()f x 在(]0,3上单调递增C.()f x 为奇函数D.()f x 值城为()3,3-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的性质逐个判定即可.【详解】对于A ：函数定义域需满足290330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]3,00,3x -∈ ，A 正确；对于B ：当(]0,3x ∈时()f x ====，在(]0,3单调递减，所以()f x 在(]0,3内单调递增，B 正确；对于C ：由A 知函数定义域为[)(]3,00,3- ，所以()f x ==，所以()()f x f x x-==-，所以()f x 为奇函数，C 正确；对于D ：由B 知()f x 在(]0,3内单调递增，所以(]0,3x ∈时()(],0f x ∈-∞，又由C 知()f x 为奇函数，所以[)3,0x ∈-时()[)0,f x ∈+∞，所以()f x 得值域为(),-∞+∞，D 错误，故选：ABC12.一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.函数()922f x x=-不存在跟随区间B.若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2a =C.二次函数()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”D.若函数()f x m =-存在跟随区间，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，由题，因为函数()922f x x=-在区间(),0∞-与()0,∞+上均为增函数，若()922f x x =-存在跟随区间[],a b 则有922922a ab b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即,a b 为922x x =-的两根．即22940x x -+=的根，故1,42a b ==，故A 错误．对于B 选项，若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，因为()222f x x x =-+在区间[]1,a 为增函数，故其值域为21,22a a ⎡⎤-+⎣⎦，根据题意有222a a a -+=，解得1a =或2a =，因为1a >故2a =，故B 正确．对于C 选项，若()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，易得()22f x x x =-+在区间上单调递增，此时易得,a b 为方程232x x x =-+的两根，求解得=1x -或0x =.故定义域[]1,0-，则值域为[]3,0-．故C 正确．对于D 选项，若函数()f x m =-存在跟随区间[],a b ，因为()f x m =-为减函数，故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩即()()11a b a b a b -=+-+=-（，因为a b <1=．易得01≤<．所以(1a m m ==--，令t =[]()0,1t ∈代入化简可得20t t m --=，同理t =也满足20t t m --=，即20t t m --=在区间[]0,1上有两不相等的实数根．故1400m m +>⎧⎨-≥⎩，解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故D 错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.)2232711644-⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【详解】原式2332345194134⨯⎛⎫=⨯+-=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1314.已知函数()f x 的定义域为()1,3，则函数()3g x -=的定义域为________.【答案】()5,6【解析】【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可.【详解】因为()f x 的定义域为()1,3，所以()3f x -满足13346x x <-<⇒<<，又函数()3g x -=有意义，所以505x x ->⇒>，所以函数()3g x -=的定义域为()5,6，故答案为：()5,615.已知)132fx +=++，则()f x 的解析式为________.【答案】()2354f x x x =-+，1x ≥【解析】【分析】换元法求解表达式，第一步令括号内的表达式为t ,第二步将表达式中的x 换成t 即可.【详解】)132f x +=++的定义域为[)0,∞+.令1,1t t =≥，则2(1)x t =-，所以，由)132fx +=++得()23(1)2,1f t t t =-++≥，即()2354,1f t t t t =-+≥.于是()2354,1f x x x x =-+≥.故答案为：()2354,1f x x x x =-+≥.16.已知函数()f x x x a =-，当[]0,1x ∈时()f x 的最大值为3，则实数a 的值为________.【答案】2-或4【解析】【分析】化简()f x x x a =-解析式为分段函数形式，讨论0a ≤时，结合最大值求得a 的值；0a >时，数形结合，讨论12a ≥和1122a a +<£以及112a <，确定函数在何处取得最值，求得a 的值，综合可得答案.【详解】由题意知函数的定义域为R ，()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a ≤时，由[]0,1x ∈得()()2224a a f x x x a x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，所以当1x =时，()max 13,2f x a a =-=∴=-，当0a >时，()f x 的图象如图所示，当12a≥，即2a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增,所以()f x 函数在[0,1]上的最大值为(1)13,4f a a =-=∴=，当1122a a <£，即22a ≤<时，()f x 在[0,1]上的图象在2a x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为2(324a a f ==，不符合题意；当112a <，即02a <<-时，()f x 在[0,1]上的图象在1x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为(1)13,2f a a =-==-，不符合题意，故a 的值为2-或4，故答案为：2-或4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合U =R ，{}03A x x =≤≤，{}21,R B x m x m m =≤≤+∈.（1）2m =，求A B ⋃；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）{}05A B x x ⋃=≤≤（2）()[],10,1-∞-⋃【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.【小问1详解】当2m =时，{}25B x x =≤≤，因为{}03A x x =≤≤，所以{}05A B x x ⋃=≤≤【小问2详解】由题意“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件得B AÜ①若B =∅，则21m m >+，解得1m <-；②若B ≠∅，则21m m ≤+，解得1m ≥-；B A Ü，∴0213m m ≥⎧⎨+<⎩或0213m m >⎧⎨+≤⎩，∴01m ≤≤综合①②得：m 的取值范围是()[],10,1-∞-⋃.18.已知幂函数()()233af a a x x =-+为偶函数，a ∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1g x f x x =++，求函数()g x 的解析式.【答案】（1）()2f x x=（2）()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【解析】【分析】（1）根据题意，由幂函数的定义，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由函数的奇偶性求解函数解析式，即可得到结果.【小问1详解】()f x 为幂函数，∴2331a a -+=，解得1a =或2a =，又()f x 为偶函数，∴2a =，∴()2f x x =.【小问2详解】由（1）得，当0x >时，()21g x x x =++①当0x =时，()0g x =；②当0x <时，0x ->；∴()()()2211g x x x x x -=-+-+=-+，∴()()21g x g x x x =--=-+-综上得()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩19.已知二次函数()f x 是R 上的偶函数，且()04f =，()15f =.（1）设()()f x g x x=，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间[)2,+∞上单调递增；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()()()21212f x a x a x <-+++.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求的()f x ，应用定义法证明函数的单调性；（2）分类讨论两根的大小关系即可求解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，（0a ≠）()f x 为偶函数，∴0b =.()04f =，∴4c =，∴()24f x ax =+又()15f =，∴1a =，∴()24f x x =+，∴()244x g x x x x+==+.证明：[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <，()()12121244g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x --=[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，∴120x x -<，1240x x ->，120x x >∴()()120g x g x -<，∴()()12g x g x <∴()g x 在[)2,+∞上单调递增.【小问2详解】()()2241212x a x a x +<-+++整理得：()22120ax a x -++<，因式分解得()()120ax x --<当0a >，方程()()120ax x --=的两根为1a 和2，且1122aaa--=.①当102a <<时，12a >，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭②当12a =时，12a =，原不等式的解集为∅③12a >时，12a <，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上：当102a <<时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当12a =时，不等式的解集为∅当12a >时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.20.天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元（0x ≥）满足关系式91ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为6万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为432a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）（1）求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【答案】（1）3k =,361121y x x =--+，0x ≥（2）当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元【解析】【分析】（1）由题意求得k ，再利用利润公式即可求得y 关于x 的函数；（2）利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，当0x =时，96a k =-=，∴3k =，∴391a x =-+，所以43632201241121y a a x a x x a x ⎛⎫=+--=+-=-- ⎪+⎝⎭，∴361121y x x =--+，0x ≥.【小问2详解】因为3636112113111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭113101≤-=，当且仅当3611x x =++，即5x =时，等号成立.∴当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元.21.已知函数()133x x bf x a++=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意()1,2x ∈，不等式()()222210f x x f x k +-+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3a =，1b =-.（2）4k ≤【解析】【分析】（1）利用()00f =，()()11f f -=-，求得a ，b 的值，再检验即可；（2）先证明()f x 为R 上单调递增，再结合奇偶性可得2321k x x <+-恒成立，利用二次函数的性质求得()2321g x x x =+-，()1,2x ∈的最小值，进而可解.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数得()1003b f a +==+，∴1b =-，∴()1313xx f x a+-=+，又()()11f f -=-，解得3a =，∴()()1313133331x x x x f x +--==++，则()()()()()311331331313331x xx xxxf x f x ------===-=-+++∴()f x 为R 上的奇函数，∴3a =，1b =-.【小问2详解】()()()31312121331331331x x x x x f x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()212121122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++，因为3x y =在R 上单调递增，所以当12x x <时，1233x x <，即12330x x -<，又2110,1033x x +>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上单调递增.()1,2x ∀∈，()()22221f x x f x k +->--由()f x 为奇函数，上式可变形为()()22221f x x f k x+->-由()f x 为R 上增函数得22221x x k x +->-即2321k x x <+-恒成立，令()2321,12g x x x x =+-<<，而()2214321333g x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()g x 在()1,2单调递增，所以()()14g x g >=，∴4k ≤.22.已知定义在R 上的函数()142xx f x m m +=⋅--（m ∈R ）.（1）当1m =时，求()f x 的值域；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（3）若函数()y g x =的定义域内存在0x ，使得()()002g a x g a x b ++-=成立，则称()g x 为局部对称函数，其中(),a b 为函数()g x 的局部对称点，若()1,0是()f x 的局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[)2,-+∞（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，由换元法，结合二次函数值域，即可得到结果；（2）根据题意，分0,0,0m m m =<>讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】当1m =时，()1421xx f x +=--令20x t =>，()2221122y t t t =--=--≥-，∴()f x 的值域为[)2,-+∞.【小问2详解】令22x t =>，22y mt t m=-- 2x t =在()1,+∞上单调递增，∴要使()f x 在()1,+∞上单调递增，只需22y mt t m =--在()2,+∞上单调递增①当0m =时，2y t m =--在()2,+∞上单减不符合题意；②当0m <时，22y mt t m =--开口向下不符合题意；③当0m >时，012m m>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得12m ≥，∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由()1,0是()f x 的局部对称点得x ∃∈R ，()()110f x f x ++-=代入整理得()()2442220x xxx m m --+-+-=①令222x x t -=+≥，则()22442222x x x xt --+=+-=-代入①式得22250mt t m --=，2225252tm t t t==--当2t ≥时，函数2y t =和5y t=-均为增函数∴52t t -在[)2,+∞上单调递增，∴5322t t -≥，∴240,32t t t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦-，∴实数m 的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
2021-2021学年安徽省六安市第一中学高一下学期期中数学(理)试题(解析版)
2021-2021学年安徽省六安市第一中学高一下学期期中数学（理）试题一、单选题 1．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．0a b +< B ．22a b <C ．2ab b <D ．2ab a <【答案】D【解析】首先根据题意得到0b a <<，再依次判断选项即可. 【详解】 因为110a b <<，所以110b a a b ab--=<. 又因为0a <，0b <，所以0b a <<.对选项A ，因为0b a <<，所以0a b +<，故A 正确.对选项B ，()()220a b a b a b -=-+<，即22a b <，故B 正确.对选项C ，()20ab b b a b -=-<，即2ab b <，故C 正确.对选项D ，()20ab a a b a -=->，即2ab a >，故D 错误.故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于简单题.2．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4a =，5b =，45A ︒=，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无法确定【答案】C【解析】利用a 与sin b A ⋅的大小关系判断，若sin b A a b ⋅<<，则ABC 有两解；若sin b A a ⋅=，则ABC 有一解；若sin a b b A >>⋅，则ABC 有一解，若sin a b A <⋅时无解.【详解】如图所示，因为5sin 5sin 4545A ⋅=⋅<<，所以ABC 有两解. 故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形时解的个数问题，属于简单题.一般地，当已知两边a 、b 及角A 解三角形时，根据a 与sin b A ⋅的大小关系判断解的情况.3．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 【答案】B【解析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.4．已知向量(1,2)AB =-，(4,1)BC =-，则向量AC 在向量BA 方向上的投影为（ ） A ．25B ．55-C 5D 25【答案】C【解析】先算出AC 和BA 的坐标，然后即可求出答案. 【详解】因为(1,2)AB =-，(4,1)BC =- 所以()()3,1,1,2AC AB BC BA =+==-所以向量AC 在向量BA 方向上的投影为31125AC BA BA⨯+⨯-⋅==故选：C 【点睛】本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单. 5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且38568a a a a +=，则2122210log log log a a a +++=…（ ）A ．22log 5+B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】根据等比中项性质可得3856a a a a =，再根据对数运算，即可得答案； 【详解】3856564a a a a a a ⇒==，()5521222102562log log log log log 45210a a a a a +++===⨯=…，故选：D. 【点睛】本题考查等比中项性质和对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 2B a c c+=，则ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】利用倍角公式化简边角关系式，再利用正弦定理把关系式转化为角的关系式，化简后可得cos 0C =，从而可得正确选项． 【详解】 因为22cos2B a c c +=，故cos 1a cB c++=即cos c B a =， 由正弦定理可得sin cos sin C B A =，故()sin cos sin sin cos cos sin C B B C B C B C =+=+， 整理得到sin cos 0B C =.因为()0,B π∈，故sin 0B >，从而cos 0C =，而()0,C π∈，故2C π=.故ABC 为直角三角形. 故选：A ．【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.化简中注意三角变换公式的合理使用．7．已知ABC 的重心为O ，且4AB =，6BC =，8AC =，则BO AC ⋅=（ ） A ．203-B ．203C ．283D ．16【答案】B【解析】作出AC 边上的中线BD ，根据重心的性质及三角形法则将BO 、AC 用基向量BC 、BA 表示，从而将BO AC ⋅转化为三角形边长之间的计算. 【详解】设BC 边上的中线为D ，因为O 为ABC 的重心，所以23BO BD =， 又因为4AB =，6BC =， 所以()()221332BO BD BA AC AC BC BC BA ⨯+⋅⋅=⋅=- ()2212033BC BA =-=. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量数量积的运算，属于基础题. 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若190S >，200S <，则11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是（ ）A ．88S aB ．99S aC ．110S aD ．1111S a 【答案】C【解析】由条件得到此数列为递减数列，进而可以推出1231011120a a a a a a >>>>>>>>，12100S S S <<<<，1011121920210S S S S S S >>>>>>>>，进而可得出答案.【详解】 由119191019()1902a a S a +==>，得到100a >；由12020101120()10()02a a S a a +==+<，得到110a <，∴等差数列{}n a 为递减数列， 且1231011120a a a a a a >>>>>>>>，12100S S S <<<<,1011121920210S S S S S S >>>>>>>>,当10n ≤时，0,0n n S a >>，且10S 最大，10a 最小，所以110S a 最大；当1119n ≤≤时，0,0n n S a ><，此时0nnS a <； 当20n =时，20200,0S a <<，且20100S S <<，20100a a >>，所以202010202010S S S a a a =<， 综上所述，11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是1100S a . 故选：C ． 【点睛】此题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，以及数列的函数特性，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解决本题的关键，属于中档题.9．若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤B ．12a ≥C ．10a ≤D ．10a ≥【答案】A【解析】原不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解等价于2284a x x ≤-++在13x ≤≤内有解， 等价于()[]2max284,1,3a x x x ≤-++∈，再根据二次函数的性质即可求出结果. 【详解】原不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解等价于2284a x x ≤-++在13x ≤≤内有解，设函数()[]2284,1,3f x x x x =-++∈，所以原问题等价于()max a f x ≤ 又当2x =时，()max 12f x =， 所以12a ≤. 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查函数与方程思想和等价化归与转化思想．属于基础题．10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，35S =，78920a a a ++=，则15S =（ ） A ．315 B ．155 C ．120 D ．80【答案】B【解析】首先根据题意得到32q =，根据35S =得到151a q=--，再将15S 化简求值即可. 【详解】由题知：()123789126631234a a a a a a a a a a a q a q ++++===++++， 又因为0n a >，所以32q =.因为()313151a q S q-==-，所以151a q=--.()()()5315111511513215511a q a q S q q⎡⎤--⎢⎥⎣⎦===-⨯-=--.故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和，同时考查等比数列的性质，属于中档题. 11．已知Rt AOB 的面积为4，O 为直角顶点，设向量||OA a OA =，||OBb OB =，2OP a b =+，则AP BP ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．4-D ．3-【答案】D【解析】首先，以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴建系，(),0A m ，()0,B n ，根据Rt AOB 的面积为4得到8mn =，再利用基本不等式求AP BP ⋅的最大值即可. 【详解】由题知，以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴建系， 设(),0A m ，()0,B n ，且0m >，0n >，则8mn =.()1,0||OA a =OA =，()0,1||OBb OB ==，()21,2OP a b =+=. 则()1,2P ，()1,2AP m =-，()1,2BP n =-， 则()5253AP BP m n ⋅=-+≤-=-， 当且仅当2m n =，即2n =，4m =时取等号. 故AP BP ⋅的最大值为3- 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运行，同时考查了基本不等式，属于中档题.12．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为（ ） A ．200- B ．0C ．200D ．10000【答案】A【解析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解.【详解】记数列{}n c 的前200项和为n T ，122001223199200200201n T c c c a a a a a a a a =++=++++++++123419920012012[()()()]a a a a a a a a =++++++-+()()()2222[41169200199]1201=-+-++-+-22[3711399]1201=⨯+++++-()2100339921201402004040112002+=⨯+-=-+=-.故选：A 【点睛】本题考查等差数列求和公式、分组求和法，属于基础题.二、填空题13．若向量a ，b 满足3||2a =，||1b =，()a a b ⊥-，则|2|a b +=________．【解析】先根据()a a b ⊥-得到34a b ⋅=，再利用该式计算2|2|a b +可得所求的模. 【详解】因为()a a b ⊥-，故()0a a b ⋅-=，所以234a b a ⋅==， 又222|2|443317a b a a b b +=+⋅+=++=，故|2|7a b +=.. 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a a a =；（2）计算角，cos ,a b a ba b⋅=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=.14．若关于x 的方程22310x ax a -+-=有两个实数根1x ，2x ，且1201x x <<<，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(1,3)【解析】首先设()2231f x x ax a =-+-，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可.【详解】设()2231f x x ax a =-+-，由题知：()()()2222941001011310a a f a f a a ⎧∆=-->⎪⎪=->⎨⎪=-+-<⎪⎩，解得13a <<. 故答案为：(1,3) 【点睛】本题主要方程的根所在区间问题，将题意转化为函数的零点问题为解题的关键，属于简单题.15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，95S a =-，则使得n n S a ≥成立的最大正整数n 的值为________． 【答案】10【解析】根据等差数列的求和公式和通项公式写出相应等式，进而化简求得140a d +=，由n n S a ≥可知， 10n S -≥，可得出101S -=()1995101002a a S a +===.进而得出结论即可. 【详解】 解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，95S a =-，∴()1198942a d a d ⨯+=-+，即140a d +=. ∴50a =，0d <.由n n S a ≥可知，0n n S a -≥，即10n S -≥ 则101S -=()19959902a a S a +===，80S >.∴满足n n S a ≥即10n S -≥成立的最大正整数n 的值为10.故答案为：10. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，考查分析能力和运算能力，属于基础题.16．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =22sin c a C =，则a 的最大值为________． 【答案】3【解析】由正弦定理可得2sin c A =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-234sin 2sin cos A A A =+-，对其化简可得2π54sin 26a A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而可求出a 的最大值.【详解】由22sin c a C =，可得sin 2sin sin c C A C =， 因为sin 0C ≠，所以2sin c A =， 由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-234sin 2sin cos A A A=+-()321cos22A A =+--1324cos 222A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭π54sin 26A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以当π3π262A +=，即2π3A =时，π54sin 25496A ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，此时2a 取得最大值9.所以a 的最大值为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，利用三角函数求最值是解决本题的关键，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若a ，b ，c 依次成等比数列，求11tan tan A C+的值．【答案】（1）3π；（2）3． 【解析】（1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角差的余弦公式进一步化简可求得tan B ，从而求得角B ；（2）由等比数列的性质可得2b ac =，再利用正弦定理进行边化角，带入11tan tan A C+通分后的式子即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，又ABC 中，sin 0A ≠，故1sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即sin B B =，化简得tan B = 又(0,)B π∈，所以角B 的大小为3π． （2）由a ，b ，c 依次成等比数列得2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，故11cos cos sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin sin 3A C A CB AC A C A C A C B ++=+====． 【点睛】本题考查正弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题. 18．设函数2()(1)1f x mx m x =-++．（1）若对任意的x ∈R ，均有()0f x m +≥成立，求实数m 的取值范围； （2）若0m >，解关于x 的不等式()0f x <． 【答案】（1）13m ≥；（2）答案见解析． 【解析】（1）本题首先可以根据题意得出2(1)10mx m x m -+++≥对任意的x ∈R 成立，然后令0m =，显然不满足题意，排除，最后令0m ≠，通过对0m >⎧⎨∆≤⎩进行求解即可得出结果；（2）本题首先可将()0f x <转化为(1)(1)0x mx --<，然后分为1m =、1m 、01m <<三种情况依次进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，()0f x m +≥对任意的x ∈R 成立， 即2(1)10mx m x m -+++≥对任意的x ∈R 成立， ①当0m =时，10x -+≥，显然不符合题意；②当0m ≠时，只需00m >⎧⎨∆≤⎩，即()()21410m m m m >⎧⎪⎨+-+≤⎪⎩， 化简得()()03110m m m >⎧⎨-+≥⎩，解得13m ≥，综上所述，13m ≥. （2）由()0f x <得2(1)10mx m x -++<，即(1)(1)0x mx --<，①当1m =时，2(10)x -<，解集为∅；②当1m 时，11m <，解集为1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当01m <<时，11m >，解集为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立的求法以及解含参数的一元二次不等式，可借助判别式以及因式分解进行求解，考查计算能力，考查分类讨论思想，是中档题.19．已知数列{}n a 中，12a =，11232n n n a a ++=+⋅．（1）设2nn na b =，证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；(32)2nn a n =-⋅；（2）110(35)2n n S n +=+-⋅【解析】（1）根据题意，计算可得13n n b b +-=，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出n b 的表达式，从而得出{}n a 的通项公式； （2）根据错位相减法，求出数列{}n a 的前n 项和n S 即可. 【详解】（1）将11232n n n a a ++=+⋅的两边同时除以12n +，可得11322n nn n a a ++-=，即13n n b b +-=， 又12a =，故数列{}n b 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以32n b n =-，则(32)2nn a n =-⋅． （2）121242(32)2n n S n =⨯+⨯++-，① 则23121242(32)2n n S n +=⨯+⨯++-，②①②相减得：()123411232222(32)2n n n S n +-=⨯+++++--()11341221(232)2n n n -+⨯-=+---112(32)2103n n n ++=-+⨯--1)10(352n n +-=--，所以110(35)2n n S n +=+-⋅．【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，考查求数列的通项与数列的求和问题，熟记等差数列概念、通项公式及等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =，2222cos cos b c a ac C c A +-=+．（1）求sin sin b cB C++的值；（2）若bc b c =+，求△ABC 的面积．【答案】（1）（2）2【解析】（1）由题意，可得2222cos cos cos 22b c a ac C c AA bc bc+-+==，进而可得sin 1cos 2sin 2B A B ==，从而可求出角A ，结合sin sin sin b c a B C A +=+，可得出答案；（2）由余弦定理得2218cos 2b c A bc+-=，整理得2()318b c bc +-=，结合bc b c =+，可求出bc ，再结合1sin 2ABCSbc A =可求出答案．【详解】（1）由2222cos cos b c a ac C c A +-=+，得2222cos cos 22b c a ac C c A bc bc+-+=， 所以sin cos sin cos sin()sin 1cos 2sin 2sin 2sin 2A C C A A CB A B B B ++====，即1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =，所以sin sin sin b c a B C A +===+ （2）由余弦定理得22118cos 22b c A bc+-==，即2()318b c bc +-=，又bc b c =+，故2()318bc bc -=，解得6bc =， 故△ABC的面积为11sin 62222ABC S bc A ==⨯⨯=△． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231112322n S S S S n n n ++++=+…． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 【答案】（1）2n S n =，*n N ∈；21n a n =-；（2）8．【解析】（1）根据题设中的和式可求nS n n =，从而得到n S ，再根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求通项公式n a .（2）利用裂项相消法可求n T ，从而通过解不等式715n T >可得最小正整数n . 【详解】解：（1）∵2231112322n S S S S n n n ++++=+…，① ∴2231111(1)(1)23122n S S S S n n n -++++=-+--…，2n ≥，②①②两式相减得nS n n=，2n ≥， 故2n S n =，2n ≥，又11S =，从而2n S n =，*n N ∈.易得11,11,121,221,2n nn S n n a n S S n n n -==⎧⎧===-⎨⎨-≥-≥⎩⎩． （2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，故123111111123352121n n T b b b b n n ⎛⎫=+++⋯+=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 由715n T >得7n >， 又当*n N ∈时，n T 单调递增，故所求最小正整数n 为8． 【点睛】本题考查数列通项与求和，数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 22．已知数列{}n a 中，121a a ==，且当2n ≥，*n N ∈时满足1(1)n n na n a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设112nn n b a λ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的*n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）根据递推公式利用累乘法求通项公式；（2）数列{}n a 的通项公式代入所给等式求出数列{}n b 的通项公式，根据题意10nnb b ，不等式化简为max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，通分并利用对勾函数的性质可求得4221n n -++的最大值从而求得实数λ的取值范围. 【详解】（1）易知0n a ≠，故11n n a n a n ++=，2n ≥，从而11n n a n a n -=-，3n ≥， 故23112134112312n n n a a a n na a a a a n -=⋅⋅=⋅⋅⋅=-…………，3n ≥， 又121a a ==，故1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．（2）由（1）知，112221nn n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对任意的*n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列， 则1422021nn n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*n N ∈恒成立，即max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，又4222221(1)(2)3n n n n n n n-==++++++， 因为函数2(0)y x x x=+>在区间(0上单调递减，在)+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n ++取得最小值6，4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查累乘法求数列通项公式、数列不等式恒成立问题，涉及对勾函数的单调性，属于中档题.。